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2025年夏季世界少年奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛省级选拔卷 2 2 2
7. 若4x－3y－6z 0 x 2y 7z 0 xyz 0 5x 2y z＝ ，＋ － ＝ （ ）．则代数式 2 2 的值等于___________。2x 3y 10z 2
（2025年6月）
8.如图，在直角三角形ABC中， C 90 ，D为BC的中点，E为AB中点，连接AD,CE，
选手须知：
CE AD，则AB :BC : AC的值为 .
1. 本卷共两部分，第一部分：填空题，共计84分；第二部分：解答题，共计66分；
2. 答题前请将自己的姓名、学校、教室编号、活动证号写在规定的位置；
3. 测试时不能使用计算工具；
4. 测试完毕时试卷和草稿纸将被收回。
题 号 一 二 总分 核查人
（第8题图）
得 分 （第9题图）
9. ABC中，AB＝4，AC＝2，以BC为边在 ABC外作正方形BCDE，BD、CE交于点O，则线段
七年级试题
AO的最大值为 .
（本试卷满分150分 ，考试时间90分钟 ）
得 分
10. 若正数 满足 则 的值 .
一、填空题（每题7分，共计84分） 评卷人
11. “幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图 11-1所示，每个三角形的三个顶点上的
1. 我们知道 3是无理数，而无理数是无限不循环小数，它的小数部分我们不可能全部地写出来，但
数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现将﹣4，﹣2，﹣1，2，3，4，6，7填入如
是由于 1 < 3 <2，所以 3的整数部分为1，小数部分为 3 -1 . 根据以上的内容，解答下面的问题：
图11-2所示的“幻方”中，部分数据已填入，则 的所有可能值和为 ．
若 的小数部分为a， 的整数部分为b，则 a+b- 的值是__________ .
2. 已知关于 x，y的二元一次方程组 的解是 ，则 2a﹣4b的算术平方根
是 ．
(图11-2）
3. 若 a、b、c均为整数，且 那么|c-a|+|a-b|+|b-c|=__________. (图11-1）
12. 如图，四个全等的直角三角形围成正方形ABCD和正方形EFGH，即赵爽弦图．连接AC，
4. 若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 =___________. 分别交EF、GH于点M，N，连接FN．已知AH＝3DH，且AB2＝20，则图中阴影部分的面积之和
为 ．
5. x与 y互为相反数，且 x﹣y＝3，那么 x2+2xy+1的值为__________.
6. 三边长均为整数且周长为 24的三角形的个数为 __________.
七年级 第 1页 七年级 第 2页 （第12题图）
省 市 学校 姓名 考场 证号_________________
密 封 线 内 不 要 答 题
得 分
评卷人
二、解答题（第13-14题各12分，第15-17题各14分，共计66分）
2 2
16. 已知关于x的方程x 2px p 5p 1 0 有两个正整数解，且 p是质数 ，求 p的值 .
13. 已知 求 的值 .
14. 若 为实数，且 , 求 的值.
17. 在△ABC中，已知∠ACB＝45°，过BC上一点D作AB的垂线，垂足为点H，HD交AC的延
长线于点E，若AB＝HD，求证：AE2＝2DH2+2DE2．
15. 计算：
（第17 题图）
七年级 第 3页 七年级 第 4页
∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕ 密 〇 封 〇 装 〇 订 〇 线 ∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕
密 封 线 内 不 要 答 题2025年夏季世界少年奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛省级选拔卷
七年级 参考答案
参考答案：
一．填空题（每题7分，共84分）
1. 3 2. 2 3. 2 4. 5. 6. 12
-13 8. 9. 10. 11. 706 12. 4
解答题
13.（12分）已知 求的值 .
解：∵a﹣b＝①，b﹣c＝②，
由①+②得 a﹣c＝ .......3分
∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝++＝ ......6分
∴2（a2+b2+c2）﹣2（ab+bc+ac）＝ ......9分
∵a2+b2+c2＝1，
∴ab+bc+ca＝＝ ........12分
14.（12分）若 为实数，且 , 求的值.
解：
......6分
.......12分
15.（14分）计算：
解：令
原式= ...........7分
=
= .............14分
16.(14分）已知关于的方程有两个正整数解，且是质数 ，求的值 .
解：关于的方程有两个正整数解
(n为正整数）..............3分
.............5分
又因为,奇偶性相同，故这两个数必为偶数,而是质数，故有以下情况：
当时,
,
此时原方程的解为; ..............9分
当时，
,
此时原方程的解为; ..............13分
故由(i)(ii)可知 . ............14分
17.(14分）在△ABC中，已知∠ACB＝45°，过BC上一点D作AB的垂线，垂足为点H，HD交AC的延长线于点E，若AB＝HD，求证：AE2＝2DH2+2DE2．
证明：过点A作AF⊥AB，截取AF＝BH，连接DF、BF，
∵EH⊥AB，
∴∠FAB＝∠BHD＝90°，
在△DHB和△BAF中，
∵，
∴△DHB≌△BAF（SAS）， ..............4分
∴∠ABF＝∠BDH，BD＝BF，
∵∠BDH+∠DBH＝90°，
∴∠DBH+∠ABF＝90°，
∴△DBF是等腰直角三角形， .............8分
∴∠BDF＝45°，
∵∠ACB＝45°，
∴∠ACB＝∠BDF，
∴AC∥DF，
∵AF∥ED，
∴四边形AFDE是平行四边形， ..............12分
∴AE＝DF，AF＝DE，
∴AE2＝DF2＝2DB2＝2DH2+2BH2＝2DH2+2AF2＝2DH2+2DE2．..............14分

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