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三角形和平行四边形动点题型专练-2024-2025学年八年级下册北师大版数学
一、选择题
1．（2024八下·嘉祥期中）如图，长方形中，，点E是一个动点，且的面积始终等于长方形面积的四分之一．若的最小值为10，则的面积是（　　）．
A．10 B．12 C．14 D．16
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：的面积始终等于长方形面积的四分之一，
记点到的高为，又，
，
有，整理得，即点在的垂直平分线上运动，
连接，，，
点在的垂直平分线上运动，
，，
要最小，即最小，
当、、三点共线时，取得最小值为的长，
的最小值为10，即，
，
的面积是．
故选：B．
【分析】
由的面积始终等于长方形面积的四分之一可得点在的垂直平分线上运动，连接，，，则EA+EB等于EA+EC，显然当A、E、C三点共线时，EA+EB有最小值即AC的长，利用公股定理可得BC，此时点E为AC中点，则的面积等于的面积等于长方形ABCD面积的．
2．（2024九上·江津期中）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿向点C以的速度移动，当点Q到达点C时，P，Q均停止运动，若的面积等于，则运动时间为（　　）
A．1秒 B．4秒 C．1秒或4秒 D．1秒或秒
【答案】A
【知识点】三角形-动点问题
【解析】【解答】解：当运动时间为t秒时，，，
根据题意得：，
即，
整理得：，
解得：，，
当时，，不符合题意，舍去，
∴．
∴运动时间为1秒．
故答案为：A．
【分析】当运动时间为t秒时，根据路程=速度×时间可将PB、BQ用含t的代数式表示出来，然后由的面积等于，可得关于t的一元二次方程，解方程并结合t值有意义的条件即可求解.
3．（2025·凯里模拟）如图，将边长为4的正方形ABCD的一边BC与直角边分别是2和4的Rt△GEF的一边GF重合．正方形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿GE向右匀速运动，当点A和点E重合时正方形停止运动．设正方形的运动时间为t秒，正方形ABCD与Rt△GEF重叠部分面积为s，则s关于t的函数图象为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】三角形-动点问题
4．（2025八下·南山期中）已知坐标平面上有一等边△ABC、其坐标分别为A（0、0)、B（2、0)、将△ABC绕点B依顺时针方向旋转60°、如图所示、购旋转后C点的坐标为（　　）
A． B． C． D．)
【答案】D
【知识点】点的坐标；平行线的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：令旋转点C的对应点为M，故点C作x轴的垂线，垂足为N
∵△ABC是等边三角形
∴∠ABC=∠ACB=60°
∴
∵B（2、0)
∴AC=AB=2
∴
在Rt△ACN中
∴点C的坐标为
由旋转可知，∠CBM=∠M=60°，CM=AC=2
∴∠ABM=60°+60°=120°
∴∠ABM+∠M=180°
∴CM∥AB
∴点M的坐标为)
故答案为：D
【分析】令旋转点C的对应点为M，故点C作x轴的垂线，垂足为N，根据等边三角形性质可得∠ABC=∠ACB=60°，则，，根据勾股定理可得CN，则点C的坐标为，再根据旋转性质可得∠CBM=∠M=60°，CM=AC=2，再根据边之间的关系可得∠ABM+∠M=180°，根据直线平行判定定理可得CM∥AB，则点M的坐标为)，即可求出答案.
5．（四川省成都市清合教育集团2024—2025学年下学期八年级期中数学试题）如图，把以点A为中心顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别是点D，E，且恰好经过点C，则下列结论一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵以点A为中心顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别是点D，E，且恰好经过点C，
，，
∴是等边三角形，
∴
∴，
∴
∴
故选项D正确，符合题意；
不一定能得到，，，
故选：D.
【分析】根据旋转可得，，，进而得到是等边三角形，即可得到，根据内错角相等，两直线平行即可得到解答即可.
二、单项选择题
6．（2025八下·娄底期中）如图，周长为24的菱形中，，点E，F分别是边上的动点，点P为对角线上一动点，则线段的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；轴对称的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：连接交于点，过点F作FF'⊥BD于点Q，交CD于点F'，如图，
∴∠FQD=∠F'QD=90°.
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，
∴AC⊥BD，∠ADP=∠CDP，∠BAC=∠DAC=60°，CD=AD，AB//CD，
∴△ACD是等边三角形.
又∵DQ=DQ，
∴△FDQ≌△F'DQ（ASA），
∴FQ=F'Q.
∴F和F'关于BD对称，
∴EP+FP=EP+F'P≥EF'，故当E，P，F'三点共线时，EP+FP最小，最小值为EF'.
∵ 点E，F分别是AB，AD边上的动点，
∴EF'⊥CD时，EF'最小，
根据平行线之间的距离处处相等，可得点E与点A重合，EF'⊥CD时，如图所示：
此时AF'最小.
∵△ACD是等边三角形，
∴.
