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平面几何的探究与压轴题型-2024-2025学年八年级下册北师大版数学
一、选择题
1．（2024八下·高州月考）如图所示，点A坐标为(-3，0) 点B坐标为(1，4)，在y轴上存在一点C，使得△ABC为等腰三角形，则满足此条件的点C最多有（　　）
A．4个 B．5个 C．6个 D．8个
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，
当BC=BA时，以点B为圆心，AB的长为半径画圆交y轴于点C1、C2；
当AC=AB时，以点A为圆心，AB的长为半径画圆交y轴于点C3、C4；
当CA=CB时，作AB的垂直平分线交y轴于点C5；
综上，满足条件的点C最多有5个.
故答案为：B.
【分析】分类讨论：①当BC=BA时，以点B为圆心，AB的长为半径画圆；②当AC=AB时，以点A为圆心，AB的长为半径画圆；③当CA=CB时，作AB的垂直平分线，然后看所作的直线与弧线与y轴的交点个数即可得出答案.
2．（2023八下·嵊州期末）如图，将矩形纸片沿对角线对折，使得点B落在点E处，交于点F，若平分，，则的长是（　　）
A．1.5 B． C． D．
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念
【解析】【解答】解：过F作FG⊥AC于点G，
∵CF平分∠ACD，
∴FD=GF.
由折叠可得AB=AE.
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD，∠D=90°，
∴CD=AE，∠ACD+∠CAD=90°.
∵CD=AE，∠E=∠D=90°，∠AFE=∠CFD，
∴△AEF≌△CDF（AAS），
∴AF=FC=2，
∴∠FAC=∠FCD.
∵CF平分∠ACD，
∴∠ACF=∠DCF，
∴∠ACF=∠FCD=∠FAC.
∵∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠FCD=30°，
∴DF=CF=1，
∴CD==.
故答案为：B.
【分析】过F作FG⊥AC于点G，由角平分线的性质可得FD=GF，由折叠可得AB=AE，根据矩形的性质可得AB=CD，∠D=90°，则CD=AE，∠ACD+∠CAD=90°，利用AAS证明△AEF≌△CDF，得到AF=FC=2，则∠FAC=∠FCD，结合角平分线的概念可得∠ACF=∠DCF，则∠ACF=∠FCD=∠FAC，据此可得∠FCD=30°，得到DF=CF=1，然后利用勾股定理计算即可.
3．（2024八下·嵊州期末）如图，矩形中，．平分交于点，是上一动点，连结，于点，若，且，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：连接、，如图，
∵，，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵平分，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，，
∴，
即，
∴是直角三角形，
∴，
设，则，
即，
在中，，
在中，，
即，
解得：，
∴，
∴．
故答案为：A．
【分析】连接、，垂直平分新的性质得到，再根据角平分线得到，利用矩形的性质可得，，，再根据平行线可以推导，即可得到，证明，即可得到，得到是直角三角形，根据勾股定理求解即可．
4．（2024八下·余姚期中）已知P是等边三角形的边上的一点，若，则在以线段，，为边的三角形中，则最小内角的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图所示，将绕点逆时针旋转得到，
，，，，
△APQ为等边三角形，
，
以，，线段为边的三角形，即，最小的锐角为，
，
，
，
．
故答案为：B．
【分析】将绕点逆时针旋转得到，即可得到△APQ为等边三角形，可得最小的锐角为，根据旋转的性质和邻补角的定义求出，然后根据角的和差解题即可．
5．（2024八下·三水期中）如图，在中，，，O为的中点，将绕点O顺时针旋转得到，D、E分别在边和的延长线上，连接，若，则的面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：连接，，如图所示：
，，
∴，
∵O为的中点，
，，
，
∵将绕点O顺时针旋转得到，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
∴D点在的垂直平分线上，
是等边三角形，
，
即旋转角为，
，
是等边三角形，
∴，
∴F点在的垂直平分线上，
垂直平分，
设垂足为H，
，
，，
，
．
故答案为：D．
【分析】连接，，先证出是等边三角形，可得，再证出是等边三角形，可得，再设垂足为H，求出，，利用勾股定理求出HF的长，最后利用三角形的面积公式求解即可.
6．（2024八下·深圳期中）如图，将两个全等的等腰直角三角形摆成如图所示的样子，其中，，、分别与交于D、E两点，将绕着点A顺时针旋转90°得到，则下列结论：①；②平分；③若，当时，则；④若平分，则，其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵△ABC和△GAF都是等腰直角三角形，且AB=AC，∠BAC=∠AGF=90°，
∴∠ABC=∠ACB=∠GAF=45°.
∴∠BAD+∠EAC=45°.
∵绕着点A顺时针旋转90°得到，
∴∠HAB=∠EAC，∠HBA=∠ECA=45°，AH=AE，HB=EC.
①∵∠HBA=∠ECA=45°，∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠HBD=∠HBA+∠ABC=90°，
∴HB⊥BC，①正确；
②∵∠HAB=∠EAC，∠BAD+∠EAC=45°，
∴∠HAD=∠BAD+∠HAB=45°，
∴∠HAD=∠GAF.
∵AH=AE，AD=AD，
∴△HAD≌△EAD(SAS)，
∴∠HDA=∠EDA，
即平分， ②正确；
③∵△HAD≌△EAD，
∴HD=ED，
∵HB=EC， ，
∴HD=2HB.
∵Rt△HBD中，HB2+BD2=HD2，BD=3.
∴HB2+32=(2HB)2，
∴.
∴，
∴，
∵Rt△ABC中，AB2+AC2=2AB2=BC2，
∴，③错误；
④当AB平分∠HAD，
∴∠HAB=∠DAB，
∵∠HBA=∠ABC=45°，AB=AB，
∴△HAB≌△DAB（ASA）.
∴HB=BD.
∴.
∵△HAD≌△EAD，
∴.
设点A到边BC的距离为h.
∴，
∴ ，④正确，
综上，有3个正确的选项.
故答案为：C.
【分析】①证明∠HBA=∠ABC=45°，即可得到结论；②证明△HAD≌△EAD，即可得到结论；③证明HD=2HB，利用BD的长求出HB，从而可计算出BC长，利用勾股定理即可求出AB长即可得到结论；④证明△HAB≌△DAB，可得HB=BD，于是可用BD表示出HD，由△HAD≌△EAD得到HD=DE，分别表示出△ABD和△ADE的面积，即可得到结论.
7．（2024八下·衡南期中）如图，P是平分线上一点，OP＝10，，在绕点P旋转的过程中始终保持不变，其两边和OA，OB分别相交于M，N，下列结论：①是等边三角形；②MN的值不变；③OM＋ON＝10；④四边形PMON面积不变．其中正确结论的个数为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．
∵∠PEO=∠PFO=90°，
∴∠EPF+∠AOB=180°，
∵∠MPN+∠AOB=180°，
∴∠EPF=∠MPN，
∴∠EPM=∠FPN，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∴PE=PF，
在Rt△POE和Rt△POF中，
，
∴Rt△POE≌Rt△POF（HL），
∴OE=OF，
在△PEM和△PFN中，
，
∴△PEM≌△PFN（ASA），
∴EM=NF，PM=PN，S△PEM=S△PNF，
∵
∴是等边三角形，故①正确；
∵S△PEM=S△PNF，
∴S四边形PMON=S四边形PEOF=定值，故④正确；
∵OM+ON=OE+ME+OF-NF=2OE=10，故③正确；
∵M，N的位置变化，
∴MN的长度是变化的，故②错误；
故答案为：B．
【分析】如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，根据角之间的数量关系得到根据角平分线的性质得到利用"HL"证明，则进而利用"ASA"证明则进而即可判断逐项进行分析判断.
8．（2025八下·嘉兴月考）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作分别交于点．喜欢探究的小东通过独立思考，得到以下结论：①当是的中点时；②当的形状变化时，点有可能为的中点．下列判断正确的是（　　）
A．①，②都正确 B．①，②都错误
C．①正确，②错误 D．①错误，②正确
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点F作，交于点G，如图所示：
∵、分别平分，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理：，
结论①当是的中点
∴，
∴，
∵，，
∴四边形为平行四边形，（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
∴，
又∵AE=BF
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故①正确；
∵和的平分线相交于点 ，连接，
∴平分，（三角形的三条内角平分线交于一点）
∴，
结论②若E为的中点，则，
又∵由①可知
∴，
∴，，
∵，
即2∠DAE+2∠ECD=180°，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵三角形ABC内角和为，
∴这与三角形内角和为矛盾，
∴当的形状变化时，点有可能为的中点，故②错误．
故选：C．
【分析】过点F作，交于点G，根据角平分线分两等角和两直线平行内错角相等，证明，，得出，，两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明为平行四边形，得出，证明，得出，判断①正确；连接，三角形的三条内角平分线交于一点，则平分，由①中信息得，等边对等角，在△ACD中，等量代换证明，求出，得出，说明这与三角形内角和为矛盾，判断②错误．
9．（2024八下·江门期中）在中，，，，点N是边上一点．点M为边上的动点（不与点B重合），点D，E分别为，的中点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
∵，，，
∴，
∵点D、E分别为，的中点，
∴，
∴当最小时，取最小值，
当时，取最小值，如图：
∴，
即，
解得：，
∴，
即的最小值为，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：D．
【分析】连接CM，证出DE是△ANM的中位线，可得，再求出当最小时，取最小值，利用等面积法求出，可得的最小值为，再结合，可得，从而可得．
10．（2024八下·浙江月考）如图，在中，，若将该三角形往任意一方向一次性平移4个单位得到，分别取边的中点，则线段的长可能是（　　）
A．6 B．7 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】三角形三边关系；平移的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，作B'C'的中点，连结PD、DQ，
由平移可得，A'B'=AB=3，PD=4，
∵D、Q是中点，
∴DQ=0.5A'B'=1.5，
∵PD-DQ＜PQ＜PD+PQ，
∴2.5＜PQ＜5，
故答案为：D.
