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湖南省长沙市雅礼集团2025年初中学业质量测卷(二)九年级数学试题
1．（2025·长沙模拟）下列各数中，不是无理数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、是分数，故是有理数，故选项A符合题意；
B、是无理数，故选项B不符合题意；
C、是无理数，故选项C不符合题意；
D、是无理数，故选项D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】无限不循环小数为无理数，根据无理数的定义去甄别即可．
2．（2025·长沙模拟）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项A不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项B不符合题意；
C、既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项C符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图.根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐一判断即可．
3．（2025·长沙模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘多项式；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A．，原选项计算错误，故选项A不符合题意；
B．，原选项计算正确，故选项B符合题意；
C．，原选项计算错误，故选项C不符合题意；
D．，原选项计算错误，故选项D不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的除法法则、单项式乘以多项式以及完全平方公式的运算法则，逐项计算并进行判断即可．
4．（2025·长沙模拟）以下列各组数为边，能组成三角形的是（　　）
A．1，2，3 B．4，3，5 C．15，7，7 D．6，8，18
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、，不能组成三角形，故选项A不符合题意；
B、，可以组成三角形，故选项B符合题意；
C、，不能组成三角形，故选项C不符合题意；
D、，不能组成三角形，故选项D不符合题意.
故答案为：B．
【分析】三角形的两边之和大于第三边， 两边之差小于第三边，据此进行判断即可．
5．（2025·长沙模拟）澳门官方公布的最新数据显示，截至12月7日，2024年澳门累计入境旅客达3254.5万人次．澳门旅游业相关人士预测，全年入境旅客量有望突破3300万人次.3254.5万用科学记数法表示正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：3254.5万=3254.5×104＝3254.5×107，
故答案为：D．
【分析】当原数绝对值大于等于10时，科学记数法表示成的形式，其中，n为整数，n为原数字的整数位数－1.
6．（2025·长沙模拟）如图，，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂线的概念；两直线平行，内错角相等；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵AB//CD，
∴∠EDC=∠1=32°.
∵，
∴，
∴∠DCE=90°－∠EDC=58°.
故答案为：C．
【分析】根据平行线的性质可求得∠EDC的度数，再根据直角三角形内角互余，即可求得∠DCE的度数.
7．（2025·长沙模拟）如图是根据某早餐店1日至5日每天的用水量（单位：吨）绘制成的折线统计图．下列结论正确的是（　　）
A．平均数是5 B．众数是6 C．中位数是10 D．方差是8
【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：A、平均数为，故A错误，不符合题意；
B、根据题意，得众数为，故B错误，不符合题意；
C、将数据按从小到大进行排列为，，，，，则中位数是，故C错误，不符合题意；
D、方差为，故D正确，符合题意；
故答案为∶D．
【分析】结合折线统计图，根据平均数的计算，众数、中位数的定义、方差的计算进行求解即可.
8．（2025·长沙模拟）一次函数的图象经过第二、三、四象限，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数的图象经过第二、三、四象限，
∴，
解①得：m＜2；解②得：m>1，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据一次函数的图象经过二、三、四象限可得，，分别解两个不等式，即可求得m的取值范围．
9．（2025·长沙模拟）如图，在中，，，，是它的内切圆，用剪刀沿的切线剪一个，则的周长为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：设的内切圆切三边于点、、，如图，
∴，，.
设AF=x，则BF=AB－AF=5－x，
∴BH=BF=5－x，AG=AF=x，
∴CH=BC－BH=3－(5－x)，CG=AC－AG=4－x.
∴3－(5－x)=4－x，
解得：x=3.
∴AG=AF=3.
∵是的切线，
∴，，
∴△ADE的周长可以表示为：AD+DE+AE=AD+DM+EM+AENBDDF=AF+AG=3+3=6.
故答案为：B．
【分析】设的内切圆切三边于点，由切线长定理可知，，.设AF=x，表示出BF的长，继而可表示出CH和CG的长，于是可根据CH=CG得到方程，求解即可得AG和AF的长，再根据是的切线，可得，，于是可计算△ADE的周长.
10．（2025·长沙模拟）从，，，，中任取两数作为，，使抛物线的开口向上，对称轴在轴左侧的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：∵抛物线的开口向上，对称轴在y轴左侧，
∴，，
∴；
画树状图如下：
∴共有20种等可能结果，其中满足且的结果有2种结果，
∴使抛物线的开口向上，对称轴在y轴左侧的概率为．
故答案为：B．
【分析】首先根据题意得，，然后利用画树状图法列举出所有可能的情况，以及满足条件的结果数，最后利用概率公式求解即可．
11．（2025·长沙模拟）因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式；
故答案为：．
【分析】先提公因式，再利用完全平方公式法进行因式分解即可.
