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21.2.4
一元二次方程的根与系数的关系
人教版 九年级数学上
1.写出一元二次方程的一般式：
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
3.如何用判别式 b2 - 4ac 来判断一元二次方程根的情况？
对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a≠0).
b2 - 4ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根.
b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根.
b2 - 4ac < 0 时，方程无实数根.
2.一元二次方程的求根公式：
1.探索一元二次方程的根与系数的关系.
2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.
方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 的求根公式 ，不仅表示可以由方程的系数 a，b，c 决定根的值，而且反映了根与系数之间的联系，一元二次方程根与系数之间的联系还有其他表现方式吗？
知识点1
从因式分解法可知，方程 (x－x1)(x－x2)＝0 (x1，x2为已知数) 的两根为x1和x2，将方程化为 x2＋px＋q＝0 的形式，你能看出 x1，x2 与 p，q 之间的关系吗？
方程两个根的和、积与系数分别有如下关系：
x1＋x2＝－p，x1x2＝q.
知识点1
一般的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 中，二次项系数 a 未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？
知识点1
由求根公式知
知识点1
方程的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：
这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：
两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比．
满足上述关系的前提条件
b2-4ac≥0.
跟踪训练
根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积：
(1) x2－6x－15＝0； (2) 3x2＋7x－9＝0； (3) 5x－1＝4x2.
解： (1)x1＋x2＝－(－6)＝6，x1x2＝－15.
(3)方程化为4x2－5x＋1＝0，　　　
知识点2
与一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的两个根 x1，x2 有关的几个代数式的变形：
知识点2
求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和、两根之积的形式，再整体代入.
已知实数 a，b 分别满足 a2-6a+4=0，b2-6b+4=0，且 a≠b，则 的值是( )
A. B. C. D.
解：因为 a2-6a+4=0 和 b2-6b+4=0 两个等式的形式相同，且 a≠b，
所以 a，b 可以看成是方程 x2-6x+4=0 的两个根，
所以 a+b=6，ab=4，
从而 ，故选A.
A
跟踪训练
跟踪训练
已知关于 x 的一元二次方程 2x2-mx-2m+1=0 的两根的平方和是 ，求 m 的值.
解：设方程的两根分别为 x1，x2，由已知得
因为 ，所以，
所以，解得 m1=-11，m2=3.
当 m= -11时，方程为 2x2+11x+23=0，121-4×2×23=-63<0，
方程无实数根，不合题意，应舍去；
当 m=3时，方程为 2x2-3x-5=0，Δ=(-3)2-4×2×(-5)=49>0，
方程有两个不相等的实数根.综上所述，m 的值为 3.
求解此类问题时，必须将求出的字母值代回原方程进行检验，看是否满足判别式Δ>0 ，否则可能会多解.
解：根据题意，得 x1+x2=-3，x1x2=-1，
所以 x1-1+x2-1=-5， (x1-1)(x2-1)=x1x2- (x1+x2)+1=-1+3+1=3，
所以以 x1-1 和 x2-1 为根的一个一元二次方程可以是 x2+5x+3=0(答案不唯一).
已知 x1，x2 是方程 x2+3x-1=0 的两个根，求以x1-1和x2-1为根的一元二次方程.
跟踪训练
不解方程，求下列方程两个根的和与积.
(1)x2－3x＝15； (2) 3x2＋2＝1－4x；
(3) 5x2－1＝4x2＋x； (4) 2x2－x＋2＝3x＋1.
解：(1)方程化为 x2－3x－15＝0，
x1＋x2＝－(－3)＝3，x1x2＝－15.
(2)方程化为 3x2＋4x＋1＝0，
x1＋x2＝－ ， x1x2＝ .
解：(3)方程化为 x2－x－1＝0，
x1＋x2＝－(－1)＝1，x1x2＝－1.
(4)方程化为 2x2－4x＋1＝0，
x1＋x2＝－＝2， x1x2 ＝.
不解方程，求下列方程两个根的和与积.
(1)x2－3x＝15； (2) 3x2＋2＝1－4x；
(3) 5x2－1＝4x2＋x； (4) 2x2－x＋2＝3x＋1.
已知 是方程 x2-3x-4＝0 的两个实数根，则 的值为 .
0
解：根据题意得 α+β=3，αβ=-4，
所以原式 = α(α+β)-3α
=3α-3α
=0．
已知关于 x 的一元二次方程 x2-6x+q＝0 有一个根为 2，求方程的另一根和 q 的值.
解：设方程的另一个根为 a，则 2+a=-(-6)=6，
解得 a=4，
则 q=2×4=8.
一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的根与系数的关系 数学语言
文字语言 一元二次方程的两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比.
使用条件 1.方程是一元二次方程，即二次项系数不为 0；
2.方程有实数根，即 Δ≥0.
重要结论 1.若一元二次方程 x2+px+q=0 的两根为 x1，x2，则 x1+x2=-p，x1x2=q.
2.以实数 x1，x2 为两根的二次项系数为1的一元二次方程是
x2-(x1+x2)x+x1x2=0.
关于 x 的一元二次方程 x2-(a2-2a)x+a-1=0 的两个实数根互为相反数，
则 a 的值为( )
B
A.2 B.0 C.1 D.2或0
解：∵方程 x2-(a2-2a)x+a-1=0 的两个实数根互为相反数，
∴a2-2a=0，解得a=0或a=2，
当a=2时，方程为x2+1=0，该方程无实数根，舍去；
当a=0时，方程为x2-1=0，该方程有两个不相等的实数根.
∴a=0.故选B.
（2019 广东中考）已知x1，x2是一元二次方程 x2 2x＝0 的两个实数根，下列结论错误的是( )
D
A. x1≠x2 B. x12 2x1 =0 C. x1+x2=2 D. x1 x2 =
解： =( 2) 4×1×0=4>0，∴x1≠x2，选项A正确；
∵x1是一元二次方程x -2x=0的实数根，
∴ x12 2x1 =0，选项B正确；
∵x1，x2是一元二次方程x2 2x=0的两个实数根，
∴ x1+x2=2 ，x1 x2 =0，选项C正确，选项D错误.
已知关于 x 的一元二次方程 x2+(2k+3)x+k2＝0 有两个不相等的实数根 x1，x2.
(1) 求 k 的取值范围；
(2) 若，求 k 的值.
解：(1)关于 x 的一元二次方程 x2+(2k+3)x+k2＝0 有两个不相等的实数根，
所以 Δ=(2k+3)2-4k2>0，
解得 k>.
已知关于 x 的一元二次方程 x2+(2k+3)x+k2＝0 有两个不相等的实数根 x1，x2.
(1) 求 k 的取值范围；
(2) 若，求 k 的值.
解：(2)因为 x1，x2 是方程 x2+(2k+3)x+k2＝0 的实数根，
所以 x1+x2 =-2k-3，x1x2=k2，
所以 ，解得 k1=3，k2=-1.
经检验， k1=3，k2=-1都是原分式方程的根，
又因为 k>，所以 k=3.
谢谢大家

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