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2025年黑龙江省哈尔滨市中考数学模拟试卷（三）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的倒数的绝对值的相反数是( )
A. B. C. D.
2.若，，则的值为( )
A. B. C. D.
3.在下列四个银行标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
4.年海南省中考月日如期开考记者从海南省考试局获悉，全省共设个考区，其中八年级设个考点个考场，参加考试生物、地理人数万人数据用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
5.右图是由个小正方体搭建而成的几何体，它的俯视图是( )
A. B. C. D.
6.关于的二次函数，在某次数学研究课上得到以下结论：
当时，二次函数图象顶点为；
当时，二次函数图象对称轴在直线左侧；
当时，二次函数图象在轴上截得线段长小于；
当时，点是二次函数图象上一点，若，则；
则以上研究正确的是( )
A. B. C. D.
7.如图，每一个图形都是由一些黑点按一定的规律排列组成的，其中第个图形中有个黑点，第个图形中有个黑点，第个图形中有个黑点，按此规律，则第个图形中黑点的个数是( )
A. B. C. D.
8.如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交、、、于、、、，连接若，则图中阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
9.如图，在中，，的垂直平分线交于，垂足为若，则的长为( )
A. B. C. D.
10.如图，等边边长为，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度，沿的方向运动，到达点时停止．设运动时间为秒，，则关于函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
11.函数的定义域是______．
12.因式分______．
13.若关于的一元一次不等式组有解，则的取值范围是______．
14.如图，矩形与圆心在上的交于点，，，，，，那么______．
15.在一个不透明的袋子中装有个红球和若干个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，摸出红球的概率是，则白球的个数是______．
16.某蓄电池的电压为定值，电流与电阻成反比例关系，已知电阻时，电流，若电阻增加到时，则电流减少______A.
17.如图，在一张正方形纸片上剪下一个半径为的圆形和一个半径为的扇形，使之恰好围成图中所示的圆锥，则与之间的关系是______．
18.分式方程的解为 ．
19.如图，在中，已知，，点在边上，，把绕点逆时针旋转度后，如果点恰好落在初始的边上，那么 ______．
20.如图所示，已知，，，，现将其分割成块，并通过旋转和平移变换，拼成矩形如图所示，其中的长为______，若为的中点，则的值为______．
三、解答题：本题共7小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.本小题分
计算：．
22.本小题分
如图，在长方形中，厘米，厘米．延长到点，使厘米，连接动点从点出发，以厘米秒的速度向终点匀速运动，连接设运动时间为秒，解答下列问题：
当为何值时，为等腰直角三角形？
设的面积为平方厘米，试确定与的关系式；
当为何值时，的面积为长方形面积的？
若动点从点出发，以厘米秒的速度沿向终点运动，是否存在某一时刻，使和全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
23.本小题分
某校为增强学生体质，拟组织篮球、羽毛球、乒乓球、跳绳、足球五个训练项目，要求每个学生都选择其中一项为更合理安排项目训练，学校进行了随机抽样调查，绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图：
某校五个训练项目抽样的学生数的频数表
运动项目 频数 频率
篮球
羽毛球
乒乓球
跳绳
足球
请根据以上图表信息解答下列问题：
频数分布表中的 ______， ______．
在扇形统计图中，求“乒乓球”所在的扇形的圆心角的度数．
若全校共有人，请估计全校学生选择羽毛球的人数．
24.本小题分
如图，在中，，为边的中线，为上一点，连接，，为的中点，且平分．
求证：；
若，求的长．
25.本小题分
“雨过园亭绿暗时，樱桃红颗压枝低”年青岛樱桃节期间，张大爷购进了一批质量相等的大小樱桃，已知每千克小樱桃的进价比每千克大樱桃少元受污损的进货清单如表所示：
品名 大樱桃 小樱桃
进价元千克
总价元
请你帮张大爷求出每千克大樱桃和小樱桃的进价各是多少元．
若张大爷决定再次购进同种大樱桃和小樱桃共千克，再次购进的费用不超过元，若每种樱桃的进价保持不变，大樱桃的销售单价为元，小樱桃的销售单价为元，张大爷应如何进货，才能使第二批大樱桃和小樱桃售完后获得最大利润？
利润关系仍然满足中的利润关系，张大爷推出福利活动，决定拿出销售利润的另购大、小樱桃赠送游客免费品尝，第二批购进大樱桃至少多少千克，能使剩余利润不少于元？
26.本小题分
四边形为矩形，点，在上，连接，．
如图，求证：；
如图，点在上，，求证：平分；
如图，在的条件下，与相切，交于点，点在弧上，弧弧，连接，若，，求的长．
27.本小题分
已知二次函数．
该二次函数图象的对称轴是直线______；
若该二次函数的图象开口向上，当时，函数图象的最高点为，最低点为，点的纵坐标为，求点和点的坐标；
已知线段的两个端点坐标分别为、，当此函数图象与线段只有一个交点时，直接写出的取值范围．
对于该二次函数图象上的两点、，当时，恒成立，设，请结合图象，直接写出的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】的倒数是，的绝对值是，的相反数是，