菱形的周长为24，
，
∴DF'=3，
∴．
故答案为：A．
【分析】连接交于点，过点F作FF'⊥BD于点Q，交CD于点F'，利用菱形的性质和 ∠BAD=120°可证明△ACD是等边三角形.利用ASA证明△FDQ≌△F'DQ，可得FQ=F'Q，从而有F和F'关于BD对称，于是可得EP+FP=EP+F'P≥EF'，当E，P，F'三点共线时，有最小值EF'；再根据垂线段最短和平行线之间的距离处处相等，可得点E与点A重合，EF'⊥CD时，EP+FP≥EF'≥AF'，利用等边三角形的性质得CF'=DF’，即可利利用勾股定理求得AF'的长.
7．（2023八下·萧山期末）如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，长为半径画弧，两弧交于点D，分别连接，则四边形是平行四边形．其依据是（　　）
A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：由题意可得，，
四边形是平行四边形 ，
故答案为：B.
【分析】由以A为圆心，长为半径画弧可得，由以C为圆心，长为半径画弧可得，故由两组对边分别相等证得四边形是平行四边形 .
8．（2023八下·上虞期末）如图，在菱形中，，点为对称中心，点从点出发沿向点移动，移动到点停止，连接并延长交边于点，连接，．则四边形形状的变化依次为（　　）
A．平行四边形→矩形→正方形→菱形
B．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形
C．平行四边形→正方形→菱形→矩形
D．平行四边形→菱形→平行四边形→菱形
【答案】B
【知识点】四边形-动点问题
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，O为对称中心，
∴这个四边形先是平行四边形，当对角线相等时为矩形，然后又是平行四边形，最后点E与点B重合时为菱形.
故答案为：B.
【分析】由题意可得这个四边形先是平行四边形，然后判断出对角线相等时以及以后对应的形状即可.
三、解答题
9．（2022八上·宜昌期中）如图（1），，，，．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，请说明理由；
（2）如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得与全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：与全等．
理由如下：
∵，，，
∴，当时，，，
在和中，
∴．
（2）解：①若，则，
即，解得；
②若，则，
即，解得；
综上所述，存在或，使得与全等．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形-动点问题；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）根据题意，证得，当时，得到，，结合SAS，即可证得结论；
（2）根据题意，分和两种情况讨论：建立方程组，即可求解．
（1）解：与全等．理由如下：
∵，，，
∴，当时，，，
在和中，
∴．
（2）①若，则，
即，解得；
②若，则，
即，解得；
综上所述，存在或，使得与全等．
10．（2024八上·惠城期中）在边长为10的等边三角形中，点是上任意一点，点是上一动点，以每秒2个单位的速度从点向点移动，设运动时间为秒．
（1）如图1，若，为何值时；
（2）如图2，若点从点运动，同时点以每秒3个单位的速度从点经点向点运动，当为何值时，为等边三角形？
【答案】（1）当的值为3时
（2）当的值为4时，为等边三角形
【知识点】平行线的判定与性质；等边三角形的判定与性质
11．（2025九下·宁南月考）如图，在中，，，．动点从点出发，以每秒的速度沿向终点移动，同时动点从点出发，以每秒的速度沿向终点移动，连接，设移动时间为（）．
（1）当时，求的值．
（2）设四边形的面积为，求与之间的函数关系式：
（3）是否存在某一时刻，使以，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出相应的值：若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在以，，为顶点的三角形与相似，或
【知识点】勾股定理；二次函数-动态几何问题；三角形-动点问题
12．如图，在△ABC中，∠B=∠C，AB=8cm，BC=6cm，D为AB的中点.点P在线段BC上以2cm/s的速度由B向C运动，同时，点Q在线段CA上以a(cm/s)的速度由C向A运动，设运动的时间为t(s)(0≤t≤3).
（1）用关于t的代数式表示PC的长度.
（2）若点P，Q的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等 请说明理由.
（3）若点P，Q运动的速度不相等，当点Q的运动速度a为多少时，能使△BPD与△CQP全等
【答案】（1）解：根据题意可得BP=2tcm，
∴PC=BC-BP=（6-2t）cm.
（2）解：△BPD和△CQP全等.
理由：当t=1s时，BP=CQ=2×1=2(cm)，
∴CP=BC-BP=6-2=4(cm)=BD，
在△BPD和△CQP中，
∴△BPD≌△CQP（SAS）.
（3）解：∵点P，Q运动的速度不相等，
∴BP≠CQ.
∵△BPD与△CQP全等，∠B=∠C，
∴BP=PC=3cm，CQ=BD=4cm，
∴点P，Q运动的时间
∴点Q的运动速度
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）先利用“速度、时间和路程”的关系求出BP的长，再利用线段的和差求出PC的长即可；
（2）先求出线段的和差求出CP，即可得到CP=BD，再利用“SAS”证出△BPD≌△CQP即可；
（3）利用全等三角形的性质可得BP=PC=3cm，CQ=BD=4cm，再求出点P、Q的时间，最后利用“速度=路程÷时间”列出算式求解即可.