【分析】根据平移的性质可得A'B'=AB=3，PD=4，再利用三角形中位线是第三边的一半得到DQ长，再根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可得到PQ的取值范围，对比选项即可.
二、填空题
11．（2025八下·余姚开学考）在中，，，有一个内角为，是直线上不同于点、的一点，且，则的长为　 　．
【答案】或或4
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：第一种情况：当∠B=60°，如图，
∵ ∠A=90°，∠B=60°，
∴ ∠ACB=30°，
∵ ∠ACP=30°，
∴ ∠BCP=60°，
∴ △PBC为等边三角形，
∴ PB=BC=4；
第二种情况：当∠ACB=60°，如图，
∵∠ACB=60°，∠ACP=30°，
∴ ∠PCB=90°，
∵ ∠B=30°，
∴ 2PC=PB，
设PC为x，则PB=2x，
由勾股定理可得，42+x2=（2x）2，
解得，x=，即PB=2x=；
第散种情况：当∠ACB=60°，如图，
∵ BC=4，∠ACB=60°，
∴ ∠B=30°，
∴ AC=BC=2，
∴ AB=，
设PB=y，则CP=y，AP=2-y，
∵ ∠ACP=30°，
∴ 2AP=CP，即2(2-y)=y，
∴ y=，
综上，PB的长为4，或.
故答案为：4或或.
【分析】分情况讨论，①当∠B=60°只有一个符合条件的P点，根据等边三角形的判定与性质即可求得；②当∠C=60°，P在AB延长线上，根据勾股定理和30°的直角三角形的性质即可求得；③当∠C=60°，P在AB线线上，根据等角对等边可得CP=PB，先求得AB=，根据30°的直角三角形的性质可得2AP=CP列方程，即可求得.
12．（2023八下·新田期中）如图，在矩形中，，O为对角线的中点，点P在边上，且，点Q在边上，连接与，则的最大值为　 　，的最小值为　 　．
【答案】；
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：第一空：连接PO并延长交BC于点Q，PQ-OQ的最大值为PO的长度，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴CB∥DA，∠A=∠B=90°，
∴∠PAO=∠OCQ，
∴AO=CO，
∵∠POA=∠COQ，
∴△APO=△CQO(ASA)，
∴PA=QC=2，OP=OQ，
过点P作PH⊥BC于点P，
∴四边形BHPA是矩形，
∴BH=PA=CQ=2，BA=HP=2，
∴QH=2，
由勾股定理得，
∴PO=；
第二空：过点O作关于CB的对称点O'，连接PO'∠BC于点Q，延长OO'交DA于点G，此时，的最小值为PO'的长度，如图所示：
∵DA⊥GO'，O为AC中点，
∴GA=3，
∴AP=2，OG=1，
∴GO'=3，GP=1，
由勾股定理得，
综上所述，的最大值为，的最小值为，
故答案为：；；
【分析】第一空：连接PO并延长交BC于点Q，PQ-OQ的最大值为PO的长度，先根据矩形的性质即可得到CB∥DA，∠A=∠B=90°，进而根据等腰三角形的性质结合题意即可得到AO=CO，再运用对顶角的性质结合三角形全等的判定与性质证明△APO=△CQO(ASA)即可得到PA=QC=2，OP=OQ，过点P作PH⊥BC于点P，进而根据矩形的性质即可得到BH=PA=CQ=2，BA=HP=2，再根据勾股定理即可求解；第二空：过点O作关于CB的对称点O'，连接PO'∠BC于点Q，延长OO'交DA于点G，此时，的最小值为PO'的长度，根据题意结合已知条件即可得到GA=3，进而得到AP=2，OG=1，从而得到GO'=3，GP=1，最后运用勾股定理即可求解。
13．（2024八下·龙岗期中）已知，等边三角形，点D，E分别在边，上，且满足，连接，，交于点M．作，的角平分线，交于点N．连接，当时，的度数为　 　．
【答案】
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的性质；等边三角形的性质；角平分线的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】
过点N分别作，垂足分别为F，P，Q，
∵△ABC是等边三角形，
∴，
∴在△ADC和△CEB中
，
∴，
∴，
∴ ∠ACB-∠ACD=∠ABC-∠CBE
∴∠DCB=∠DBE=34°
∴，
∴，
，
∴∠CDB=180°-∠ADC=86°
∵，的角平分线，交于点N．
∴，
∴∠NDB=∠NDC+∠CDB=133°
∴，
∵，BN平分，DN平分．
∴，
∴平分，
∵，
∴，
∴，
∵∠EMN=∠MNB+∠MBN
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，角的平分线的判定和性质，三角形的外角的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形的外角是解题的关键．
根据等边三角形的性质：三边形相等，三个角都相等，每个角都是60°可知：，根据三角形全等的判定定理：在△ADC和△CEB中，可通过SAS证明，再由全等三角形的性质：全等三角形对应边相等可知：，根据等式的性质可知： ∠ACB-∠ACD=∠ABC-∠CBE，即∠DCB=∠DBE=34°，再根据三角形外角的性质：三角形的外角=不相邻的两内角之和与等量代换得到：．结合，得到，，，继而得到，过点N分别作，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等可知：NP=NF=NQ，由此可知：NM平分∠EMD，根据平角的定义可知：，最后根据三角形外角性质和角的和差运算计算即可得到答案．
14．（2024八下·金牛期末）如图，在平面直角坐标系中，是等边三角形，点，直线绕轴上一点顺时针旋转120°，得到的直线恰好经过点，则点的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】旋转的性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设点C是直线l上一点，且点C绕点M顺时针旋转120度得到点B，连接，过点C作交x轴于F，
∵是等边三角形，点，
∴，
∴，
由旋转的性质可得，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
如图所示，过点C作x轴的垂线，垂足分为E，设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
【分析】 设点C是直线l上一点，且点C绕点M顺时针旋转120度得到点B，连接， 过点C作交x轴于F， 通过 证明，得到； 设点， 再表示出点C的坐标，根据l的解析式可得关于m的方程， 解方程求得M的值，即可得出点M的坐标。
15．（2021八下·临邑期末）旋转变换在几何证明或计算中有很重要的应用，利用旋转解决问题：如图，P为正方形 内一点， ， ， ，则 　 　．
【答案】135°
【知识点】勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：将 绕点 顺时针方向旋转90°得 ，如图，
则 且 ，
∴ ，
∴
在 中，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ．
故答案是：135°．
【分析】将 绕点 顺时针方向旋转90°得 ，得出 且 ，根据勾股定理得出PE的值，由 是等腰直角三角形，得出，从而得出 的度数。
16．（2024八下·青岛期中）如图，O是等边△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，以点B为旋转中心，将线段BO逆时针旋转60°得到线段BO'，连接AO'．则下列结论：
①△BO'A可以由△BOC绕点B逆时针方向旋转60°得到；
②连接OO'，则OO'=4；
③∠AOB=150°；
④S四边形AOBO'=6+4．
其中正确的结论是　 　．
【答案】①②③④
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OO'；
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=60°，AB=CB；
由题意得：∠OBO'=60°，OB=O'B，
∴△OBO'为等边三角形，∠ABO'=∠CBO，
∴OO'=OB=4；∠BOO'=60°，
∴选项②正确；
在△ABO'与△CBO中，
，
∴△ABO'≌△CBO（SAS），
∴AO'=OC=5，
△BO'A可以由△BOC绕点B逆时针方向旋转60°得到，
∴选项①正确；
在△AOO'中，∵32+42=52，
∴△AOO'为直角三角形，
∴∠AOO'=90°，∠AOB=90°+60°=150°，
∴选项③正确；
∵S四边形AOBO'=，
∴选项④正确．
综上所述，正确选项为①②③④．
【分析】如图，连接OO'，根据等边三角形性质可得∠ABC=60°，AB=CB，再根据等边三角形判定定理可得△OBO'为等边三角形，∠ABO'=∠CBO，则OO'=OB=4；∠BOO'=60°，可判断②；再根据全等三角形判定定理可得△ABO'≌△CBO（SAS），则AO'=OC=5，再根据旋转性质可判断①；根据勾股定理逆定理可得△AOO'为直角三角形，则∠AOO'=90°，∠AOB=90°+60°=150°，可判断③；再根据四边形面积即可可判断④.
17．（2023八下·柯桥期末）如图，在平行四边形中，，，是边延长线上一点，连接，以为边作等边三角形，连接，则的最小值是　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，在上截取，连接并延长，作，
四边形是平行四边形，，，
，，
，
，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
当点是边延长线上时，点在的延长线上 ，
，，
，
的最小值是，
故答案为：.
【分析】利用瓜豆原理可知点F的运动轨迹是一条直线，故勾手拉手全等三角形模型是本题的解题关键.利用等边三角形的性质通过SAS判定得到，再通过直角三角形的性质求得CM的长度即FC的最小值.
