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2024-2025学年第二学期七年级数学期末模拟卷（21）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）
1．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若，则实数的值（ ）
A． B． C．1 D．5
3．电影《哪吒之魔童闹海》的热映，推动了我国国产动画电影发展，提升了中国文化影响力．对下列哪吒图片的变换顺序描述正确的是（ ）
A．轴对称，平移，旋转 B．旋转，轴对称，平移
C．轴对称，旋转，平移 D．平移，旋转，轴对称
4．若，则下列式子中错误的是（ 　）
A． B．
C． D．
5．下列命题：①如果，那么；②如果两个角相等，那么这两个角为同位角；③如果，那么；④如果与互补，那么，其中假命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．图1是长方形纸条，，将纸条沿折叠成图2，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
7．对定义一种新运算“※”，规定：（其中均为非零实数），若，，则的值是（ ）
A．13 B． C．11 D．
8．已知两块边长都为的大正方形，两块边长都为的小正方形和五块长、宽分别是，的小长方形，按如图所示的方式正好不重叠地拼成一个大长方形．已知拼成的大长方形周长为，图中阴影部分四个正方形的面积之和为，则图中每个小长方形的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上）
9．已知，（m，n为正整数），则 ．
10．若，则 ．
11．清代诗人袁枚在《苔》中用“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开”歌颂微小生命的坚韧与诗意．若苔花的花粉直径约为米，将其用科学记数法表示为 ．
12．命题“如果，那么”的逆命题是 ．
13．不等式的最大整数解是 ．
14．已知 ，则a，b，c的大小关系是 ．（用“”连接）
15．如图，将绕点顺时针旋转，得到，若，，则 ．
16．若不等式组的解集是，则 ．
17．如图，直线向右平移至直线，与、相交，，，，则 ．
18．如图，是我国古代数学重要的成就之一——“杨辉三角”或“贾宪三角”．该三角形图表两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．事实上，这个图表给出了（n为正整数）的展开式的系数规律．例如，此三角形中第2行中的2个数1，1，对应着展开式中各项的系数，此三角形中第3行中的3个数1，2，1，对应着展开式中各项的系数，若的展开式共有6项．那么各项的系数中最小的系数是 ．
三、解答题（本大题共10小题，共76分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）计算：
(1)；
(2)．
20．（6分）解方程：
(1)
(2)
21．（6分）解不等式组：，并把解集表示在数轴上．
22．（8分）按要求在如图所示的网格中完成画图（网格图中每个小正方形的边长均为个单位长度）．
(1)画出将向上平移个单位长度，得到；
(2)画出将绕点旋转，得到；
(3)将沿某直线翻折，点的对应点是点，画出翻折后的．
23．（8分）如图是某住宅的平面结构示意图及有关尺寸（墙壁厚度忽略不计，单位：）．
(1)求该住宅的面积（用含，的代数式表示）．
(2)该住宅的主人计划把卧室以外的地面都铺上地砖，其中卫生间的地面面积为．如果地砖的价格是每平方米80元，那么购买地砖至少需要花费多少元？
24．（8分）刀鱼馄饨是江苏江阴的特色美食，被誉为“初春第一鲜”．清明节前后是刀鱼馄饨销售的高峰，某电商平台推出，两种型号的刀鱼馄饨礼盒，第一天售出礼盒8个、礼盒5个，总计收入1400元，第二天售出礼盒6个、礼盒10个，总计收入1800元；
(1)，两种型号的刀鱼馄饨礼盒每盒的售价分别是多少元？
(2)李叔叔在澄务工，清明假期计划同时购买这两种礼盒赠予亲朋（，都需要购买），预算为1300元．请你帮助他设计预算资金恰好用完时的购买方案．
25．（8分）如图，将沿直线向右平移a个单位到的位置．
(1)连接，当的周长为16，时，求四边形的周长；
(2)已知的面积为12，．当所扫过的面积为18时，求a的值．
26．（10分）如果，那么我们规定．例如：因为，所以．
(1)根据上述规定，计算：______，______；
(2)记，，．探究、、三者之间的等量关系，并给出理由；
(3)若，则______．
27．（10分）阅读理解：
定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式（组）的解，我们称这个方程（组）的解是这个不等式（组）的“友好解”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程的解是不等式的“友好解”．