13．（四川省成都市第四十九中学校2024-2025学年八年级下学期半期考试数学试卷）与都是等边三角形，绕点逆时针旋转，直线，交于点．
（1）如图1，当点、、在同一条直线上时，的度数为 ，线段与的数量关系为 ；
（2）将图1中的绕着点逆时针旋转到如图2的位置，与交于点，求的度数，判断线段与的数量关系，并证明你的结论；
（3）若，当绕点逆时针旋转一周时，请求出长的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】三角形三边关系；等边三角形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
14．（2024八下·东源期中）【综合探究】如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形OABC是平行四边形，点A的坐标为，点B的坐标为，且．
（1）点C的坐标为________；平行四边形OABC的对称中心的坐标为________．
（2）动点P从点O出发，沿OA方向以每秒1个单位的速度向终点A匀速运动，动点Q从点A出发，沿AB方向以每秒2个单位的速度向终点B匀速运动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P运动的时间为t秒（），求当t为何值时，的面积是平行四边形OABC面积的一半？
（3）当动点P运动到OA中点时，在平面直角坐标系中找到一点M，使得以M、P、B、C为顶点且以PB为边的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标．
【答案】（1）（4，4），（9，2）
（2）当点P运动4秒时，△PQC的面积是平行四边形OABC的一半；
（3）点M的坐标为（15，8））或（-7，0）．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；坐标与图形性质；平行四边形的判定与性质；平移的性质
15．（2024八下·北仑期中）已知在平行四边形ABCD中，动点P在AD边上，以每秒0.5cm的速度从点A向点D运动．
（1）如图1，在运动过程中，若CP平分∠BCD，且满足CD=CP，求∠B的度数．
（2）如图2，另一动点Q在BC边上，以每秒2cm的速度从点C出发，在BC间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若AD=6cm，当运动时间为　 　 秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
（3）如图3，连结BP并延长与CD的延长线交于点F，CE平分∠ACF交BF于E点，连接AE，当AE⊥CE，DF=8时，求AC的长．
（4）如图4，在（1）的条件下，连结BP并延长与CD的延长线交于点F，连结AF，若AB=4cm，求△APF的面积．
【答案】（1）解：∵四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
；
（2）秒或秒或
（3）如图3，延长交于点，
四边形是平行四边形，
，，
平分，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
的长为；
（4）如图2，作于，
是等边三角形，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
．
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：（2）四边形是平行四边形，
，
．
要使四边形是平行四边形，则，
设运动时间为秒，根据题意可知：，，
①当时，，
，
解得，不合题意；
②当时，，
，
解得，；
③当时，，
，
解得，；
④当时，，
，
解得，；
综上所述，当运动时间为秒或秒或秒时，，，四点组成的四边形是平行四边形；
故答案为：秒或秒或秒；
【分析】（1）根据平行四边形的性质、角平分线的定义得到，得到，证明是等边三角形，根据等边三角形的性质解答；
（2）分、、、四种情况，根据平行四边形的性质定理列方程，解方程得到答案；
（3）延长交于点，证明，可得，，再证明，得，然后利用线段的和差即可解决问题；
（4）作，求出，根据三角形面积公式得到，得到答案．
16．（2024八下·霞山期末）如图，在平行四边形中，对角线，，相交于点O，若E，F是上两动点，分别从A，C两点以相同的速度向C、A运动，其速度为．
（1）证明：当E在上运动，F在上运动，且E与F不重合时，四边形是平行四边形；
（2）点E，F在上运动过程中，以D、E、B、F为顶点的四边形是否可能为矩形 如能，求出此时的运动时间t的值；如不能，请说明理由．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
由题意，，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形.
（2）解： 能为矩形，
∵四边形是平行四边形，
∴只需时，四边形是矩形；
∵，，，
∴，
解得：．
当点E到F位置上，点F到E位置上，
，
解得：.
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定；一元一次方程的实际应用-几何问题；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）先利用平行四边形的性质可得，，再利用线段的和差及等量代换可得，再结合，证出四边形是平行四边形即可；
（2）利用矩形的判定方法可得，再列出方程求解即可.
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
由题意，，
∴，
∴，又，
∴四边形是平行四边形；
（2）解： 能为矩形，
∵四边形是平行四边形，
∴只需时，四边形是矩形；
∵，，，
∴，解得．
当点E到F位置上，点F到E位置上，
，解得：；
17．（2024八下·从江月考）如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=9cm，BC=6cm，点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以2cm/s的速度由点A向点D运动，点Q以1cm/s的速度由点C向点B运动.
（1）运动多少秒时，四边形APQB是平行四边形
（2）运动多少秒时，四边形PDCQ是平行四边形
（3）运动多少秒时，四边形APQB和四边形PDCQ的面积相等
【答案】（1）解：设运动xs.根据题意，有
AP=2xcm，CQ=xcm，
∴PD=(9-2x)cm，BQ=(6-x)cm.
∵AD∥BC，
∴当AP=BQ时，四边形APQB是平行四边形.
∴2x=6-x，解得x=2.
∴运动2s时，四边形APQB是平行四边形.
