资源简介

甘肃省2025年普通高校招生适应性考试
数 学
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，在选择其他答案标号框。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
考试结束后，将本试卷与答题卡一并交回。
一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．已知全集，集合，，则（ ）
A．或 B．或
C． D．
2．已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知平面向量，是两个单位向量，在上的投影向量为，则（ ）
A．-1 B． C．0 D．1
5．某校高二级学生参加期末调研考试的数学成绩服从正态分布，将考试成绩从高到低按照、、、的比例分为、、、四个等级.若小明的数学成绩为分，则属于等级（ ）（附：，）
A． B． C． D．
6．已知F是双曲线C：（，）的右焦点，直线与C交于P，Q两点，若以PQ为直径的圆经过点F，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．设，为等差数列，令，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9．下列说法正确的是（ ）
A．若y关于x的线性回归方程为，则样本点（1，0.7）的残差为
B．在一组样本数据，，……，（，，，…，不全相等）的散点图中，若所有样本点（）都在直线上，则这组样本数据的相关系数为
C．数据，，，的平均数为2，方差为12，则
D．在列联表中，若每一个数据均变为原来的3倍，则变为原来的3倍
10．以下结论正确的是（ ）
A．若，则的最大值为
B．若，则
C．若，，则的最小值为
D．若，则
11．已知抛物线的焦点为，点关于坐标原点的对称点为，在第一象限内的点均在上，且，则下列说法正确的是（ ）
A．点的坐标为 B．
C．直线的斜率为 D．直线关于轴对称
三、填空题：(本题共3小题，每小题5分，共15分.)
12．已知等差数列满足，且前项和，则 .
13．某组合体如图所示，上半部分是正四棱锥，下半部分是长方体，正四棱锥的高为1，， 则该组合体的体积为 ；
14．有数学、物理、化学三类竞赛名额各个，将所有名额全部分给甲、乙两所学校，每所学校每类名额至少分得一个，则甲学校所得到的三类名额的个数的乘积与乙学校所得到的三类名额的个数的乘积相等的分法有
种（用数字作答）．
四、解答题：(本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。)
15．（13分）已知的内角所对的边分别为，且．
(1)求角的大小；
(2)点在边上，且，求的周长．
16．（15分）如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，，为线段中点，连接．
(1)证明：平面；
(2)求M到平面的距离；
(3)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
17．（15分）数学考试中的多选题，每题有4个选项，其中有2个或3个正确答案，全部选出正确答案得6分．若正确答案是2个，只选对1个得3分，有选错的得0分；若正确答案是3个，只选对1个得2分，只选对2个得4分，有选错的得0分．若多选题正确答案是2个的概率为，正确答案是3个的概率为．某学生对其中一道题完全不会，他随机的进行填涂．
(1)若他只随机选择1个选项，求他的得分X的分布列与数学期望：
(2)若他随机选择2个选项，求他的得分Y的分布列与数学期望：
(3)若，该同学随机选择1个选项还是随机选择2个选项，能使得分更好？
18．（17分）已知椭圆的离心率为，A为椭圆E上一点，且点A到椭圆E的两个焦点的距离之和等于.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若直线与椭圆相交于P，Q两点，求线段PQ的中点N的轨迹方程；
(3)若A关于原点O的对称点为B，过点A与AB垂直的直线与椭圆E的另一个交点为C，轴于点H，直线BC与x轴交于点M.用与分别表示与的面积，证明：.
19．（17分）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)试比较与的大小；
(3)当时，数列满足，，，证明：.
甘肃省2025年5月高三联合性诊断考试试卷
数学参考答案及评分细则
一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B D B B C B C
二、选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
题号 9 10 11
答案 BD ACD BD
三、填空题：(本题共3小题，每小题5分，共15分.)
12．10 13． 14．
四、解答题：(本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。)
15.（13分）
（1）由及正弦定理得， （2分） 所以，（4分） 所以，（5分） 因为，所以，所以． （7分，不写C取值扣1分） （2）在中，，解得， （9分） 在中，，所以， （11分） 所以周长． （13分）
16.（15分）
（1）在四棱锥中，取中点，连接，（1分） 由为的中点，且，，得，，（2分） 则四边形为平行四边形，，而平面，平面， （3分） 所以平面． （4分） （2）取的中点，连接，，由为等边三角形，得， （5分） 而平面平面，平面平面，平面， 则平面，由，得四边形是平行四边形， （7分） 于是，而，则，直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， （8分） 则，， 设平面的法向量为，则， 取，得， （10分） 又，所以到平面的距离， （11分） 因为平面，所以M到平面的距离为到平面的距离，即. （3）令， （12分） ，， 设平面的法向量为，则， 取，得， （13分） 平面的法向量为， 于是， （14分） 化简得，又，解得，即， （15分） 所以线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，.
（15分）
（1）的取值范围是， ， （1分） ， （2分） ， （3分） 所以的分布列为 （4分） 023
从而． （6分） （2）的取值范围是， ， （7分） ， （8分） ， （9分） 所以的分布列为 （11分） 046
从而； （12分） （3）当时，， （13分） ， （14分） 所以该同学随机选择1个选项能使得分更好． （15分）
（17分）
（1）依题意，，解得，由离心率为，得，则， （1分） 所以椭圆的方程为． （3分） （2）由消去得，设， （4分） ，解得， （5分） ， （7分） 由是线段的中点，得，因此，， 所以线段PQ的中点N的轨迹方程为. （9分） （3）由题意，设点，则点，， 设直线的方程为，点， （10分） 由，得， （11分） 则，， （12分） ，． （13分） 由，得， 整理得，解得或， （14分） 当时，直线过原点，不符合题意； 当时，直线的方程为，则点坐标为， （15分） 因此，． （16分） 所以. （17分）
19.（17分）
（1）首先对函数求导， 则， （1分） 当时，恒成立，所以函数在上单调递减； （2分） 当时，令，得；令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减； （3分） 当时，令，得；令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. （4分） 综上所述，当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （6分） （2）由（1）知，当时，， 且函数在上单调递增，在上单调递减， （7分） 所以在处取得最大值， （8分） 即，变形得（当且仅当时取等号）. 令，则（因为），即. （9分） （3）当时，， 则， （10分） 由， 则， （11分） 设，， 则， （12分） 当时，，则函数在上单调递增， 又，则时，， 则时，， （13分） 因为，则，，，. 设，， 则， 所以函数在上单调递减， （14分） 则，即时，， 则， （15分） 所以， 则，即， （16分） 则， （17分） 即.
高三数学试卷 第1页 共8页 高三数学试卷 第2页 共8页

展开更多......

收起↑