12．（2025·长沙模拟）某校在各年级开展合唱比赛，规定每支参赛队伍的最终成绩按歌曲内容占，演唱技巧占，精神面貌点考评．某参赛队歌曲内容获得90分，演唱技巧获得95分，精神面貌获得89分．则该参赛队的最终成绩是　 　分．
【答案】91.7
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：由题意可知，该参赛队的最终成绩是：
（分）．
故答案为：91.7．
【分析】根据加权平均数的计算方法求解即可.
13．（2025·长沙模拟）如图，是的内接正边形的一边，点在上，，则　 　．
【答案】8
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
则，
∵是的内接正边形的一边，
∴，
故答案为：8．
【分析】根据圆周角定理可得，再结合，即可作答．
14．（2025·长沙模拟）已知点在反比例函数的图象上，则实数的值为　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：点在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】直接利用反比例函数图象上点的坐标特征，把点坐标代入解析式并求解方程即可．
15．（2025·长沙模拟）圆锥的侧面积为15π，底面半径为3，则圆锥的高为 　 　．
【答案】4
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：由题意知：展开图扇形的弧长是2×3＝6，
设母线长为L，则有×6l＝15，
解得：l＝5，
∵由于母线，高，底面半径正好组成直角三角形，
∴在直角△AOC中高AO＝＝4．
故答案为：4．
【分析】设母线长为l，再利用圆锥侧面积的计算方法可得×6l＝15，求出l＝5，再利用勾股定理求出AO的长即可。
16．（2025·长沙模拟）如图，在平面直角坐标系中，点，是轴正半轴上的一个动点，是等腰直角三角形，，是点正上方一点，连接，若，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；矩形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点作于点，轴于点，如图，
∴∠BNC=∠BNO=∠BMO=∠MON=90°，
∴∠NBC=90°－∠NCB=45°=∠NCB，且四边形OMBN为矩形，
∴OM=BN=CN，ON=BM.
是等腰直角三角形，
，，
∵∠POA=∠AMB=90°，
，
，
，
，
，
，
∵，
故答案为：．
【分析】过点作于点，轴于点，证明∠NBC=∠NCB，四边形OMBN为矩形，可得OM=BN=CN，ON=BM.证明△APO≌△BAM，可得得，OA=BM，于是可得ON=BM=OA=3，然后根据即可求解．
17．（2025·长沙模拟）计算：．
【答案】解：
．
【知识点】负整数指数幂；实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先计算乘方、负整数指数幂、化简二次根式、并且去绝对值，再合并同类项即可．
18．（2025·长沙模拟）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先利用完全平方公式和多项式乘多项式法则进行展开，计算整式的除法运算，再合并同类项进行化简，最后把代入计算即可.
19．（2025·长沙模拟）我国生产的无人机畅销世界，树立了良好的品牌形象，在一座高架桥的修建过程中，需要测量一条河的宽度，工作人员使用无人飞机通过设备在P处测得M，N两处的俯角分别为和，测得无人机离水平地面的高度为240米，若Q，M，N三点在同一条水平直线上，则这条河的宽度为多少米？（参考数据：，，结果保留整数）
【答案】解：记平行于MN的直线为PA，如图所示：
∵，
∴，，
由题意得：△PQM和△PQN为直角三角形.
在Rt△PQM中，∠PQN=90°，∠PMQ=60°，
∴，
∴（米），
在Rt△PQN中，∠PQN=90°，∠PNQ=37°，
∵，
∴（米），
∴（米）．
答：这条河的宽度米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；母子模型
【解析】【分析】记平行于MN的直线为PA，判断△PQM和△PQN为直角三角形，然后分别在和中，利用锐角三角函数，求出QM和QN的长，然后计算出的长即可．
20．（2025·长沙模拟）为了响应市政府号召，某校开展了“创文明城市与我同行”活动周，活动周设置了“：文明礼仪，：生态环境，：交通安全，：卫生保洁”四个主题，每个学生选一个主题参与．为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下条形统计图和扇形统计图．
（1）本次随机调查的学生人数是 人；
（2）在扇形统计图中，“”所在扇形的圆心角等于 度；
（3）小明和小华各自随机参加其中的一个主题活动，请用画树状图或列表的方式求他们恰好选中同一个主题活动的概率．
【答案】（1）
（2）
（3）解：列表格如图所示：
　 A B C D
A (A，A) (B，A) (C，A) (D，A)
B (A，B) (B，B) (C，B) (D，B)
C (A，C) (B，C) (C，C) (D，C)
D (A，D) (B，D) (C，D) (D，D)
由表格可得，共有种等可能的结果，其中小明和小华恰好选中同一个主题活动的结果有种，
∴小明和小华恰好选中同一个主题活动的概率为．
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）本次随机调查的学生人数是（人）；
故答案为：；
（2）
解：在扇形统计图中，“”所在扇形的圆心角，
答案为：；
【分析】（）只知道A组人数占总数的百分比，故用组人数除以它对应的百分比即可求解；
（）用乘以组人数的占比即可求解；
（）画出表格，根据表格数出所有的结果数以及满足条件的结果数，再利用概率公式即可解答.