（2）解：∵AD∥BC，
∴当PD=CQ时，四边形PDCQ是平行四边形.
∴9-2x=x，解得x=3.
∴运动3s时，四边形PDCQ是平行四边形.
（3）解：∵四边形APQB和四边形PDCQ的高相同，
∴当AP+BQ=CQ+PD时，符合条件.
∴2x+(6-x)=x+(9-2x)，
解得x=1.5.
∴运动1.5s时，四边形APQB和四边形PDCQ的面积相等.
【知识点】平行四边形的判定；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1） 已知AD∥BC ，若四边形APQB是平行四边形则只需AP＝BQ即可。可设运动时间为x秒，用x表示出AP，BQ，列方程进行求解即可。
（2）已知AD∥BC ，若四边形PDCQ是平行四边形则只需PD＝CQ即可。设运动时间为x秒，用x表示出PD，CQ，列方程进行求解即可。
（3）四边形APQB和四边形PDCQ都是梯形，它们的高相同，若面积相同，只需要使它们的两底之和相等即可。可结合（1）（2）中所设，列方程求解即可.
18．（广东省江门市福泉奥林匹克学校2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题A卷）如图，在平行四边形中，，是的角平分线，点P从点E出发，沿方向以的速度向点C运动，点从点D出发，以的运动速度，沿射线方向运动，当点P运动到点C时，点Q随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）求的长；
（2）是否存在以A，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
（3）当_____时，线段将平行四边形分成面积相等的两部分（直接写出答案）．
【答案】（1）
（2）或
（3）
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
19．（2024八下·古蔺期中）如图，在平面直角坐标系中， ，，，，并且a，b满足．一动点P从点A出发，在线段上以每秒2个单位长度的速度向点B运动；动点Q从点O出发在线段上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，点P、Q分别从点A、O同时出发，当点P运动到点B时，点Q随之停止运动.设运动时间为t（秒）．
（1）求B、C两点的坐标；
（2）当t为何值时，四边形是平行四边形？并求出此时P、Q两点的坐标；
（3）当t为何值时，是以为腰的等腰三角形？
【答案】（1），
（2），
（3）或，是以为腰的等腰三角形
【知识点】坐标与图形性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质
20．（2024八下·宁海期中）如图，点O是坐标原点，四边形是平行四边形，点A的坐标为，点B的坐标为.动点P从O出发，沿射线方向以每秒2个单位的速度运动，点Q从B出发以每秒1个单位的速度向点C运动，它们同时出发，当点Q到达点C时P点也停止运动.设运动时间为t秒.
（1）写出点C的坐标为 ；
（2）求当t为何值时，以P，Q，A，B为顶点的四边形是平行四边形；
（3）在点P，Q运动过程中，连接，
①当t为何值时，使垂直于平行四边形的某一边.
②若点C关于的对称点恰好落在x轴上，则点Q的坐标为 .
【答案】（1）
（2）解：当点P在线段上时，如图2，
∵，∴
由题意可知：，，
又∵，
∴
当四边形为平行四边形，则有，即，
解得；
当点P在线段的延长线上时，如图3，
同上可知：，，，
∴
∵四边形为平行四边形，
∴，即，
解得，即点Q与点C重合，
综上可知，当或14时，以P，Q，A，B为顶点的四边形是平行四边形；
（3）解：当，如图4
由（1）可知，延长交y轴于点D，∵四边形是平行四边形，
∴，
∵轴，
∴轴，
∴
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，即；
当时，如图5由（1）
可知，，则，
∴，即，
过点Q作于点F，过点Q作于点
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，解得，
综上所述，当或10时，使垂直于平行四边形的某一边；
②过点Q作轴于点N，连接交于点G，连接、，如图6
∵点C关于的对称点恰好落在x轴上，
∴，且，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，且，
∴四边形是菱形，
∴，
设点Q的坐标为：，
∴，，，，则
在中，，即，
解得或（舍），
∴，
∴点Q的坐标为：．
【知识点】四边形-动点问题
【解析】【解答】解：（1）延长交y轴于点D，如图1，
∵四边形是平行四边形，
∴，且，
∵、，
∴，，，
∴，
∴点C的坐标为：，
故答案为：.