(1)试判断方程的解是不是不等式的“友好解”？（ ）
A．是 B．不是
(2)若关于、的方程组的解是不等式的“友好解”，求的取值范围；
(3)当时，方程的解是不等式的“友好解”，求的最小整数值．
28．（12分）将一副三角板按如图1所示放置在直线上，，，．若三角板固定不动，三角板绕点C以每秒顺时针旋转一周，旋转时间为．
(1)当面积最大时，求t的值．
(2)如图2，是的平分线，当t的值为____________时，．
(3)若在三角板旋转的同时，三角板也绕点C以每秒顺时针旋转，平分，平分，在旋转的过程中，的度数是否为定值？若是，求出这个值；若不是，说明理由．
答案与解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）
1．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方、同底数幂的除法，合并同类项，熟悉运算法则是解题的关键．
根据积的乘方与幂的乘方、同底数幂的除法法则解答．
【详解】解：A、，故本选项错误；
B、，故本选项错误；
C、，故本选项错误；
D、，故本选项正确；
故选：D．
2．若，则实数的值（ ）
A． B． C．1 D．5
【答案】D
【分析】本题考查了多项式乘以多项式，掌握整式的乘法运算法则是关键．
根据整式的乘法运算计算，再根据等式左右两边判定即可求解．
【详解】解：，，
∴，
解得，，
故选：D ．
3．电影《哪吒之魔童闹海》的热映，推动了我国国产动画电影发展，提升了中国文化影响力．对下列哪吒图片的变换顺序描述正确的是（ ）
A．轴对称，平移，旋转 B．旋转，轴对称，平移
C．轴对称，旋转，平移 D．平移，旋转，轴对称
【答案】A
【分析】本题考查几何变换的类型，解题的关键是读懂图象信息．
根据平移变换，旋转变换，轴对称变换的定义判断即可．
【详解】解：哪吒图片的变换顺序是轴对称平移旋转．
故选：A．
4．若，则下列式子中错误的是（ 　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了不等式的性质，掌握（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．
根据不等式的基本性质，进行判断即可．
【详解】解：由可得，故正确，不符合题意；
B、由可得，原写法错误，符合题意；
C、由可得，故正确，不符合题意；
D、由可得，故正确，不符合题意；
故选：B．
5．下列命题：①如果，那么；②如果两个角相等，那么这两个角为同位角；③如果，那么；④如果与互补，那么，其中假命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查的是命题与定理，根据绝对值、同位角的概念、实数的大小比较、补角的概念判断即可．正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
【详解】解：①如果，那么，故本小题命题是假命题；
②两个角相等，这两个角不一定是同位角，故本小题命题是假命题；
③如果，那么，是假命题，例如：，而；
④如果与互补，那么，是真命题；
故选：C．
6．图1是长方形纸条，，将纸条沿折叠成图2，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了折叠的性质，邻补角的性质、平行线的性质等知识点．由折叠的性质可得，由平行线的性质可得，再根据邻补角的性质即可解答．
【详解】解：∵，
由折叠得，
∴，
∴．
故选：C．
7．对定义一种新运算“※”，规定：（其中均为非零实数），若，，则的值是（ ）
A．13 B． C．11 D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组．根据题意联立二元一次方程组，解出的值，再代入运算中即可求解．
【详解】解：由题意得：，
整理得，
得：，
把代入②得：，
∴，
则，
故选：B．
8．已知两块边长都为的大正方形，两块边长都为的小正方形和五块长、宽分别是，的小长方形，按如图所示的方式正好不重叠地拼成一个大长方形．已知拼成的大长方形周长为，图中阴影部分四个正方形的面积之和为，则图中每个小长方形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了完全平方公式的变形求值，掌握是解题的关键．
根据拼成的大长方形周长为，四个正方形的面积之和为，得到，，根据完全平方公式求出的值即可．
【详解】解：大长方形周长为，
，
，
四个正方形的面积之和为，
，
，
，
，
，
故选：B．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上）
9．已知，（m，n为正整数），则 ．
【答案】6