（1）解：本次随机调查的学生人数是；
故答案为：；
（2）解：在扇形统计图中，“”所在扇形的圆心角，
答案为：；
（3）解：画树状图如图所示：
由树状图可得，共有种等可能的结果，其中小明和小华恰好选中同一个主题活动的结果有种，
∴小明和小华恰好选中同一个主题活动的概率为．
21．（2025·长沙模拟）如图，是等腰直角三角形，，为边上一点，，．
（1）证明：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴．

【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）结合等腰三角形的性质，再利用即可证明，根据全等三角形的性质即可得结论；
（2）由得到，，证明∠ECD=90°，可得，最后根据平角的定义即可求解．
（1）证明：∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
22．（2025·长沙模拟）随着哈尔滨市全力打造旅游城市政策的实施，哈尔滨这座历史悠久的北方名城，吸引了国内外多方友人奔赴而来，极大促进了哈市经济的发展，中央大街某商家抓住了这一商机，该商家决定购进甲 乙两种纪念品进行销售，若购进甲种纪念品1件和乙种纪念品2件共需要元；若购进甲种纪念品2件和乙种纪念品3件共需要元．
（1）求购进甲 乙两种纪念品每件各需要多少元？
（2）该商场决定购进甲 乙两种纪念品共件，若每件甲种纪念品的售价为元，每件乙种纪念品的售价为元，销售完这件纪念品所获得的利润不低于元，则该商场最少购进甲种纪念品多少件？
【答案】（1）解：设购进甲种纪念品每件需要元，乙种纪念品每件需要元，
根据题意得：，
解得：．
答：购进甲种纪念品每件需要元，乙种纪念品每件需要元．
（2）设该商场购进a件甲种纪念品，则购进（100－a）件乙种纪念品，根据题意得：
，
解得：，
答：该商场最少购进甲种纪念品件．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设购进甲种纪念品每件需要元，乙种纪念品每件需要元，根据题意得等量关系“甲种纪念品的单价×1+乙种纪念品的单价×2＝，甲种纪念品的单价×2+乙种纪念品的单价×3＝”，据此列出关于、的方程组并求解即可；
（2）设该商场购进a件甲种纪念品，则购进(100－a)件乙种纪念品，利用“总利润每件的销售利润销售数量”，结合题意可列出关于的一元一次不等式，解之即可得出结论.
（1）解：设购进甲种纪念品每件需要元，乙种纪念品每件需要元，
根据题意得：，
解得：．
答：购进甲种纪念品每件需要元，乙种纪念品每件需要元．
（2）设该商场购进件甲种纪念品，则购进件乙种纪念品，
根据题意得：，
解得：，
的最小值为．
答：该商场最少购进甲种纪念品件．
23．（2025·长沙模拟）如图，在平行四边形中，连接，为边上一点，连接并延长交的延长线于点，交于点，过点作交于点，．
（1）若，求的长；
（2）若，求平行四边形的面积．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵BG+DG=BD=20，
∴．
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，，.
∵，可设DF=3x，FC=2x，
∴，
∵，
∴，即，
∴，.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行四边形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）根据平行线分线段成比例得出，结合BG+DG=BD=20，即可求出的长；
（2）根据平行四边形的性质得出，，，继而可得出，，.设DF=3x，FC=2x，可得AB=CD=5x。由可计算出DM和CM的值，由可得，于是可得，由得，最后根据即可求解．
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴．
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴．
24．（2025·长沙模拟）现将抛物线关于直线的对称抛物线记为，关于点中心对称的抛物线记为．
（1）当，，，时，求抛物线和的解析式；
（2）当，，时，若直线与抛物线，和有且只有4个交点，求的取值范围；
（3）当，时，若抛物线的解析式为，请写出抛物线的解析式．
【答案】（1）解：当，，，时，
∴，
∴顶点坐标为；
∵将抛物线关于直线的对称抛物线记为，
则抛物线的顶点坐标为，二次项系数为，
∴抛物线的解析式为；
∵关于点中心对称的抛物线记为，
则抛物线的顶点坐标为，二次项系数为，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：当，，时，
∴，顶点坐标为（2，﹣1）.
