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期末专项训练：根据平行线的性质求角度-2024-2025学年数学七年级下册人教版（2024）
1．如图，，连接的平分线交于点．
【问题探究】
（1）如图1，判断与的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，点在的延长线上，连接交于点，若，平分吗？为什么？
【问题解决】
（3）如图3，点是线段上一点，连接，过点作交于点．在射线上取一点，连接，若，求的度数．
2．已知点A，B，C，D，E均为定点，直线，点P为射线上一个动点（点P不与点A重合），连接，
(1)如图1，当点P在线段上时，若，，直接写出的度数：______．
(2)如图2，点M为直线下方的动点，连接，平分，当点P在线段上时，连接，若平分，用等式表示与之间的数量关系，并证明；
3．如图1，点分别在直线和上，，射线从射线的位置开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，同时射线从射线的位置开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线旋转到的位置时，两者停止运动．设旋转时间为秒．
(1)①的度数为___________（用的代数式表示）；
②当射线经过点时，此时的度数为____________．
(2)在转动过程中，是否存在某个时刻，使得射线与射线所在直线的夹角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
(3)在转动过程中，若射线与射线交于点，过点作交直线于点，与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．
4．如图1，是直线上两点，点在点左侧，过点的直线与过点的直线交于点．直线交直线于点，满足点在线段上，．
(1)求证：；
(2)如图2，点在直线、之间，平分，平分，点在同一直线上，且，求的度数；
(3)在（2）的条件下，若点是直线上一点，直线交直线于点，点在点左侧，请直接写出和的数量关系．（题中所有角都是大于且小于的角）
5．如图1，、被直线所截，点D是线段上的点，过点D作，连接AE，．
(1)请说明的理由．
(2)将线段沿着直线平移得到线段，连接．
①如图2，当时，求的度数；
②在整个运动中，当时，则 ．（直接写出答案即可）
6．如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，后支架过D点，交于G，与交于N，当与正好垂直，时，人躺着最舒服，求此时的度数．

7．【问题探究】
（1）如图①，，E为，之间一点，连接，．则与，之间有怎样的数量关系，并说明理由；
【灵活应用】
（2）如图②，，若，，求的度数
8．综合与探究
【问题情境】数学课上，李老师出示了这样一道题：
如图1，，点，分别在，上，点为直线上方一点，连接，，探究，与之间的数量关系．
经过思考后，勤奋小组交流了自己的想法：
勤奋小组：如图2，通过作，发现，，由此即可求出，与之间的数量关系．
【解决问题】
（1）请你根据勤奋小组的思路，探究，与之间的数量关系．
【迁移探究】
（2）听完勤奋小组的想法，创新小组突发奇想：如图3，当点在直线的下方，且在点的右侧时，（1）中的结论是否仍然成立？请帮助创新小组说明理由．
【拓展探究】
（3）如图4，，点，分别在，上，点是直线，之间一点，，平分，平分，与交于点，请直接写出的度数．
9．已知直线分别交直线，直线于点，点，射线平分，射线平分，．
(1)如图1，求证：；
(2)点为射线上一动点，从点出发，运动到，，三点共线时停止，的角平分线为，的角平分线交直线于点．
①如图2，当时，求的度数；
②试探究与的数量关系，并说明理由．
10．【问题情境】
学完平行线的性质与判定后，老师给出如下问题：如图，点在线段上，，，与平行吗？为什么？
【问题解决】
（1）请解答老师提出的问题．（提示：延长交于点）
【深入探究】
（2）如图，，平分，平分交的延长线于点，过点作，用等式表示与的数量关系．（提示：过点作的平行线）
【特例探究】
（3）在（）的基础上，若比大，请直接写出的度数．
11．在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能．
(1)【问题初探】如图1，，，求证：．
(2)【拓展探究】在（1）的条件下，试问与之间满足怎样的数量关系？并说明理由．
(3)【迁移应用】
① 路灯维护工程车的工作示意图如图2，工作篮底部与支撑平台平行，已知，则 ；
② 一种路灯的示意图如图3所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求与所成锐角的度数．
12．在现代化的智能工厂中，机械臂的精准操作依赖于精确的方向控制．如图所示，有两条平行的机械轨道与，即，将机械臂与轨道的接触点记为，机械臂与轨道的接触点记为，为了实现复杂的操作任务，通过关节和关节来调节三个机械臂、和的位置，在实际运行过程中，为确保稳定，三个机械臂、和不共线．
(1)如图1所示，当机械臂时，证明．
(2)如图2所示，当，，时，______（用含的式子表示）
(3)当，时，直接写出与的数量关系．（用含的式子表示）
《期末专项训练：根据平行线的性质求角度-2024-2025学年数学七年级下册人教版（2024）》参考答案
