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绝密★启用前 11. 如图是以AB为直径的⊙O，点C是圆上一点，将圆形纸片沿着AC折叠，与AB交于点D，
2025年夏季世界少年奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛省级选拔卷 连结CD并延长与圆交于点E．若∠ACD＝3∠CAD，则 的值等于 ．
（2025年6月）
选手须知：
1. 本卷共两部分，第一部分：填空题，共计84分；第二部分：解答题，共计66分；
2. 答题前请将自己的姓名、学校、教室编号、活动证号写在规定的位置；
3. 测试时不能使用计算工具；
4. 测试完毕时试卷和草稿纸将被收回。
11 （第 12题图）（第 题图）
题 号 一 二 总分 核查人
得 分 12. 如图，AO=4，C为AO边的中点，P在圆O（半径为1）上运动，△APE是直角三角形，∠PAE=60°,
∠APE=90°，则CE的最小值为 .
八年级试题
（本试卷满分150分 ，考试时间90分钟 ）
得 分 二、解答题（第13-14题各12分，第15-17题各14分，共计66分）
评卷人
一、填空题（每题7分，共计84分）
13. （本题满分12分，每小题6分）
得 分
x = 3+ 2 y = 3 2
(1)计算：
1. 已知 ， ，则
3 2 3+ 2
+ = . 评卷人
2
2.点A(-4,0)、B(2,0)是平面上的两个定点，C是 y = 4 x+ 2 2 图象上的一动点，则满足上述
条件的Rt△ABC可以画出________个 .
3. 已知函数 , 若当 时， ,则 的最小值和最
大值的和为 .
4.已知函数 , 当 时，y有最大值5，则 的值为______________ .
5.若 , 则 ______________ .
6. 已知正数 ,满足 ,则 的最小值为 . (2)已知 ,求 的值.
7. 已知 满足 ,则当 最大时， 的值为 .
8. 已知 ,则 .
9. 已知直线方程Ax+By＝0，若从 0、1、2、3、4、5、6、7这八个数中每次取两个不同的数分别作为
A、B的值，则Ax+By＝0可表示 条不同的直线 ．
10. 因式分解： =_______________________________ .
八年级 第 1页 八年级 第 2页
省 市 学校 姓名 考场 证号_________________
密 封 线 内 不 要 答 题
14. （本题满分 12分）解方程： 16. （本题满分14分）已知关于 x的一元二次方程 x
2﹣（n+2）x﹣2n2＝0的解为an，bn，
(1) 求 的值.
(2) 若 , ,求 的值.
(说明：对于任意的实数a ,通常 [a] 表示不超过 a的最大整数)
15. （本题满分14分）如果方程 x3﹣4x2+（3+k）x﹣k＝0的三个根可以作为一个等腰三角形的边
17. （本题满分14分）如图，在圆内接四边形ABCD中，AB＝AD，M是BC边的中点，点N在
长，求实数 k的值 .
对角线BD上，且满足∠BAN＝∠CAM．求证：MN∥AC．
（第 17题图）
八年级 第 3页 八年级 第 4页
∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕ 密 〇 封 〇 装 〇 订 〇 线 ∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕
密 封 线 内 不 要 答 题2025年夏季世界少年奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛省级选拔卷
（2025年6月）
八年级 参考答案
填空题
98 2. 3 3. 4. 1或7 5. 0
6. 18 7. 3 8. 7 9. 36
10. 11. 12.
解答题
13.（本题满分12分，每小题6分）
(1)计算：
解：原式=
=1-1=0 .................6分
(2)已知 ,求 的值.
解： 因为 =
原式=0 .................12分
14.（本题满分12分）解方程：
解：
令 ， 则 ........3分
所以， .............5分
当 时， ,
解得： 或 .............8分
（ii）当时，
解得： ， .............11分
经检验，原方程的解为 ，或 ，或 ，或
.............12分
14.（本题满分14分）如果方程x3﹣4x2+（3+k）x﹣k＝0的三个根可以作为一个等腰三角形的边长，求实数k的值 .
解：解：∵关于x的方程x3﹣4x2+（3+k）x﹣k＝0有三个根，
∵x3﹣4x2+（3+k）x﹣k＝0，
∴x3﹣3x2+kx﹣x2+3x﹣k＝0，
∴x（x2﹣3x+k）﹣（x2﹣3x+k）＝0，
∴（x﹣1）（x2﹣3x+k）＝0，.............6分
∴①x﹣1＝0，解得x1＝1；
②x2﹣3x+k＝0，
当x2＝x3时，
Δ＝9﹣4k＝0，即k＝，.............12分
当x2＝x1或x3＝x1时，则x2＝x1＝1，或x3＝x1＝1，
∴x3＝2，或x2＝1
但是1+1＝2，三角形不成立，
∴k的值是k＝．.............14分
16.（14分）（本题满分14分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（n+2）x﹣2n2＝0的解为an，bn，
求的值.
若 , ,求 的值.
(说明：对于任意的实数a ,通常 [a] 表示不超过a的最大整数)
解：(1) ............2分
............4分
= = ............7分
, ,
一方面，当 时，
..........10分
另一方面，
............12分
............14分
17.（本题满分14分）如图，在圆内接四边形ABCD中，AB＝AD，M是BC边的中点，点N在对角线BD上，且满足∠BAN＝∠CAM．求证：MN∥AC．
【解答】证明：∵AB＝AD，
∴∠ADB＝∠ABD．
∴∠ACM＝∠ADB＝∠ABD＝∠ABN．
又∠CAM＝∠BAN，
∴△ABN∽△ACM，
∴， .............5(分）
设AC、BD交于E，
∵∠BAE＝∠CAB，∠ABE＝∠ACB，
∴△ABE∽△ACB，
∴， .............10(分）
∵M是BC边的中点，
∴CM＝BM，
∴，，
∴，
∴MN∥EC，MN∥AC． .............14(分）

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