∴顶点坐标（2，﹣1）关于直线对称的点坐标为（2，2m+1），关于点（0，m）对称的点坐标为（﹣2，2m+1）.
，，.
∵ 直线与抛物线，和有且只有4个交点，
∴和有两个交点A，B（点A在点B左侧），且交点的纵坐标为m，直线与抛物线另外两个交点C，D（点C在点D左侧），
∴，，
∴，，，
∴m>﹣1，，，，，
可画图如下：
或
∵，即，
可得：m≠3.
故直线与抛物线，和有且只有4个交点时，的取值范围为或．
（3）解：当，时，
∴，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵抛物线的解析式为，
∵与关于直线 对称，
∴，，，
∴与关于点中心对称，
∴抛物线的顶点坐标为，二次项系数为，
∴抛物线的解析式为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数图象的对称变换
【解析】【分析】（1）首先将a，b，c的值代入并配方得到，然后根据轴对称和关于点对称的性质分别求出抛物线和的顶点坐标和二次项系数，即可得到和的解析式；
（2）根据题意分别求出，和的解析式，再根据直线与抛物线，和有且只有4个交点，可得和有两个交点A，B（点A在点B左侧），且交点的纵坐标为m，直线与抛物线另外两个交点C，D（点C在点D左侧），根据交点个数得，，；分别表示出A，B，C和D四点的横坐标，并画出图形，再根据点A和点D不重合，可再确定一个m的取值范围，即可得到答案.
（3）首先配方得到，求出抛物线的顶点坐标为，然后配方得到抛物线的解析式为，求出，，，进而求解即可．
（1）解：当，，，时，
∴，
∴顶点坐标为；
∵将抛物线关于直线的对称抛物线记为，
∴抛物线的顶点坐标为，二次项系数为，
∴抛物线的解析式为；
∵关于点中心对称的抛物线记为，
∴抛物线的顶点坐标为，二次项系数为，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：当，，时，
∴，
如图所示，当时，直线与抛物线，和没有交点；
如图所示，当时，直线与抛物线，和有2个交点；
如图所示，当时，直线与抛物线，和有4个交点；
如图所示，当时，直线与抛物线，和有3个交点；
如图所示，当时，直线与抛物线，和有4个交点；
综上所述，若直线与抛物线，和有且只有4个交点，的取值范围为或．
（3）解：当，时，
∴，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵抛物线的解析式为，
∵将抛物线关于直线的对称抛物线记为，
∴，，，
如图所示，
∵关于点中心对称的抛物线记为，
∴抛物线的顶点坐标为，二次项系数为，
∴抛物线的解析式为．
25．（2025·长沙模拟）定义：若一个圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为圆正直四边形．
（1）若四边形为圆正直四边形，请你判断下列说法是否正确．（在题后相应的括号中，正确的画“√”，错误的画“×”）
①四边形一定是平行四边形；（　　）
②四边形可能是正方形；（　　）
③四边形的四条边的数量关系为．（　　）
（2）如图①，四边形是圆正直四边形，的直径交于点P，连接交于点E，连接，证明：；
（3）如图②，在中，经过点A，B的交边于点D，交于点E，连接，交于点F，若在四边形的内部存在一点P，，，，且，交于点G，，，求的最小值．
【答案】（1）①×；②√；③√
（2）证明：连接，如图，
∵是的直径，
，
∵四边形为圆正直四边形，
，
，
，
，
∴．
（3）解：∵四边形ABED是圆内接四边形，
∴∠BAD+∠BED=180°，
又∵∠BED+∠CED=180°，
∴∠BAD=∠CED.
又∵∠DCE=∠BCA，
∴△DCE∽△BCA，
∴.
设DE=x，PD=y，
则AB=2DE=2x，PB=12－y，
∵，且
∴，
∴，，
∴，.
∵，
，
，
，
，
，
，
，即，
∴，
.
∴，，
∴，
，
，，
，
∴，
整理得：，
∴当y=6时，x2有最小值，最小值为，此时，
∴的最小值为：．
【知识点】圆与三角形的综合；圆与函数的综合
【解析】【解答】解：（1）如图，若四边形为圆正直四边形，则，
，
.
若AB=BC，AD=DC，且AB≠CD，同样有，
此时四边形ABCD不是平行四边形；故说法①错误；说法③正确；
当AB=BC=CD=AD时，四边形ABCD是正方形，且同样有，故说法②正确；
故答案为：①×；②√；③√.
