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2025年江苏省南通市海门区东洲国际学校中考数学模拟试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的值等于( )
A. B. C. D.
2.下列图形是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.任意两个奇数的平方差总能( )
A. 被整除 B. 被整除 C. 被整除 D. 被整除
4.已知二次函数，下列说法正确的是( )
A. 对称轴为 B. 顶点坐标为
C. 函数的最大值是 D. 函数的最小值是
5.甲、乙、丙三名射击运动员分别进行了次射击训练，成绩单位：环如表所示：
甲
乙
丙
则三名运动员中成绩最稳定的是( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 无法确定
6.下列命题中，个人中至少有人的生日是同一个月是必然事件；一名篮球运动员投篮命中概率为，他投篮次，一定会命中次；因为任何数的平方都是正数，所以任何数的平方根都是正数；在平面上任意画一个三角形，其内角和一定是，正确的个数是( )
A. B. C. D.
7.在平面直角坐标系中，直线经过点，点，点的坐标为，与轴相切于点，若将沿轴向左平移，平移后得到点的对应点为点，当与直线相交时，横坐标为整数的点共有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
8.某商场促销方案规定：单笔消费金额每满元立减元例如，单笔消费金额为元时，立减元甲在该商场单笔购买件商品，立减了元；乙在该商场单笔购买件商品与件商品，立减了元若商品的单价是整数元，则它的最小值是( )
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
9.如图，点，在反比例函的图象上，点，在反比例函数的图象上，轴，若，，与的距离为，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，在菱形中，，连接，点从出发沿方向以的速度运动至，同时点从出发沿方向以的速度运动至，设运动时间为，的面积为与的函数图象如图所示，则菱形的边长为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，共30分。
11.在，，，这四个数中，最小的数是______．
12.不透明袋子中装有个球，其中有个绿球、个红球，这些球除颜色外无其他差别从袋子中随机取出个球，则它是绿球的概率为______．
13.如图，是的中点，，请添加一个条件______，使≌．
14.因式分______．
15.如果关于的方程有实数根，那么的取值范围是______．
16.阅读材料：由，可知的算术平方根是类似地，的算术平方根是______．
17.有一张如图所示的四边形纸片，，，为直角，要在该纸片中剪出一个面积最大的圆形纸片，则圆形纸片的半径为______．
18.如图，四边形中，，，，点，分别为线段，上的动点含端点，但点不与点重合，点，分别为，的中点，则长度的最大值为______．
三、解答题：本题共8小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
计算：
解不等式组：；
化简：；
20.本小题分
某校随机调查了本学期部分学生读课外书的册数情况，整理得到如下不完整的统计表和扇形图．
册数 四册 五册 六册 七册
人数
本次调查的学生人数为______；
______；
已知该校共有名学生，请估计全校本学期读四册课外书的学生人数；
学校随后又补查了另外几人读课外书的册数情况，发现这几人读课外书的册数恰好相同将其与之前的数据合并后，发现册数的众数变成了另外一个数，则补查的人数最少为______．
21.本小题分
甲袋子中有个红球、个白球；乙袋子中有个红球、个白球这些球除颜色外无其他差别先从甲袋子中随机摸出个球放入乙袋子，摇匀后，再从乙袋子中随机摸出个球．
从甲袋子中摸出的球是白球的概率是______；
从两个袋子中摸出的球都是红球的概率是多少？
22.本小题分
在中，直径垂直于弦，垂足为，连接，，，．
Ⅰ如图，若，求和的大小；
Ⅱ如图，过点作的切线交的延长线于点若，，求此圆半径的长．
23.本小题分
如图，在矩形中，，，点是上的一个动点不与，重合，过点的反比例函数的图象与边交于点．
当为的中点时，求该函数的解析式；
当为何值时，的面积最大，最大面积是多少？
24.本小题分
某超市销售一种商品，成本每千克元，规定每千克售价不低于成本，且不高于元．经市场调查，每天的销售量千克与每千克售价元满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价元千克
销售量千克
求与之间的函数表达式；
设商品每天的总利润为元，求与之间的函数表达式利润收入成本；
试说明中总利润随售价的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？
25.本小题分
在中，，，点是上一个动点点不与，重合，以点为中心，将线段顺时针旋转得到线．
如图，当时，求的度数；
如图，连接，当时，的大小是否发生变化？如果不变，求的度数；如果变化，请说明理由；
如图，点在上，且：：，以点为中心，将线时针转得到线段，连接，若，求线段的取值范围．
26.本小题分
如图，夜晚，小明从路灯的正下方处出发，先沿平路走到处，再上坡到达处已知小明的身高为，他在道路上的影长单位：与行走的路程单位：之间的函数关系如图所示，其中，，是线段，是曲线．
结合的位置，解释点的横坐标、纵坐标的实际意义．
路灯的高度是______
设的坡角为．
通过计算：比较线段与线段的倾斜程度．
