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数与代数的探究与压轴题型-2024-2025学年八年级下册北师大版
一、选择题
1．（2024八下·遵义期末）一次函数与的图象如图所示，若，是直线上不重合的两点．下列结论正确的是（　　）
A． B．若，则
C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数的图象过第二、三、四象限，∴，．∵ 一次函数 的图象过第二、四象限，∴a<0，∴．故A不符合题意．
∵，两一次函数图象交点的横坐标为-2，∴，故B不符合题意．
由图象可知：两直线交点横坐标为，把分别代入得，，∴，∴，故C不符合题意．
把，分别代入，得，，∴，∴，∵的图象经过第二、第四象限，∴，∴，∴，故D符合题意．
故答案为：D．
【分析】(1)先根据一次函数的图象经过的象限确定k，b的符号，再根据一次函数 的图象经过的象限确定a的符号，就可确定ab的符号；
(2)根据两直线的交点的横坐标，及两函数值的大小，结合图形可以确定；
(3)根据两直线的交点的横坐标，代入两个函数表达式中，求出两函数值的差即可；
(4)P、Q两点坐标分别代入一次函数 ，可得，再根据一次函数经过的象限确定a的符号，可得，从而可得．
2．（2024八下·玉环期末）直线与的图象交于点，下列判断①关于的方程的解是②当时，关于的不等式的解集是③设直线，则直线一定经过定点④当原点到直线的距离最大时，则．正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③ D．①④
【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵直线与的图象交于点，
当时，，
∴当时，，
∴关于的方程的解是，故①正确；
∵直线与的图象交于点，
∴，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴过一、二、三象限，随的增大而增大，
由直线与的图象交于点，作图如下：
由图可知，不等式的解集是，故②正确；
∵与的图象交于点，
∴当时，，
∴直线一定经过定点，故③正确；
如图，当时，原点到直线的距离最大
∵，
∴当时，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得；故④错误；
综上，正确的结论是①②③；
故答案为：．
【分析】根据两条直线交点坐标，可求出关于的方程的解，可对①作出判断；把点代入两个函数关系式，可求出，结合，可求出的范围，可对②③作出判断；当时，原点到直线的距离最大，利用勾股定理可求出b的值，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
3．（2023八下·南山期中）不等式组的所有整数解的和为9，则整数a的值有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】不等式的解及解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由6x+3＞3（x+a）得：x＞a-1，
由得x≤4，
∵所有整数解的和为9，∴整数解为4、3、2或4、3、2、1、0、-1，
∴1≤a-1＜2或-2≤a-1＜-1，解得2≤a＜3或-1≤a＜0，
符合条件的整数a的值为2和-1，故答案为：B．
【分析】利用不等式的性质及不等式组的解法求解即可。
4．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册17.2.3因式分解法 同步练习）已知实数（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12=0，则代数式x2﹣x+1的值为（　　）
A．﹣1 B．7
C．﹣1或7 D．以上全不正确
【答案】B
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12=0，
∴（x2﹣x+2）（x2﹣x﹣6）=0，
∴x2﹣x+2=0或x2﹣x﹣6=0，
∴x2﹣x=﹣2或x2﹣x=6．
当x2﹣x=﹣2时，
x2﹣x+2=0，
b2﹣4ac=1﹣4×1×2=﹣7＜0，
∴此方程无实数解．
当x2﹣x=6时，
x2﹣x+1=7
故答案为：B．
【分析】将看作整体利用式子相乘法进行因式分解，从而可求得的值，即可求得所给代数式的值.
5．已知a，b，c为△ABC三边，且满足a2c2-b2c2=a4-b4，则它的形状为 （　　）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【知识点】因式分解﹣公式法；等腰三角形的判定；勾股定理
【解析】【解答】∵a2c2-b2c2=a4-b4，
∴（a2c2-b2c2)-（a4-b4)=0，
∴c2（a+b)（a-b)-（a+b)（a-b)（a2+b2)=0，
∴（a+b)（a-b)（c2-a2-b2)=0，
∵a+b≠0，
∴a-b=0或c2-a2-b2=0，所以a=b或c2=a2+b2即它是等腰三角形或直角三角形．
故选D．
【分析】把式子a2c2-b2c2=a4-b4变形化简后判定则可．如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．
6．（2024八下·新城期中）若关于x的一元一次不等式组恰好有1个整数解，且关于y的分式方程有正数解，则符合条件的所有整数a的积为（　　）
A．－6 B．8 C．24 D．6
【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：3x≥a-10，解得，x≥；
2x+1＜，解得，x＜-1；
∵ 不等式恰好有1个整数解，
∴-3＜ ≤-2，
解得1＜a≤4，
，解得y=且y≠1，
∴＞0，≠1，
解得，a＞-1，且a≠3，
∴ a的整数解有2，4，
∴ 所有整数a的积为8.
故答案为：B.
【分析】先解一元一次不等式组可得＜x＜-1，根据只有一个整数解可得-3＜ ≤-2，再解分式方程求得a＞-1，且a≠3，最终确定a的整数解，再求积即可.
7．（2024八下·威远期中） 已知关于x的分式方程无解，且关于y的不等式组有且只有三个偶数解，则所有符合条件的整数m的乘积为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】B
【知识点】解分式方程；分式方程的增根；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：分式方程去分母得：，
整理得：，
分式方程无解的情况有两种，
情况一：整式方程无解时，即时，方程无解，
∴；
情况二：当整式方程有解，是分式方程的增根，即x=2或x=6，
①当x=2时，代入，得：
解得：得m=4．
②当x=6时，代入，得：，
解得：得m=2．
综合两种情况得，当m=4或m=2或，分式方程无解；
解不等式，
得：
根据题意该不等式有且只有三个偶数解，
∴不等式组有且只有的三个偶数解为 8， 6， 4，
∴ 4∴0综上所述当m=2或时符合题目中所有要求，
∴符合条件的整数m的乘积为2×1=2．
故答案为：B．
【分析】分式方程无解的情况有两种，第一种是分式方程化成整式方程后，整式方程无解，第二种是分式方程化成整式方程后有解，但是解是分式方程的增根，以此确定m的值，据此求解。
8．（2023八下·南岸期末）关于x的一元一次不等式组的解集是，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和是（　　）
A．0 B．1 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解： ，
由①×2得，2x-a+3≤x+3，
解得，x≤a，
由②×2得，3x+1＜2x+6，
解得，x＜5，
∵此不等式组的解集是x≤a，
∴a＜5，
∵，
方程两边同时乘以y-1得，y-a+2y-4=y-1，
解得，
∵有非负整数解，，
∴或或，
解得，a=-3或a=1或a=3，
∴符合条件的所有整数a的和是-3+1+3=1.
故答案为：B.
【分析】先计算不等式组的解集，根据已知解集x≤a判断a的取值范围，再解分式方程求得，根据分式方程有非负整数解，求出整数a的值，再计算符合条件的所有整数a的和.
二、填空题
9．（浙江省创新教育初中协作体2024-2025学年八年级下学期数学创新素养综合考察试题）设[x]表示不超过的最大整数，，（如：．则方程的解集是　 　.
【答案】或
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：设，
当时，则
则成立
即是方程的一个解；
当时
若，则为正整数，
即
解得不等式组无解；
若，则，
即方程无解；
当时，则，
当时，；
即
当时，
即
解得不等式组无解.
故答案为：或.
【分析】为便于计算，可设，其中是不超过的最大整数，此时再分类讨论，当时，再分别讨论当或时两种情况；当时；当时，再分别讨论当时或时两种情况，再分别把和代入到方程中，逐一计算议程或不等式（组）即可.
10．（2024八下·金水期中）如果关于的的不等式组有且仅有5个整数解，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：解不等式组，得，
∵关于的的不等式组有且仅有5个整数解，即6，5，4，3，2，
∴
解得：．
故答案为：.
【分析】先利用一元一次不等式组的解法求出解集，再结合“不等式组有且仅有5个整数解”可得，最后求出a的取值范围即可.
11．（2024八下·四川月考） 一个两位自然数，若各位数字之和小于等于9，则称为“完美数”，将m的各个数位上的数字相加所得的数放在m的前面，得到一个新数，那么称为m的“前置完美数”；将m的各个数位上的数字相加所得的数放在m的后面，得到一个新数，那么称为m的“后置充美数”．记，例如：时，，，．请计算　 　；已知两个“完美数”，，若是一个完全平方数，且，则n的最大值为　 　．
【答案】23；85
【知识点】整式的加减运算；有理数混合运算法则（含乘方）；不等式的性质
【解析】【解答】由题意可得：
由完美数的定义可得，
是一个完全平方数，
的值可以是9，16，25，36，
当10b+a=9时，a=9，b=0，
m=90；
把m=90代入得x+2y=-40，不符合题意；
当10b+a=16时，a=6，b=1，
m=61；
把m=61代入得x+2y=18，
这种情况不存在；
当10b+a=25时，这种情况不存在；
当10b+a=36时，a=6，b=3，
m=63，
把m=63代入得x+2y=14；
求得x=2，y=6或x=4，y=5，
n=10x+y，
n的值为26或45，
n的最大值为45，
故答案为：45.