【分析】（1）延长交y轴于点D，求出BD长，然后利用平行四边形的性质得到，根据平行即可得到C点坐标；
（2）分为点P在线段上，点P在线段的延长线上两种情况，根据列方程求出t值即可；
（3）当，延长交y轴于点D，即可得到是矩形，得到，求出t之即可，当时，过点Q作于点F，过点Q作于点E，延长交y轴于点D，得到是平行四边形，可得，再证明，根据对应边成比例求出t值即可；②过点Q作轴于点N，连接交于点G，连接、，得到，即可得到是菱形，设点Q的坐标为，在中根据勾股定理求出t值，即可得到点Q的坐标．
1 / 1三角形和平行四边形动点题型专练-2024-2025学年八年级下册北师大版数学
一、选择题
1．（2024八下·嘉祥期中）如图，长方形中，，点E是一个动点，且的面积始终等于长方形面积的四分之一．若的最小值为10，则的面积是（　　）．
A．10 B．12 C．14 D．16
2．（2024九上·江津期中）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿向点C以的速度移动，当点Q到达点C时，P，Q均停止运动，若的面积等于，则运动时间为（　　）
A．1秒 B．4秒 C．1秒或4秒 D．1秒或秒
3．（2025·凯里模拟）如图，将边长为4的正方形ABCD的一边BC与直角边分别是2和4的Rt△GEF的一边GF重合．正方形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿GE向右匀速运动，当点A和点E重合时正方形停止运动．设正方形的运动时间为t秒，正方形ABCD与Rt△GEF重叠部分面积为s，则s关于t的函数图象为（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025八下·南山期中）已知坐标平面上有一等边△ABC、其坐标分别为A（0、0)、B（2、0)、将△ABC绕点B依顺时针方向旋转60°、如图所示、购旋转后C点的坐标为（　　）
A． B． C． D．)
5．（四川省成都市清合教育集团2024—2025学年下学期八年级期中数学试题）如图，把以点A为中心顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别是点D，E，且恰好经过点C，则下列结论一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
二、单项选择题
6．（2025八下·娄底期中）如图，周长为24的菱形中，，点E，F分别是边上的动点，点P为对角线上一动点，则线段的最小值为（　　）
A． B． C． D．
7．（2023八下·萧山期末）如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，长为半径画弧，两弧交于点D，分别连接，则四边形是平行四边形．其依据是（　　）
A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
8．（2023八下·上虞期末）如图，在菱形中，，点为对称中心，点从点出发沿向点移动，移动到点停止，连接并延长交边于点，连接，．则四边形形状的变化依次为（　　）
A．平行四边形→矩形→正方形→菱形
B．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形
C．平行四边形→正方形→菱形→矩形
D．平行四边形→菱形→平行四边形→菱形
三、解答题
9．（2022八上·宜昌期中）如图（1），，，，．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，请说明理由；
（2）如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得与全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．
10．（2024八上·惠城期中）在边长为10的等边三角形中，点是上任意一点，点是上一动点，以每秒2个单位的速度从点向点移动，设运动时间为秒．
（1）如图1，若，为何值时；
（2）如图2，若点从点运动，同时点以每秒3个单位的速度从点经点向点运动，当为何值时，为等边三角形？
11．（2025九下·宁南月考）如图，在中，，，．动点从点出发，以每秒的速度沿向终点移动，同时动点从点出发，以每秒的速度沿向终点移动，连接，设移动时间为（）．
（1）当时，求的值．
（2）设四边形的面积为，求与之间的函数关系式：
（3）是否存在某一时刻，使以，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出相应的值：若不存在，说明理由．
12．如图，在△ABC中，∠B=∠C，AB=8cm，BC=6cm，D为AB的中点.点P在线段BC上以2cm/s的速度由B向C运动，同时，点Q在线段CA上以a(cm/s)的速度由C向A运动，设运动的时间为t(s)(0≤t≤3).
（1）用关于t的代数式表示PC的长度.
（2）若点P，Q的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等 请说明理由.
（3）若点P，Q运动的速度不相等，当点Q的运动速度a为多少时，能使△BPD与△CQP全等
13．（四川省成都市第四十九中学校2024-2025学年八年级下学期半期考试数学试卷）与都是等边三角形，绕点逆时针旋转，直线，交于点．
（1）如图1，当点、、在同一条直线上时，的度数为 ，线段与的数量关系为 ；
（2）将图1中的绕着点逆时针旋转到如图2的位置，与交于点，求的度数，判断线段与的数量关系，并证明你的结论；
（3）若，当绕点逆时针旋转一周时，请求出长的取值范围．
14．（2024八下·东源期中）【综合探究】如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形OABC是平行四边形，点A的坐标为，点B的坐标为，且．
（1）点C的坐标为________；平行四边形OABC的对称中心的坐标为________．
（2）动点P从点O出发，沿OA方向以每秒1个单位的速度向终点A匀速运动，动点Q从点A出发，沿AB方向以每秒2个单位的速度向终点B匀速运动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P运动的时间为t秒（），求当t为何值时，的面积是平行四边形OABC面积的一半？
（3）当动点P运动到OA中点时，在平面直角坐标系中找到一点M，使得以M、P、B、C为顶点且以PB为边的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标．
15．（2024八下·北仑期中）已知在平行四边形ABCD中，动点P在AD边上，以每秒0.5cm的速度从点A向点D运动．
（1）如图1，在运动过程中，若CP平分∠BCD，且满足CD=CP，求∠B的度数．
（2）如图2，另一动点Q在BC边上，以每秒2cm的速度从点C出发，在BC间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若AD=6cm，当运动时间为　 　 秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
（3）如图3，连结BP并延长与CD的延长线交于点F，CE平分∠ACF交BF于E点，连接AE，当AE⊥CE，DF=8时，求AC的长．
（4）如图4，在（1）的条件下，连结BP并延长与CD的延长线交于点F，连结AF，若AB=4cm，求△APF的面积．
16．（2024八下·霞山期末）如图，在平行四边形中，对角线，，相交于点O，若E，F是上两动点，分别从A，C两点以相同的速度向C、A运动，其速度为．
（1）证明：当E在上运动，F在上运动，且E与F不重合时，四边形是平行四边形；
（2）点E，F在上运动过程中，以D、E、B、F为顶点的四边形是否可能为矩形 如能，求出此时的运动时间t的值；如不能，请说明理由．
17．（2024八下·从江月考）如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=9cm，BC=6cm，点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以2cm/s的速度由点A向点D运动，点Q以1cm/s的速度由点C向点B运动.