当取不同的值时，下列关于曲线的变化趋势的描述；随的增大而增大；随的增大而减小；随的增大先增大后减小；随的增大先减小后增大其中，所有可能出现的序号是______说明：全部填对的得满分，有填错的不得分．
答案和解析
1.【答案】
【解析根据特殊角的三角函数值可知：．
故选C．
2.【答案】
【解析】根据中心对称图形的定义逐项分析判断如下：
A、不是中心对称图形，故选项错误；
B、是中心对称图形，故选项正确；
C、不是中心对称图形，故选项错误；
D、不是中心对称图形，故选项错误；
故选：．
3.【答案】
【解析】设这两个奇数分别为：和，
，
或必有一个为偶数，
是的倍数，
故选：．
4.【答案】
【解析】二次函数的图象的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，
抛物线开口向下，时，有最大值为，
故选：．
5.【答案】
【解析】甲的成绩在和之间波动；乙的成绩在和之间波动；丙的成绩在和之间波动，
，
这三名运动员中次射击训练成绩最稳定的是甲，
故选：．
6.【答案】
【解析】个人中至少有人的生日是同一个月是必然事件，正确；
一名篮球运动员投篮命中概率为，他投篮次，一定会命中次，错误；
因为任何数的平方都是正数，所以任何数的平方根都是正数，错误；
在平面上任意画一个三角形，其内角和一定是，正确；故选：．
7.【答案】
【解析】如图所示，点的坐标为，与轴相切于点，
的半径是，
若与相切时，设切点为，由点，点，
，，由勾股定理得：，，
设平移后圆与直线第一次相切时圆心为即对应的，
，，
又，
，点的坐标为，即对应的点的坐标为，
同理可得圆与直线第二次相切时圆心的坐标为，
所以当与直线相交时，横坐标为整数的点的横坐标可以是，，共三个．故选：．
8.【答案】
【解析】每满元立减元，立减元，说明消费金额满了个元，
件商品的原价满足：，
乙在该商场单笔购买件商品与件商品，立减了元，说明消费金额满了个元，
件商品与件商品的原价满足：，
时，最小为即可，故选：．
9.【答案】
【解析】如图，设，则，，
．
，
，
同理：，
．
又，
，，
．
故选：．
10.【答案】
【解析】根据题意可知，，，
四边形为菱形，，
，
过点作于点，连接交于，如图，
则，
，
设菱形的边长为，
，
点和点同时到达点和点，此时的面积达到最大值，
，
解得负值舍去，
，
故选：．
11.【答案】
【解析】，
最小的数是：．
故答案为：．
12.【答案】
【解析】不透明袋子中装有个球，其中有个绿球、个红球，这些球除颜色外无其他差别，
，
故答案为：．
13.【答案】或
【解析】是的中点，
，
，
添加或，
14.【答案】
【解析】原式，
故答案为：．
15.【答案】
【解析】关于的方程有实数根，
当时，时，有实数根；
当时，
，
解得．
由以上可知．
故答案为：．
16.【答案】
【解析】
，
的算术平方根是，
故答案为：．
17.【答案】
【解析】连接，作的角平分线交于点，过点作，如图：
，，，
≌，
，，
点到四边形个边的距离相等，
在该纸片中剪出一个面积最大的圆形纸片，则圆形纸片的圆心为点，
设半径为，则，，
，
，
∽，
，即，
解得，
故答案为：．
18.【答案】
【解析】连接．
，，
，
最大时，最大．
与重合时最大，此时，
的最大值为．
故答案为：．
19.【答案】；
；
．
【解析】，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式的解集为；
原式
；
原式
．
20.【解析】人，
参与调查的学生人数为人，
；
答：读书册的人数为人．
该校本学期度四册课外书的学生人数为：
人；
补查前读课外书册数最多的是五册，
补查前读课外书的册数的众数为，
补查的几人读课外书的册数恰好相同，且补查后读课外书册数的众数变成了另一个数，
补查的人数最少为：人．
21.【解析】由题意知，共有种等可能的结果，其中从甲袋子中摸出的球是白球的结果有种，
从甲袋子中摸出的球是白球的概率是．
故答案为：．
画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中从两个袋子中摸出的球都是红球的结果有种，
从两个袋子中摸出的球都是红球的概率为．
22.【答案】Ⅰ直径于点，
，
，
，
为直径，
，
；
Ⅱ连接，如图，
，
，
即垂直平分，
，
又，
是等边三角形，
，
，，
又，
是等边三角形，
，．
切于点，
，
，
，
，
．
，
即半径为．
23.【解析】在矩形中，，，
，
为的中点，
，
点在反比例函数的图象上，
，
该函数的解析式为；
由题意知，两点坐标分别为，，
，
当时，有最大值．
．
24.【解析】设与之间的函数解析式为，
则，得，
即与之间的函数表达式是；
由题意可得，
，
即与之间的函数表达式是；
，
当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
当时，取得最大值，此时，
答：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，售价为元时获得最大利润，最大利润是元．
25.【解析】，
，
，
线段顺时针旋转得到线，
，
；
方法一，
如图，
的度数不变，理由如下：
连接，
线段顺时针旋转得到线，
，，
，
，，
，
，
点、、、共圆，
，
方法二，
如图，
连接，
由上知：，
，
∽，
，
，
∽，
；
如图，
连接，
由知，
，
线时针转得到线段，
，，
，
设，，，
，
，
点在上，
，
，
，
．
26.【解析】由题意得：，
横坐标：小明走到灯下处，纵坐标：此时影长为，影长的顶端正好在处；
由题意得：，
解得：，
路灯的高度是，
故答案为：；
，
，
为小明在坡上任意一点，
此时，，影长，，
，
，
，
，
，
，
，
整理得：，
，
，
，
线段的倾斜程度更大；
．
第18页，共18页

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