18．（2024八下·铜仁期末）如图，矩形中，，，点G是边上的一点，点P是边上的一个动点，连接，，点E，F分别是，的中点，在点P的运动过程中，的最大长度为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接，，如图所示：
∵点E，F分别是，的中点，
∴，
∴当最大时，最大，
当点P在点B处时，最大，即的长度，
∵四边形为矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴的最大长度为．
故答案为：．
【分析】先利用三角形中位线性质得出，从而得出当最大时，最大，根据点P在点B处时，最大，再利用勾股定理的长度，即可得出答案．
19．（2024八下·黄埔期末） 如图， 在矩形 和矩形 中， 与 相交于点 与 相交于点 ， 连接 ， 并延长 与 相交于点 ， 若 ， 则下列结论正确的是　 　。
①；
②；
③ ；
④连接 ， 若 ， 四边形 与四边形 的面积之比为 .
【答案】①②
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：在矩形和矩形中，
，
∵，
∴，
∵，
∴，故①正确；
连接，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点N在的垂直平分线上，
∵，
∴，
∴点M在的垂直平分线上，
∴垂直平分，
即，故②正确；
根据题意无法得到，故③错误；
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
如图，过点E作交的延长线于点G，则，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
，
∴四边形与四边形的面积之比为，故④错误；
故答案为： ①②
【分析】根据矩形的性质得到，进而得到，再根据三角形全等的判定证明即可判断①；连接，根据三角形全等的判定证明得到，从而证明得到，即点N在的垂直平分线上，根据全等三角形的性质得到，进而得到垂直平分，即，从而即可判断②；根据题意无法得到，进而即可判断③；设，则，根据勾股定理得到，过点E作交的延长线于点G，则， ，再根据平行四边形的判定与性质得到，再求出，从而相比即可求解。
三、实践探究题
20．（2024八下·顺德期末）学习几何时，通常是先用几何的眼光去观察，再用代数的方法去验证网格是研究几何图形的一种工具，也是培养几何直观的一种方式．
（1）如图是正方形网格，正方形的顶点称为格点，每一个小正方形的边长为．
如图，点、在格点上，仅用无刻度的直尺找出线段的中点不写画法，保留画图痕迹；
如图，点、、在格点上，仅用无刻度的直尺找出的平分线交于点，并写出画图的步骤或依据；
（2）如图，在中，，，，以为边在的左侧作等腰直角，连接，求的长．
【答案】（1）解：①如图，点O即为所求；
②如图，在的延长线上取点取格点，取格点F，连接交与点G，连接交于点P，则即为所求；
理由：根据作法得：，四边形是矩形，
∴，，
∴平分；
（2）解：，，，
，
，
有三种情形：
当，时，；
当，时，；
当，．
综上所述，的长为或或．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）①取格点M，N，连接交于点O，即可求解；
②在的延长线上取点取格点，取格点F，连接交与点G，连接交于点P，则即为所求；
（2）先根据勾股定理的逆定理得到∠CAB的度数，进而即可得到三种情形：当，时，当，时，当，从而根据勾股定理即可求解。
21．（2024八下·罗湖期末）
（1）【知识再现】如图1， 已知等腰中，，平分，D点在上．则与的位置关系是　 　，　 　，当，时，　 　．
（2）【知识应用】如图2， 在中，，平分交于E，，且求的周长．
（3）【知识拓展】如图3，中，，，是的角平分线，求的值．
【答案】[知识再现] ，1，；[知识应用]12；[知识拓展] ．
（1）；1；
（2）解：延长，交于点F，如图，
∵平分交于E，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
则的周长，
（3）解：作于点E，于点F，如图，
∵是的角平分线，
∴，
∵，，，，
∴．
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：【知识再现】∵，平分，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
在中，；
故答案为：，1，；
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得，，即可求得面积比，结合勾股定理可求得；
（2）由角平分线即垂线构造三线合一辅助线，即延长，交于点F，可证明，进而利用勾股定理求得，即得出的等量关系，即可求得的值，即求得目标三角形的周长；
（3）由角平分线直角作垂，利用等积法将两三角形的面积比转化为两边之比与目标线段的比值即可得出结果．
22．（2024八下·福田期末）综合与实践：
【问题情境】
活动课上，同学们以等边三角形为背景开展旋转探究活动，数学小组经过研究发现“等边三角形在旋转过程中，对应边所在直线的夹角与旋转角存在一定关系”（注：平面内两直线的夹角是指两直线相交形成的小于或等于90°的角）．如图1，将等边绕点A逆时针旋转15°得到，则线段与线段的夹角．如图2，将等边绕点A逆时针旋转100°得到，则线段与线段所在直线的夹角．
【特例分析】
（1）如图1，若将等边绕点A逆时针旋转得到，线段与线段所在直线的夹角度数为______度；如图2，若将等边绕点A逆时针旋转得到，线段与线段所在直线的夹角度数为______度．
【类比分析】
（2）如图3，已知是等边三角形，分别在边和上截取和，使得，连接．如图4，将绕点A逆时针旋转（），连接，当和所在直线互相垂直时，线段之间有怎样的等量关系？试探究你的结论，并说明理由．
【延伸应用】
（3）在（2）的条件下，如图3，若，，将绕点A逆时针旋转（）．当和所在直线互相垂直时，请直接写出此时的长．
【答案】（1）30；70；
（2）解：AE2+AC2=CE2，
理由如下：设BC和DE所在直线交于点H，则∠H=90°，
由（1）知，∠H+∠CAE=180°，
∴∠CAE=90°，
∴AE2+AC2=CE2；
（3）解：当DE在直线AC上方时，过点D作DG⊥AC于点G，如图：
由（2）知，∠CAE=90°，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠DAE=60°，
∴∠DAG=30°，
∴，
故，
∴，
∴；
当DE在直线AC下方时，过点D作DH⊥AC于点H，如图：
由（2）知，∠CAE=90°，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠DAE=60°，
∴∠DAH=30°，
∴，
故，
∴，
∴，
综上的长度为或2
【知识点】等边三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1） 设AE和BC交于点F，如图：
∵等边△ABC绕点A逆时针旋转30°得到△ADE，
∴∠C=∠E=60°，∠FAC=30°，
∵∠CFA=∠EFM，
∴∠FAC=∠EMF=30°；
∵等边△ABC绕点A逆时针旋转100°得到△ADE，
∴∠C=∠AED=60°，∠EAC=110°，
∵∠AEM+∠AED=180°，
即∠AEM+∠C=180°，
在四边形ACME中，∠EAC+∠CME=180°，
∴∠CME=70°，
即线段BC与线段DE所在直线的夹角度数为70度，
故答案为：30，70.
【分析】（1） 设AE和BC交于点F，根据等边三角形的三个角都是60°和旋转的性质得出∠C=∠E=60°，∠FAC=30°，结合对顶角相等得出∠FAC=∠EMF=30°；根据等边三角形的三个角都是60°和旋转的性质得出∠C=∠AED=60°，∠EAC=110°，结合图可得∠AEM+∠C=180°，即可求得∠EAC+∠CME=180°，即∠CME=70°，即可求解；
（2）设BC和DE所在直线交于点H，则∠H=90°，结合（1）可得∠H+∠CAE=180°，即可求出∠CAE=90°，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解；
（3）分两种情况：当DE在直线AC上方时，过点D作DG⊥AC于点G，结合（2）中∠CAE=90°，得出∠DAG=30°，根据直角三角形中30°角所对的边是斜边的一半得出，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出AG=3，结合直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解；当DE在直线AC下方时，过点D作DH⊥AC于点H，结合（2）中∠CAE=90°，得出∠DAG=30°，根据直角三角形中30°角所对的边是斜边的一半得出，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出AH=3，结合直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解.
23．（2024八下·仁寿期末）
（1）【案例展示】如图，点、分别在正方形的边、上，，连接，则，理由如下：
，可把绕点逆时针旋转至，可使与重合，
，
，点、、共线，由旋转得：≌，
，，，而，
，即，
　 　≌，根据是　 　第一空填三角形，第二空填全等的依据，
，
又，
．
（2）【类比引申】如图，四边形中，，点、分别在边、上，若、都不是直角时仍成立，则与应该满足什么数量关系是　 　．
（3）【拓展运用】如图，在中，，，点、均在边上，且猜想、、应满足的等量关系，并写出推理过程．
【答案】（1）；
（2）
（3）解；猜想：，
证明：将绕点顺时针旋转得到，如图，
≌，
，，，，
在中，
，
，
，
即，
，
又，
，
，
即，
在和中，
，
≌，
，
．
【知识点】勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）∵
∴ △AFE≌△AFG（SAS）；
故答案为：△AFE；SAS.
（2）把△ABE绕着点A逆时针旋转90°至△ADE'，可使AB与AD重合，如图，
由旋转可得，△ABE≌△ADE'，
∴ BE=DE'，
由（1）同理可得△AFE≌△AFE'，
∴ EF=E'F，
∵ EF=BE+DF，
∴ E'F=DE'+DF，
即F，D，E'三点共线，
∴ ∠ADF+∠ADE'=180°，
即∠ADF+∠B=180°，
即∠B+∠D=180°.