【分析】（1）根据完美数的定义直接求解即可；
（2）根据完美数的定义得到再结合完全平方数的定义以及a，b，x，y的取值范围列举出m，n的所有可能的情况进行求解即可.
12．（2024八下·大邑期末）已知a，b，c为整数，满足，，则的最小值是　 　．
【答案】2116
【知识点】因式分解的应用；偶次方的非负性
【解析】【解答】解：．
，，，
，
可因式分解，变为，
同理，
，
原式
，
故为一个平方数，
且，，为整数，
，，至少有一个是偶数，于是为偶数，
，
．
故答案为：2116．
【分析】根据已知的等式a+b+c=10变形将a、b、c表示出来，代入S的表达式整理，根据偶次方的非负性可求解．
13．（2024八下·江津期末）如果一个自然数M能分解成，其中A和B都是两位数，且A与B的十位数字之和为10，个位数字之和为9，则称M为“十全九美数”，把M分解成A×B的过程称为“全美分解”．那么2100是否是“十全九美数”？　 　（填“是”或“否）”；若自然数M是“十全九美数”，“全美分解”为，将A的十位数字与个位数字的差，与B的十位数字与个位数字的和求和记为：将A的十位数字与个位数字的和，与B的十位数字与个位数字的差求差记为．当能被5整除时，则满足条件的最小自然数M为　 　．
【答案】是；1164
【知识点】整式的加减运算；因式分解的应用；解一元一次不等式组；二元一次方程组的应用-数字问题
【解析】【解答】解：∵，且，
∴2100是“十全九美数”；
设A的十位数字为m，个位数字为n，则B的十位数字为，个位数字为，
∴，，
∵M是“十全九美数”，，
由题意得，
，
∴ (k为整数)，
由题意知，，且都为整数，
，，
当时，，
∴或或，
解得或 (舍去)或，
当时，，
∴，
解得 (舍去)，
当时，，
∴，
解得，
∴，，
或，，
或，，
∴，或，或，∴满足条件的最小自然数M为1164.
故答案为：是，1164．
【分析】先将2100分解质因数，再根据“十全九美数”的定义直接判定即可；
设A的十位数字为m，个位数字为n，则B的十位数字为10-m，个位数字为9-n，从而用含m、n的代数式表示A、B两个数，根据题意得，，当能被5整除时，有（k为正整数）.接下来根据题意得，，从而求出，，然后根据该范围分情况讨论：k=1，2，3时，得关于m、n的二元一次方程组，解方程组求出m、n的值，最后计算即可求解.
14．（2023·）若，则A+B+C=　 　
【答案】5
【知识点】分式的通分
【解析】【解答】解：∵
=
=
=
且=
∴A +B=6，-2A +B +C=-7，2A +C=7，解得A=4，B=2，C=-1，A +B+C=5．
故答案为：5.
【分析】对等式右侧通分，进一步利用待定系数法得出等量关系并解方程组即可.
15．（2023八下·沙坪坝期末）若数使关于的不等式组的解集为，且使关于的分式方程的解为负数，则符合条件的所有整数的和为　 　．
【答案】-2
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解： ，
由①得，x＜-2，
由②得，x≤2a+4，
∵若数使关于的不等式组的解集为 ，
∴2a+4≥-2，
∴a≥-3，
∵
∴1-y-a=-3y-3， ∴， ∵关于的分式方程的解为负数，∴，且， ∴a＜4，且a≠2， ∴-3≤a＜4，且a≠2， ∴符合条件的整数a的值是-3，-2，-1，0，1，3， ∴符合条件的所有整数a的和为-2.
故答案为：-2.
【分析】先计算不等式组的解集，再根据已知不等式组的解集为x＜-2，得出a≥-3，根据分式方程解出，再根据分式方程的解为负数，得出a＜4，且a≠2，进而得出a的所有可能值，计算它们的和即可.
16．（2024八下·宜宾月考）二月开学季来临，某文具店在2月上旬推出了A、B、C三种不同主题的开学大礼包．已知二月上旬A、B、C三种主题大礼包售价之比为2：4：5，销量之比为7：1：2．开学后不久，根据市场需求，在二月下旬文具店老板对三种主题大礼包售价进行了调整，其中B主题大礼包售价比二月上旬降低了，C主题大礼包在2月上旬售价的基础上打八折，从而使得B、C两种主题大礼包销售额相较于二月上旬有所增加，A主题大礼包销售额相较于二月上旬有所下降．若A主题大礼包减少的销售额与B、C两种主题大礼包增加的销售额之比为4：7：5，且A主题大礼包减少的销售额占二月下旬三种主题大礼包总销售额的，则二月下旬B、C两种主题大礼包的销量之比为　 　．
【答案】4：5
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设2月上旬推出了A、B、C三种不同主题的大礼包售价为2x，4x，5x，销量为7y，y，2y，2月下旬B主题大礼包售价为 ，C主题大礼包售价为A主题大礼包减少的销售额与B、C两大主题增加的销售额分别为4a，7a，5a，根据题意得，
∴2月下旬B、C两种主题大礼包的销售额分别为
∴2月下旬B、C两种主题大礼包的销售之比为
故答案为： 4：5 .
【分析】本题考查分式方程的应用，设2月上旬推出了A、B、C三种不同主题的大礼包售价为2x，4x，5x，销量为7y，y，2y， 二月下旬A主题大礼包减少的销售额与B、C两大主题大礼包增加的销售额分别为4a，7a，5a，根据2月下旬A主题大礼包减少的销售额占二月下旬三种主题大礼包总销售额的 列出方程，然后分别求出2月下旬B、C两种主题大礼包的销售额，进而求出2月下旬B、C两种主题大礼包的销售量，即可得出答案。
三、实践探究题
17．（2024八下·榕城期中）我们把符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为，如．
（1）求不等式的解集．
（2）若关于的不等式的解集与（1）中的不等式解集相同，求的值．
（3）若关于的不等式的解都是（1）中的不等式的解，求的取值范围．
【答案】（1）解：由题意得
解得：
（2）解：，即
解得：
解集与（1）中的不等式解集相同
解得
（3）解：，即
解得
不等式的解都是（1）中的不等式的解
解得
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）根据二阶行列式的运算法则列出不等式解答即可；
（2）根据二阶行列式的运算法则列出不等式解出，依据解集与（1）中的不等式解集相同可得值即可；
（3）根据二阶行列式的运算法则列出不等式解出，再根据条件列出，解出的取值范围即可．
18．（2024八下·罗湖期中）【主题】二元一次不等式的研究
【背景】创新小队发现学习一元一次不等式利用了数形结合的思想，通过观察函数图象，求方程的解和不等式的解集，从中体会了一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的内在联系．创新小队提出新的问题：二元一次不等式的解集如何确定？为此，他们进行了以下的任务探究：
任务一：探究发现
（1）已知二元一次不等式．
步棸1：特例感知
令时，可将此二元一次方程变形为一次函数：，请在图1的平面直角坐标系中画出此一次函数的图象；
步骤2：探究过程
探究①：
取点时，
当时，代入，得，
点在一次函数的图象上，
即．是二元一次方程的解．
探究②：
取点时，将代入得，
不等式成立，
即是二元一次不等式的解．
探究③：
取点时，
在图1中的直角坐标系中描出点，
点在一次函数图象下方，
，即满足；
即是二元一次不等式的解．
步骤3：验证猜想
通过学习步骤2的探究过程，请先判断下列选项中，______（填序号）是二元一次不等式的解；
①②③
再写出一组满足二元一次不等式的解：______；（备注：若所写的答案是上述题目中已出现过的解，不给分）
步骤4：发现结论
二元一次不等式的解集可以表示为直线______（填“上方”或“下方”）的所有点组成的区域．
任务二：结论应用
（2）已知不等式组，请在图2的平面直角坐标系中，用阴影部分表示出不等式组的解集所在的区域，并求出该阴影部分的面积．
任务三：拓展升华
（3）在（2）的条件下，若点是阴影部分的一动点，记，则的最大值为______．
【答案】任务一：（1）一次函数：，当时，，
当时，
过点，画出一次函数解析式，如图所示，
验证猜想，通过学习步骤2的探究过程，
取点，，
在图中的直角坐标系中描出点只有在一次函数图象下方，
，即满足；
即是二元一次不等式的解．
故答案为：①．
观察图象，再写出一组满足二元一次不等式的解：（答案不唯一）
故答案为：（答案不唯一）．
步骤4：发现结论，二元一次不等式的解集可以表示为直线下方的所有点组成的区域．
故答案为：下方．
任务二：（2）根据题意，对于一次函数，，当时，，则，
对于，当时，，则
联立
解得：，则
如图所示，即为不等式组的解集所在的区域，
∴
（3）在（2）的条件下，若点是阴影部分的一动点，记，
即
∴是直线上的一点，则的值即为与轴的交点的纵坐标，
观察图形可得，当与点重合时，值最大，
解得：
故答案为：．
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数中的动态几何问题；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】任务一：（1） 先根据题意画出直线，再结合题意，得出二元一次不等式的解集可以表示为直线下方的所有点组成的区域，从而得解；
