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湖南省益阳市部分校联考2025届高三年级综合性考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. 3i B. 5i C. D.
2.已知全集，，，则
A. B. C. D.
3.过点且与双曲线有相同焦点的椭圆方程为
A. B. C. D.
4.若，则
A. 2 B. 4 C. D.
5.下列函数最小值为2的是( )
A. B. C. D.
6.已知是定义在R上的奇函数，且对任意x，y，都有，则( )
A. 0 B. 1 C. 2 D.
7.已知是边长为6的等边三角形，O是的内心，P是内不含边界的一点，则的取值范围为
A. B. C. D.
8.已知函数，若，则的最大值为
A. 1 B. 2 C. 4 D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.2024年中国经济社会发展“成绩单”中，科技创新的分项尤为亮眼，无论是整体实力，还是结构性指标都稳步提升至2024年我国研究与试验发展经费支出及其增长速度如图所示，则( )
A. 2020至2024年我国研究与试验发展经费支出逐年增长
B. 2020至2024年我国研究与试验发展经费支出的第25百分位数为24393亿元
C. 2020至2024年我国研究与试验发展经费支出增长速度的极差为
D. 2020至2024年我国研究与试验发展经费支出增长速度的平均数超过
10.如图，BD是正方形ABCD的对角线，以BD为折痕把折起，使点C到达点的位置，记二面角的平面角为，直线AC与直线所成的角为，已知，则下列结论正确的是
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
11.如图，O为坐标原点，点，，在函数
的图象上，且的最小正周期为，则下列结论正确的是
A. B. 若是第三象限角，则
C. 若，则 D. 的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某校高三有1000人参加考试，统计发现数学成绩近似服从正态分布，且成绩优秀不低于130分的人数为160，则估计此次考试数学成绩在90分至110分之间的人数为 .
13.在中，，，的面积为，则的周长 .
14.已知圆的圆心为M，抛物线的焦点为M，过点M的直线l与抛物线C，圆M分别交于点A，B，E，点A，E，F，B在直线l上依次排列，则的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题13分
记为数列的前n项和.已知，
证明：是等差数列.
若，，成等比数列，求使成立的n的最小值.
16.本小题15分
已知函数，其导函数为
设
①求a的值;
②求在上的最大值.
讨论的单调性.
17.本小题15分
已知双曲线的右焦点为，点在C上.
求C的方程.
已知，直线DN与直线交于点A，直线DF与C交于点
①求
②求直线AB的斜率.
18.本小题17分
如图，在棱长均为2的八面体中，下底面ABCDEF是正六边形，且平面CDI、平面AFG均垂直于底面.
证明：平面平面
求八面体的体积.
求二面角的正弦值.
19.本小题17分
一个袋子中有大小和质地均相同的100个球标号为1，2，，，甲从袋子中随机摸出个球后将球放回，再由乙从袋子中随机摸出n个球.记被甲或乙摸到的球的个数为
已知
①求标号为1的球被甲或乙摸到的概率;
②求
求使取得最大值的整数
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：
2.【答案】C
【解析】解：依题意得，，，所以
3.【答案】A
【解析】解：双曲线的焦点为，设椭圆的方程为，
因为椭圆过点，所以，解得
故椭圆的方程为
4.【答案】D
【解析】解：
5.【答案】C
【解析】解：，A不符合题意.
没有最小值，B不符合题意.
，当且仅当时，等号成立，C符合题意.
没有最小值，D不符合题意.
6.【答案】A
【解析】解：令，则，因为是定义在R上的奇函数，
所以，，则
7.【答案】A
【解析】解：，在上的投影向量的模长的取值范围是，所以的取值范围是
8.【答案】B
【解析】解：为增函数，不妨设，则，
即，
变形得
若，异号，则，
即，
解得，当且仅当，时，等号成立.
若，同号或，中有一个为0，则，
解得
综上，的最大值为
9.【答案】ACD
【解析】解：2020至2024年我国研究与试验发展经费支出逐年增长，A正确.
，2020至2024年我国研究与试验发展经费支出的第25百分位数为27956亿元，B错误.
2020至2024年我国研究与试验发展经费支出增长速度的极差为，C正确.
2020至2024年我国研究与试验发展经费支出增长速度的平均数为，D正确.
10.【答案】ABD
【解析】解：记AC与BD交于点O，连接，作，垂足为
易得二面角的平面角为
因为，所以，，
以O为坐标原点，OB，OA所在直线分别为x，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
直线AC的一个方向向量为，
若，则，A正确.
若，则，B正确.
若，则，C错误.
若，则，D正确.
11.【答案】ACD
【解析】解：因为的最小正周期为，所以，，解得，A正确.
，由图可得曲线在处的切线的斜率为正数，所以因为是第三象限角，所以，则，即，B错误.
不妨取，则由题意可得，结合图象可得，，结合图象可得，解得，C正确.
设AB的中点为D，以D为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则原的图象在坐标系中的解析式为，
设点C在坐标系中的坐标为，
则
令函数，
则
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
，
即的最大值为，D正确.
12.【答案】340
【解析】解：因为，
所以此次考试数学成绩在90分至110分之间的人数约为
13.【答案】
【解析】解：因为，所以
由余弦定理可得，
解得，
所以的周长为
14.【答案】
【解析】解：圆的圆心为，抛物线
，当且仅当时，等号成立.
15.【答案】证明：当时，，即，
所以
因为，所以恒成立，
所以是等差数列.
解：，，
因为，，成等比数列，
所以，解得，
所以
，即，整理得，解得或
因为n为正整数，所以n的最小值为