【分析】（1）根据四边形为圆正直四边形，得出，根据勾股定理得出和，可得．再根据平行四边形、正方形的性质即可判断①②③即可．
（2）连接，根据圆周角定理得出，再根据圆正直四边形的性质可得，于是可得，证得，利用相似三角形的性质即可得到结论.
（3）由圆内接四边形的性质可证明△DCE∽△BCA，于是有.设DE=x，PD=y，可表示出AB和PB的值，再结合，可表示出BE和AD的长；证明△APD∽△EPB，可得，继而可证明，得出，于是可根据三角形内角和定理证得，利用勾股定理证出，分别把AB，DE，AD和BE的长代入，可得关于的等式，再根据二次函数最值即可求出最终结果．
（1）解：如图，若四边形为圆正直四边形，则，
，
．
故四边形不一定是平行四边形；可能是正方形；
①四边形一定是平行四边形；（×）
②四边形可能是正方形；（√）
③四边形的四条边的数量关系为．（√）
（2）证明：连接，如图，
∵是的直径，
，
∵四边形为圆正直四边形，
，
，
，
，
∴．
（3）解：∵，
，
，
，
，
，
，
即，
∴，
，
又 ∵，
∴，即，
，
，
，
四点共圆，
，
，
，
，
又 ∵，
设，则，
，
∴在中，，
，
则利用勾股定理可得，
在中，，
，
则利用勾股定理可得，
∵，
∴，
即有，
∴当时，取最小值，从而取最小值，最小值为，
即的最小值为：．
1 / 1湖南省长沙市雅礼集团2025年初中学业质量测卷(二)九年级数学试题
1．（2025·长沙模拟）下列各数中，不是无理数的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·长沙模拟）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·长沙模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·长沙模拟）以下列各组数为边，能组成三角形的是（　　）
A．1，2，3 B．4，3，5 C．15，7，7 D．6，8，18
5．（2025·长沙模拟）澳门官方公布的最新数据显示，截至12月7日，2024年澳门累计入境旅客达3254.5万人次．澳门旅游业相关人士预测，全年入境旅客量有望突破3300万人次.3254.5万用科学记数法表示正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·长沙模拟）如图，，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·长沙模拟）如图是根据某早餐店1日至5日每天的用水量（单位：吨）绘制成的折线统计图．下列结论正确的是（　　）
A．平均数是5 B．众数是6 C．中位数是10 D．方差是8
8．（2025·长沙模拟）一次函数的图象经过第二、三、四象限，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·长沙模拟）如图，在中，，，，是它的内切圆，用剪刀沿的切线剪一个，则的周长为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
10．（2025·长沙模拟）从，，，，中任取两数作为，，使抛物线的开口向上，对称轴在轴左侧的概率为（　　）
A． B． C． D．
11．（2025·长沙模拟）因式分解：　 　．
12．（2025·长沙模拟）某校在各年级开展合唱比赛，规定每支参赛队伍的最终成绩按歌曲内容占，演唱技巧占，精神面貌点考评．某参赛队歌曲内容获得90分，演唱技巧获得95分，精神面貌获得89分．则该参赛队的最终成绩是　 　分．
13．（2025·长沙模拟）如图，是的内接正边形的一边，点在上，，则　 　．
14．（2025·长沙模拟）已知点在反比例函数的图象上，则实数的值为　 　．
15．（2025·长沙模拟）圆锥的侧面积为15π，底面半径为3，则圆锥的高为 　 　．
16．（2025·长沙模拟）如图，在平面直角坐标系中，点，是轴正半轴上的一个动点，是等腰直角三角形，，是点正上方一点，连接，若，则的长为　 　．
17．（2025·长沙模拟）计算：．
18．（2025·长沙模拟）先化简，再求值：，其中．
19．（2025·长沙模拟）我国生产的无人机畅销世界，树立了良好的品牌形象，在一座高架桥的修建过程中，需要测量一条河的宽度，工作人员使用无人飞机通过设备在P处测得M，N两处的俯角分别为和，测得无人机离水平地面的高度为240米，若Q，M，N三点在同一条水平直线上，则这条河的宽度为多少米？（参考数据：，，结果保留整数）
20．（2025·长沙模拟）为了响应市政府号召，某校开展了“创文明城市与我同行”活动周，活动周设置了“：文明礼仪，：生态环境，：交通安全，：卫生保洁”四个主题，每个学生选一个主题参与．为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下条形统计图和扇形统计图．
（1）本次随机调查的学生人数是 人；
（2）在扇形统计图中，“”所在扇形的圆心角等于 度；
（3）小明和小华各自随机参加其中的一个主题活动，请用画树状图或列表的方式求他们恰好选中同一个主题活动的概率．
21．（2025·长沙模拟）如图，是等腰直角三角形，，为边上一点，，．
（1）证明：；
（2）若，求的度数．
22．（2025·长沙模拟）随着哈尔滨市全力打造旅游城市政策的实施，哈尔滨这座历史悠久的北方名城，吸引了国内外多方友人奔赴而来，极大促进了哈市经济的发展，中央大街某商家抓住了这一商机，该商家决定购进甲 乙两种纪念品进行销售，若购进甲种纪念品1件和乙种纪念品2件共需要元；若购进甲种纪念品2件和乙种纪念品3件共需要元．