【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，熟练掌握同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键．利用同底数幂的乘法的逆用把化为已知的形式，然后将、整体代入计算即可．
【详解】解：∵，（m，n为正整数），
∴．
故答案为：6．
10．若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，用了整体代入思想，即把当作一个整体来代入．
先算乘法，再合并同类项，最后整体代入求出即可．
【详解】解：∵
∴
．
故答案为：．
11．清代诗人袁枚在《苔》中用“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开”歌颂微小生命的坚韧与诗意．若苔花的花粉直径约为米，将其用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为整数．
【详解】解：．
故答案为：．
12．命题“如果，那么”的逆命题是 ．
【答案】如果，那么
【分析】本题考查了写出命题的逆命题，交换原命题的题设与结论部分即可得到原命题的逆命题．
【详解】解：命题“如果，那么”的逆命题是“如果，那么”，
故答案为：如果，那么．
13．不等式的最大整数解是 ．
【答案】4
【分析】本题主要考查了求一元一次不等式的最大整数解，按照移项，合并同类项的步骤求出不等式的解集，进而求出求最大整数解即可．
【详解】解：
移项得：，
合并同类项得：，
∴不等式的最大整数解是4，
故答案为：4．
14．已知 ，则a，b，c的大小关系是 ．（用“”连接）
【答案】
【分析】利用有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂计算后比较大小．
本题考查了有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂，有理数的大小比较，解题的关键是掌握有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂，有理数的大小比较．
【详解】解：∵，
且，
∴．
故答案为：．
15．如图，将绕点顺时针旋转，得到，若，，则 ．
【答案】/度
【分析】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是本题的关键．
由旋转的性质可得，进而根据，即可求解．
【详解】解：∵将绕点顺时针旋转，得到，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：．
16．若不等式组的解集是，则 ．
【答案】
【分析】此题考查了解一元一次不等式组，以及有理数的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．先求出两个不等式的解集，再结合不等式组的解集求出、的值，继而代入计算即可．
【详解】解：由不等式组，
得，即．
，．
，．
．
故答案为：．
17．如图，直线向右平移至直线，与、相交，，，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了平移的性质，平行线的性质，对顶角相等，解方程组，掌握知识点的应用是解题的关键．
由平移性质可得，再由对顶角相等，平行线的性质得出，从列方程组，然后解出，再代入即可求解．
【详解】解：∵直线向右平移至直线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，即，
解得：，
∴，
故答案为：．
18．如图，是我国古代数学重要的成就之一——“杨辉三角”或“贾宪三角”．该三角形图表两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．事实上，这个图表给出了（n为正整数）的展开式的系数规律．例如，此三角形中第2行中的2个数1，1，对应着展开式中各项的系数，此三角形中第3行中的3个数1，2，1，对应着展开式中各项的系数，若的展开式共有6项．那么各项的系数中最小的系数是 ．
【答案】
【分析】根据题意得到规律第n行有n项，且指数为序号减1，得到的展开式共有6项，得到，然后根据规律写出的各项系数，进而比较求解即可．
【详解】第1行有1项，；
第2行有2项，
第3行有3项，
第4行有4项，
…
∴第n行有n项，
∵的展开式共有6项
∴
根据题意得，
∴
∴各项系数分别为32，，80，，10，
∴最小的为．
故答案为：．
【点睛】此题考查了多项式乘多项式规律问题，中能依据“杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和”写出“杨辉三角”的第6行数是解题关键．
三、解答题（本大题共10小题，共96分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）计算：
(1)；(2)．
【答案】(1) (2)
【分析】本题主要考查实数的混合运算，同底数幂的乘除法运算，积的乘方，幂的乘方运算，掌握实数的混合运算法则，整式的混合运算法则是解题的关键．