故答案为：∠B+∠D=180°；
【分析】（1）依据SAS判定△AFE≌△AFG即可求得；
（2）同（1），根据旋转的性质可得△ABE≌△ADE'推出BE=DE'，进而得到E'F=DE'+DF，即三点共线，即可求得；
（3）同（1），根据旋转的性质可得△ACE ≌推出，，，，根据等腰直角三角形的性质可推出∠E'BD=90°，根据勾股定理可得，再依据SAS判定△AE'D≌△AED推出DE=DE'，即可证明．
24．（2023八下·鄠邑期末）
【问题提出】如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积．
【尝试解决】旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题．
（1）如图2，连接，由于，所以可将绕点顺时针方向旋转，得到，则的形状是　 　．
（2）在(1)的基础上，求四边形的面积．
（3）【类比应用】
如图，等边的边长为，是顶角为的等腰三角形，以D为顶点作一个的角，角的两边分别交于点，交于点，连接，求的周长．
【答案】（1）等边三角形
（2）解：由（1）知，△BDC≌△B'DA，
∴S△BCD=S△B'AD，BC=B'A=1，
四边形ABCD的面积=等边三角形BDB'的面积，BB'=AB+AB'=2+1=3
如图，过点D作DE⊥BB'于点E，
∴BE=BB'=，
∴
；
（3）解：将△BDM绕点D顺时针方向旋转120°，得到△DCP，
≌，
，，，，
是等腰三角形，且，
，，
又等边三角形，
，
，
同理可得，
，
，
，，三点共线，
，
，
即，
≌，
，
的周长．
故的周长为．
【知识点】翻折变换（折叠问题）；图形的旋转；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）∵ 将△BDC绕点D顺时针方向旋转60°，得到△DAB'，
∴BD=DB'，∠BDB'=60°，∠B'AD=∠C，
∵∠ABC=120°，∠ADC=60°，
∴∠C+∠BAD=360°-∠ABC-∠ADC=180°，
∴∠BAD+∠B'AD=180°，
∴B、A、B三点在同一条直线上，
∴△BDB'是等边三角形；
故答案为：等边三角形；
【分析】（1）由旋转得BD=DB'，∠BDB'=60°，∠B'AD=∠C，由四边形的内角和定理及等量代换推出∠BAD+∠B'AD=180°，则B、A、B三点在同一条直线上，进而由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得出△BDB'是正三角形；
（2）由旋转的性质可得四边形ABCD的面积=等边三角形BDB'的面积，故求出等边三角形BDB'的边长为3，进而求出三角形BDB'的面积即可；
（3）将△BDM绕点D顺时针旋转120°得到△DCP，由旋转的性质得MD=PD，CP=BM，∠MBD =∠DCP，∠MDB=∠PDC， 由等腰三角形性质得∠DBC=∠DCB=30°，由等边三角形性质及角的和差可推出∠MBD=∠NCD=90°，进而即可推出N、C、P三点共线，再由角的和差及等量代换推出∠MDN=∠PDN=60°，从而用SAS判断出△NMD≌△NPD，由全等三角形对应边相等得MN=PN，进而根据三角形周长的计算方法、等量代换及线段的和差可将△AMN的周长转化为AB+AC，从而即可得出答案.
25．（2024八下·高州期末）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第页的部分内容．
平行四边形的性质定理平行四边形的对角线互相平分我们可以用演绎推理证明这个结论．
已知：如图， 的对角线和相交于点．
求证：，．
（1）请根据教材提示，结合图，写出完整的证明过程．
（2）【性质应用】如图，在 中，对角线，相交于点，过点且与边，分别相交于点，求证：．
（3）【拓展提升】在【性质应用】的条件下，连接若，的周长是，则 的周长是　 　．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
， ，
在和中，
，
≌，
，；
（2）证明：四边形是平行四边形，
，，
，，
在和中，
，
≌，
；
（3）18
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】（3）如图所示，连接AF
∵ 平行四边形ABCD
∴ AB=CD，AD=BC
由（1）知：OA=OC
∵ EF⊥AC
∴ EF垂直平分AC
∴ AF=CF
∵的周长是
∴ AB+BF+AF=AB+BF+CF=AB+BC=9
∴ 的周长=2（AB+BC）=18
【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形全等的判定与性质，线段的垂直平分线的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识是关键。（1）由平行四边形ABCD的性质证≌，可得结论；（2）由平行四边形ABCD的性质证≌，可得结论；（3）由平行四边形ABCD的性质证EF垂直平分AC，根据的周长是 可得平行四边形ABCD的周长.
26．（2024八下·金沙期末）综合与实践
特例感知：
如图1，在等边三角形中，是延长线上一点，且，以为边作等边三角形，连接，分别过点作，过点作，交于点，连接与交于点．
（1）试判断和的数量关系，并说明理由．
（2）猜想论证：将绕点按顺时针方向旋转一定角度得到图2，则（1）中和的数量关系是否仍然成立？请说明理由．
（3）拓展延伸：将如图1所示的绕点按逆时针方向旋转角度，当时，请直接写出的值．
【答案】（1）解：，理由如下：
和都是等边三角形，
，
，
，
四边形是平行四边形，，
，，
，，
在和中，
，
，
；
（2）解： 解：仍然成立，理由如下：
如图，延长，交于点，
和都是等边三角形，
，
，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
在和中，
，
，
；
（3）解：如图，
∵，，
∴由（2）可知，，
.
【知识点】等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得，由邻补角的定义得，然后根据平行四边形的判定以及平行线的性质推出四边形是平行四边形，，从而得，，进而推出，得；
（2）延长，交于点，根据等边三角形的性质得，然后根据平行线的性质得，结合三角形外角的性质求出，由（1）同理可证，接下来即可推出，得；
（3）利用（2）中的结论得，，根据旋转的性质即可求解.
（1）解：，
理由：和都是等边三角形，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，
，
；
（2）解：仍然成立，
理由：如图，延长，交于点，
，
和都是等边三角形，
，
，
，
，，
，
同（1）可知，，
，
；
（3）解：当时，如图，
，
由（2）可知，，
，
，
，
的值为．
27．（2024八下·镇平县月考）综合与实践：折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．
定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为完美矩形．
（1）操作发现：
如图①，将纸片按所示折叠成完美矩形，若的面积为24，，则此完美矩形的边长 ，面积为 ．
（2）类比探究：
如图②，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若平行四边形的面积为，，则完美矩形的周长为 ．
（3）拓展延伸：
如图③，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若，，求此完美矩形的周长为多少．
【答案】（1）4；12
（2）16
（3）解：连接，如图所示：
∵四边形为平行四边形，
∴，，
由折叠可得：点和分别是和的中点，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴设，则，
∵在中，，
∴，
解得：，
∴，，
∴矩形的周长．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】
（1）解：由折叠可知，，，
∴，
根据折叠可知：，，，
∵
，
∴完美矩形的面积为：
；
（2）解：由折叠可得：，，，，
∴，
∴，
∴，
∴矩形的周长；
【分析】
本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，折叠的性质，矩形的性质，勾股定理等知识点，熟悉利用折叠的性质是解题的关键．
（1）根据折叠的性质：折痕两侧部分的对应边相等，对应角相等可知：BF=DF，CG=DG，代入数据求出，再根据，将△ABC的面积转化，即可求出完美矩形的面积；
（2）根据折叠的性质：折痕两侧部分的对应边相等，对应角相等可知：BE=HE，CF=HF，代入数据求出，根据折叠的性质可知：，代入数据求出：，根据矩形的面积公式得出：代入数据求出AE的长，再根据矩形周长公式：，代入数据即可得到矩形的周长；
（3）连接，由平行四边形的性质：平行四边形对边平行且相等可知：AB=长度，AB∥CD，再根据折叠的性质和中点的定义可知：AE=DG，AE∥DG，根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质：对边平行且相等可知：AD=EG，在根据矩形的性质：矩形的对角线相等且平分可知：EG=FH，等量代换得：AD=FH=15，设，则，利用勾股定理求出矩形的长和宽，即可得到矩形的周长．
28．（2024八下·绍兴期中）某数学兴趣小组对对角线互相垂直的四边形进行了探究，得出了如下结论：
如图1，若四边形的对角线与相交于点，且，则四边形的四条边长满足．
（1）简单应用：如图1，四边形中，，，，，则边　 　；
（2）发现应用：如图2，若，分别是中，边上的中线．且垂足为，求证：；
（3）拓展应用：如图3，中，点、、分别是，，的中点．若，，．求线段的长．
【答案】（1）
（2）解：证明：连接，
于，
，
，，，，
，
，．，
，
（3）解：如图3，连接，交于，与交于点，设与的交点为，
点、分别是，的中点，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，分别是，的中点，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
在和中，
，
，
，
，分别是的中线，
由（2）的结论得：，
，
．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（1）由题意知，
，，，
，
，
故答案为：；
【分析】（1）根据题意直接列式计算即可；