（1）运动多少秒时，四边形APQB是平行四边形
（2）运动多少秒时，四边形PDCQ是平行四边形
（3）运动多少秒时，四边形APQB和四边形PDCQ的面积相等
18．（广东省江门市福泉奥林匹克学校2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题A卷）如图，在平行四边形中，，是的角平分线，点P从点E出发，沿方向以的速度向点C运动，点从点D出发，以的运动速度，沿射线方向运动，当点P运动到点C时，点Q随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）求的长；
（2）是否存在以A，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
（3）当_____时，线段将平行四边形分成面积相等的两部分（直接写出答案）．
19．（2024八下·古蔺期中）如图，在平面直角坐标系中， ，，，，并且a，b满足．一动点P从点A出发，在线段上以每秒2个单位长度的速度向点B运动；动点Q从点O出发在线段上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，点P、Q分别从点A、O同时出发，当点P运动到点B时，点Q随之停止运动.设运动时间为t（秒）．
（1）求B、C两点的坐标；
（2）当t为何值时，四边形是平行四边形？并求出此时P、Q两点的坐标；
（3）当t为何值时，是以为腰的等腰三角形？
20．（2024八下·宁海期中）如图，点O是坐标原点，四边形是平行四边形，点A的坐标为，点B的坐标为.动点P从O出发，沿射线方向以每秒2个单位的速度运动，点Q从B出发以每秒1个单位的速度向点C运动，它们同时出发，当点Q到达点C时P点也停止运动.设运动时间为t秒.
（1）写出点C的坐标为 ；
（2）求当t为何值时，以P，Q，A，B为顶点的四边形是平行四边形；
（3）在点P，Q运动过程中，连接，
①当t为何值时，使垂直于平行四边形的某一边.
②若点C关于的对称点恰好落在x轴上，则点Q的坐标为 .
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：的面积始终等于长方形面积的四分之一，
记点到的高为，又，
，
有，整理得，即点在的垂直平分线上运动，
连接，，，
点在的垂直平分线上运动，
，，
要最小，即最小，
当、、三点共线时，取得最小值为的长，
的最小值为10，即，
，
的面积是．
故选：B．
【分析】
由的面积始终等于长方形面积的四分之一可得点在的垂直平分线上运动，连接，，，则EA+EB等于EA+EC，显然当A、E、C三点共线时，EA+EB有最小值即AC的长，利用公股定理可得BC，此时点E为AC中点，则的面积等于的面积等于长方形ABCD面积的．
2．【答案】A
【知识点】三角形-动点问题
【解析】【解答】解：当运动时间为t秒时，，，
根据题意得：，
即，
整理得：，
解得：，，
当时，，不符合题意，舍去，
∴．
∴运动时间为1秒．
故答案为：A．
【分析】当运动时间为t秒时，根据路程=速度×时间可将PB、BQ用含t的代数式表示出来，然后由的面积等于，可得关于t的一元二次方程，解方程并结合t值有意义的条件即可求解.
3．【答案】B
【知识点】三角形-动点问题
4．【答案】D
【知识点】点的坐标；平行线的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：令旋转点C的对应点为M，故点C作x轴的垂线，垂足为N
∵△ABC是等边三角形
∴∠ABC=∠ACB=60°
∴
∵B（2、0)
∴AC=AB=2
∴
在Rt△ACN中
∴点C的坐标为
由旋转可知，∠CBM=∠M=60°，CM=AC=2
∴∠ABM=60°+60°=120°
∴∠ABM+∠M=180°
∴CM∥AB
∴点M的坐标为)
故答案为：D
【分析】令旋转点C的对应点为M，故点C作x轴的垂线，垂足为N，根据等边三角形性质可得∠ABC=∠ACB=60°，则，，根据勾股定理可得CN，则点C的坐标为，再根据旋转性质可得∠CBM=∠M=60°，CM=AC=2，再根据边之间的关系可得∠ABM+∠M=180°，根据直线平行判定定理可得CM∥AB，则点M的坐标为)，即可求出答案.
5．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵以点A为中心顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别是点D，E，且恰好经过点C，
，，
∴是等边三角形，
∴
∴，
∴
∴
故选项D正确，符合题意；
不一定能得到，，，
故选：D.
