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3.1.1椭圆及其标准方程
一、选择题:
1．椭圆5x2＋6y2＝30的焦点坐标为(　　)
A．(－3,0)，(3,0) B．(0，－3)，(0,3)
C．(－1,0)，(1,0) D．(0，－1)，(0,1)
2．到两定点F1(－7,0)和F2(7,0)的距离之和为14的点P的轨迹是(　　)
A．椭圆　 B．线段　 　　C．圆　　　 D．以上都不对
3．[2023·天津九十五中高二期中] 已知椭圆+=1的两个焦点为F1,F2,过F1的直线交椭圆于A,B两点,则△ABF2的周长为 (　 )
A.2 B.4 C.6 D.8
4.“m>0”是“方程+=1表示椭圆”的 (　 )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5．已知焦点在y轴上的椭圆＋＝1(a＞0)的焦距为4，则a＝(　　)
A．8 B．12
C．16 D．52
6．命题p：方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则使命题p成立的充分不必要条件是(　　)
A．3C．11
7．已知椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上．若线段PF1的中点在y轴上，则|PF1|是|PF2|的(　　)
A．7倍 B．5倍
C．4倍 D．3倍
8.已知F1,F2分别为椭圆+=1的左、右焦点,M为椭圆上的一个动点,设点A,则|MA|+|MF2|的最小值为 (　 )
A.4- B.2- C.4+ D.2+
二.填空题:
9.方程+=10化简的结果是　　　　　　.
10．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为________；其焦点坐标为________．
11．(教材P109练习2改编)已知椭圆的中心在原点，且经过点P(3,0)，a＝3b，则椭圆的标准方程为 ．
12.设P是椭圆＋＝1上一点，F1、F2是椭圆的焦点，若∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为 ．
13．已知P是椭圆＋＝1上的一动点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，延长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么动点Q的轨迹方程是________．
14．已知点A(－，0)，B是圆F：2＋y2＝4(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为 ．
二、解答题:
15．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点(2,0)和(0,1)的椭圆的标准方程；
(2)焦点分别为(0，－2)，(0,2)，经过点(4,3)；
(3)经过两点(2，－)，.
3.1.1椭圆及其标准方程-解析
一、选择题
1．解析：根据题意，椭圆5x2＋6y2＝30的标准方程为：＋＝1，
其中a＝，b＝，且其焦点在x轴上，则c＝＝1，则椭圆的焦点坐标为(－1,0)，(1,0)．
答案：C
2．解析：∵|PF1|＋|PF2|＝14＝|F1F2|，所以轨迹为线段F1F2.
答案：B
3．解析：由椭圆+=1,得a=2.由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a,
则△ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=8.故选D.
答案：D
4．解析：若方程+=1表示椭圆,则m>0且m≠2,故“m>0”是“方程+=1表示椭圆”的必要不充分条件.
答案： B
5．解析：由题意得：2＝4，解得a＝16.
答案：C
6．解析：若方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m－1>5－m>0，解得3答案：B
7．解析：由已知F1(－3,0)，F2(3,0)，由条件，知P，即|PF2|＝.
由椭圆的定义，知|PF1|＋|PF2|＝2a＝4.所以|PF1|＝.
所以|PF1|＝7|PF2|.
答案：A
8.解析：由题得F1(-1,0),F2(1,0),连接MF1,因为|MF1|+|MF2|=2a=4,所以|MF2|=4-|MF1|,
所以|MA|+|MF2|=|MA|+4-|MF1|=4+|MA|-|MF1|,
因为||MA|-|MF1||≤|AF1|,当且仅当M,A,F1三点共线时等号成立,所以-|AF1|≤|MA|-|MF1|≤|AF1|,
所以|MA|+|MF2|=4+|MA|-|MF1|≥4-|AF1|=4-.故选A.
答案：A
二.填空题:
9．解析：∵方程+=10表示平面内到定点F1(-2,0),F2(2,0)的距离的和是常数10(10>4)的点的轨迹,
∴该轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,∴2a=10,焦距为2c=4
∴a=5,c=2,b==,∴椭圆的方程是+=1,即原方程化简的结果为+=1 .
答案：+=1　
10．解析：由题意知，解得则b2＝a2－c2＝3，
故椭圆的标准方程为＋＝1，焦点坐标为(±1,0)．
答案：＋＝1　(±1,0)
11．解析：当焦点在x轴上时，设其方程为＋＝1(a>b>0)．由椭圆过点P(3,0)，知＋＝1，又a＝3b，解得b2＝1，a2＝9，故椭圆的方程为＋y2＝1.
当焦点在y轴上时，设其方程为＋＝1(a>b>0)．
由椭圆过点P(3,0)，知＋＝1，又a＝3b，联立解得a2＝81，b2＝9，故椭圆的方程为＋＝1.
故椭圆的标准方程为＋＝1或＋y2＝1.
答案：＋＝1或＋y2＝1
12.[解析]　由椭圆方程知，a2＝25，b2＝，
∴c2＝，∴c＝，2c＝5.
在△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°，
即25＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|.①
由椭圆的定义得10＝|PF1|＋|PF2|，即100＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|.②
②－①得3|PF1|·|PF2|＝75，所以|PF1|·|PF2|＝25，
所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝.
答案:
13．解析：如图，依题意，|PF1|＋|PF2|＝2a(a是常数且a＞0)．
又|PQ|＝|PF2|，
∴|PF1|＋|PQ|＝2a，即|QF1|＝2a.
由题意知，a＝2，b＝，c＝＝＝1.
∴|QF1|＝4，F1(－1,0)，
∴动点Q的轨迹是以F1为圆心，4为半径的圆，
∴动点Q的轨迹方程是(x＋1)2＋y2＝16.
答案：(x＋1)2＋y2＝16
14．解析：如图所示，由题意知，
|PA|＝|PB|，|PF|＋|BP|＝2，
∴|PA|＋|PF|＝2，且|PA|＋|PF|>|AF|，
∴动点P的轨迹是以A、F为焦点的椭圆，
∴a＝1，c＝，b2＝.
∴动点P的轨迹方程为x2＋＝1，即x2＋y2＝1.
三、解答题:
15．解析：(1)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．
∵椭圆过(2,0)和(0,1)两点，
∴∴
综上可知，所求椭圆方程为＋y2＝1.
(2)法一：因为椭圆的焦点在y轴上，
所以可设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
由椭圆的定义知2a＝＋＝12，所以a＝6.
又c＝2，所以b＝＝4.
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
法二：因为椭圆的焦点在y轴上，所以可设其标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
由题意得解得所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(3)法一：若椭圆的焦点在x轴上，
设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
由已知条件得解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
同理可得：焦点在y轴上的椭圆不存在．
综上，所求椭圆的标准方程为＋＝1.
法二：设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)．
将两点(2，－)，代入，
得解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.

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