（2）连接，由，，同理，则可得出结论；
（3）连接交于，设与的交点为，由点、分别是，的中点，得到是的中位线，然后证出，再根据四边形是平行四边形，可得，根据，分别是，的中点，得到，再证明四边形是平行四边形，得到，推出，分别是的中线，根据（2）的结论即可得到答案．
1 / 1平面几何的探究与压轴题型-2024-2025学年八年级下册北师大版数学
一、选择题
1．（2024八下·高州月考）如图所示，点A坐标为(-3，0) 点B坐标为(1，4)，在y轴上存在一点C，使得△ABC为等腰三角形，则满足此条件的点C最多有（　　）
A．4个 B．5个 C．6个 D．8个
2．（2023八下·嵊州期末）如图，将矩形纸片沿对角线对折，使得点B落在点E处，交于点F，若平分，，则的长是（　　）
A．1.5 B． C． D．
3．（2024八下·嵊州期末）如图，矩形中，．平分交于点，是上一动点，连结，于点，若，且，则的长为（　　）
A． B． C． D．
4．（2024八下·余姚期中）已知P是等边三角形的边上的一点，若，则在以线段，，为边的三角形中，则最小内角的度数是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024八下·三水期中）如图，在中，，，O为的中点，将绕点O顺时针旋转得到，D、E分别在边和的延长线上，连接，若，则的面积是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024八下·深圳期中）如图，将两个全等的等腰直角三角形摆成如图所示的样子，其中，，、分别与交于D、E两点，将绕着点A顺时针旋转90°得到，则下列结论：①；②平分；③若，当时，则；④若平分，则，其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2024八下·衡南期中）如图，P是平分线上一点，OP＝10，，在绕点P旋转的过程中始终保持不变，其两边和OA，OB分别相交于M，N，下列结论：①是等边三角形；②MN的值不变；③OM＋ON＝10；④四边形PMON面积不变．其中正确结论的个数为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
8．（2025八下·嘉兴月考）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作分别交于点．喜欢探究的小东通过独立思考，得到以下结论：①当是的中点时；②当的形状变化时，点有可能为的中点．下列判断正确的是（　　）
A．①，②都正确 B．①，②都错误
C．①正确，②错误 D．①错误，②正确
9．（2024八下·江门期中）在中，，，，点N是边上一点．点M为边上的动点（不与点B重合），点D，E分别为，的中点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024八下·浙江月考）如图，在中，，若将该三角形往任意一方向一次性平移4个单位得到，分别取边的中点，则线段的长可能是（　　）
A．6 B．7 C．2 D．3
二、填空题
11．（2025八下·余姚开学考）在中，，，有一个内角为，是直线上不同于点、的一点，且，则的长为　 　．
12．（2023八下·新田期中）如图，在矩形中，，O为对角线的中点，点P在边上，且，点Q在边上，连接与，则的最大值为　 　，的最小值为　 　．
13．（2024八下·龙岗期中）已知，等边三角形，点D，E分别在边，上，且满足，连接，，交于点M．作，的角平分线，交于点N．连接，当时，的度数为　 　．
14．（2024八下·金牛期末）如图，在平面直角坐标系中，是等边三角形，点，直线绕轴上一点顺时针旋转120°，得到的直线恰好经过点，则点的坐标是　 　．
15．（2021八下·临邑期末）旋转变换在几何证明或计算中有很重要的应用，利用旋转解决问题：如图，P为正方形 内一点， ， ， ，则 　 　．
16．（2024八下·青岛期中）如图，O是等边△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，以点B为旋转中心，将线段BO逆时针旋转60°得到线段BO'，连接AO'．则下列结论：
①△BO'A可以由△BOC绕点B逆时针方向旋转60°得到；
②连接OO'，则OO'=4；
③∠AOB=150°；
④S四边形AOBO'=6+4．
其中正确的结论是　 　．
17．（2023八下·柯桥期末）如图，在平行四边形中，，，是边延长线上一点，连接，以为边作等边三角形，连接，则的最小值是　 　．
18．（2024八下·铜仁期末）如图，矩形中，，，点G是边上的一点，点P是边上的一个动点，连接，，点E，F分别是，的中点，在点P的运动过程中，的最大长度为　 　．
19．（2024八下·黄埔期末） 如图， 在矩形 和矩形 中， 与 相交于点 与 相交于点 ， 连接 ， 并延长 与 相交于点 ， 若 ， 则下列结论正确的是　 　。
①；
②；
③ ；
④连接 ， 若 ， 四边形 与四边形 的面积之比为 .
三、实践探究题
20．（2024八下·顺德期末）学习几何时，通常是先用几何的眼光去观察，再用代数的方法去验证网格是研究几何图形的一种工具，也是培养几何直观的一种方式．
（1）如图是正方形网格，正方形的顶点称为格点，每一个小正方形的边长为．
如图，点、在格点上，仅用无刻度的直尺找出线段的中点不写画法，保留画图痕迹；
如图，点、、在格点上，仅用无刻度的直尺找出的平分线交于点，并写出画图的步骤或依据；
（2）如图，在中，，，，以为边在的左侧作等腰直角，连接，求的长．
21．（2024八下·罗湖期末）
（1）【知识再现】如图1， 已知等腰中，，平分，D点在上．则与的位置关系是　 　，　 　，当，时，　 　．
（2）【知识应用】如图2， 在中，，平分交于E，，且求的周长．
（3）【知识拓展】如图3，中，，，是的角平分线，求的值．
22．（2024八下·福田期末）综合与实践：
【问题情境】
活动课上，同学们以等边三角形为背景开展旋转探究活动，数学小组经过研究发现“等边三角形在旋转过程中，对应边所在直线的夹角与旋转角存在一定关系”（注：平面内两直线的夹角是指两直线相交形成的小于或等于90°的角）．如图1，将等边绕点A逆时针旋转15°得到，则线段与线段的夹角．如图2，将等边绕点A逆时针旋转100°得到，则线段与线段所在直线的夹角．
【特例分析】
（1）如图1，若将等边绕点A逆时针旋转得到，线段与线段所在直线的夹角度数为______度；如图2，若将等边绕点A逆时针旋转得到，线段与线段所在直线的夹角度数为______度．
【类比分析】
（2）如图3，已知是等边三角形，分别在边和上截取和，使得，连接．如图4，将绕点A逆时针旋转（），连接，当和所在直线互相垂直时，线段之间有怎样的等量关系？试探究你的结论，并说明理由．
【延伸应用】
（3）在（2）的条件下，如图3，若，，将绕点A逆时针旋转（）．当和所在直线互相垂直时，请直接写出此时的长．
23．（2024八下·仁寿期末）
（1）【案例展示】如图，点、分别在正方形的边、上，，连接，则，理由如下：
，可把绕点逆时针旋转至，可使与重合，
，
，点、、共线，由旋转得：≌，
，，，而，
，即，
　 　≌，根据是　 　第一空填三角形，第二空填全等的依据，
，
又，
．
（2）【类比引申】如图，四边形中，，点、分别在边、上，若、都不是直角时仍成立，则与应该满足什么数量关系是　 　．
（3）【拓展运用】如图，在中，，，点、均在边上，且猜想、、应满足的等量关系，并写出推理过程．
24．（2023八下·鄠邑期末）
【问题提出】如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积．
【尝试解决】旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题．
（1）如图2，连接，由于，所以可将绕点顺时针方向旋转，得到，则的形状是　 　．
（2）在(1)的基础上，求四边形的面积．
（3）【类比应用】
如图，等边的边长为，是顶角为的等腰三角形，以D为顶点作一个的角，角的两边分别交于点，交于点，连接，求的周长．
25．（2024八下·高州期末）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第页的部分内容．
平行四边形的性质定理平行四边形的对角线互相平分我们可以用演绎推理证明这个结论．
已知：如图， 的对角线和相交于点．
求证：，．
（1）请根据教材提示，结合图，写出完整的证明过程．
（2）【性质应用】如图，在 中，对角线，相交于点，过点且与边，分别相交于点，求证：．
（3）【拓展提升】在【性质应用】的条件下，连接若，的周长是，则 的周长是　 　．
26．（2024八下·金沙期末）综合与实践
特例感知：
如图1，在等边三角形中，是延长线上一点，且，以为边作等边三角形，连接，分别过点作，过点作，交于点，连接与交于点．
（1）试判断和的数量关系，并说明理由．
（2）猜想论证：将绕点按顺时针方向旋转一定角度得到图2，则（1）中和的数量关系是否仍然成立？请说明理由．
（3）拓展延伸：将如图1所示的绕点按逆时针方向旋转角度，当时，请直接写出的值．
27．（2024八下·镇平县月考）综合与实践：折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．
定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为完美矩形．
（1）操作发现：
如图①，将纸片按所示折叠成完美矩形，若的面积为24，，则此完美矩形的边长 ，面积为 ．
（2）类比探究：
如图②，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若平行四边形的面积为，，则完美矩形的周长为 ．
（3）拓展延伸：
如图③，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若，，求此完美矩形的周长为多少．
28．（2024八下·绍兴期中）某数学兴趣小组对对角线互相垂直的四边形进行了探究，得出了如下结论：
如图1，若四边形的对角线与相交于点，且，则四边形的四条边长满足．
（1）简单应用：如图1，四边形中，，，，，则边　 　；
（2）发现应用：如图2，若，分别是中，边上的中线．且垂足为，求证：；
（3）拓展应用：如图3，中，点、、分别是，，的中点．若，，．求线段的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，
当BC=BA时，以点B为圆心，AB的长为半径画圆交y轴于点C1、C2；
当AC=AB时，以点A为圆心，AB的长为半径画圆交y轴于点C3、C4；
当CA=CB时，作AB的垂直平分线交y轴于点C5；
综上，满足条件的点C最多有5个.
故答案为：B.
