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广东省卷（北师大版）2025年七年级下册期末数学考试模拟卷
满分120分 时间120分钟
学校:___________ 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________
一、选择题（共30分）
1．下列四个图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．清代袁枚写的诗《苔》中有这样一句：“苔花如米小，也学牡丹开”．若苔花的花粉半径约为米，则数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．一个不透明的袋子里装有1个白球，2个红球，3个黄球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出一个球是红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示，D，E分别是的边上的点，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
5．一辆汽车从A地启动，加速一段时间后保持匀速行驶，接近B地时开始减速，到达B地时恰好停止，如所示的哪一幅图可以近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况（　　）
A． B．
C． D．
6．如图，在中，，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心的长为半径画弧，两弧交于点，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，DE垂直平分AB，分别交AB、AC于点D、E，连接BE，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
8．如图，射线OC是∠AOB的角平分线，D是射线OC上一点，DP⊥OA于点P，DP＝4，若点Q是射线OB上一点，OQ＝3，则△ODQ的面积是（　　）

A．3 B．4
C．5 D．6
9．已知，，则（ ）
A．4 B．8 C．11 D．20
10．如图，用四颗螺丝将不能弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两颗螺丝的距离依次为4、5、6、9，且相邻两根木条的夹角均可以调整，若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两颗螺丝的距离的最大值是（ ）

A．7 B．10 C．11 D．14
二、填空题（共15分）
11．如图，在和中，点B，F，C，E在同一直线上，，，请添加一个条件，使得．添加的条件可以是 （只需写一个，不添加辅助线）；

12．如图,正三角形网格中,已有两个小正三角形被涂黑,再将图中其余小正三角形涂黑一个,使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形的方法有 种.

13．如图，在中，是边上的中线，若，，则点D到的距离为 ．

14．如果，则的值是 ．
15．如图，在等边中，D，E分别为边，的中点，，且P为上的动点，连接，，则的最小值为 ．

三、解答题（共75分）
16．（本题7分）计算．
17．（本题7分）如图，EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70°．求∠AGD的度数．
18．（本题7分）先化简，再求值：，其中，．
19．（本题9分）如图，在每个小正方形的边长都为1的网格中有一个．
(1)作与关于直线成轴对称的图形（不写作法）；
(2)作边上的高（不写作法）；
(3)求的面积．
20．（本题9分）两地相距，甲于某日骑自行车从地出发驶往地，乙也于同日下午骑摩托车从地出发驶往地，在这个变化过程中，甲和乙所行驶的路程用变量表示，甲所用的时间用变量（时）表示，图中折线和线段分别表示甲和乙所行驶的路程与的变化关系，请根据图像回答：
(1)直接写出：甲出发后__________小时，乙才开始出发；
(2)求乙行驶几小时后追上甲，此时两人距地还有多少千米？
(3)请分别求出甲，乙的行驶速度？
21．（本题9分）如图1，∠DAB＝90°，CD⊥AD于点D，点E是线段AD上的一点，若DE＝AB，DC＝AE．
(1)判断CE与BE的关系是 ．
(2)如图2，若点E在线段DA的延长线上，过点D在AD的另一侧作CD⊥AD，并保持CD＝AE，DE＝AB，连接CB，CE，BE，试说明（1）中结论是否成立，并说明理由．
22．（本题13分）用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式，例如：计算图1的面积．把图1看作一个大正方形． 它的面积是；如果把图1 看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为，由此得到．

(1)如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为的正方形，从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为 ．
(2)利用（1）中的结论解决以下问题：
已知，，求的值；
(3)如图3，正方形边长为a，正方形边长为b，点D，G，C在同一直线上，连接、，若，，求图3中阴影部分的面积．
23．（本题14分）【初步感知】
(1)如图1，已知为等边三角形，点D为边上一动点（点D不与点B，点C重合）．以为边向右侧作等边，连接．求证：；

【类比探究】
(2)如图2，若点D在边的延长线上，随着动点D的运动位置不同，猜想并证明：

①与的位置关系为： ；
②线段、、之间的数量关系为： ；
【拓展应用】
(3)如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接、．请问：是否有最小值？若有，请直接写出其最小值；若没有，请说明理由．