（1）先算零次幂，乘方，负指数幂的结果，再根据实数运算法则计算即可；
（2）根据同底数幂的乘除法，积的乘方，幂的乘方运算，再合并同类项 即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
20．（8分）解方程：
(1) (2)
【答案】(1) (2)
【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，会熟练运用代入消元法与加减消元法解方程组是解决问题的关键．
（1）方程组利用加减消元法求出解即可；
（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
【详解】（1）解：
得，，
将代入①得，
解得：
所以原方程组的解为：；
（2）解：
原方程组整理为：
得，
解得：，
将代入①得，
解得：
所以原方程组的解为：
21．（8分）解不等式组：，并把解集表示在数轴上．
【答案】，数轴表示见解答．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．
此题考查了在数轴上表示不等式的解集，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【详解】解：
解不等式①，得
解不等式②，得
∴原不等式组的解集为：
22．（8分）按要求在如图所示的网格中完成画图（网格图中每个小正方形的边长均为个单位长度）．
(1)画出将向上平移个单位长度，得到；
(2)画出将绕点旋转，得到；
(3)将沿某直线翻折，点的对应点是点，画出翻折后的．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)见解析．
【分析】本题考查了基本作图，根据平移的性质，轴对称的性质，旋转的性质正确画出图形是解题的关键．
（）利用平移的性质作图即可；
（）利用旋转的性质作图即可；
（）利用轴对称的性质作图即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求；
（3）解：如图，即为所求．
23．（10分）如图是某住宅的平面结构示意图及有关尺寸（墙壁厚度忽略不计，单位：）．
(1)求该住宅的面积（用含，的代数式表示）．
(2)该住宅的主人计划把卧室以外的地面都铺上地砖，其中卫生间的地面面积为．如果地砖的价格是每平方米80元，那么购买地砖至少需要花费多少元？
【答案】(1)该住宅的面积
(2)购买地砖至少需要花费4500元
【分析】本题考查了列代数式，整式加减的应用，有理数乘法的应用，理解题意并正确列式是解题关键．
（1）根据图形列式计算即可；
（2）先根据卫生间的面积求出，再计算出卧室以外的面积，乘以地砖的价格求解即可．
【详解】（1）解： 即该住宅的面积；
（2）解：由图形可知，卫生间的面积为，
卫生间的地面面积为，
，
，
卧室1的面积为，
卧室2的面积为，
卧室以外的面积为，
（元）．
答：购买地砖至少需要花费4500元．
24．（10分）刀鱼馄饨是江苏江阴的特色美食，被誉为“初春第一鲜”．清明节前后是刀鱼馄饨销售的高峰，某电商平台推出，两种型号的刀鱼馄饨礼盒，第一天售出礼盒8个、礼盒5个，总计收入1400元，第二天售出礼盒6个、礼盒10个，总计收入1800元；
(1)，两种型号的刀鱼馄饨礼盒每盒的售价分别是多少元？
(2)李叔叔在澄务工，清明假期计划同时购买这两种礼盒赠予亲朋（，都需要购买），预算为1300元．请你帮助他设计预算资金恰好用完时的购买方案．
【答案】(1)型号礼盒每盒100元，型号礼盒每盒120元
(2)有两种方案：型号礼盒购买7个，型号礼盒购买5个或型号礼盒购买1个，型号礼盒购买10个
【分析】本题主要考查了二元一次方程组以及二元一次方程的应用．
（1）设型号礼盒每盒元，型号礼盒每盒元，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可得出答案．
（2）设购买型号礼盒购买个，型号礼盒购买个，根据题意列出关于m，n的二元一次方程，然后根据、为非负整数，得出，或，即可得出两种方案．
【详解】（1）解：设型号礼盒每盒元，型号礼盒每盒元，
根据题意，得
解得
答：型号礼盒每盒100元，型号礼盒每盒120元；
（2）解：设购买型号礼盒购买个，型号礼盒购买个，
由题意可得：，
∵、为非负整数，
∴，或，，
∴有两种方案：型号礼盒购买7个，型号礼盒购买5个或型号礼盒购买1个，型号礼盒购买10个．
25．（10分）如图，将沿直线向右平移a个单位到的位置．
(1)连接，当的周长为16，时，求四边形的周长；
(2)已知的面积为12，．当所扫过的面积为18时，求a的值．
【答案】(1)20
(2)
【分析】本题考查的是平移的性质，熟记平移的性质是解本题的关键；
（1）如图，连接，根据平移的性质可得，，再进一步求解即可；
（2）如图，作于H，先求解，再结合所扫过面积即梯形的面积，进一步计算即可.