【分析】分类讨论：①当BC=BA时，以点B为圆心，AB的长为半径画圆；②当AC=AB时，以点A为圆心，AB的长为半径画圆；③当CA=CB时，作AB的垂直平分线，然后看所作的直线与弧线与y轴的交点个数即可得出答案.
2．【答案】B
【知识点】角平分线的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念
【解析】【解答】解：过F作FG⊥AC于点G，
∵CF平分∠ACD，
∴FD=GF.
由折叠可得AB=AE.
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD，∠D=90°，
∴CD=AE，∠ACD+∠CAD=90°.
∵CD=AE，∠E=∠D=90°，∠AFE=∠CFD，
∴△AEF≌△CDF（AAS），
∴AF=FC=2，
∴∠FAC=∠FCD.
∵CF平分∠ACD，
∴∠ACF=∠DCF，
∴∠ACF=∠FCD=∠FAC.
∵∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠FCD=30°，
∴DF=CF=1，
∴CD==.
故答案为：B.
【分析】过F作FG⊥AC于点G，由角平分线的性质可得FD=GF，由折叠可得AB=AE，根据矩形的性质可得AB=CD，∠D=90°，则CD=AE，∠ACD+∠CAD=90°，利用AAS证明△AEF≌△CDF，得到AF=FC=2，则∠FAC=∠FCD，结合角平分线的概念可得∠ACF=∠DCF，则∠ACF=∠FCD=∠FAC，据此可得∠FCD=30°，得到DF=CF=1，然后利用勾股定理计算即可.
3．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：连接、，如图，
∵，，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵平分，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，，
∴，
即，
∴是直角三角形，
∴，
设，则，
即，
在中，，
在中，，
即，
解得：，
∴，
∴．
故答案为：A．
【分析】连接、，垂直平分新的性质得到，再根据角平分线得到，利用矩形的性质可得，，，再根据平行线可以推导，即可得到，证明，即可得到，得到是直角三角形，根据勾股定理求解即可．
4．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图所示，将绕点逆时针旋转得到，
，，，，
△APQ为等边三角形，
，
以，，线段为边的三角形，即，最小的锐角为，
，
，
，
．
故答案为：B．
【分析】将绕点逆时针旋转得到，即可得到△APQ为等边三角形，可得最小的锐角为，根据旋转的性质和邻补角的定义求出，然后根据角的和差解题即可．
5．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：连接，，如图所示：
，，
∴，
∵O为的中点，
，，
，
∵将绕点O顺时针旋转得到，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
∴D点在的垂直平分线上，
是等边三角形，
，
即旋转角为，
，
是等边三角形，
∴，
∴F点在的垂直平分线上，
垂直平分，
设垂足为H，
，
，，
，
．
故答案为：D．
【分析】连接，，先证出是等边三角形，可得，再证出是等边三角形，可得，再设垂足为H，求出，，利用勾股定理求出HF的长，最后利用三角形的面积公式求解即可.
6．【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵△ABC和△GAF都是等腰直角三角形，且AB=AC，∠BAC=∠AGF=90°，
∴∠ABC=∠ACB=∠GAF=45°.
∴∠BAD+∠EAC=45°.
∵绕着点A顺时针旋转90°得到，
∴∠HAB=∠EAC，∠HBA=∠ECA=45°，AH=AE，HB=EC.
①∵∠HBA=∠ECA=45°，∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠HBD=∠HBA+∠ABC=90°，
∴HB⊥BC，①正确；
②∵∠HAB=∠EAC，∠BAD+∠EAC=45°，
∴∠HAD=∠BAD+∠HAB=45°，
∴∠HAD=∠GAF.
∵AH=AE，AD=AD，
∴△HAD≌△EAD(SAS)，
∴∠HDA=∠EDA，
即平分， ②正确；
③∵△HAD≌△EAD，
∴HD=ED，
∵HB=EC， ，
∴HD=2HB.
∵Rt△HBD中，HB2+BD2=HD2，BD=3.
∴HB2+32=(2HB)2，
∴.
∴，
∴，
∵Rt△ABC中，AB2+AC2=2AB2=BC2，
∴，③错误；
④当AB平分∠HAD，
∴∠HAB=∠DAB，
∵∠HBA=∠ABC=45°，AB=AB，
∴△HAB≌△DAB（ASA）.
∴HB=BD.
∴.
∵△HAD≌△EAD，
∴.
设点A到边BC的距离为h.
∴，
∴ ，④正确，
综上，有3个正确的选项.
故答案为：C.
【分析】①证明∠HBA=∠ABC=45°，即可得到结论；②证明△HAD≌△EAD，即可得到结论；③证明HD=2HB，利用BD的长求出HB，从而可计算出BC长，利用勾股定理即可求出AB长即可得到结论；④证明△HAB≌△DAB，可得HB=BD，于是可用BD表示出HD，由△HAD≌△EAD得到HD=DE，分别表示出△ABD和△ADE的面积，即可得到结论.
7．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．
∵∠PEO=∠PFO=90°，
∴∠EPF+∠AOB=180°，
∵∠MPN+∠AOB=180°，
∴∠EPF=∠MPN，
∴∠EPM=∠FPN，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∴PE=PF，
在Rt△POE和Rt△POF中，
，
∴Rt△POE≌Rt△POF（HL），
∴OE=OF，
在△PEM和△PFN中，
，
∴△PEM≌△PFN（ASA），
∴EM=NF，PM=PN，S△PEM=S△PNF，
∵
∴是等边三角形，故①正确；
∵S△PEM=S△PNF，
∴S四边形PMON=S四边形PEOF=定值，故④正确；
∵OM+ON=OE+ME+OF-NF=2OE=10，故③正确；
∵M，N的位置变化，
∴MN的长度是变化的，故②错误；
故答案为：B．
【分析】如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，根据角之间的数量关系得到根据角平分线的性质得到利用"HL"证明，则进而利用"ASA"证明则进而即可判断逐项进行分析判断.
8．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点F作，交于点G，如图所示：
∵、分别平分，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理：，
结论①当是的中点
∴，
∴，
∵，，
∴四边形为平行四边形，（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
∴，
又∵AE=BF
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故①正确；
∵和的平分线相交于点 ，连接，
∴平分，（三角形的三条内角平分线交于一点）
∴，
结论②若E为的中点，则，
又∵由①可知
∴，
∴，，
∵，
即2∠DAE+2∠ECD=180°，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵三角形ABC内角和为，
∴这与三角形内角和为矛盾，
∴当的形状变化时，点有可能为的中点，故②错误．
故选：C．
【分析】过点F作，交于点G，根据角平分线分两等角和两直线平行内错角相等，证明，，得出，，两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明为平行四边形，得出，证明，得出，判断①正确；连接，三角形的三条内角平分线交于一点，则平分，由①中信息得，等边对等角，在△ACD中，等量代换证明，求出，得出，说明这与三角形内角和为矛盾，判断②错误．
9．【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
∵，，，
∴，
∵点D、E分别为，的中点，
∴，
∴当最小时，取最小值，
当时，取最小值，如图：
∴，
即，
解得：，
∴，
即的最小值为，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：D．
【分析】连接CM，证出DE是△ANM的中位线，可得，再求出当最小时，取最小值，利用等面积法求出，可得的最小值为，再结合，可得，从而可得．
10．【答案】D
【知识点】三角形三边关系；平移的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，作B'C'的中点，连结PD、DQ，
由平移可得，A'B'=AB=3，PD=4，
∵D、Q是中点，
∴DQ=0.5A'B'=1.5，
∵PD-DQ＜PQ＜PD+PQ，
∴2.5＜PQ＜5，
故答案为：D.
【分析】根据平移的性质可得A'B'=AB=3，PD=4，再利用三角形中位线是第三边的一半得到DQ长，再根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可得到PQ的取值范围，对比选项即可.
11．【答案】或或4
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：第一种情况：当∠B=60°，如图，
∵ ∠A=90°，∠B=60°，
∴ ∠ACB=30°，
∵ ∠ACP=30°，
∴ ∠BCP=60°，
∴ △PBC为等边三角形，
∴ PB=BC=4；
第二种情况：当∠ACB=60°，如图，
∵∠ACB=60°，∠ACP=30°，
∴ ∠PCB=90°，
∵ ∠B=30°，
∴ 2PC=PB，
设PC为x，则PB=2x，
由勾股定理可得，42+x2=（2x）2，
解得，x=，即PB=2x=；
第散种情况：当∠ACB=60°，如图，
∵ BC=4，∠ACB=60°，
∴ ∠B=30°，
∴ AC=BC=2，
∴ AB=，
设PB=y，则CP=y，AP=2-y，
∵ ∠ACP=30°，
∴ 2AP=CP，即2(2-y)=y，
∴ y=，
综上，PB的长为4，或.
故答案为：4或或.
【分析】分情况讨论，①当∠B=60°只有一个符合条件的P点，根据等边三角形的判定与性质即可求得；②当∠C=60°，P在AB延长线上，根据勾股定理和30°的直角三角形的性质即可求得；③当∠C=60°，P在AB线线上，根据等角对等边可得CP=PB，先求得AB=，根据30°的直角三角形的性质可得2AP=CP列方程，即可求得.
