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盐山中学2025届第三次模拟考试
数学
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设复数为虚数单位，的共轭复数是，则( )
A. B. C. D.
2.诗歌朗诵比赛共有八位评委分别给出某选手的原始评分评定该选手的成绩时，从个原始评分中去掉个最高分和个最低分，得到个有效评分个有效评分与个原始评分相比，一定不变的数字特征是( )
A. 极差 B. 平均数 C. 中位数 D. 标准差
3.已知随机变量，若其对应的正态密度函数满足，且，则( )
A. B. C. D.
4.设函数是奇函数．若函数，，则( )
A. B. C. D.
5.已知角，的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，角的终边与圆交于点动点以为起点，沿圆周按逆时针方向运动到点，点运动的轨迹长为，当角的终边为射线时，( )
A. B. C. D.
6.若非零向量满足，且向量在向量上的投影向量是，则向量与的夹角为( )
A. B. C. D.
7.从几何体的某一顶点开始，沿着棱不间断、不重复地画完所有棱的画法称为“一笔画”下列几何体可以“一笔画”的是( )
A. B.
C. D.
8.已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为，到轴的距离为，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.圆柱的轴截面是正方形，，分别是上、下底面的圆心，，是下底面圆周上两个不同的点，是母线，若圆柱的侧面积为，则( )
A. 圆柱的体积是 B. 圆柱内切球的表面积是
C. D. 点到直线距离的最大值为
10.已知双曲线的实轴长是虚轴长的倍，则( )
A. B. 的渐近线方程是
C. 的焦距为 D. 的离心率为
11.设正实数、满足，则下列说法正确的是( )
A. 的最小值为 B. 的最大值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设，且，函数的值域为，则实数的取值范围是 ．
13.已知是等比数列，且，，则 ．
14.已知函数在处取得极小值，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.分
若数列的前项和为，且，．
求数列的通项公式；
若，数列的前项和为，证明：．
16.分
已知．
求的值
求的值．
17.分
已知向量，，
若，求实数的值；
若，求向量与的夹角的余弦值．
18.分
如图，在三棱柱中，平面．

求证：平面平面；
若，求直线与平面所成角的正弦值．
19.分
已知抛物线：的焦点为，直线：与相切．
求的方程；
过点且与平行的直线与相交于，两点，求；
已知点，直线与相交于，两点异于点，若直线，分别和以为圆心的动圆相切，试问直线是否过定点若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．
答案
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
9. 10. 11.
12.
13.
14.
15.解：当时，，，舍去
因为，当时，，
两式作差得：，
即，故，
又因为，
所以，且，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以．
由可知，，
故，
，
两式作差得：．
所以，
因为，
所以．
16.解：依题意，
．
17.解：由于向量，，
则，
由，得，
解得；
，
由，
所以，
解得，则，
所以
．
所以向量与的夹角的余弦值．
18.解：在三棱柱中，由平面平面，得，
又平面，则平面，
而平面，所以平面平面；
由知两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，

由，令，则，
，，
设平面的法向量为，则，取，得，
设直线与平面所成的角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．

19.解：联立，整理得，
因为与相切，所以，解得或舍去，
故的方程为；
由可知，
因为，所以的方程为，
设，，
联立整理得，则，，
；
设，，则直线的方程为，
直线的方程为，直线的方程为，
设动圆的半径为，，因为直线和圆相切，所以，
整理得，
同理可得，
所以，是一元二次方程的两个实数根，
则，，代入式整理得，
由，得，此时，故直线恒过定点．

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