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湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高三下学期5月适应性检测数学试题
时限：120分钟 满分：150分 命审题：高三数学备课组
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.图中的阴影部分表示的集合为（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数，则（ ）
A. B. C.3 D.4
3.在平面直角坐标系xOy中，设角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A.-2 B. C. D.2
4.如图，在平行四边形ABCD中，为CD的中点，若，则（ ）
A.1 B. C. D.2
5.数列的前2025项和为（ ）
A.1012 B.-1012 C.1013 D.-1013
6.某地统计了辖区内从2017年至2024年这8年的新能源汽车和纯电动汽车的销量（单位：百辆），得到如下折线图：
现对2021年至2024年这4年的数据进行分析，设新能源汽车的销量数据和纯电动汽车的销量数据的方差分别为和，新能源汽车的销量数据和纯电动汽车的销量数据的年平均增长率分别利和，则（ ）
A. B. C. D.
7.正三棱柱的9条棱长均相等，且体积为36．P，Q，R分别是棱上的点，其中，则几何体的体积为（ ）
A.22 B.23 C.24 D.25
8.已知函数的定义域为，且满足下列性质：
①；②
则下列说法一定正确的为（ ）
A.在上无最小值 B.在上单调递减
C.在上有最小值 D.在上单调递增
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分.
9.使关于a，b的不等式成立的充分不必要条件是（ ）
A.且 B.且 C.且 D.且
10.函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
11.在平面直角坐标系xOy中，为坐标原点.已知曲线，点为曲线上的任意一点，下列结论正确的是（ ）
A.曲线关于轴对称 B.曲线围成的封闭图形的面积大于
C.过原点的直线与曲线有且仅有两个交点 D.点到原点的距离不超过3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知抛物线，直线与交于A，B两点，为弦AB的中点，则直线的斜率为______．
13.若函数在区间上单调，则的取值范围为______.
14.甲乙两位同学一起玩掷骰子的游戏，骰子为均匀的正方体，且正方体的六个面上分别标注了点数.现甲乙两位同学轮流掷骰子，规定玩家完成一轮投掷的规则如下：
①玩家开始投掷骰子，若玩家掷出的点数为6，则获得6分，且玩家继续掷骰子，本轮投掷继续；
②若玩家掷出的点数小于6，则获得相应点数的得分，此时将骰子交给对手投掷，该玩家完成了一轮投掷.
称甲乙两人各完成一轮投掷为完成了一轮游戏.则甲在三轮游戏中共得14分的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知函数.
（1）若为的极值点，求；
（2）当时，恒成立，求的取值范围.
16.（15分）在三棱柱中，底面ABC是正三角形，，.
（1）求证：；
（2）若，且，求直线与平面所成角的余弦值.
17.（15分）设是坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，离心率.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）直线交双曲线的右支于P，Q两点，且关于轴的对称点为的外心为.
（i）求外心的坐标（用表示）；
（ii）求的取值范围.
18.（17分）盒子里有编号为的个大小、形状、质地完全相同的小球，在盒子中连续有放回地取出两个小球，记为第次取出的小球的编号，
（1）试计算比大的概率；
（2）求的分布列和期望；
（3）已知随机变量的期望具有线性可加性，即对于随机变量，有，试分别计算的期望.其中，表示a，b中的最小者，表示a，b中的最大者.
（参考公式：）．
19.（17分）已知集合，其中，集合．定义运算，记|A|为集合中元素的个数.
（1）若，求的值；
（2）若集合中的元素构成等差数列，且公差.
（i）当时，求的最小值；
（ii）当时，求的最小值.
湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高三下学期5月适应性检测数学试题答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
D A B A C B B C ABC BCD ABD
8.【解析】由于函数的定义域为，且，
令，则，得，对称轴为
由可知，则，
故在上不一定单调递增或单调递减，不确定，
由于表示开口向上的抛物线，故函数必有最小值，C正确，A错误．故选：C
11.【答案】ABD
【解析】对于选项A：若，即，
则仍成立，即关于轴的对称点，A选项正确；
对于选项B：易知，即曲线C上的点在圆的圆周上或其外部，故面积大于选项正确；
对于选项C：取，方程化简为，解得，故有3个交点，C选项不正确；
对于选项D：，所以选项正确；故选ABD．
三、填空题
12.【答案】1 13.【答案】
14.【答案】
【解析】①甲在三轮游戏中未掷出6点时，则三轮得分为5，5，4，共有3种情况，概率为，②甲在三轮游戏中掷出过6点时，则仅可能在其中一轮掷出一次6点，共有3种情况，且仅拋掷4次骰子，分别记另外三次掷出的点数为x，y，z，则，且，故共有种情况，概率为，综上，甲在三轮游戏中共得14分的概率
四、解答题
15.【解析】（1），由于为的极值点，，故.
当时，令，则，所以在上单调递增，又，所以当时，单调递减，
所以当时，单调递增，故.
（2）法一：由题意有对于恒成立，即对于恒成立，
当时，，故对于恒成立.
令，
则时，，当且仅当时，成立，
所以在上单调递增，所以，所以.
法二：当时，有，即当时，有，解得；
下证充分性，即证当时，时，有，
当时，有，记，
，故在上单调递减，则，
记，则，当时，，当且仅当时，成立，
即在上单调递增，故，故当时，有恒成立.
16.【解析】（1）过点作平面ABC于点平面ABC，所以，
又平面，
平面平面，
同理可证，又是正三角形，则是的中心，
连接AO，CO并延长交BC，AB于E，F，则E，F分别为BC，AB的中点，
又平面，故，同理可证，
综上，.
（2）法一：由（1）知，三棱锥是正三棱锥，且在底面ABC内的投影为等边的中心，又，故三棱锥的三个侧面均为直角三角形，且，则，
又，可知，则，解得
在平面中过作，交延长线于点，则平面，则即为直线与平面所成角，其中，故
即直线与平面所成角的余弦值.
法二：以BC的中点为坐标原点，以EA，EB为x，y的正方向，
过且与平行的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，
设平面的法向量为，
因为，
则，取，则，
又，
设直线与平面所成角为，
所以，故，即直线与平面所成角的余弦值.
法三：以为顶点建立直角坐标系（评分标准同上，详细答案略）
17.【解析】（1）由双曲线的方程知，，又离心率.故
故双曲线的方程为；
（2）①直线PQ的方程为，
联立，得，
故且，
设，
则，
，
由已知，所以，
所以线段PQ的中点坐标为，
所以线段PQ的垂直平分线方程为，
又线段的垂直平分线方程为，
所以点的坐标为，
②故，
，
所以，则由知，
所以的取值范围为.
18.【解析】（1）
由题意可知，且
所以.
（2）的可能取值为
（3）法一：，
的可能取值为，
，同理有
法二：的可能取值为，
，同理有，
又，
由期望得线性可加性有：①
②
联立①②解得.
19.【解析】（1）若，则，此时，所以.
（2）（i）解法一：设，则有，
，
所以，为使最小，应尽量使A，B中相同元素最多，
而，故A，B中最多一个相同元素，令，即时，最小，
，此时.
解法二：由构成严格递增的等差数列可知，，则必有
又中最小元素为，则，则有，所以，另一方面，当时，，此时，
综上，时，的最小值为5.
（ii）引理：当时，集合中的元素构成公差为的等差数列，则
引理的证明：对任意
当时，，当时，，
因此有；
另一方面，再证明可以取到满足的所有整数，
①取，当依次取时，可取到满足的所有整数；
②取，当依次取时，可取到满足的所有偶数；
③取，当依次取时，可取到满足或的所有奇数；
④取，此时，
由上述讨论可知，可以取到满足的所有整数，此时有
综上，引理得证．
故当时，，
又，即，则有，
所以；
另一方面，当时，，
此时，
综上，当时，的最小值为2n，所以，当时，的最小值为4050.

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