任务二：（2）先分别画出，的图象，再结合题意画出不等式组的解集所在的区域，再利用三角形的面积公式求解即可；（3）将点代入解析式，再结合的值为与轴的交点的纵坐标，再观察图形可得当与点重合时，值最大，进而将点代入，即可求解．
19．（2024八下·岳池期末）【了解概念】对于给定的一次函数y＝kx+b（其中k，b为常数，且k≠0），称函数为一次函数y＝kx+b的关联函数．
（1）【理解运用】例如：一次函数y＝﹣2x+1的关联函数为．
若点P（﹣2，m）在一次函数y＝﹣2x+1的关联函数的图象上，则m的值为　 　．
（2）已知一次函数y＝﹣2x+1．我们可以根据学习函数的经验，对它的关联函数的图象与性质进行探究．下面是小明的探究过程：
①填表：
x … ﹣1 0 1 2 …
y … 3 1 3 5 …
②根据①中的结果，请在所给的平面直角坐标系中画出一次函数y＝﹣2x+1的关联函数的图象；
③若﹣1≤x≤2，则y的取值范围为 ．
（3）【拓展提升】
在平面直角坐标系中，点M，N的坐标分别为（﹣1，4），（2，2），连接MN．当线段MN与一次函数y＝﹣2x+b的关联函数的图象只有1个交点时，求b的取值范围．
【答案】（1）5
（2）解：②作图如下，
；
③1≤y≤5；
（3）解：如图，
设直线MN为y＝mx+n，
∵点M、N的坐标分别为（﹣1，4）、（2，2），
∴，
解得，
∴直线MN为，
令x＝0，则y＝，
∴直线MNy＝﹣与y轴的交点为，
由题意得，一次函数y＝﹣2x+b的关联函数为y＝
当y轴右侧部分与MN有交点时，把（﹣1，4）和代入y＝﹣2x+b，得，
当y轴左侧部分与MN有交点时，把和（2，2），代入y＝2x+b，得，
当x＜0，b≠2，
∴﹣2≤b＜2或者b＝，
∴关联函数与MN有1个交点时，b的取值范围为：﹣2≤b＜2或b＝．
【知识点】一次函数的图象；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解∶（1）由题意得的关联函数为，
∵点在一次函数的关联函数的图象上，且，
∴把代入，得， ，
解得，
故答案为∶5；
（2）③∵当时，，当x=0时，
∴时，，
∵当x=0时，当时，，
∴时，，
∴时，；
故答案为：
【分析】（1）先根据关联函数的定义得到的关联函数为，进而根据一次函数图象上的点的坐标特征代入即可求出m；
（2）②根据列表画出一次函数的图象即可求解；
③分别求出、0、2时，y的值，结合图形即可求得对应y的取值范围；
（3）先运用待定系数法求出直线MN的函数解析式，进而求出MN与y轴的交点，再根据一次函数的关联函数为，分类讨论：当y轴右侧部分与MN有交点时，当y轴左侧部分与MN有交点时，再结合题意将点代入，从而根据不等式即可求解。
20．（2024八下·南海月考）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如：方程的解为，不等式组的解集为．因为，所以是不等式组的“相伴方程”．
（1）若不等式组为，则方程是不是该不等式组的相伴方程，请说明理由；
（2）若关于x的方程是不等式组相伴方程，求a的取值
（3）若方程和都是关于x的不等式组的相伴方程，求k的取值范围．
【答案】（1）解：不等式组的解集为，
方程的解为．
因为也是不等式组的解，
所以方程是该不等式组的相伴方程．
（2）解：解不等式组，得，
解方程，得，
依题意，得，解得，
故a的取值范围是．
（3）解：解方程，得，
解方程，得．
分以下两种情况：
①当时，由不等式组，可得，
此时该不等式组的解集为，
因为和都不是该不等式组的解，所以不合题意，舍去．
②当时，由不等式组，可得，
∵方程和
都是关于x的不等式组的相伴方程，
∴，解得．
综上所述，k的取值范围是．
【知识点】一元一次方程的解；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】（1）先求出不等式组的解集和方程的解，再根据“相伴方程”的定义判断即可；
（2）先求出方程的解和不等式组的解集，根据“相伴方程”的定义得出，再解不等式组即可；
（3）分别求出两个方程的解，再根据k≠2分为两种情况：①当k＜2时，求出不等式组的解集，再判断即可；②当k＞2时，求出不等式组的解集，再判断即可．
21．（2024八下·金沙期末）【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用.
例1：因式分解：.
解：原式.
例2：若，利用配方法求的最小值
解：.
∵，，
∴当时，有最小值1.
请根据上述阅读材料，解决下列问题：
（1）用配方法因式分解：　 　；
（2）若，则的最小值为　 　；
（3）已知，求的值.
【答案】（1）
（2）
（3）解：∵，
∴，
即.
∵，，，
∴，，，解得，，
∴.
【知识点】偶次方的非负性；因式分解﹣十字相乘法；因式分解-分组分解法；完全平方式
【解析】【解答】解：（1）a2-12a+35
=a2-12a+36-1
=（a-6）2-1
=（a-7）（a-5），
故答案为：（a-7）（a-5）；
（2）M=a2-3a+1
M=（a2-3a+）-
M=（a-）2-，
当a-=0，即a=时，M取最小值，最小值为-，
故答案为：-；
【分析】（1）原式常数项35化为36-1，利用完全平方公式化简，再利用平方差公式分求解即可；
（2）M配方后，利用非负数的性质确定出最小值即可；
（3）将已知等式利用完全平方公式配方后，再根据非负数的性质求出a，b，c的值，代入原式计算即可。
22．（2024八下·济南期中） 综合与实践：
数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．我们常利用数形结合思想，借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，如：探索整式乘法的一些法则和公式．
探索整式乘法的一些法则和公式．
（1）探究一：将图1的阴影部分沿虚线剪开后，拼成图2的形状，拼图前后图形的面积不变，因此可得一个多项式的分解因式 　 　．
（2）探究二：类似地，我们可以借助一个棱长为a的大正方体进行以下探索：
在大正方体一角截去一个棱长为b（b＜a）的小正方体，如图3所示，则得到的几何体的体积为 　 　；
（3）将图3中的几何体分割成三个长方体①、②、③，如图4，图5所示，∵BC＝a，AB＝a﹣b，CF＝b，∴长方形①的体积为ab（a﹣b）．类似地，长方体②的体积为 　 　，长方体③的体积为 　 　；（结果不需要化简）
（4）用不同的方法表示图3中几何体的体积，可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为 　 　．
（5）问题应用：利用上面的结论，解决问题：已知a﹣b＝6，ab＝2，求a3﹣b3的值．
【答案】（1）a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
（2）a3﹣b3
（3）b2（a﹣b）；a2（a﹣b）
（4）a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）
（5）解：∵a﹣b＝6，ab＝2，
∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，即36＝a2+b2﹣4，
∴a2+b2＝40，
∴a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+b2+ab）＝6×（40+2）＝252．
【知识点】平方差公式的几何背景；因式分解的应用
【解析】【解答】解：（1）图1中阴影部分的面积为a2-b2，
图2中阴影部分的面积为（a+b）（a-b），
∵拼图前后图形的面积不变，
∴a2-b2=（a+b）（a-b），
∴可得一个多项式的分解因式为a2-b2=（a+b）（a-b），
故答案为：a2-b2=（a+b）（a-b）．
（2）由题意，得到的几何体的体积为a3-b3，
故答案为：a3-b3．
（3）∵EN=b，DE=b，DM=a-b，
∴长方体②的体积为b2（a-b），
∵GH=a，FG=a-b，HR=a，
∴长方体③的体积为a2（a-b），
故答案为：b2（a-b），a2（a-b）．
（4）由（2）和（3）得：a3-b3=ab（a-b）+b2（a-b）+a2（a-b），
则可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2），
故答案为：a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）．
【分析】（1）图1中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，图2中阴影部分的面积等于长为a+b、宽为a-b的长方形的面积，由此即可得；
（2）直接利用大正方体的体积减去小正方体的体积即可得出答案；
（3）根据长方体的体积公式即可得；
（4）根据（2）和（3）的结论可得a3-b3=ab（a-b）+b2（a-b）+a2（a-b），再将等号右边利用提取公因式分解因式即可得出答案；
（5）先利用完全平方公式求出a2+b2=40，再根据（4）的结论即可得。
23．（2024八下·揭阳月考）阅读下列资料，解决问题：