1．（1），理由见解析；（2）平分，理由见解析；（3）
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键．
（1）由平行线的性质得到，由角平分线的定义得到，据此可得结论；
（2）过点F作，证明，得到，则，再证明，得到，则，平分；
（3）先求出，再由平行线的性质和角平分线的定义得到，则，进而可得，根据，得到点M在点P下方，则．
【详解】解：（1），理由如下：
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（2）平分，理由如下：
如图所示，过点F作，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴平分；
（3）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴点M在点P下方，
∴．
2．(1)
(2)
【分析】本题考查了平行线的判定及性质，角平分线的有关计算；
（1）过作，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，由角的和差，即可求解；
（2）过作，过作，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，，，结合角平分线的定义及角的和差，即可得证；
能根据题意添加辅助线，并能熟练平行线的判定及性质，角平分线的定义进行求解是解题的关键．
【详解】（1）解：过作，
，
，
，
，
；
故答案为：；
（2）解：，
证明：过作，过作，
，
，
，
，
，
，
平分， 平分，
，
，
，
，
，
，
，
．
3．(1)①；②
(2)存在，t值为秒或秒．
(3)与的数量关系发生变化，理由见解析
【分析】本题考查平行线的性质，三角形内角和与外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键，注意分类讨论思想的应用．
（1）①根据旋转角度等于旋转速度乘以时间，列式即可；②由，得，则，求解得，即可求解．
（2）分三种情况：当射线与射线的反向延长线相交于G，且时 ；当射线与射线相交于G，且时；当射线与射线相交于G，且时；分别求解即可．
（3）当时，射线与射线交于点，求得，即可得出结论．
【详解】（1）解：①如图，
∵射线从射线的位置开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，
∴
故答案为：；
②如图：
∵
∴
∴，
解得：，
∴
∴
故答案为：．
（2）解：当射线与射线的反向延长线相交于G，且时 ，如图，
∵
∴
∵，
∴
解得：；
当射线与射线相交于G，且时，如图，
∵，，
∴
解得：（不符合题意，舍去）；
当射线与射线相交于G，且时，如图，
∵
∴
解得：；
综上，存在，射线与射线所在直线的夹角为，t值为秒或秒．
（3）解：与的数量关系要发生变化．
理由：当时，射线与射线交于点，如图，
∵
∴
∵，，
∴
∴
∴
∴与的数量关系要随着t的发生而变化．
4．(1)见解析
(2)
(3)和的数量关系为或或或．
【分析】本题考查了平行线性质和判定，角平分线性质，解题的关键在于利用“分类讨论”的数学思想解决问题．
（1）如图，过点作，利用平行线性质推出，再结合平行线判定定理即可证明；
（2）过点作，结合平行线性质，以及角平分线性质得到，，再结合，，代换求解，即可解题；
（3）根据点在点左侧，分四种情况①当点在延长线上时，②当点在线段上时，③当点在延长线上时（在平行线之间），④当点在延长线上时（且在直线下方），结合平行线性质求解，即可解题．
【详解】（1）证明：如图，过点作，
，
，
，
，
；
（2）解：过点作，
，
，
，
，平分，平分，
，
，
，，
，
解得；
（3）解：①当点在延长线上时，
，
，
，平分，
，
，
即和的数量关系为；
②当点在线段上时，
，
，
，平分，
，
，
即和的数量关系为；
③当点在延长线上时（且在平行线之间），
，
，
，平分，
，
，
即和的数量关系为；
④当点在延长线上时（且在直线下方），
，
，
，
，
即和的数量关系为；
综上所述：和的数量关系为或或或．
5．(1)证明见解析
(2)①；②或
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键．
（1）根据平行线的性质得到，等量代换得到，于是得到结论；
（2）①如图2，过作交于，根据平行线的性质即可得到结论；
②分图3和图4两种情况，过作交于，根据平行线的性质即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵，
，
，
，
；
（2）解：①如图2，过作交于，
，
，
，
，
，
，
，
∵，
；
②如图3，过作交于，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
如图4，过作交于，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴
综上所述，的度数为或．
6．
【分析】此题考查平行线的性质的运用，解题关键在于掌握两直线平行，内错角相等．
先根据平行线的性质，得出，再根据，即可得到，再根据平行线的性质，即可得到的度数．
【详解】∵扶手与底座都平行于地面，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴．