参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B B D A B C D B C
1．C
【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【详解】A、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义．不符合题意；
B、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义．不符合题意；
C、是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义．不符合题意．
故答案为：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．B
【分析】直接运用科学记数法的知识进行表示即可．
【详解】解：，
故选：B．
【点睛】科学记数法是一种记数的方法。把一个数表示成a与的n次幂相乘的形式（，a不为分数形式，n为整数），这种记数法叫做科学记数法．
3．B
【分析】根据题目中总的球的个数和红球个数，可以计算出从袋中任意摸出一个球是红球的概率．
【详解】解：由题意可得，
从袋中任意摸出一个球是红球的概率为，
故选：B．
【点睛】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
4．D
【分析】此题考查了全等三角形对应角相等的性质，直角三角形两锐角互余的性质，解题的关键是求出．
根据全等三角形对应角相等，得到，根据，求出，在利用直角三角形两锐角互余求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
故选D．
5．A
【分析】横轴表示时间，纵轴表示速度，根据加速、匀速、减速的变化情况，进行选择．
【详解】解：汽车经历加速、匀速、减速到达B地，
则符合题意的图象为：

故选：A．
【点睛】本题主要考查了函数的图象，注意横纵轴表示的意义是解题的关键．
6．B
【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，尺规作图法，掌握角平分线的尺规作图法是解题的关键．
根据作图可知是角平分线，再利用三角形内角和定理即可求得．
【详解】解：根据尺规作图可知，是角平分线，
，
在中，，
，
，
故选．
7．C
【分析】由等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质可得各角之间的关系，从而可求解．
【详解】解：，，
，．
垂直平分，
，
．
，
，
．
，
，
．
故选：C．
【点睛】此题主要考查线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
8．D
【分析】过点D作DH⊥OB于点H，如图，根据角平分线的性质可得DH=DP=4，再根据三角形的面积即可求出结果．
【详解】解：过点D作DH⊥OB于点H，如图，
∵OC是∠AOB的角平分线，DP⊥OA，DH⊥OB，
∴DH=DP=4，
∴△ODQ的面积=．
故选：D．

【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，属于基本题型，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．
9．B
【分析】本题考查了完全平方公式的运用，代入求值，熟练掌握知识点是解题的关键．根据完全平方公式变形可得，代入求解即可．
【详解】解： ，，，
，
故选：B．
10．C
【分析】根据三角形的三边关系即可得到结论．
【详解】解：由于相邻两颗螺丝的距离依次为4、5、6、9，
选、6、9作为三角形，则三边长为、6、9，能构成三角形，此时任意两颗螺丝的距离的最大值是；
选、4、9作为三角形，则三边长为、4、9，能构成三角形，此时任意两颗螺丝的距离的最大值是；
选、4、5作为三角形，则三边长为、4、5，不能构成三角形，此情况不成立；
选、5、6作为三角形，则三边长为、5、6，不能构成三角形，此情况不成立；
综上所述，任意两颗螺丝的距离的最大值是．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．
11．（答案不唯一）
【分析】根据全等三角形的判定定理进行求解即可．
【详解】解：添加条件，
在和中，
，
∴，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
12．3
【分析】根据轴对称的概念作答．如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：选择小正三角形涂黑，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形，

选择的位置有以下几种：1处，2处，3处，选择的位置共有3处．
故答案为3．
考点：概率公式；轴对称图形．
13．4
【分析】根据中线的性质得到，再利用三角形的面积，结合点到直线的距离的概念求解即可．
【详解】解：∵是边上的中线，
∴，
∴，
∵，
∴点D到的距离为，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了中线的性质，三角形的面积，点到直线的距离，解题的关键是掌握三角形的中线平分三角形的面积．
14．
【分析】本题考查同底数幂运算的题目，解答本题的关键是利用同底数幂的乘法和除法法则得到，然后解方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
解得，
故答案为：．
15．3
【分析】作点E关于的对称点F，连接，交于点P，由，根据即可求得的最小值．
【详解】解：如图，作点E关于的对称点F，连接，交于点P，
∵等边中，D，E分别为边，的中点，且等边三角形为轴对称图形，