定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：，这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：这样的分式就是假分式，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．
如：．
（1）分式是　 　（填“真分式”或“假分式”）；
（2）将假分式分别化为带分式；
（3）如果分式的值为整数，求所有符合条件的整数x的值．
【答案】解：（1）分式是假分式故答案为：假分式（2）＝3；＝x﹣2（3）＝2x﹣3当x＝﹣6、﹣4、﹣2、0时，分式的值为整数．
（1）假分式
（2）解：
＝3；
＝x﹣2
（3）解：
＝2x﹣3
当x＝﹣6、﹣4、﹣2、0时，分式的值为整数．
【知识点】分式的加减法
【解析】解：（1）分式是假分式
故答案为：假分式
【分析】（1）按“真分式”的定义直接判断即可；
（2）仿照例题，利用分式的基本性质和分式的加减法则把假分式化为带分式；
（3）先把分式化为带分式，然后再找出满足条件的整数x即可．
四、阅读理解题
24．（2020八下·宝安期中）阅读下列材料：
1637 年笛卡儿(R．Descartes，1596 1650)在其《几何学》中，首次应用待定系数法将 4 次方程分解为两个 2 次方程求解，并最早给出因式分解定理．
他认为，若一个高于二次的关于 x 的多项式能被 ( ) 整除，则其一定可以分解为 ( ) 与另外一个整式的乘积，而且令这个多项式的值为 0 时， x = a 是关于 x 的这个方程的一个根．
例如：多项式 可以分解为 ( ) 与另外一个整式 M 的乘积，即
令 时，可知 x =1 为该方程的一个根．
关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下： 分解因式：
观察知，显然 x=1 时，原式 = 0 ，因此原式可分解为 ( ) 与另一个整式的积．
令： ，则 = ，因等式两边 x 同次幂的系数相等，则有： ，得 ，从而
此时，不难发现 x= 1 是方程 的一个根．
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：
（1）若 是多项式 的因式，求 a 的值并将多项式 分解因式；
（2）若多项式 含有因式 及 ，求a+ b 的值．
【答案】（1）解： ；
令： ，
因等式两边 x 同次幂的系数相等，则有： ，
解得： ，
从而 =x3+1=（x+1）(x2-x+1)；
（2）设 （其中M为二次整式），
由材料可知：x+1=0或x-2=0；
所以：x=-1，x=2是方程 的解，
所以 ，
解得a=8，b=-39，
∴a＋b=8+(-39) =-31．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【分析】（1）已知多项式的因式，将多项式分解为该因式与另外一个整式乘积的形式，将这个新构造的式子中的系数与原式中的系数进行对照，列方程即可得到答案（2）已知多项式中含有因式，根据材料中的内容可知因式的解为零，所以解得未知数的值，再利用未知数的值代入原式即可求解到参数的值，将结果相加即可求得答案
25．（2023八下·宣汉期末）我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等．
例如：分解因式；例如求代数式的最小值．由可知，当时，有最小值，最小值是．
根据阅读材料用配方法解决下列问题；
（1）分解因式：　 　；
（2）当a，b为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值；
（3）当a，b为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值．
【答案】（1）
（2）解：
∵，
∴
∴当，时，有最小值，最小值为5．
即，原式有最小值5
（3）解：
，
当，时，有最小值，最小值为17．
即，原式有最小值17．
【知识点】因式分解的应用；偶次方的非负性
【解析】【解答】解：（1） =m2-4m+4-9=（m-2）2-9
=（m-2+3）（m-2-3）
=（m+1）（m-5），
故答案为：（m+1）（m-5）.
【分析】（1）根据阅读材料，先将 化为（m-2）2-9，然后利用平方差公式分解即可；
（2）利用配方法将化为 ，然后利用非负数的性质进行解答即可；
（3） 把多项式化为 ，然后利用非负数的性质进行解答即可.
26．（2024八下·深圳期中）阅读下面的材料：把一个分式写成两个分式的和叫作把这个分式表示成“部分分式”.
例：将分式表示成部分分式，解：设，将等式右边通分，得，依据题意，得，解得，所以请你适用上面所学到的方法，解决下面的问题：
（1）（A，B为常数），则　 　，　 　；
（2）一个容器装有水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出水，第2次倒出的水量是的，第3次倒出的水量是的，第4次倒出的水量是的…第n次倒出的水量是的…按照这种倒水的方法，这的水是否能倒完？如果能，多少次能倒完？如果不能，请说明理由；
（3）按照（2）的条件，现在开始重新实验，按照如下要求把水倒出：第1次倒出水，第2次倒出的水量是，第3次倒出的水量是，第4次倒出的水量是，请问经过多少次操作后，杯内剩余水量能否变成原来水量的？试说明理由.
【答案】（1）1；-1
（2）解：不能倒完，利用如下：
∵
∴这水永远倒不完；
（3）解：，，，...
故第n次倒出水为L.
∴
∴
解得：
经检验，是原方程的根
答：经过99次操作之后能达到.
【知识点】分式的加减法；解分式方程；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）等式右边通分，可得，
∴，
可得
解得：
故答案为：1；-1；
【分析】（1）按照给定的方法步骤进行计算即可；
（2）根据题意，把n次倒出的水相加，和小于1，可说明不能倒完；
（3）对每次倒出的水表示成"部分分式"，得出规律，得第n次倒水量，用1－前n次的倒水量= ，得到关于n的方程，求解即可.
27．（2024八下·薛城月考）我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而比较两个数或代数式的大小一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依据是不等式（或等式）的性质：若，则；若，则；若，则．
例：已知，其中，求证：．
证明：，
因为，所以，故．
【新知理解】
（1）比较大小：______．（填“>”，“=”，“<”）
【问题解决】
（2）甲、乙两个平行四边形，其底和高如图所示，其面积分别为，请比较的大小关系．
【拓展应用】
（3）小亮和小莹同去一家水果店购买苹果，两人均购买了两次，两次购买苹果的单价不同，两人的购货方式也不同．小亮每次购买1千克，小莹每次花10元钱购买．设两人第一次购买苹果的单价均为m元/千克，第二次购买苹果的单价均为n元/千克（m，n是正数，且），试分析小莹和小亮谁的购货方式更合算？
【答案】（1）
解：（2），
，
．
，
，
，即．
（3）小亮两次购买苹果共花费元，两次购买苹果的平均单价为元/千克；
小莹两次购买苹果共花费20元，两次购买苹果的平均单价为元/千克；
，
m，n是正数，且，
，
，
小莹的购货方式更合算．
【知识点】整式的加减运算；多项式乘多项式；分式的加减法
【解析】【解答】（1）∵，
∴，即
故答案为：；
【分析】（1）根据题中的方法作差，化简即可求出答案.
（2）先分别表示出两个平行四边形的面积，再利用作差法计算即可求出答案.
（3）先分别表示两人两次购买苹果的平均单价，再用作差法计算比较大小即可判断．
28．（2020八下·寿阳期末）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如： ．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如： ， 这样的分式就是假分式；再如： ， 这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．如： ；再如： ．
解决下列问题：
（1）分式 是　 　分式（填“真分式”或“假分式”）；
（2）把假分式 化为带分式的形式（写出过程）；
（3）如果分式 的值为整数，那么x的整数值为　 　．
【答案】（1）真
（2）解：
；
（3） 4或 2或0或2
【知识点】分式的概念；分式的值；分式的加减法
【解析】【解答】解：（1）∵分式 中，分子的次数为0，分母的次数为1，即分子的次数小于分母的次数，
∴分式 为真分式，
故答案为：真；
（3）∵ ，
若分式 的值为整数，则 的值为整数，
可得： 的可能取值为 ，
∴x的整数值为 4或 2或0或2，
故答案为： 4或 2或0或2．
【分析】（1） 直接根据“假分式”与“真分式”的定义进行判断即可；
（2）根据材料将分式的分子化成含有“x+2”的形式，然后逆用同分母的加减法则即得结论；
（3）将分式化为，由于分式 的值为整数，则 的值为整数，从而可得 的可能取值为 ，据此求解即可.