【详解】（1）解：如图，连接，
根据平移的性质可知，，
∵的周长为16，
∴，
∴，
∴四边形的周长为．
（2）解：如图，作于H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴所扫过面积即梯形的面积，
则，
解得：．
答：a的值为．
26．（10分）如果，那么我们规定．例如：因为，所以．
(1)根据上述规定，计算：______，______；
(2)记，，．探究、、三者之间的等量关系，并给出理由；
(3)若，则______．
【答案】(1)，
(2)，理由见解析
(3)
【分析】本题主要考查乘方，负整数指数幂，同底数幂的乘法，掌握其运算法则是关键．
（1）根据乘方，负整数指数幂的计算求解即可；
（2）根据幂的乘方运算的逆运算法则计算即可；
（3）根据题意，设，得到若，则，根据同底数幂的乘法运算代入计算即可求解．
【详解】（1）解：，
，
，
，
故答案为：；
（2）解：，理由如下，
记，，，
，
，
，
，
；
（3）解：如果，那么我们规定，
设，
，
若，则，
，
，即，
故答案为：．
27．（12分）阅读理解：
定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式（组）的解，我们称这个方程（组）的解是这个不等式（组）的“友好解”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程的解是不等式的“友好解”．
(1)试判断方程的解是不是不等式的“友好解”？（ ）
A．是 B．不是
(2)若关于、的方程组的解是不等式的“友好解”，求的取值范围；
(3)当时，方程的解是不等式的“友好解”，求的最小整数值．
【答案】(1)A
(2)
(3)4
【分析】本题考查解一元一次方程，解一元一次不等式，根据方程组的解的情况，求参数的范围，掌握“友好解”的定义，是解题的关键：
（1）求出方程的解，不等式的解集，根据“友好解”的定义，判断即可；
（2）两个方程相减后，结合不等式，得到关于k的不等式，求解即可；
（3）求出方程的解，不等式的解集，根据“友好解”的定义，求出m的范围，进而求出m的最小整数值即可．
【详解】（1）解：解得
，
解得
，
∴方程的解是同时也是不等式的解，
∴是“友好解”，
故选A．
（2）解，得，
∵关于、的方程组的解是不等式的“友好解”，
∴
解得．
（3）由，得
，解得．
由得
∵方程的解是不等式的“友好解”
∴，
解得，
∴的最小整数值为4
28．（12分）将一副三角板按如图1所示放置在直线上，，，．若三角板固定不动，三角板绕点C以每秒顺时针旋转一周，旋转时间为．
(1)当面积最大时，求t的值．
(2)如图2，是的平分线，当t的值为____________时，．
(3)若在三角板旋转的同时，三角板也绕点C以每秒顺时针旋转，平分，平分，在旋转的过程中，的度数是否为定值？若是，求出这个值；若不是，说明理由．
【答案】(1)
(2)35或95
(3)的度数为定值，
【分析】本题考查了直角三角形的性质，旋转的性质，角平分线的定义，平行线的性质，三角形的面积，熟练掌握它们的性质，能进行分类讨论是解题的关键．
（1）根据当，此时的边上的高最大，最大值为的长，用旋转度数除以旋转速度即可；
（2）根据平分求出和的度数，当时，分旋转度数小于和大于两种情况讨论；
（3）用含t的代数式分别表示出旋转后，，，的度数，再根据平分，平分，求出，，，，再求出的度数，即可求出的度数为定值．
【详解】（1）解：如图1，当绕点C顺时针旋转时，，此时的边上的高最大，最大值为的长，
所以，此时面积最大．
因为，，
所以，当面积最大时，．
（2）如图，
∵在中，，，平分，
∴，
∴．
当时，设交直线于点G，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴，
解得．
如图：
当时，设交直线于点G，
∴．
，
∴，
∴，
∴绕点C再旋转，
∴．
综上所述，当t的值为35或95时，．
故答案为：35或95；
（3）的度数为定值，．理由如下：
如图3，由题意，可知旋转后，，，．
∵平分，平分，
∴，
∴．
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21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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