（1）求购进甲 乙两种纪念品每件各需要多少元？
（2）该商场决定购进甲 乙两种纪念品共件，若每件甲种纪念品的售价为元，每件乙种纪念品的售价为元，销售完这件纪念品所获得的利润不低于元，则该商场最少购进甲种纪念品多少件？
23．（2025·长沙模拟）如图，在平行四边形中，连接，为边上一点，连接并延长交的延长线于点，交于点，过点作交于点，．
（1）若，求的长；
（2）若，求平行四边形的面积．
24．（2025·长沙模拟）现将抛物线关于直线的对称抛物线记为，关于点中心对称的抛物线记为．
（1）当，，，时，求抛物线和的解析式；
（2）当，，时，若直线与抛物线，和有且只有4个交点，求的取值范围；
（3）当，时，若抛物线的解析式为，请写出抛物线的解析式．
25．（2025·长沙模拟）定义：若一个圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为圆正直四边形．
（1）若四边形为圆正直四边形，请你判断下列说法是否正确．（在题后相应的括号中，正确的画“√”，错误的画“×”）
①四边形一定是平行四边形；（　　）
②四边形可能是正方形；（　　）
③四边形的四条边的数量关系为．（　　）
（2）如图①，四边形是圆正直四边形，的直径交于点P，连接交于点E，连接，证明：；
（3）如图②，在中，经过点A，B的交边于点D，交于点E，连接，交于点F，若在四边形的内部存在一点P，，，，且，交于点G，，，求的最小值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、是分数，故是有理数，故选项A符合题意；
B、是无理数，故选项B不符合题意；
C、是无理数，故选项C不符合题意；
D、是无理数，故选项D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】无限不循环小数为无理数，根据无理数的定义去甄别即可．
2．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项A不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项B不符合题意；
C、既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项C符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图.根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐一判断即可．
3．【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘多项式；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A．，原选项计算错误，故选项A不符合题意；
B．，原选项计算正确，故选项B符合题意；
C．，原选项计算错误，故选项C不符合题意；
D．，原选项计算错误，故选项D不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的除法法则、单项式乘以多项式以及完全平方公式的运算法则，逐项计算并进行判断即可．
4．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、，不能组成三角形，故选项A不符合题意；
B、，可以组成三角形，故选项B符合题意；
C、，不能组成三角形，故选项C不符合题意；
D、，不能组成三角形，故选项D不符合题意.
故答案为：B．
【分析】三角形的两边之和大于第三边， 两边之差小于第三边，据此进行判断即可．
5．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：3254.5万=3254.5×104＝3254.5×107，
故答案为：D．
【分析】当原数绝对值大于等于10时，科学记数法表示成的形式，其中，n为整数，n为原数字的整数位数－1.
6．【答案】C
【知识点】垂线的概念；两直线平行，内错角相等；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵AB//CD，
∴∠EDC=∠1=32°.
∵，
∴，
∴∠DCE=90°－∠EDC=58°.
故答案为：C．
【分析】根据平行线的性质可求得∠EDC的度数，再根据直角三角形内角互余，即可求得∠DCE的度数.
7．【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：A、平均数为，故A错误，不符合题意；
B、根据题意，得众数为，故B错误，不符合题意；
C、将数据按从小到大进行排列为，，，，，则中位数是，故C错误，不符合题意；
D、方差为，故D正确，符合题意；
故答案为∶D．
【分析】结合折线统计图，根据平均数的计算，众数、中位数的定义、方差的计算进行求解即可.
8．【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数的图象经过第二、三、四象限，
∴，
解①得：m＜2；解②得：m>1，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据一次函数的图象经过二、三、四象限可得，，分别解两个不等式，即可求得m的取值范围．
9．【答案】B
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：设的内切圆切三边于点、、，如图，
∴，，.
