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数学试题
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1.-5的绝对值是（ ）
A.5 B.-5 C. D.
2.2020年12月17日，“嫦娥五号”返回器携带月球样品顺利返回地球，我国科学家通过研究证明了月球在1960000000年前仍存在岩浆活动.数据“1960000000”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3.若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4.下列长度（单位：cm）的3根小木棒能搭成三角形的是（ ）
A.1，2，3 B.2，3，4 C.3，5，8 D.4，5，10
5.如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（ ）
A.5 B.6 C.7 D.8
6.《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海.今凫雁俱起，问何日相逢 ”（凫：野鸭.所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇 ”）如果设经过天能够相遇，根据题意，得（ ）
A. B. C. D.
7.如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，点A的横坐标为-1.当时，的取值范围是（ ）
A.或 B.或
C.或 D.或
8.如图，在中，，，平分，，E为垂足，则的值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9.计算：______.
10.分解因式：_______.
11.如图，，直线与射线相交于点.若，则_______°.
12.如图，长为3m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为1.8m，则梯子顶端的高度h为_______m.
13.如图，是的内接三角形，.若的半径为2，则劣弧的长为_______.
14.某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强是气球体积的反比例函数.当时，.则当时，________Pa.
15.如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度.若铅球抛出时离地面的高度为1.6m，则铅球掷出的水平距离为________m.
16.如图，在菱形中，，，为线段上的动点，四边形为平行四边形，则的最小值为_______.
三、解答题（本大题共11小题，共102分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，作图过程需保留作图痕迹）
17.（6分）计算.
18.（6分）解方程.
19.（6分）解不等式组
20.（8分）一只不透明的袋子中装有1个红球和3个白球，这些球除颜色外都相同.
（1）搅匀后从中任意摸出1个球，则摸到红球的概率是_______；
（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球.用画树状图或列表的方法，求2次都摸到白球的概率.
21.（10分）为了解八年级学生的体重情况，某校随机抽取了八年级部分学生进行测量，收集并整理数据后，绘制了如下尚不完整的统计图表.
体重情况统计表
组别 体重x（kg） 频数（人数）
A类 10
B类
C类 8
D类
根据以上信息，解答下列问题：
（1）_______，________；
（2）在扇形统计图中，C类所对应的圆心角度数是_______°；
（3）若该校八年级共有1200名学生，估计体重在59.5kg及以上的学生有多少人
22.（10分）如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等.
（1）现用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两种纸盒各多少个
（2）如果需要制作100个长方体纸盒，要求乙种纸盒数量不低于甲种纸盒数量的一半，那么至少需要多少张正方形硬纸片
23.（10分）如图，港口B位于岛A的北偏西37°方向，灯塔C在岛A的正东方向，，一艘海轮D在岛A的正北方向，且B、D、C三点在一条直线上，.
（1）求岛A与港口B之间的距离；
（2）求.
（参考数据：，，）
24.（10分）已知二次函数，为常数.
（1）若该二次函数的图像与直线有两个交点，求的取值范围；
（2）若该二次函数的图像与轴有交点，求的值；
（3）求证：该二次函数的图像不经过原点.
25.（12分）一块直角三角形木板，它的一条直角边长2m，面积为.
（1）甲、乙两人分别按图1、图2用它设计一个正方形桌面，请说明哪个正方形面积较大；
（2）丙、丁两人分别按图3、图4用它设计一个长方形桌面.请分别求出图3、图4中长方形的面积与的长之间的函数表达式，并分别求出面积的最大值.
26.（12分）已知是的高，是的外接圆.
（1）请你在图1中用无刻度的直尺和圆规，作的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）如图2，若的半径为，求证：；
（3）如图3，延长交于点，过点的切线交的延长线于点.若，，，求的长.
27.（12分）综合与实践
【问题情境】
如图，小昕同学在正方形纸板的边、上分别取点E、F，且，交于点.连接，过点作，垂足为，连接、，交于点，交于点.
【活动猜想】
（1）与的数量关系是_______，位置关系是_______；
【探索发现】
（2）证明（1）中的结论；
【实践应用】
（3）若，，求的长；
【综合探究】（4）若，则当_______时，的面积最小.
数学试题参考答案
一、选择题
1—4ACDB 5—8CACA
二、填空题
9. 10. 11.130 12.2.4 13. 14.16000 15.8 16.
三、解答题
17.原式=10-3-1=6.
18.去分母，得，
解得，
检验：当时，，是原方程的解.
19.解不等式，得，
解不等式，得，
所以不等式组的解集为.
20.（1）；
（2）根据题意，红球用A表示，3个白球分别用B，C，D表示，画出如下的树状图：
由图可知，共有16种等可能结果，其中2次都摸到白球的结果有9种，所以2次都摸到白球的概率为.
21.（1）20，2
（2）72
（3）（人）
答：体重在59.5kg及以上的学生约有300人.
22.（1）设恰好能制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个.
根据题意，得解这个方程组，得
答：恰好能制作甲种纸盒40个，乙种纸盒80个.
（2）设制作乙种纸盒m个，需要w张正方形硬纸片.
则.
由，知w随m的增大而增大，所以当m最小时，w有最小值.
根据题意，得，解得，其中最小整数解为34.
即当时，.
答：至少需要134张正方形硬纸片.
23.（1）作，垂足为M，得，有，
由，知，所以，得，
在中，由，得.
答：岛A与港口B之间的距离为4km.
（2）
，
在中，.
24.（1）由二次函数的图像与直线有两个交点，知函数的最小值小于，
二次函数的最小值为，
即，解得.
（2）因为二次函数的图像与轴有交点，
所以，
所以，
又因为，所以，解得.
（3）证明：当时，，
所以二次函数的图像不经过原点.
25.由，面积为，得，.
（1）设正方形的边长为，
由图1知，，得，即，解得.
由图2知，，得，即，
所以.，
由，得，即，解得.
因为，所以图1的正方形面积较大.
（2）在图3中，由，
得，则，，
所以长方形的面积，
当时，长方形的面积有最大值为.
在图4中，由，得，
所以，，
由，得，则，
所以长方形的面积，
当时，长方形的面积有最大值为.
26.（1）尺规作图如图1所示.
（2）如图2，作的直径，连接，
所以，，
因为是的高，所以.
因为，所以.
所以，即，所以.
（3）如图3，连接，因为为的切线，所以.
因为，，所以，
所以，.
因为，所以是等边三角形，，
所以，，所以.
在中，，，，
所以，，
在中，，
在中，，
代入，得，即.
27.（1）相等，垂直
（2）过点G分别作、、的垂线，垂足分别为点T、M、N.
可知四边形为矩形，四边形为正方形，
得.所以，即.
又，，所以.
由，得，所以.
所以，
所以，.
又，所以，
得，所以.
（3）在正方形中，由，，
得，所以，.
所以，得，所以.
在中，，，得，
由等面积法得，所以，
在中，，
由（2）知，，则为等腰直角三角形，，
所以.
（4）.

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