12．【答案】；
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：第一空：连接PO并延长交BC于点Q，PQ-OQ的最大值为PO的长度，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴CB∥DA，∠A=∠B=90°，
∴∠PAO=∠OCQ，
∴AO=CO，
∵∠POA=∠COQ，
∴△APO=△CQO(ASA)，
∴PA=QC=2，OP=OQ，
过点P作PH⊥BC于点P，
∴四边形BHPA是矩形，
∴BH=PA=CQ=2，BA=HP=2，
∴QH=2，
由勾股定理得，
∴PO=；
第二空：过点O作关于CB的对称点O'，连接PO'∠BC于点Q，延长OO'交DA于点G，此时，的最小值为PO'的长度，如图所示：
∵DA⊥GO'，O为AC中点，
∴GA=3，
∴AP=2，OG=1，
∴GO'=3，GP=1，
由勾股定理得，
综上所述，的最大值为，的最小值为，
故答案为：；；
【分析】第一空：连接PO并延长交BC于点Q，PQ-OQ的最大值为PO的长度，先根据矩形的性质即可得到CB∥DA，∠A=∠B=90°，进而根据等腰三角形的性质结合题意即可得到AO=CO，再运用对顶角的性质结合三角形全等的判定与性质证明△APO=△CQO(ASA)即可得到PA=QC=2，OP=OQ，过点P作PH⊥BC于点P，进而根据矩形的性质即可得到BH=PA=CQ=2，BA=HP=2，再根据勾股定理即可求解；第二空：过点O作关于CB的对称点O'，连接PO'∠BC于点Q，延长OO'交DA于点G，此时，的最小值为PO'的长度，根据题意结合已知条件即可得到GA=3，进而得到AP=2，OG=1，从而得到GO'=3，GP=1，最后运用勾股定理即可求解。
13．【答案】
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的性质；等边三角形的性质；角平分线的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】
过点N分别作，垂足分别为F，P，Q，
∵△ABC是等边三角形，
∴，
∴在△ADC和△CEB中
，
∴，
∴，
∴ ∠ACB-∠ACD=∠ABC-∠CBE
∴∠DCB=∠DBE=34°
∴，
∴，
，
∴∠CDB=180°-∠ADC=86°
∵，的角平分线，交于点N．
∴，
∴∠NDB=∠NDC+∠CDB=133°
∴，
∵，BN平分，DN平分．
∴，
∴平分，
∵，
∴，
∴，
∵∠EMN=∠MNB+∠MBN
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，角的平分线的判定和性质，三角形的外角的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形的外角是解题的关键．
根据等边三角形的性质：三边形相等，三个角都相等，每个角都是60°可知：，根据三角形全等的判定定理：在△ADC和△CEB中，可通过SAS证明，再由全等三角形的性质：全等三角形对应边相等可知：，根据等式的性质可知： ∠ACB-∠ACD=∠ABC-∠CBE，即∠DCB=∠DBE=34°，再根据三角形外角的性质：三角形的外角=不相邻的两内角之和与等量代换得到：．结合，得到，，，继而得到，过点N分别作，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等可知：NP=NF=NQ，由此可知：NM平分∠EMD，根据平角的定义可知：，最后根据三角形外角性质和角的和差运算计算即可得到答案．
14．【答案】
【知识点】旋转的性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设点C是直线l上一点，且点C绕点M顺时针旋转120度得到点B，连接，过点C作交x轴于F，
∵是等边三角形，点，
∴，
∴，
由旋转的性质可得，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
如图所示，过点C作x轴的垂线，垂足分为E，设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
【分析】 设点C是直线l上一点，且点C绕点M顺时针旋转120度得到点B，连接， 过点C作交x轴于F， 通过 证明，得到； 设点， 再表示出点C的坐标，根据l的解析式可得关于m的方程， 解方程求得M的值，即可得出点M的坐标。
15．【答案】135°
【知识点】勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：将 绕点 顺时针方向旋转90°得 ，如图，
则 且 ，
∴ ，
∴
在 中，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ．
故答案是：135°．
【分析】将 绕点 顺时针方向旋转90°得 ，得出 且 ，根据勾股定理得出PE的值，由 是等腰直角三角形，得出，从而得出 的度数。
16．【答案】①②③④
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OO'；
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=60°，AB=CB；
由题意得：∠OBO'=60°，OB=O'B，
∴△OBO'为等边三角形，∠ABO'=∠CBO，
∴OO'=OB=4；∠BOO'=60°，
∴选项②正确；
在△ABO'与△CBO中，
，
∴△ABO'≌△CBO（SAS），
∴AO'=OC=5，
△BO'A可以由△BOC绕点B逆时针方向旋转60°得到，
∴选项①正确；
在△AOO'中，∵32+42=52，
∴△AOO'为直角三角形，
∴∠AOO'=90°，∠AOB=90°+60°=150°，
∴选项③正确；
∵S四边形AOBO'=，
∴选项④正确．
综上所述，正确选项为①②③④．
【分析】如图，连接OO'，根据等边三角形性质可得∠ABC=60°，AB=CB，再根据等边三角形判定定理可得△OBO'为等边三角形，∠ABO'=∠CBO，则OO'=OB=4；∠BOO'=60°，可判断②；再根据全等三角形判定定理可得△ABO'≌△CBO（SAS），则AO'=OC=5，再根据旋转性质可判断①；根据勾股定理逆定理可得△AOO'为直角三角形，则∠AOO'=90°，∠AOB=90°+60°=150°，可判断③；再根据四边形面积即可可判断④.
17．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，在上截取，连接并延长，作，
四边形是平行四边形，，，
，，
，
，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
当点是边延长线上时，点在的延长线上 ，
，，
，
的最小值是，
故答案为：.
【分析】利用瓜豆原理可知点F的运动轨迹是一条直线，故勾手拉手全等三角形模型是本题的解题关键.利用等边三角形的性质通过SAS判定得到，再通过直角三角形的性质求得CM的长度即FC的最小值.
18．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接，，如图所示：
∵点E，F分别是，的中点，
∴，
∴当最大时，最大，
当点P在点B处时，最大，即的长度，
∵四边形为矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴的最大长度为．
故答案为：．
【分析】先利用三角形中位线性质得出，从而得出当最大时，最大，根据点P在点B处时，最大，再利用勾股定理的长度，即可得出答案．
19．【答案】①②
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：在矩形和矩形中，
，
∵，
∴，
∵，
∴，故①正确；
连接，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点N在的垂直平分线上，
∵，
∴，
∴点M在的垂直平分线上，
∴垂直平分，
即，故②正确；
根据题意无法得到，故③错误；
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
如图，过点E作交的延长线于点G，则，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
，
∴四边形与四边形的面积之比为，故④错误；
故答案为： ①②
【分析】根据矩形的性质得到，进而得到，再根据三角形全等的判定证明即可判断①；连接，根据三角形全等的判定证明得到，从而证明得到，即点N在的垂直平分线上，根据全等三角形的性质得到，进而得到垂直平分，即，从而即可判断②；根据题意无法得到，进而即可判断③；设，则，根据勾股定理得到，过点E作交的延长线于点G，则， ，再根据平行四边形的判定与性质得到，再求出，从而相比即可求解。
20．【答案】（1）解：①如图，点O即为所求；
②如图，在的延长线上取点取格点，取格点F，连接交与点G，连接交于点P，则即为所求；
理由：根据作法得：，四边形是矩形，
∴，，
∴平分；
（2）解：，，，
，
，
有三种情形：
当，时，；
当，时，；
当，．
综上所述，的长为或或．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）①取格点M，N，连接交于点O，即可求解；
②在的延长线上取点取格点，取格点F，连接交与点G，连接交于点P，则即为所求；
（2）先根据勾股定理的逆定理得到∠CAB的度数，进而即可得到三种情形：当，时，当，时，当，从而根据勾股定理即可求解。
21．【答案】[知识再现] ，1，；[知识应用]12；[知识拓展] ．
（1）；1；
（2）解：延长，交于点F，如图，
∵平分交于E，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
则的周长，
（3）解：作于点E，于点F，如图，
∵是的角平分线，
∴，
∵，，，，
∴．
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：【知识再现】∵，平分，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
在中，；
故答案为：，1，；
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得，，即可求得面积比，结合勾股定理可求得；
（2）由角平分线即垂线构造三线合一辅助线，即延长，交于点F，可证明，进而利用勾股定理求得，即得出的等量关系，即可求得的值，即求得目标三角形的周长；
（3）由角平分线直角作垂，利用等积法将两三角形的面积比转化为两边之比与目标线段的比值即可得出结果．
22．【答案】（1）30；70；
（2）解：AE2+AC2=CE2，
理由如下：设BC和DE所在直线交于点H，则∠H=90°，
由（1）知，∠H+∠CAE=180°，
∴∠CAE=90°，
∴AE2+AC2=CE2；
（3）解：当DE在直线AC上方时，过点D作DG⊥AC于点G，如图：
由（2）知，∠CAE=90°，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠DAE=60°，
∴∠DAG=30°，
∴，
故，
∴，
∴；
当DE在直线AC下方时，过点D作DH⊥AC于点H，如图：
由（2）知，∠CAE=90°，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠DAE=60°，
∴∠DAH=30°，
∴，
故，
∴，
∴，
综上的长度为或2
【知识点】等边三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1） 设AE和BC交于点F，如图：
∵等边△ABC绕点A逆时针旋转30°得到△ADE，
∴∠C=∠E=60°，∠FAC=30°，
∵∠CFA=∠EFM，
∴∠FAC=∠EMF=30°；
∵等边△ABC绕点A逆时针旋转100°得到△ADE，
∴∠C=∠AED=60°，∠EAC=110°，
∵∠AEM+∠AED=180°，
即∠AEM+∠C=180°，
在四边形ACME中，∠EAC+∠CME=180°，
∴∠CME=70°，
即线段BC与线段DE所在直线的夹角度数为70度，
故答案为：30，70.