设AF=x，则BF=AB－AF=5－x，
∴BH=BF=5－x，AG=AF=x，
∴CH=BC－BH=3－(5－x)，CG=AC－AG=4－x.
∴3－(5－x)=4－x，
解得：x=3.
∴AG=AF=3.
∵是的切线，
∴，，
∴△ADE的周长可以表示为：AD+DE+AE=AD+DM+EM+AENBDDF=AF+AG=3+3=6.
故答案为：B．
【分析】设的内切圆切三边于点，由切线长定理可知，，.设AF=x，表示出BF的长，继而可表示出CH和CG的长，于是可根据CH=CG得到方程，求解即可得AG和AF的长，再根据是的切线，可得，，于是可计算△ADE的周长.
10．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：∵抛物线的开口向上，对称轴在y轴左侧，
∴，，
∴；
画树状图如下：
∴共有20种等可能结果，其中满足且的结果有2种结果，
∴使抛物线的开口向上，对称轴在y轴左侧的概率为．
故答案为：B．
【分析】首先根据题意得，，然后利用画树状图法列举出所有可能的情况，以及满足条件的结果数，最后利用概率公式求解即可．
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式；
故答案为：．
【分析】先提公因式，再利用完全平方公式法进行因式分解即可.
12．【答案】91.7
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：由题意可知，该参赛队的最终成绩是：
（分）．
故答案为：91.7．
【分析】根据加权平均数的计算方法求解即可.
13．【答案】8
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
则，
∵是的内接正边形的一边，
∴，
故答案为：8．
【分析】根据圆周角定理可得，再结合，即可作答．
14．【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：点在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】直接利用反比例函数图象上点的坐标特征，把点坐标代入解析式并求解方程即可．
15．【答案】4
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：由题意知：展开图扇形的弧长是2×3＝6，
设母线长为L，则有×6l＝15，
解得：l＝5，
∵由于母线，高，底面半径正好组成直角三角形，
∴在直角△AOC中高AO＝＝4．
故答案为：4．
【分析】设母线长为l，再利用圆锥侧面积的计算方法可得×6l＝15，求出l＝5，再利用勾股定理求出AO的长即可。
16．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；矩形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点作于点，轴于点，如图，
∴∠BNC=∠BNO=∠BMO=∠MON=90°，
∴∠NBC=90°－∠NCB=45°=∠NCB，且四边形OMBN为矩形，
∴OM=BN=CN，ON=BM.
是等腰直角三角形，
，，
∵∠POA=∠AMB=90°，
，
，
，
，
，
，
∵，
故答案为：．
【分析】过点作于点，轴于点，证明∠NBC=∠NCB，四边形OMBN为矩形，可得OM=BN=CN，ON=BM.证明△APO≌△BAM，可得得，OA=BM，于是可得ON=BM=OA=3，然后根据即可求解．
17．【答案】解：
．
【知识点】负整数指数幂；实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先计算乘方、负整数指数幂、化简二次根式、并且去绝对值，再合并同类项即可．
18．【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先利用完全平方公式和多项式乘多项式法则进行展开，计算整式的除法运算，再合并同类项进行化简，最后把代入计算即可.
19．【答案】解：记平行于MN的直线为PA，如图所示：
∵，
∴，，
由题意得：△PQM和△PQN为直角三角形.
在Rt△PQM中，∠PQN=90°，∠PMQ=60°，
∴，
∴（米），
在Rt△PQN中，∠PQN=90°，∠PNQ=37°，
∵，
∴（米），
∴（米）．
答：这条河的宽度米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；母子模型
【解析】【分析】记平行于MN的直线为PA，判断△PQM和△PQN为直角三角形，然后分别在和中，利用锐角三角函数，求出QM和QN的长，然后计算出的长即可．
20．【答案】（1）
（2）
（3）解：列表格如图所示：
　 A B C D
A (A，A) (B，A) (C，A) (D，A)
B (A，B) (B，B) (C，B) (D，B)
C (A，C) (B，C) (C，C) (D，C)
D (A，D) (B，D) (C，D) (D，D)
由表格可得，共有种等可能的结果，其中小明和小华恰好选中同一个主题活动的结果有种，
∴小明和小华恰好选中同一个主题活动的概率为．
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）本次随机调查的学生人数是（人）；
故答案为：；
（2）
解：在扇形统计图中，“”所在扇形的圆心角，
答案为：；
【分析】（）只知道A组人数占总数的百分比，故用组人数除以它对应的百分比即可求解；
（）用乘以组人数的占比即可求解；
（）画出表格，根据表格数出所有的结果数以及满足条件的结果数，再利用概率公式即可解答.