1 / 1数与代数的探究与压轴题型-2024-2025学年八年级下册北师大版
一、选择题
1．（2024八下·遵义期末）一次函数与的图象如图所示，若，是直线上不重合的两点．下列结论正确的是（　　）
A． B．若，则
C． D．
2．（2024八下·玉环期末）直线与的图象交于点，下列判断①关于的方程的解是②当时，关于的不等式的解集是③设直线，则直线一定经过定点④当原点到直线的距离最大时，则．正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③ D．①④
3．（2023八下·南山期中）不等式组的所有整数解的和为9，则整数a的值有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册17.2.3因式分解法 同步练习）已知实数（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12=0，则代数式x2﹣x+1的值为（　　）
A．﹣1 B．7
C．﹣1或7 D．以上全不正确
5．已知a，b，c为△ABC三边，且满足a2c2-b2c2=a4-b4，则它的形状为 （　　）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形
6．（2024八下·新城期中）若关于x的一元一次不等式组恰好有1个整数解，且关于y的分式方程有正数解，则符合条件的所有整数a的积为（　　）
A．－6 B．8 C．24 D．6
7．（2024八下·威远期中） 已知关于x的分式方程无解，且关于y的不等式组有且只有三个偶数解，则所有符合条件的整数m的乘积为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
8．（2023八下·南岸期末）关于x的一元一次不等式组的解集是，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和是（　　）
A．0 B．1 C．5 D．6
二、填空题
9．（浙江省创新教育初中协作体2024-2025学年八年级下学期数学创新素养综合考察试题）设[x]表示不超过的最大整数，，（如：．则方程的解集是　 　.
10．（2024八下·金水期中）如果关于的的不等式组有且仅有5个整数解，则的取值范围是　 　．
11．（2024八下·四川月考） 一个两位自然数，若各位数字之和小于等于9，则称为“完美数”，将m的各个数位上的数字相加所得的数放在m的前面，得到一个新数，那么称为m的“前置完美数”；将m的各个数位上的数字相加所得的数放在m的后面，得到一个新数，那么称为m的“后置充美数”．记，例如：时，，，．请计算　 　；已知两个“完美数”，，若是一个完全平方数，且，则n的最大值为　 　．
12．（2024八下·大邑期末）已知a，b，c为整数，满足，，则的最小值是　 　．
13．（2024八下·江津期末）如果一个自然数M能分解成，其中A和B都是两位数，且A与B的十位数字之和为10，个位数字之和为9，则称M为“十全九美数”，把M分解成A×B的过程称为“全美分解”．那么2100是否是“十全九美数”？　 　（填“是”或“否）”；若自然数M是“十全九美数”，“全美分解”为，将A的十位数字与个位数字的差，与B的十位数字与个位数字的和求和记为：将A的十位数字与个位数字的和，与B的十位数字与个位数字的差求差记为．当能被5整除时，则满足条件的最小自然数M为　 　．
14．（2023·）若，则A+B+C=　 　
15．（2023八下·沙坪坝期末）若数使关于的不等式组的解集为，且使关于的分式方程的解为负数，则符合条件的所有整数的和为　 　．
16．（2024八下·宜宾月考）二月开学季来临，某文具店在2月上旬推出了A、B、C三种不同主题的开学大礼包．已知二月上旬A、B、C三种主题大礼包售价之比为2：4：5，销量之比为7：1：2．开学后不久，根据市场需求，在二月下旬文具店老板对三种主题大礼包售价进行了调整，其中B主题大礼包售价比二月上旬降低了，C主题大礼包在2月上旬售价的基础上打八折，从而使得B、C两种主题大礼包销售额相较于二月上旬有所增加，A主题大礼包销售额相较于二月上旬有所下降．若A主题大礼包减少的销售额与B、C两种主题大礼包增加的销售额之比为4：7：5，且A主题大礼包减少的销售额占二月下旬三种主题大礼包总销售额的，则二月下旬B、C两种主题大礼包的销量之比为　 　．
三、实践探究题
17．（2024八下·榕城期中）我们把符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为，如．
（1）求不等式的解集．
（2）若关于的不等式的解集与（1）中的不等式解集相同，求的值．
（3）若关于的不等式的解都是（1）中的不等式的解，求的取值范围．
18．（2024八下·罗湖期中）【主题】二元一次不等式的研究
【背景】创新小队发现学习一元一次不等式利用了数形结合的思想，通过观察函数图象，求方程的解和不等式的解集，从中体会了一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的内在联系．创新小队提出新的问题：二元一次不等式的解集如何确定？为此，他们进行了以下的任务探究：
任务一：探究发现
（1）已知二元一次不等式．
步棸1：特例感知
令时，可将此二元一次方程变形为一次函数：，请在图1的平面直角坐标系中画出此一次函数的图象；
步骤2：探究过程
探究①：
取点时，
当时，代入，得，
点在一次函数的图象上，
即．是二元一次方程的解．
探究②：
取点时，将代入得，
不等式成立，
即是二元一次不等式的解．
探究③：
取点时，
在图1中的直角坐标系中描出点，
点在一次函数图象下方，
，即满足；
即是二元一次不等式的解．
步骤3：验证猜想
通过学习步骤2的探究过程，请先判断下列选项中，______（填序号）是二元一次不等式的解；
①②③
再写出一组满足二元一次不等式的解：______；（备注：若所写的答案是上述题目中已出现过的解，不给分）
步骤4：发现结论
二元一次不等式的解集可以表示为直线______（填“上方”或“下方”）的所有点组成的区域．
任务二：结论应用
（2）已知不等式组，请在图2的平面直角坐标系中，用阴影部分表示出不等式组的解集所在的区域，并求出该阴影部分的面积．
任务三：拓展升华
（3）在（2）的条件下，若点是阴影部分的一动点，记，则的最大值为______．
19．（2024八下·岳池期末）【了解概念】对于给定的一次函数y＝kx+b（其中k，b为常数，且k≠0），称函数为一次函数y＝kx+b的关联函数．
（1）【理解运用】例如：一次函数y＝﹣2x+1的关联函数为．
若点P（﹣2，m）在一次函数y＝﹣2x+1的关联函数的图象上，则m的值为　 　．
（2）已知一次函数y＝﹣2x+1．我们可以根据学习函数的经验，对它的关联函数的图象与性质进行探究．下面是小明的探究过程：
①填表：
x … ﹣1 0 1 2 …
y … 3 1 3 5 …
②根据①中的结果，请在所给的平面直角坐标系中画出一次函数y＝﹣2x+1的关联函数的图象；
③若﹣1≤x≤2，则y的取值范围为 ．
（3）【拓展提升】
在平面直角坐标系中，点M，N的坐标分别为（﹣1，4），（2，2），连接MN．当线段MN与一次函数y＝﹣2x+b的关联函数的图象只有1个交点时，求b的取值范围．
20．（2024八下·南海月考）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如：方程的解为，不等式组的解集为．因为，所以是不等式组的“相伴方程”．
（1）若不等式组为，则方程是不是该不等式组的相伴方程，请说明理由；
（2）若关于x的方程是不等式组相伴方程，求a的取值
（3）若方程和都是关于x的不等式组的相伴方程，求k的取值范围．
21．（2024八下·金沙期末）【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用.
例1：因式分解：.
解：原式.
例2：若，利用配方法求的最小值
解：.
∵，，
∴当时，有最小值1.
请根据上述阅读材料，解决下列问题：
（1）用配方法因式分解：　 　；
（2）若，则的最小值为　 　；
（3）已知，求的值.