【分析】（1） 设AE和BC交于点F，根据等边三角形的三个角都是60°和旋转的性质得出∠C=∠E=60°，∠FAC=30°，结合对顶角相等得出∠FAC=∠EMF=30°；根据等边三角形的三个角都是60°和旋转的性质得出∠C=∠AED=60°，∠EAC=110°，结合图可得∠AEM+∠C=180°，即可求得∠EAC+∠CME=180°，即∠CME=70°，即可求解；
（2）设BC和DE所在直线交于点H，则∠H=90°，结合（1）可得∠H+∠CAE=180°，即可求出∠CAE=90°，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解；
（3）分两种情况：当DE在直线AC上方时，过点D作DG⊥AC于点G，结合（2）中∠CAE=90°，得出∠DAG=30°，根据直角三角形中30°角所对的边是斜边的一半得出，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出AG=3，结合直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解；当DE在直线AC下方时，过点D作DH⊥AC于点H，结合（2）中∠CAE=90°，得出∠DAG=30°，根据直角三角形中30°角所对的边是斜边的一半得出，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出AH=3，结合直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解.
23．【答案】（1）；
（2）
（3）解；猜想：，
证明：将绕点顺时针旋转得到，如图，
≌，
，，，，
在中，
，
，
，
即，
，
又，
，
，
即，
在和中，
，
≌，
，
．
【知识点】勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）∵
∴ △AFE≌△AFG（SAS）；
故答案为：△AFE；SAS.
（2）把△ABE绕着点A逆时针旋转90°至△ADE'，可使AB与AD重合，如图，
由旋转可得，△ABE≌△ADE'，
∴ BE=DE'，
由（1）同理可得△AFE≌△AFE'，
∴ EF=E'F，
∵ EF=BE+DF，
∴ E'F=DE'+DF，
即F，D，E'三点共线，
∴ ∠ADF+∠ADE'=180°，
即∠ADF+∠B=180°，
即∠B+∠D=180°.
故答案为：∠B+∠D=180°；
【分析】（1）依据SAS判定△AFE≌△AFG即可求得；
（2）同（1），根据旋转的性质可得△ABE≌△ADE'推出BE=DE'，进而得到E'F=DE'+DF，即三点共线，即可求得；
（3）同（1），根据旋转的性质可得△ACE ≌推出，，，，根据等腰直角三角形的性质可推出∠E'BD=90°，根据勾股定理可得，再依据SAS判定△AE'D≌△AED推出DE=DE'，即可证明．
24．【答案】（1）等边三角形
（2）解：由（1）知，△BDC≌△B'DA，
∴S△BCD=S△B'AD，BC=B'A=1，
四边形ABCD的面积=等边三角形BDB'的面积，BB'=AB+AB'=2+1=3
如图，过点D作DE⊥BB'于点E，
∴BE=BB'=，
∴
；
（3）解：将△BDM绕点D顺时针方向旋转120°，得到△DCP，
≌，
，，，，
是等腰三角形，且，
，，
又等边三角形，
，
，
同理可得，
，
，
，，三点共线，
，
，
即，
≌，
，
的周长．
故的周长为．
【知识点】翻折变换（折叠问题）；图形的旋转；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）∵ 将△BDC绕点D顺时针方向旋转60°，得到△DAB'，
∴BD=DB'，∠BDB'=60°，∠B'AD=∠C，
∵∠ABC=120°，∠ADC=60°，
∴∠C+∠BAD=360°-∠ABC-∠ADC=180°，
∴∠BAD+∠B'AD=180°，
∴B、A、B三点在同一条直线上，
∴△BDB'是等边三角形；
故答案为：等边三角形；
【分析】（1）由旋转得BD=DB'，∠BDB'=60°，∠B'AD=∠C，由四边形的内角和定理及等量代换推出∠BAD+∠B'AD=180°，则B、A、B三点在同一条直线上，进而由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得出△BDB'是正三角形；
（2）由旋转的性质可得四边形ABCD的面积=等边三角形BDB'的面积，故求出等边三角形BDB'的边长为3，进而求出三角形BDB'的面积即可；
（3）将△BDM绕点D顺时针旋转120°得到△DCP，由旋转的性质得MD=PD，CP=BM，∠MBD =∠DCP，∠MDB=∠PDC， 由等腰三角形性质得∠DBC=∠DCB=30°，由等边三角形性质及角的和差可推出∠MBD=∠NCD=90°，进而即可推出N、C、P三点共线，再由角的和差及等量代换推出∠MDN=∠PDN=60°，从而用SAS判断出△NMD≌△NPD，由全等三角形对应边相等得MN=PN，进而根据三角形周长的计算方法、等量代换及线段的和差可将△AMN的周长转化为AB+AC，从而即可得出答案.
25．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
， ，
在和中，
，
≌，
，；
（2）证明：四边形是平行四边形，
，，
，，
在和中，
，
≌，
；
（3）18
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】（3）如图所示，连接AF
∵ 平行四边形ABCD
∴ AB=CD，AD=BC
由（1）知：OA=OC
∵ EF⊥AC
∴ EF垂直平分AC
∴ AF=CF
∵的周长是
∴ AB+BF+AF=AB+BF+CF=AB+BC=9
∴ 的周长=2（AB+BC）=18
【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形全等的判定与性质，线段的垂直平分线的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识是关键。（1）由平行四边形ABCD的性质证≌，可得结论；（2）由平行四边形ABCD的性质证≌，可得结论；（3）由平行四边形ABCD的性质证EF垂直平分AC，根据的周长是 可得平行四边形ABCD的周长.
26．【答案】（1）解：，理由如下：
和都是等边三角形，
，
，
，
四边形是平行四边形，，
，，
，，
在和中，
，
，
；
（2）解： 解：仍然成立，理由如下：
如图，延长，交于点，
和都是等边三角形，
，
，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
在和中，
，
，
；
（3）解：如图，
∵，，
∴由（2）可知，，
.
【知识点】等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得，由邻补角的定义得，然后根据平行四边形的判定以及平行线的性质推出四边形是平行四边形，，从而得，，进而推出，得；
（2）延长，交于点，根据等边三角形的性质得，然后根据平行线的性质得，结合三角形外角的性质求出，由（1）同理可证，接下来即可推出，得；
（3）利用（2）中的结论得，，根据旋转的性质即可求解.
（1）解：，
理由：和都是等边三角形，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，
，
；
（2）解：仍然成立，
理由：如图，延长，交于点，
，
和都是等边三角形，
，
，
，
，，
，
同（1）可知，，
，
；
（3）解：当时，如图，
，
由（2）可知，，
，
，
，
的值为．
27．【答案】（1）4；12
（2）16
（3）解：连接，如图所示：
∵四边形为平行四边形，
∴，，
由折叠可得：点和分别是和的中点，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴设，则，
∵在中，，
∴，
解得：，
∴，，
∴矩形的周长．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】
（1）解：由折叠可知，，，
∴，
根据折叠可知：，，，
∵
，
∴完美矩形的面积为：
；
（2）解：由折叠可得：，，，，
∴，
∴，
∴，
∴矩形的周长；
【分析】
本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，折叠的性质，矩形的性质，勾股定理等知识点，熟悉利用折叠的性质是解题的关键．
（1）根据折叠的性质：折痕两侧部分的对应边相等，对应角相等可知：BF=DF，CG=DG，代入数据求出，再根据，将△ABC的面积转化，即可求出完美矩形的面积；
（2）根据折叠的性质：折痕两侧部分的对应边相等，对应角相等可知：BE=HE，CF=HF，代入数据求出，根据折叠的性质可知：，代入数据求出：，根据矩形的面积公式得出：代入数据求出AE的长，再根据矩形周长公式：，代入数据即可得到矩形的周长；
（3）连接，由平行四边形的性质：平行四边形对边平行且相等可知：AB=长度，AB∥CD，再根据折叠的性质和中点的定义可知：AE=DG，AE∥DG，根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质：对边平行且相等可知：AD=EG，在根据矩形的性质：矩形的对角线相等且平分可知：EG=FH，等量代换得：AD=FH=15，设，则，利用勾股定理求出矩形的长和宽，即可得到矩形的周长．
28．【答案】（1）
（2）解：证明：连接，
于，
，
，，，，
，
，．，
，
（3）解：如图3，连接，交于，与交于点，设与的交点为，
点、分别是，的中点，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，分别是，的中点，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
在和中，
，
，
，
，分别是的中线，
由（2）的结论得：，
，
．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（1）由题意知，
，，，
，
，
故答案为：；
【分析】（1）根据题意直接列式计算即可；
（2）连接，由，，同理，则可得出结论；
（3）连接交于，设与的交点为，由点、分别是，的中点，得到是的中位线，然后证出，再根据四边形是平行四边形，可得，根据，分别是，的中点，得到，再证明四边形是平行四边形，得到，推出，分别是的中线，根据（2）的结论即可得到答案．
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