【分析】根据旋转可得，，，进而得到是等边三角形，即可得到，根据内错角相等，两直线平行即可得到解答即可.
6．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；轴对称的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：连接交于点，过点F作FF'⊥BD于点Q，交CD于点F'，如图，
∴∠FQD=∠F'QD=90°.
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，
∴AC⊥BD，∠ADP=∠CDP，∠BAC=∠DAC=60°，CD=AD，AB//CD，
∴△ACD是等边三角形.
又∵DQ=DQ，
∴△FDQ≌△F'DQ（ASA），
∴FQ=F'Q.
∴F和F'关于BD对称，
∴EP+FP=EP+F'P≥EF'，故当E，P，F'三点共线时，EP+FP最小，最小值为EF'.
∵ 点E，F分别是AB，AD边上的动点，
∴EF'⊥CD时，EF'最小，
根据平行线之间的距离处处相等，可得点E与点A重合，EF'⊥CD时，如图所示：
此时AF'最小.
∵△ACD是等边三角形，
∴.
菱形的周长为24，
，
∴DF'=3，
∴．
故答案为：A．
【分析】连接交于点，过点F作FF'⊥BD于点Q，交CD于点F'，利用菱形的性质和 ∠BAD=120°可证明△ACD是等边三角形.利用ASA证明△FDQ≌△F'DQ，可得FQ=F'Q，从而有F和F'关于BD对称，于是可得EP+FP=EP+F'P≥EF'，当E，P，F'三点共线时，有最小值EF'；再根据垂线段最短和平行线之间的距离处处相等，可得点E与点A重合，EF'⊥CD时，EP+FP≥EF'≥AF'，利用等边三角形的性质得CF'=DF’，即可利利用勾股定理求得AF'的长.
7．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：由题意可得，，
四边形是平行四边形 ，
故答案为：B.
【分析】由以A为圆心，长为半径画弧可得，由以C为圆心，长为半径画弧可得，故由两组对边分别相等证得四边形是平行四边形 .
8．【答案】B
【知识点】四边形-动点问题
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，O为对称中心，
∴这个四边形先是平行四边形，当对角线相等时为矩形，然后又是平行四边形，最后点E与点B重合时为菱形.
故答案为：B.
【分析】由题意可得这个四边形先是平行四边形，然后判断出对角线相等时以及以后对应的形状即可.
9．【答案】（1）解：与全等．
理由如下：
∵，，，
∴，当时，，，
在和中，
∴．
（2）解：①若，则，
即，解得；
②若，则，
即，解得；
综上所述，存在或，使得与全等．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形-动点问题；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）根据题意，证得，当时，得到，，结合SAS，即可证得结论；
（2）根据题意，分和两种情况讨论：建立方程组，即可求解．
（1）解：与全等．理由如下：
∵，，，
∴，当时，，，
在和中，
∴．
（2）①若，则，
即，解得；
②若，则，
即，解得；
综上所述，存在或，使得与全等．
10．【答案】（1）当的值为3时
（2）当的值为4时，为等边三角形
【知识点】平行线的判定与性质；等边三角形的判定与性质
11．【答案】（1）
（2）
（3）存在以，，为顶点的三角形与相似，或
【知识点】勾股定理；二次函数-动态几何问题；三角形-动点问题
12．【答案】（1）解：根据题意可得BP=2tcm，
∴PC=BC-BP=（6-2t）cm.
（2）解：△BPD和△CQP全等.
理由：当t=1s时，BP=CQ=2×1=2(cm)，
∴CP=BC-BP=6-2=4(cm)=BD，
在△BPD和△CQP中，
∴△BPD≌△CQP（SAS）.
（3）解：∵点P，Q运动的速度不相等，
∴BP≠CQ.
∵△BPD与△CQP全等，∠B=∠C，
∴BP=PC=3cm，CQ=BD=4cm，
∴点P，Q运动的时间
∴点Q的运动速度
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）先利用“速度、时间和路程”的关系求出BP的长，再利用线段的和差求出PC的长即可；
（2）先求出线段的和差求出CP，即可得到CP=BD，再利用“SAS”证出△BPD≌△CQP即可；
（3）利用全等三角形的性质可得BP=PC=3cm，CQ=BD=4cm，再求出点P、Q的时间，最后利用“速度=路程÷时间”列出算式求解即可.
13．【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】三角形三边关系；等边三角形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
14．【答案】（1）（4，4），（9，2）
（2）当点P运动4秒时，△PQC的面积是平行四边形OABC的一半；
（3）点M的坐标为（15，8））或（-7，0）．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；坐标与图形性质；平行四边形的判定与性质；平移的性质
15．【答案】（1）解：∵四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
；
（2）秒或秒或
（3）如图3，延长交于点，
四边形是平行四边形，
，，
平分，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
的长为；
（4）如图2，作于，
是等边三角形，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
．
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：（2）四边形是平行四边形，
，
．
要使四边形是平行四边形，则，
设运动时间为秒，根据题意可知：，，
①当时，，
，
解得，不合题意；
②当时，，
，
解得，；
③当时，，
，
解得，；
④当时，，
，
解得，；
综上所述，当运动时间为秒或秒或秒时，，，四点组成的四边形是平行四边形；
故答案为：秒或秒或秒；
【分析】（1）根据平行四边形的性质、角平分线的定义得到，得到，证明是等边三角形，根据等边三角形的性质解答；
（2）分、、、四种情况，根据平行四边形的性质定理列方程，解方程得到答案；
（3）延长交于点，证明，可得，，再证明，得，然后利用线段的和差即可解决问题；
（4）作，求出，根据三角形面积公式得到，得到答案．
16．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
由题意，，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形.