22．（2024八下·济南期中） 综合与实践：
数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．我们常利用数形结合思想，借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，如：探索整式乘法的一些法则和公式．
探索整式乘法的一些法则和公式．
（1）探究一：将图1的阴影部分沿虚线剪开后，拼成图2的形状，拼图前后图形的面积不变，因此可得一个多项式的分解因式 　 　．
（2）探究二：类似地，我们可以借助一个棱长为a的大正方体进行以下探索：
在大正方体一角截去一个棱长为b（b＜a）的小正方体，如图3所示，则得到的几何体的体积为 　 　；
（3）将图3中的几何体分割成三个长方体①、②、③，如图4，图5所示，∵BC＝a，AB＝a﹣b，CF＝b，∴长方形①的体积为ab（a﹣b）．类似地，长方体②的体积为 　 　，长方体③的体积为 　 　；（结果不需要化简）
（4）用不同的方法表示图3中几何体的体积，可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为 　 　．
（5）问题应用：利用上面的结论，解决问题：已知a﹣b＝6，ab＝2，求a3﹣b3的值．
23．（2024八下·揭阳月考）阅读下列资料，解决问题：
定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：，这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：这样的分式就是假分式，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．
如：．
（1）分式是　 　（填“真分式”或“假分式”）；
（2）将假分式分别化为带分式；
（3）如果分式的值为整数，求所有符合条件的整数x的值．
四、阅读理解题
24．（2020八下·宝安期中）阅读下列材料：
1637 年笛卡儿(R．Descartes，1596 1650)在其《几何学》中，首次应用待定系数法将 4 次方程分解为两个 2 次方程求解，并最早给出因式分解定理．
他认为，若一个高于二次的关于 x 的多项式能被 ( ) 整除，则其一定可以分解为 ( ) 与另外一个整式的乘积，而且令这个多项式的值为 0 时， x = a 是关于 x 的这个方程的一个根．
例如：多项式 可以分解为 ( ) 与另外一个整式 M 的乘积，即
令 时，可知 x =1 为该方程的一个根．
关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下： 分解因式：
观察知，显然 x=1 时，原式 = 0 ，因此原式可分解为 ( ) 与另一个整式的积．
令： ，则 = ，因等式两边 x 同次幂的系数相等，则有： ，得 ，从而
此时，不难发现 x= 1 是方程 的一个根．
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：
（1）若 是多项式 的因式，求 a 的值并将多项式 分解因式；
（2）若多项式 含有因式 及 ，求a+ b 的值．
25．（2023八下·宣汉期末）我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等．
例如：分解因式；例如求代数式的最小值．由可知，当时，有最小值，最小值是．
根据阅读材料用配方法解决下列问题；
（1）分解因式：　 　；
（2）当a，b为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值；
（3）当a，b为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值．
26．（2024八下·深圳期中）阅读下面的材料：把一个分式写成两个分式的和叫作把这个分式表示成“部分分式”.
例：将分式表示成部分分式，解：设，将等式右边通分，得，依据题意，得，解得，所以请你适用上面所学到的方法，解决下面的问题：
（1）（A，B为常数），则　 　，　 　；
（2）一个容器装有水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出水，第2次倒出的水量是的，第3次倒出的水量是的，第4次倒出的水量是的…第n次倒出的水量是的…按照这种倒水的方法，这的水是否能倒完？如果能，多少次能倒完？如果不能，请说明理由；
（3）按照（2）的条件，现在开始重新实验，按照如下要求把水倒出：第1次倒出水，第2次倒出的水量是，第3次倒出的水量是，第4次倒出的水量是，请问经过多少次操作后，杯内剩余水量能否变成原来水量的？试说明理由.
27．（2024八下·薛城月考）我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而比较两个数或代数式的大小一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依据是不等式（或等式）的性质：若，则；若，则；若，则．
例：已知，其中，求证：．
证明：，
因为，所以，故．
【新知理解】
（1）比较大小：______．（填“>”，“=”，“<”）
【问题解决】
（2）甲、乙两个平行四边形，其底和高如图所示，其面积分别为，请比较的大小关系．
【拓展应用】
（3）小亮和小莹同去一家水果店购买苹果，两人均购买了两次，两次购买苹果的单价不同，两人的购货方式也不同．小亮每次购买1千克，小莹每次花10元钱购买．设两人第一次购买苹果的单价均为m元/千克，第二次购买苹果的单价均为n元/千克（m，n是正数，且），试分析小莹和小亮谁的购货方式更合算？
28．（2020八下·寿阳期末）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如： ．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如： ， 这样的分式就是假分式；再如： ， 这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．如： ；再如： ．
解决下列问题：
（1）分式 是　 　分式（填“真分式”或“假分式”）；
（2）把假分式 化为带分式的形式（写出过程）；
（3）如果分式 的值为整数，那么x的整数值为　 　．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数的图象过第二、三、四象限，∴，．∵ 一次函数 的图象过第二、四象限，∴a<0，∴．故A不符合题意．
∵，两一次函数图象交点的横坐标为-2，∴，故B不符合题意．
由图象可知：两直线交点横坐标为，把分别代入得，，∴，∴，故C不符合题意．
把，分别代入，得，，∴，∴，∵的图象经过第二、第四象限，∴，∴，∴，故D符合题意．
故答案为：D．
【分析】(1)先根据一次函数的图象经过的象限确定k，b的符号，再根据一次函数 的图象经过的象限确定a的符号，就可确定ab的符号；
(2)根据两直线的交点的横坐标，及两函数值的大小，结合图形可以确定；
(3)根据两直线的交点的横坐标，代入两个函数表达式中，求出两函数值的差即可；
(4)P、Q两点坐标分别代入一次函数 ，可得，再根据一次函数经过的象限确定a的符号，可得，从而可得．
2．【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵直线与的图象交于点，
当时，，
∴当时，，
∴关于的方程的解是，故①正确；
∵直线与的图象交于点，
∴，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴过一、二、三象限，随的增大而增大，
由直线与的图象交于点，作图如下：
由图可知，不等式的解集是，故②正确；
∵与的图象交于点，
∴当时，，
∴直线一定经过定点，故③正确；
如图，当时，原点到直线的距离最大
∵，
∴当时，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得；故④错误；
综上，正确的结论是①②③；
故答案为：．
【分析】根据两条直线交点坐标，可求出关于的方程的解，可对①作出判断；把点代入两个函数关系式，可求出，结合，可求出的范围，可对②③作出判断；当时，原点到直线的距离最大，利用勾股定理可求出b的值，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
3．【答案】B
【知识点】不等式的解及解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由6x+3＞3（x+a）得：x＞a-1，
由得x≤4，
∵所有整数解的和为9，∴整数解为4、3、2或4、3、2、1、0、-1，
∴1≤a-1＜2或-2≤a-1＜-1，解得2≤a＜3或-1≤a＜0，
符合条件的整数a的值为2和-1，故答案为：B．
【分析】利用不等式的性质及不等式组的解法求解即可。
4．【答案】B
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12=0，
∴（x2﹣x+2）（x2﹣x﹣6）=0，
∴x2﹣x+2=0或x2﹣x﹣6=0，
∴x2﹣x=﹣2或x2﹣x=6．
当x2﹣x=﹣2时，
x2﹣x+2=0，
b2﹣4ac=1﹣4×1×2=﹣7＜0，
∴此方程无实数解．
当x2﹣x=6时，
x2﹣x+1=7
故答案为：B．
【分析】将看作整体利用式子相乘法进行因式分解，从而可求得的值，即可求得所给代数式的值.
5．【答案】D
【知识点】因式分解﹣公式法；等腰三角形的判定；勾股定理
【解析】【解答】∵a2c2-b2c2=a4-b4，
∴（a2c2-b2c2)-（a4-b4)=0，
∴c2（a+b)（a-b)-（a+b)（a-b)（a2+b2)=0，
∴（a+b)（a-b)（c2-a2-b2)=0，
∵a+b≠0，
∴a-b=0或c2-a2-b2=0，所以a=b或c2=a2+b2即它是等腰三角形或直角三角形．
故选D．
【分析】把式子a2c2-b2c2=a4-b4变形化简后判定则可．如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．
6．【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：3x≥a-10，解得，x≥；
2x+1＜，解得，x＜-1；
∵ 不等式恰好有1个整数解，
∴-3＜ ≤-2，
解得1＜a≤4，
，解得y=且y≠1，
∴＞0，≠1，
解得，a＞-1，且a≠3，
∴ a的整数解有2，4，
∴ 所有整数a的积为8.
故答案为：B.
【分析】先解一元一次不等式组可得＜x＜-1，根据只有一个整数解可得-3＜ ≤-2，再解分式方程求得a＞-1，且a≠3，最终确定a的整数解，再求积即可.
7．【答案】B
【知识点】解分式方程；分式方程的增根；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：分式方程去分母得：，
整理得：，
分式方程无解的情况有两种，
情况一：整式方程无解时，即时，方程无解，
∴；
情况二：当整式方程有解，是分式方程的增根，即x=2或x=6，
①当x=2时，代入，得：
解得：得m=4．
②当x=6时，代入，得：，
解得：得m=2．
综合两种情况得，当m=4或m=2或，分式方程无解；
解不等式，
得：
根据题意该不等式有且只有三个偶数解，
∴不等式组有且只有的三个偶数解为 8， 6， 4，
∴ 4∴0综上所述当m=2或时符合题目中所有要求，
∴符合条件的整数m的乘积为2×1=2．
故答案为：B．
【分析】分式方程无解的情况有两种，第一种是分式方程化成整式方程后，整式方程无解，第二种是分式方程化成整式方程后有解，但是解是分式方程的增根，以此确定m的值，据此求解。
8．【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解： ，
由①×2得，2x-a+3≤x+3，
解得，x≤a，
由②×2得，3x+1＜2x+6，
解得，x＜5，
∵此不等式组的解集是x≤a，
∴a＜5，
∵，
方程两边同时乘以y-1得，y-a+2y-4=y-1，
解得，
∵有非负整数解，，
∴或或，
解得，a=-3或a=1或a=3，
∴符合条件的所有整数a的和是-3+1+3=1.