【解析】详细解答和解析过程见【答案】
16.【答案】解：①由题意得，则，解得②由①得，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以在处取得极大值，也就是最大值，最大值为
的定义域为，
当时，由，得，由，得，在上单调递减，在上单调递增;
当时，由，得，由，得或，
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增;
当时，，在上单调递增;
当时，由，得，由，得或，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增;
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增;
当时，在上单调递增;
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
17.【答案】解：由题意可得解得
所以C的方程为
①直线DF的方程为，即
联立可得
又，所以，即点B的纵坐标为
②直线DN的方程为，即
令，得，则
因为点A，B的纵坐标均为，所以直线AB的斜率为

【解析】详细解答和解析过程见【答案】
18.【答案】证明：在八面体中，B，C，I，H四点共面.
因为八面体的棱长均为2，所以四边形BCIH为菱形，
因为平面ABCDEF，平面ABCDEF，所以平面
同理，平面
因为，所以平面平面
解：取CD的中点K，连接IK，IG，AC，
在中，
因为平面平面ABCDEF，平面平面，所以平面
因为八面体的棱长均为2，
所以，
三棱柱的体积
根据对称性可得，三棱柱的体积与三棱柱的体积相等.
三棱柱的体积
八面体的体积
解：连接BE，与AC交于点O，连接OK，
在正六边形ABCDEF中，，，，所以四边形BCKO为平行四边形，
所以，，四边形OKIH为平行四边形，，
所以平面
以O为坐标原点，OC，OE，OH所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
，
设平面BCIH的法向量为，
则取
取平面CDI的一个法向量为
，，，，
所以二面角的正弦值为

【解析】详细解答和解析过程见【答案】
19.【答案】解：①设事件A为“标号为1的球被甲摸到”，事件B为“标号为1的球被乙摸到”，
由题意得A和B是相互独立的事件，则与相互独立.
，
，
所以标号为1的球被甲或乙摸到的概率
②“甲从袋子中随机摸出2个球后将球放回，再由乙从袋子中随机摸出2个球”包含的样本
点总数为
因为，所以甲、乙摸到的球相同，
则事件所含的样本点个数为，
整数m满足，其中t是2n和100中的较小者.
“甲从袋子中随机摸出n个球后将球放回，再由乙从袋子中随机摸出n个球”包含的样本点
总数为
当时，同时被甲和乙摸到的球的个数为，仅被甲摸到的球的个数为，仅被乙摸到的球的个数为，
则事件所含的样本点个数为
此时
令，则，
解得
因为，
所以，
即，，
即，
显然，
所以
因为，，所以不可能被102整除，在处取得最大值.
注：表示不超过x的最大整数

【解析】详细解答和解析过程见【答案】

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