∴点F在线段上，且是的中点，，
∴，
∴，即的最小值为的长，且此时，
根据等边三角形三边上的高相等，即，
∴的最小值为3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，轴对称的性质，掌握轴对称求线段和最小值的方法是解题的关键．
16．
【分析】本题考查了实数的混合运算，负整数指数幂，零指数幂等运算，根据负整数指数幂，零指数幂，乘方等运算法则进行计算，再算加减法即可．
【详解】解：
．
17．∠AGD的度数为110°．
【分析】此题要注意由EF∥AD，可得∠2=∠3，由等量代换可得∠1=∠3，可得DG∥BA，根据平行线的性质可得∠BAC+∠AGD=180°，即可求解．
【详解】∵EF∥AD(已知)
∴∠2=∠3(两直线平行，同位角相等)；
∵∠1=∠2(已知)，
∴∠1=∠3(等量代换)；
∴DG∥AB(内错角相等，两直线平行).
∴(两直线平行，同旁内角互补) ，
∵
∴
【点睛】考查平行线的判定与性质，常见的平行线的判定方法有：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行.
18．，
【分析】根据完全平方公式和平方差公式可以化简题目中的式子，然后将、的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】解：
当，时，原式．
【点睛】本题考查整式的混合运算—化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值得方法．
19．(1)见解析
(2)见解析
(3)3
【分析】本题考查作图﹣轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．
（1）分别作出D，E，F的对应点F，N，M即可．
（2）利用数形结合的思想解决问题即可．
（3）利用三角形的面积公式计算即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：如图，线段即为所求．
（3）解：．
20．(1)1
(2)乙行驶小时后追上甲，此时两人距地还有千米
(3)甲出发1小时之前的速度为20千米/时，甲出发1小时后的速度为10千米/时，乙的速度为25千米/时．
【分析】（1）观察函数图象得到甲出发后1小时，乙才开始出发；
（2）观察函数图象得到乙在时追上甲，此时两人距离A地千米，即可；
（3）根据函数图象得到乙用2小时走了50千米，甲前1小时走了20千米，后面3小时走了30千米，然后利用速度公式计算他们的速度，即可．
【详解】（1）解：观察图象得：甲出发后1小时，乙才开始出发；
故答案为：1
（2）解：观察图象得：（小时），（千米）
∴乙行驶小时后追上甲，此时两人距地还有千米；
（3）解：（千米/时），
（千米/时）
（千米/时）
∴甲出发1小时之前的速度为20千米/时，甲出发1小时后的速度为10千米/时，乙的速度为25千米/时．
【点睛】本题考查函数的图象，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
21．(1)CE＝BE且CE⊥BE
(2)成立，理由详见解析
【分析】（1）根据已知条件即可证明，然后根据全等三角形的性质即可证明CE与BE的关系为垂直且相等；
（2）根据已知条件证明，然后根据全等三角形的性质进行等量代换即可得到结论；
【详解】（1）解：CE＝BE且CE⊥BE，理由如下：
∵CD⊥AD，∴∠CDE＝90°，
∵∠DAB＝90°，∴∠CDE＝∠EAB，
在△CDE和△EAB中，
∴，
∴CE＝BE，∠CED＝∠EBA，
∵∠EBA＋∠BEA＝90°，
∴∠CED＋∠BEA＝90°，
∴∠CEB＝90°，
∴CE⊥BE，
∴CE＝BE且CE⊥BE．
（2）解：（1）中结论成立，理由如下：
∵CD⊥AD，∴∠CDE＝90°，
∵∠DAB＝90°，∴∠CDE＝∠EAB，
在△CDE和△EAB中，
∴，
∴CE＝BE，∠CED＝∠EBA，
∵∠EBA＋∠BEA＝90°，
∴∠CED＋∠BEA＝90°，
∴∠CEB＝90°，
∴CE⊥BE，
∴CE＝BE且CE⊥BE．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握并熟练使用相关知识，并注意解题中需注意的事项是本题的解题关键．
22．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由正方形的面积的两种不同的计算方法，从而可得结论；
（2）把，代入（1）中公式可得答案；
（3）先求解，阴影部分的面积为：，再利用因式分解后整体代入求值即可．
【详解】（1）解：正方形的面积可表示为：，
还可以表示为：，
∴．
（2）∵，，，
∴，
∴．
（3）∵，，
∴，
∴（负根舍去），
∵阴影部分的面积为：
．
【点睛】本题考查的是多项式的乘法运算与图形面积的关系，完全平方公式的应用，完全平方公式的变形的灵活应用，因式分解的应用，熟练的利用图形面积建立代数公式是解本题的关键．
23．(1)见解析
(2) 平行
(3)有最小值，5
【分析】（1）由和是等边三角形，推出，，，又因为，则，即，从而利用“”证明；
（2）①由（1）得，得出，，，则；
②因为，，所以；
（3）在上取一点，使得，连接，可证，，求得，得出是等边三角形，则，即点E在角平分线上运动，在射线上截取，当点E与点C重合时，，进而解答此题．
【详解】（1）证明：∵和是等边三角形，
∴，，
，
∵，
∴
即
在和中，
，
∴；
（2）平行，，理由如下：
由（1）得，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（3）有最小值，理由如下：
如图，在射线上取一点，使得，连接，

∵和是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
由三角形内角和为，可知：，，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
，
∴，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
即点E在的角平分线上运动，
在射线上截取，连接，
在和中，
，
，
∴，
则，
由三角形三边关系可知，，
即当点E与点C重合，时，有最小值，
∵，
∴，
∴最小值为5．

【点睛】本题考查三角形综合，全等三角形的判定，正确添加辅助线、掌握相关图形的性质定理是解题的关键．

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