故答案为：B.
【分析】先计算不等式组的解集，根据已知解集x≤a判断a的取值范围，再解分式方程求得，根据分式方程有非负整数解，求出整数a的值，再计算符合条件的所有整数a的和.
9．【答案】或
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：设，
当时，则
则成立
即是方程的一个解；
当时
若，则为正整数，
即
解得不等式组无解；
若，则，
即方程无解；
当时，则，
当时，；
即
当时，
即
解得不等式组无解.
故答案为：或.
【分析】为便于计算，可设，其中是不超过的最大整数，此时再分类讨论，当时，再分别讨论当或时两种情况；当时；当时，再分别讨论当时或时两种情况，再分别把和代入到方程中，逐一计算议程或不等式（组）即可.
10．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：解不等式组，得，
∵关于的的不等式组有且仅有5个整数解，即6，5，4，3，2，
∴
解得：．
故答案为：.
【分析】先利用一元一次不等式组的解法求出解集，再结合“不等式组有且仅有5个整数解”可得，最后求出a的取值范围即可.
11．【答案】23；85
【知识点】整式的加减运算；有理数混合运算法则（含乘方）；不等式的性质
【解析】【解答】由题意可得：
由完美数的定义可得，
是一个完全平方数，
的值可以是9，16，25，36，
当10b+a=9时，a=9，b=0，
m=90；
把m=90代入得x+2y=-40，不符合题意；
当10b+a=16时，a=6，b=1，
m=61；
把m=61代入得x+2y=18，
这种情况不存在；
当10b+a=25时，这种情况不存在；
当10b+a=36时，a=6，b=3，
m=63，
把m=63代入得x+2y=14；
求得x=2，y=6或x=4，y=5，
n=10x+y，
n的值为26或45，
n的最大值为45，
故答案为：45.
【分析】（1）根据完美数的定义直接求解即可；
（2）根据完美数的定义得到再结合完全平方数的定义以及a，b，x，y的取值范围列举出m，n的所有可能的情况进行求解即可.
12．【答案】2116
【知识点】因式分解的应用；偶次方的非负性
【解析】【解答】解：．
，，，
，
可因式分解，变为，
同理，
，
原式
，
故为一个平方数，
且，，为整数，
，，至少有一个是偶数，于是为偶数，
，
．
故答案为：2116．
【分析】根据已知的等式a+b+c=10变形将a、b、c表示出来，代入S的表达式整理，根据偶次方的非负性可求解．
13．【答案】是；1164
【知识点】整式的加减运算；因式分解的应用；解一元一次不等式组；二元一次方程组的应用-数字问题
【解析】【解答】解：∵，且，
∴2100是“十全九美数”；
设A的十位数字为m，个位数字为n，则B的十位数字为，个位数字为，
∴，，
∵M是“十全九美数”，，
由题意得，
，
∴ (k为整数)，
由题意知，，且都为整数，
，，
当时，，
∴或或，
解得或 (舍去)或，
当时，，
∴，
解得 (舍去)，
当时，，
∴，
解得，
∴，，
或，，
或，，
∴，或，或，∴满足条件的最小自然数M为1164.
故答案为：是，1164．
【分析】先将2100分解质因数，再根据“十全九美数”的定义直接判定即可；
设A的十位数字为m，个位数字为n，则B的十位数字为10-m，个位数字为9-n，从而用含m、n的代数式表示A、B两个数，根据题意得，，当能被5整除时，有（k为正整数）.接下来根据题意得，，从而求出，，然后根据该范围分情况讨论：k=1，2，3时，得关于m、n的二元一次方程组，解方程组求出m、n的值，最后计算即可求解.
14．【答案】5
【知识点】分式的通分
【解析】【解答】解：∵
=
=
=
且=
∴A +B=6，-2A +B +C=-7，2A +C=7，解得A=4，B=2，C=-1，A +B+C=5．
故答案为：5.
【分析】对等式右侧通分，进一步利用待定系数法得出等量关系并解方程组即可.
15．【答案】-2
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解： ，
由①得，x＜-2，
由②得，x≤2a+4，
∵若数使关于的不等式组的解集为 ，
∴2a+4≥-2，
∴a≥-3，
∵
∴1-y-a=-3y-3， ∴， ∵关于的分式方程的解为负数，∴，且， ∴a＜4，且a≠2， ∴-3≤a＜4，且a≠2， ∴符合条件的整数a的值是-3，-2，-1，0，1，3， ∴符合条件的所有整数a的和为-2.
故答案为：-2.
【分析】先计算不等式组的解集，再根据已知不等式组的解集为x＜-2，得出a≥-3，根据分式方程解出，再根据分式方程的解为负数，得出a＜4，且a≠2，进而得出a的所有可能值，计算它们的和即可.
16．【答案】4：5
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设2月上旬推出了A、B、C三种不同主题的大礼包售价为2x，4x，5x，销量为7y，y，2y，2月下旬B主题大礼包售价为 ，C主题大礼包售价为A主题大礼包减少的销售额与B、C两大主题增加的销售额分别为4a，7a，5a，根据题意得，
∴2月下旬B、C两种主题大礼包的销售额分别为
∴2月下旬B、C两种主题大礼包的销售之比为
故答案为： 4：5 .
【分析】本题考查分式方程的应用，设2月上旬推出了A、B、C三种不同主题的大礼包售价为2x，4x，5x，销量为7y，y，2y， 二月下旬A主题大礼包减少的销售额与B、C两大主题大礼包增加的销售额分别为4a，7a，5a，根据2月下旬A主题大礼包减少的销售额占二月下旬三种主题大礼包总销售额的 列出方程，然后分别求出2月下旬B、C两种主题大礼包的销售额，进而求出2月下旬B、C两种主题大礼包的销售量，即可得出答案。
17．【答案】（1）解：由题意得
解得：
（2）解：，即
解得：
解集与（1）中的不等式解集相同
解得
（3）解：，即
解得
不等式的解都是（1）中的不等式的解
解得
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）根据二阶行列式的运算法则列出不等式解答即可；
（2）根据二阶行列式的运算法则列出不等式解出，依据解集与（1）中的不等式解集相同可得值即可；
（3）根据二阶行列式的运算法则列出不等式解出，再根据条件列出，解出的取值范围即可．
18．【答案】任务一：（1）一次函数：，当时，，
当时，
过点，画出一次函数解析式，如图所示，
验证猜想，通过学习步骤2的探究过程，
取点，，
在图中的直角坐标系中描出点只有在一次函数图象下方，
，即满足；
即是二元一次不等式的解．
故答案为：①．
观察图象，再写出一组满足二元一次不等式的解：（答案不唯一）
故答案为：（答案不唯一）．
步骤4：发现结论，二元一次不等式的解集可以表示为直线下方的所有点组成的区域．
故答案为：下方．
任务二：（2）根据题意，对于一次函数，，当时，，则，
对于，当时，，则
联立
解得：，则
如图所示，即为不等式组的解集所在的区域，
∴
（3）在（2）的条件下，若点是阴影部分的一动点，记，
即
∴是直线上的一点，则的值即为与轴的交点的纵坐标，
观察图形可得，当与点重合时，值最大，
解得：
故答案为：．
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数中的动态几何问题；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】任务一：（1） 先根据题意画出直线，再结合题意，得出二元一次不等式的解集可以表示为直线下方的所有点组成的区域，从而得解；
任务二：（2）先分别画出，的图象，再结合题意画出不等式组的解集所在的区域，再利用三角形的面积公式求解即可；（3）将点代入解析式，再结合的值为与轴的交点的纵坐标，再观察图形可得当与点重合时，值最大，进而将点代入，即可求解．
19．【答案】（1）5
（2）解：②作图如下，
；
③1≤y≤5；
（3）解：如图，
设直线MN为y＝mx+n，
∵点M、N的坐标分别为（﹣1，4）、（2，2），
∴，
解得，
∴直线MN为，
令x＝0，则y＝，
∴直线MNy＝﹣与y轴的交点为，
由题意得，一次函数y＝﹣2x+b的关联函数为y＝
当y轴右侧部分与MN有交点时，把（﹣1，4）和代入y＝﹣2x+b，得，
当y轴左侧部分与MN有交点时，把和（2，2），代入y＝2x+b，得，
当x＜0，b≠2，
∴﹣2≤b＜2或者b＝，
∴关联函数与MN有1个交点时，b的取值范围为：﹣2≤b＜2或b＝．
【知识点】一次函数的图象；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解∶（1）由题意得的关联函数为，
∵点在一次函数的关联函数的图象上，且，
∴把代入，得， ，
解得，
故答案为∶5；
（2）③∵当时，，当x=0时，
∴时，，
∵当x=0时，当时，，
∴时，，
∴时，；
故答案为：
【分析】（1）先根据关联函数的定义得到的关联函数为，进而根据一次函数图象上的点的坐标特征代入即可求出m；
（2）②根据列表画出一次函数的图象即可求解；
③分别求出、0、2时，y的值，结合图形即可求得对应y的取值范围；
（3）先运用待定系数法求出直线MN的函数解析式，进而求出MN与y轴的交点，再根据一次函数的关联函数为，分类讨论：当y轴右侧部分与MN有交点时，当y轴左侧部分与MN有交点时，再结合题意将点代入，从而根据不等式即可求解。
20．【答案】（1）解：不等式组的解集为，
方程的解为．
因为也是不等式组的解，
所以方程是该不等式组的相伴方程．
（2）解：解不等式组，得，
解方程，得，
依题意，得，解得，
故a的取值范围是．
（3）解：解方程，得，
解方程，得．
分以下两种情况：
①当时，由不等式组，可得，
此时该不等式组的解集为，
因为和都不是该不等式组的解，所以不合题意，舍去．
②当时，由不等式组，可得，
∵方程和
都是关于x的不等式组的相伴方程，
∴，解得．
综上所述，k的取值范围是．
【知识点】一元一次方程的解；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】（1）先求出不等式组的解集和方程的解，再根据“相伴方程”的定义判断即可；
（2）先求出方程的解和不等式组的解集，根据“相伴方程”的定义得出，再解不等式组即可；
（3）分别求出两个方程的解，再根据k≠2分为两种情况：①当k＜2时，求出不等式组的解集，再判断即可；②当k＞2时，求出不等式组的解集，再判断即可．
21．【答案】（1）
（2）
（3）解：∵，
∴，
即.