的倒数的绝对值的相反数是．
故选：．
2.【答案】
【解析】，，
，，
，，
解得：，，
．
故选：．
3.【答案】
【解析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念，观察可知，
第一个既是轴对称图形，也是中心对称图形；
第二个是轴对称图形，不是中心对称图形；
第三个不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
第四个是轴对称图形，也是中心对称图形．
所以既是轴对称图形又是中心对称图形的有个．
故选B．
4.【答案】
【解析】．故选：．
5.【答案】
【解析】从上面看易得第一排个正方形，第二排有个正方形，第排有个正方形．
故选：．
6.【答案】
【解析】当时，则顶点为；正确；
当时的对称轴，
，对称轴在的右侧，
错误；
当时，，
，
，，
，
正确；
是二次函数上的点，
，
，，
当时，的最小值为，即；
当时，当时有，当时，，；
当时，，；
综上所述，；
正确；
故选：．
7.【答案】
【解析】设第个图形有个黑点为正整数．
观察图形，可知：，，，，，
为正整数，
．
故选：．
8.【答案】
【解析】
矩形的对角线
∽
四边形为矩形
阴影部分的面积为
阴影部分的面积为
故选：．
9.【答案】
【解析】在中，，的垂直平分线交于，，
，
，
在中，
，，
．
故选C．
10.【答案】
【解析】当时，作，
，，
根据含度角的直角三角形的性质及勾股定理得，，
，
，
；
当时，，
当时，，
故选：．
11.【答案】
【解析】根据题意得：且，
解得：．
故答案为．
12.【答案】
【解析】
．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】不等式组整理得：，
由不等式组有解，得到，即，
故答案为：
14.【答案】
【解析】过作于，连接，则，
四边形是矩形，
，
四边形是矩形，
，
，过圆心，，
，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
故答案为：．
15.【答案】
【解析】根据题意知，袋中球的总个数为个，
所以白球的个数是个，
故答案为：．
16.【答案】
【解析】由题意，，
即蓄电池的电压是，
与的函数关系式为，
当时，，
，
电流减少，
故答案为：．
17.【答案】
【解析】扇形的弧长是：，
圆的半径为，则底面圆的周长是，
圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长则得到：，
，
即：，
与之间的关系是．
故答案为：．
18.【答案】
【解析】，
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以分式方程的解是．
故答案为：．
19.【答案】或
【解析】如图，以为圆心，以为半径画圆，分别交于，交于、交于．

，，
且，
是等边三角形，
旋转角．
在中，
，且，
与圆相切于点，
，
旋转角．
当旋转到时，刚好旋转了，不符合题意，．
故答案为：或．
20.【答案】
【解析】有图形平移与旋转的特征可知：
，，，
，
，，
如下图，设与交于点，
过点作，垂足为，
过点作，垂足为，
则，
，故可设，由图形的旋转性可知为的中点，
，则，
，
故在直角中，，
由可知，即，
由可知，，
由前面推证，，，
，
，
在直角中，
，
由平移性可知，，
，
，
，
故答案为：，．
21.【答案】
．
22.【答案】在长方形中，厘米，厘米，
，，，
由运动知，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
秒；
由知，，
；
，，
，
由知，，
的面积为长方形面积的，
，
秒；
在中，，在中，，
，
和全等，
≌或≌，
当≌时，，
，
，
当≌时，，
，
，
即：秒或秒时，和全等．
23.【解析】人
人
故频数分布表中的，；
故答案为：，；
．
故在扇形统计图中，“乒乓球”所在的扇形的圆心角的度数为；
人，
答：计全校学生选择羽毛球的人数为．
24.【解析】证明：为斜边的中点，为的中点，
是 的中位线，
，
，
，
，
；
由知是的中位线，
，
，
是斜边中点，是直角三角形，
，
25.【解析】设每千克小樱桃的进价为元，根据题意得：
，
解得．
经检验，是原方程的解，且符合实际意义，．
答：每千克大樱桃的进价为元，每千克小樱桃的进价为元．
设张大爷再购进千克大樱桃，根据题意得：
，
解得：．
每千克大樱桃的利润为元，每千克小樱桃的利润为元．
设总利润为元，根据题意得：
，
整理得．
有条件可知随的增大而增大，
当时，有最大值，此时．
答：再购进千克大樱桃、千克小樱桃，才能获得最大利润．
根据题意得，解得．
答：第二批购进大樱桃至少千克，能使剩余利润不少于元．
26.【答案】证明：连接，，如图，
，
．
四边形是矩形，
，，
，，
．
在和中，
，
≌．
．
过点作于点，如图，
，，
．
，，
．
．
，
．
．
即平分；
连接，，，，，设与交于点，如图，
是圆的切线，
．
，
．
．
．
为弦切角，
．
由得：平分，，
．
，
．
弧弧，
．
．
，
．
，
．
，，
．
．
即圆的半径为．
．
．
．
过点作于点，
则四边形为矩形．
，．
，
．
在中，
．
．
27.【解析】，
函数的对称轴为直线，
故答案为：．
，
抛物线顶点坐标为，
抛物线开口向上，
，顶点为图象最低点，
，
直线与抛物线交点为最高点，
把代入代入得，
，
，
，
，
，
或时，，
抛物线经过定点，，
当时，抛物线开口向上，
当顶点落在上时满足题意，
，
解得，
当时，抛物线开口向下，
抛物线经过定点，
抛物线不经过点，
当抛物线经过点时，将代入得，
解得，
或．
当时，，即抛物线开口向下，点在点上方，
点到对称轴距离小于等于点到对称轴距离，
抛物线对称轴为直线，
时，取最大值，
直线关于对称轴对称后为直线，
，
，
，
．
第17页，共21页

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