（2）解： 能为矩形，
∵四边形是平行四边形，
∴只需时，四边形是矩形；
∵，，，
∴，
解得：．
当点E到F位置上，点F到E位置上，
，
解得：.
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定；一元一次方程的实际应用-几何问题；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）先利用平行四边形的性质可得，，再利用线段的和差及等量代换可得，再结合，证出四边形是平行四边形即可；
（2）利用矩形的判定方法可得，再列出方程求解即可.
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
由题意，，
∴，
∴，又，
∴四边形是平行四边形；
（2）解： 能为矩形，
∵四边形是平行四边形，
∴只需时，四边形是矩形；
∵，，，
∴，解得．
当点E到F位置上，点F到E位置上，
，解得：；
17．【答案】（1）解：设运动xs.根据题意，有
AP=2xcm，CQ=xcm，
∴PD=(9-2x)cm，BQ=(6-x)cm.
∵AD∥BC，
∴当AP=BQ时，四边形APQB是平行四边形.
∴2x=6-x，解得x=2.
∴运动2s时，四边形APQB是平行四边形.
（2）解：∵AD∥BC，
∴当PD=CQ时，四边形PDCQ是平行四边形.
∴9-2x=x，解得x=3.
∴运动3s时，四边形PDCQ是平行四边形.
（3）解：∵四边形APQB和四边形PDCQ的高相同，
∴当AP+BQ=CQ+PD时，符合条件.
∴2x+(6-x)=x+(9-2x)，
解得x=1.5.
∴运动1.5s时，四边形APQB和四边形PDCQ的面积相等.
【知识点】平行四边形的判定；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1） 已知AD∥BC ，若四边形APQB是平行四边形则只需AP＝BQ即可。可设运动时间为x秒，用x表示出AP，BQ，列方程进行求解即可。
（2）已知AD∥BC ，若四边形PDCQ是平行四边形则只需PD＝CQ即可。设运动时间为x秒，用x表示出PD，CQ，列方程进行求解即可。
（3）四边形APQB和四边形PDCQ都是梯形，它们的高相同，若面积相同，只需要使它们的两底之和相等即可。可结合（1）（2）中所设，列方程求解即可.
18．【答案】（1）
（2）或
（3）
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
19．【答案】（1），
（2），
（3）或，是以为腰的等腰三角形
【知识点】坐标与图形性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质
20．【答案】（1）
（2）解：当点P在线段上时，如图2，
∵，∴
由题意可知：，，
又∵，
∴
当四边形为平行四边形，则有，即，
解得；
当点P在线段的延长线上时，如图3，
同上可知：，，，
∴
∵四边形为平行四边形，
∴，即，
解得，即点Q与点C重合，
综上可知，当或14时，以P，Q，A，B为顶点的四边形是平行四边形；
（3）解：当，如图4
由（1）可知，延长交y轴于点D，∵四边形是平行四边形，
∴，
∵轴，
∴轴，
∴
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，即；
当时，如图5由（1）
可知，，则，
∴，即，
过点Q作于点F，过点Q作于点
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，解得，
综上所述，当或10时，使垂直于平行四边形的某一边；
②过点Q作轴于点N，连接交于点G，连接、，如图6
∵点C关于的对称点恰好落在x轴上，
∴，且，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，且，
∴四边形是菱形，
∴，
设点Q的坐标为：，
∴，，，，则
在中，，即，
解得或（舍），
∴，
∴点Q的坐标为：．
【知识点】四边形-动点问题
【解析】【解答】解：（1）延长交y轴于点D，如图1，
∵四边形是平行四边形，
∴，且，
∵、，
∴，，，
∴，
∴点C的坐标为：，
故答案为：.
【分析】（1）延长交y轴于点D，求出BD长，然后利用平行四边形的性质得到，根据平行即可得到C点坐标；
（2）分为点P在线段上，点P在线段的延长线上两种情况，根据列方程求出t值即可；
（3）当，延长交y轴于点D，即可得到是矩形，得到，求出t之即可，当时，过点Q作于点F，过点Q作于点E，延长交y轴于点D，得到是平行四边形，可得，再证明，根据对应边成比例求出t值即可；②过点Q作轴于点N，连接交于点G，连接、，得到，即可得到是菱形，设点Q的坐标为，在中根据勾股定理求出t值，即可得到点Q的坐标．
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