∵，，，
∴，，，解得，，
∴.
【知识点】偶次方的非负性；因式分解﹣十字相乘法；因式分解-分组分解法；完全平方式
【解析】【解答】解：（1）a2-12a+35
=a2-12a+36-1
=（a-6）2-1
=（a-7）（a-5），
故答案为：（a-7）（a-5）；
（2）M=a2-3a+1
M=（a2-3a+）-
M=（a-）2-，
当a-=0，即a=时，M取最小值，最小值为-，
故答案为：-；
【分析】（1）原式常数项35化为36-1，利用完全平方公式化简，再利用平方差公式分求解即可；
（2）M配方后，利用非负数的性质确定出最小值即可；
（3）将已知等式利用完全平方公式配方后，再根据非负数的性质求出a，b，c的值，代入原式计算即可。
22．【答案】（1）a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
（2）a3﹣b3
（3）b2（a﹣b）；a2（a﹣b）
（4）a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）
（5）解：∵a﹣b＝6，ab＝2，
∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，即36＝a2+b2﹣4，
∴a2+b2＝40，
∴a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+b2+ab）＝6×（40+2）＝252．
【知识点】平方差公式的几何背景；因式分解的应用
【解析】【解答】解：（1）图1中阴影部分的面积为a2-b2，
图2中阴影部分的面积为（a+b）（a-b），
∵拼图前后图形的面积不变，
∴a2-b2=（a+b）（a-b），
∴可得一个多项式的分解因式为a2-b2=（a+b）（a-b），
故答案为：a2-b2=（a+b）（a-b）．
（2）由题意，得到的几何体的体积为a3-b3，
故答案为：a3-b3．
（3）∵EN=b，DE=b，DM=a-b，
∴长方体②的体积为b2（a-b），
∵GH=a，FG=a-b，HR=a，
∴长方体③的体积为a2（a-b），
故答案为：b2（a-b），a2（a-b）．
（4）由（2）和（3）得：a3-b3=ab（a-b）+b2（a-b）+a2（a-b），
则可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2），
故答案为：a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）．
【分析】（1）图1中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，图2中阴影部分的面积等于长为a+b、宽为a-b的长方形的面积，由此即可得；
（2）直接利用大正方体的体积减去小正方体的体积即可得出答案；
（3）根据长方体的体积公式即可得；
（4）根据（2）和（3）的结论可得a3-b3=ab（a-b）+b2（a-b）+a2（a-b），再将等号右边利用提取公因式分解因式即可得出答案；
（5）先利用完全平方公式求出a2+b2=40，再根据（4）的结论即可得。
23．【答案】解：（1）分式是假分式故答案为：假分式（2）＝3；＝x﹣2（3）＝2x﹣3当x＝﹣6、﹣4、﹣2、0时，分式的值为整数．
（1）假分式
（2）解：
＝3；
＝x﹣2
（3）解：
＝2x﹣3
当x＝﹣6、﹣4、﹣2、0时，分式的值为整数．
【知识点】分式的加减法
【解析】解：（1）分式是假分式
故答案为：假分式
【分析】（1）按“真分式”的定义直接判断即可；
（2）仿照例题，利用分式的基本性质和分式的加减法则把假分式化为带分式；
（3）先把分式化为带分式，然后再找出满足条件的整数x即可．
24．【答案】（1）解： ；
令： ，
因等式两边 x 同次幂的系数相等，则有： ，
解得： ，
从而 =x3+1=（x+1）(x2-x+1)；
（2）设 （其中M为二次整式），
由材料可知：x+1=0或x-2=0；
所以：x=-1，x=2是方程 的解，
所以 ，
解得a=8，b=-39，
∴a＋b=8+(-39) =-31．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【分析】（1）已知多项式的因式，将多项式分解为该因式与另外一个整式乘积的形式，将这个新构造的式子中的系数与原式中的系数进行对照，列方程即可得到答案（2）已知多项式中含有因式，根据材料中的内容可知因式的解为零，所以解得未知数的值，再利用未知数的值代入原式即可求解到参数的值，将结果相加即可求得答案
25．【答案】（1）
（2）解：
∵，
∴
∴当，时，有最小值，最小值为5．
即，原式有最小值5
（3）解：
，
当，时，有最小值，最小值为17．
即，原式有最小值17．
【知识点】因式分解的应用；偶次方的非负性
【解析】【解答】解：（1） =m2-4m+4-9=（m-2）2-9
=（m-2+3）（m-2-3）
=（m+1）（m-5），
故答案为：（m+1）（m-5）.
【分析】（1）根据阅读材料，先将 化为（m-2）2-9，然后利用平方差公式分解即可；
（2）利用配方法将化为 ，然后利用非负数的性质进行解答即可；
（3） 把多项式化为 ，然后利用非负数的性质进行解答即可.
26．【答案】（1）1；-1
（2）解：不能倒完，利用如下：
∵
∴这水永远倒不完；
（3）解：，，，...
故第n次倒出水为L.
∴
∴
解得：
经检验，是原方程的根
答：经过99次操作之后能达到.
【知识点】分式的加减法；解分式方程；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）等式右边通分，可得，
∴，
可得
解得：
故答案为：1；-1；
【分析】（1）按照给定的方法步骤进行计算即可；
（2）根据题意，把n次倒出的水相加，和小于1，可说明不能倒完；
（3）对每次倒出的水表示成"部分分式"，得出规律，得第n次倒水量，用1－前n次的倒水量= ，得到关于n的方程，求解即可.
27．【答案】（1）
解：（2），
，
．
，
，
，即．
（3）小亮两次购买苹果共花费元，两次购买苹果的平均单价为元/千克；
小莹两次购买苹果共花费20元，两次购买苹果的平均单价为元/千克；
，
m，n是正数，且，
，
，
小莹的购货方式更合算．
【知识点】整式的加减运算；多项式乘多项式；分式的加减法
【解析】【解答】（1）∵，
∴，即
故答案为：；
【分析】（1）根据题中的方法作差，化简即可求出答案.
（2）先分别表示出两个平行四边形的面积，再利用作差法计算即可求出答案.
（3）先分别表示两人两次购买苹果的平均单价，再用作差法计算比较大小即可判断．
28．【答案】（1）真
（2）解：
；
（3） 4或 2或0或2
【知识点】分式的概念；分式的值；分式的加减法
【解析】【解答】解：（1）∵分式 中，分子的次数为0，分母的次数为1，即分子的次数小于分母的次数，
∴分式 为真分式，
故答案为：真；
（3）∵ ，
若分式 的值为整数，则 的值为整数，
可得： 的可能取值为 ，
∴x的整数值为 4或 2或0或2，
故答案为： 4或 2或0或2．
【分析】（1） 直接根据“假分式”与“真分式”的定义进行判断即可；
（2）根据材料将分式的分子化成含有“x+2”的形式，然后逆用同分母的加减法则即得结论；
（3）将分式化为，由于分式 的值为整数，则 的值为整数，从而可得 的可能取值为 ，据此求解即可.
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