资源简介

重庆市高2025届高三第九次质量检测
数学试题
命审单位:重庆南开中学
注意事项:
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．设集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量，且，则（ ）
A． B． C．1 D．4
4．在统计学中，为减少极端值对均值的影响，可采用切尾平均数（TrimmedMean）来刻画数据的集中趋势对于n个数据，且，称为该组数据的切尾平均数，其中n表示数据的个数，a为切尾系数，表示不超过x的最大整数．在某次体操比赛中共有9名评委，其中有一位选手得分依次是，则该选手的切尾平均数（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，锐角满足，则（ ）
A． B． C． D．
6．若点在双曲线一条渐近线上，点在圆上，且的最小值等于1．则（ ）
A．1 B． C．2 D．3
7．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．在四棱台中，下底面为正方形，，，则该四棱台的体积为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．
9．已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，为椭圆上异于顶点的一点，分别是椭圆的左焦点和右顶点．过点分别向轴和直线作垂线，垂足分别为．记直线与轴的交点为为坐标原点，则下列比值与相等的是（ ）
A． B． C． D．
11．在科技竞逐的舞台上，降本增效是突破创新的关键．在量子计算领域，九章量子计算机在2020年便以不到谷歌的资金实现了量子计算优越性，展现了中国科技界的卓越实力．2025年九章量子计算机在态叠加编码中提出一种分形数列模型，该模型中将量子态能量分解为连续奇数组，规律如下：
．．．
记表示第个等式中第个量子态能量值（如），研究人员发现满足：第行恰含有个连续奇数，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知函数为偶函数，则实数的值为_____．
13．五一假期期间，甲、乙、丙、丁四位同学前往重庆荣昌旅游．他们计划打卡当地三类特色美食：铺盖面、黄凉粉、荣昌卤鹅．由于每家店铺排队人数较多，他们决定每人随机选择其中一类美食排队购买．记事件：每类美食点都有人去，事件：甲独自去一类美食点排队，则_____．
14．在中，，是的中点，且，则边长度的最大值为_____．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知等差数列满足公差．
（1）求；
（2）记数列的前项和为，若，求数列中的最小项．
16．近日，国内顶尖高校相继成立“”交叉学科新学院，旨在推动人工智能与传统学科的深度融合，培养具备数字素养与应用能力的复合型人才．为提升高三学生对“”专业的认知，某中学开展了“探索之旅”系列讲座．现随机调查该校高三年级学生，得到如下数据（单位：人）：
讲座 兴趣 合计
感兴趣 不感兴趣
开展讲座前 60 40 100
开展讲座后 80 20 100
合计 140 60 200
（1）根据小概率值的独立性检验，判断该校高三年级学生对“”专业是否感兴趣与计座的开展是否有关联
（2）将开展讲座后的被调查同学按感兴趣、不感兴趣进行分层，通过分层随机抽样的方法选取10人再从这10人中随机抽取3人，记其中对“”专业感兴趣的人数为，求随机变量的分布列和数学期望．
附：，其中．
17．如图，在直三棱柱中，侧面是正方形，，分别是棱的中点，且．
（1）若，证明：平面；
（2）当平面与平面夹角的余弦值最大时，求的值．
18．如图，已知抛物线的焦点为为坐标原点．过作两条直线，这两条直线与抛物线分别交于和两点．当垂直于轴时，．
（1）求抛物线的方程；
（2）若，求四边形面积的取值范围；
（3）将绕轴旋转一周得到一个旋转体，求该旋转体体积的最小值．
19．设函数，其中．（1）当时，求函数的最小正周期及单调递增区间；
（2）记函数在上的最大值为．
（i）求关于的表达式；
（ⅱ）证明：当时，在上恒成立．
重庆市高2025届高三第九次质量检测
数学试题参考答案
单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
选项 A C D B D C A D AC ABD ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12．
13．
14．
四、解答题：本题共5小题，共77分．
15．（13分）解：（1）为等差数列
··············2分
又
··············4分
··············6分
（2） ··············8分
··············9分
当时，··············11分
当时，
单调递增时，最小
即数列中的最小项为．··············13分
16．（15分）解：（1）零假设：该校高三年级学生对“”专业是否感兴趣与开展讲座无关，········1分
根据列联表中数据，经计算得到，··············4分
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为对“”专业是否感兴趣与开展讲座有关，此推断犯错误的概率不大于．··············7分
（2）按照分层抽样的方式抽10人，其中感兴趣的有8人，不感兴趣的有2人，··············8分
则X的取值可能为1，2，3，··············9分
··············12分
所以X的分布列为：
X 1 2 3
P
13分
．··············15分
17．（15分）解：（1）证明：取棱中点记为M，连接，
分别是的中点，且侧面是正方形，
，··············2分
四边形是平行四边形，··············3分
．··············6分
（2）直三棱柱，两两垂直
以B点为坐标轴原点，为x轴正方向，为y轴正方向，为z轴正方向如图所示建立空间直角坐标系，
则．
，
，
．
设平面的法向量，则
，取，··············10分
设平面的法向量，
则，取，··············12分
记平面与平面夹角为，
··············13分
令，所以在，即时取得最大值．··15分
18．（17分）解：（1）当轴时，
由得
抛物线C方程为··············4分
（2）设，设直线，m显然存在
直线，联立可得
则：··············6分
··············8分
同理可得：
当且仅当时取“=”
四边形面积取值范围为··············11分
（3）设A、B关于y轴的对称点分别为，记以等腰梯形绕y轴旋转一周得到圆台体积为，以为底面直径，O为顶点的圆锥体积为，以为底面直径，O为顶点的圆锥体积为，则所求旋转体体积：
··············14分
··············15分
当即时取“=”
所求旋转体体积的最小值为．··············17分
19．（17分）解：（1）当时，
··············2分
可得：2
的单调递增区间为··············4分
（2）（i）令，则可得．
··············6分
令
当时，，故．
当时，，对称轴
①当时，
②当时，，故在上单调递减
③当时，，故在上单调递减
④当时，，故在上单调递减，在上单调递增．
··············11分
综上，··············12分
（ⅱ）
··············14分
当时，
而
．··············17分

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