7．（1），见解析；（2）
【分析】此题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是掌握平行线的性质和判定．
（1）首先证明出，然后根据平行线的性质求解即可；
（2）首先求出，然后求出，然后根据求解即可．
【详解】解：（1）．
理由如下：如答图，过点E作．
又，
，
，．
又，
；
（2），，
．
又，
．
由题知，
．
8．（1），见解析；（2）不成立，见解析；（3）
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）利用平行线的性质即可解答；
（2）作，利用平行线的性质即可解答；
（3）过点作，利用平行线的性质和角平分线的计算即可解答．
【详解】（1），，
，
，，
；
（2）不成立，理由如下：
如图，作，
，，
，
，，
，即；
（3）如图，过点作，
，
，
，
，
，
平分，平分，
，
在四边形中，．
9．(1)详见解析
(2)①；②，理由见解析
【分析】此题重点考查平行线的性质、三角形内角和定理、四边形的内角和等于、角平分线的定义、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，推导出及是解题的关键．
（1）由射线平分，射线平分，得，，由，得，则；
（2）①设直线交射线于点，则，所以，而，所以，则，即可根据四边形的内角和等于求得；
②作，则，，所以，同理，而，且，所以．
【详解】（1）证明：射线平分，射线平分，
，，
，
，
，
．
（2）解：如图2，设直线交射线于点，则，
，
，
，，
，
，
平分，平分，
，，
，
，
的度数是．
②解：．
理由：如图3，作，则，
，，
，
同理，
，，
，
，
．
10．（）平行，理由见解析；（）；（）．
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，平行公理推论，角平分线定义，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）延长交于点，由，，证明，所以，又，则，从而求证；
（）过点作的平行线，则有，所以，，，，因为平分，平分，所以，，然后通过线段和差即可求解；
（）利用（）中结论即可求解．
【详解】解：（）平行，理由如下，
如图，延长交于点，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（），理由如下，
如图，过点作的平行线，
∵，，
∴，
∴，，，，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即；
（）∵比大，
∴，
由（）得
∴．
11．(1)见解析
(2)，理由见解析
(3)①；②与所成锐角的度数为
【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行线的应用，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键．
（1）根据平行线的判定定理可得，再根据平行线的性质定理可得，结合可得，即可证明；
（2）过点F作交于点G，则，根据平行线的性质即可证明；
（3）①参照（2）中方法，构造平行线，利用平行线的性质求解；②过点E作，根据平行线的判定定理和性质定理求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：，
证明：过点F作交于点G，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴；
（3）解：①如图，作，则，
，，
，
故答案为：；
② 过点E作，
由题意可知：，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即：与所成锐角的度数为．
12．(1)见解析
(2)
(3)或或或
【分析】（1）延长交于E，利用平行线的性质即可求证；
（2）分别过点P、Q作，即可得出，再利用平行线的性质即可求解；
（3）分不同的图形进行讨论，并分别过点P、Q作，即可得出，再利用平行线的性质即可求解．
【详解】（1）证明：如图，延长交于E，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
（2）解：；
理由：如图，分别过点P、Q作，
∵，
∴，
∴，
当，，时，
；
（3）解：或或或；
理由如下：如图2-1，分别过点P、Q作，
∵，
∴，
∴，
当，时，
，
∴；
如图2-2，分别过点P、Q作，
∵，
∴，
∴，
当，时，
∴；
如图2-3，分别过点P、Q作，
∵，
∴，
∴，
当，时，
∴；
如图2-4，分别过点P、Q作，
∵，
∴，
∴，
当，时，
∴；
综上可得：或或或．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，涉及到了两直线平行，同位角相等，两直线平行，同旁内角互补，平行线的传递性等知识，解题关键是分类讨论，作出辅助线求解，本题的难点是画出图形，考查了学生的想象能力与逻辑思维能力．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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