（1）解：本次随机调查的学生人数是；
故答案为：；
（2）解：在扇形统计图中，“”所在扇形的圆心角，
答案为：；
（3）解：画树状图如图所示：
由树状图可得，共有种等可能的结果，其中小明和小华恰好选中同一个主题活动的结果有种，
∴小明和小华恰好选中同一个主题活动的概率为．
21．【答案】（1）证明：∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴．

【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）结合等腰三角形的性质，再利用即可证明，根据全等三角形的性质即可得结论；
（2）由得到，，证明∠ECD=90°，可得，最后根据平角的定义即可求解．
（1）证明：∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
22．【答案】（1）解：设购进甲种纪念品每件需要元，乙种纪念品每件需要元，
根据题意得：，
解得：．
答：购进甲种纪念品每件需要元，乙种纪念品每件需要元．
（2）设该商场购进a件甲种纪念品，则购进（100－a）件乙种纪念品，根据题意得：
，
解得：，
答：该商场最少购进甲种纪念品件．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设购进甲种纪念品每件需要元，乙种纪念品每件需要元，根据题意得等量关系“甲种纪念品的单价×1+乙种纪念品的单价×2＝，甲种纪念品的单价×2+乙种纪念品的单价×3＝”，据此列出关于、的方程组并求解即可；
（2）设该商场购进a件甲种纪念品，则购进(100－a)件乙种纪念品，利用“总利润每件的销售利润销售数量”，结合题意可列出关于的一元一次不等式，解之即可得出结论.
（1）解：设购进甲种纪念品每件需要元，乙种纪念品每件需要元，
根据题意得：，
解得：．
答：购进甲种纪念品每件需要元，乙种纪念品每件需要元．
（2）设该商场购进件甲种纪念品，则购进件乙种纪念品，
根据题意得：，
解得：，
的最小值为．
答：该商场最少购进甲种纪念品件．
23．【答案】（1）解：∵，
∴，
∵BG+DG=BD=20，
∴．
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，，.
∵，可设DF=3x，FC=2x，
∴，
∵，
∴，即，
∴，.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行四边形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）根据平行线分线段成比例得出，结合BG+DG=BD=20，即可求出的长；
（2）根据平行四边形的性质得出，，，继而可得出，，.设DF=3x，FC=2x，可得AB=CD=5x。由可计算出DM和CM的值，由可得，于是可得，由得，最后根据即可求解．
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴．
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴．
24．【答案】（1）解：当，，，时，
∴，
∴顶点坐标为；
∵将抛物线关于直线的对称抛物线记为，
则抛物线的顶点坐标为，二次项系数为，
∴抛物线的解析式为；
∵关于点中心对称的抛物线记为，
则抛物线的顶点坐标为，二次项系数为，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：当，，时，
∴，顶点坐标为（2，﹣1）.
∴顶点坐标（2，﹣1）关于直线对称的点坐标为（2，2m+1），关于点（0，m）对称的点坐标为（﹣2，2m+1）.
，，.
∵ 直线与抛物线，和有且只有4个交点，
∴和有两个交点A，B（点A在点B左侧），且交点的纵坐标为m，直线与抛物线另外两个交点C，D（点C在点D左侧），
∴，，
∴，，，
∴m>﹣1，，，，，
可画图如下：
或
∵，即，
可得：m≠3.
故直线与抛物线，和有且只有4个交点时，的取值范围为或．
（3）解：当，时，
∴，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵抛物线的解析式为，
∵与关于直线 对称，
∴，，，
∴与关于点中心对称，
∴抛物线的顶点坐标为，二次项系数为，
∴抛物线的解析式为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数图象的对称变换
【解析】【分析】（1）首先将a，b，c的值代入并配方得到，然后根据轴对称和关于点对称的性质分别求出抛物线和的顶点坐标和二次项系数，即可得到和的解析式；
（2）根据题意分别求出，和的解析式，再根据直线与抛物线，和有且只有4个交点，可得和有两个交点A，B（点A在点B左侧），且交点的纵坐标为m，直线与抛物线另外两个交点C，D（点C在点D左侧），根据交点个数得，，；分别表示出A，B，C和D四点的横坐标，并画出图形，再根据点A和点D不重合，可再确定一个m的取值范围，即可得到答案.
（3）首先配方得到，求出抛物线的顶点坐标为，然后配方得到抛物线的解析式为，求出，，，进而求解即可．
（1）解：当，，，时，
∴，
∴顶点坐标为；
∵将抛物线关于直线的对称抛物线记为，
∴抛物线的顶点坐标为，二次项系数为，
∴抛物线的解析式为；
∵关于点中心对称的抛物线记为，
∴抛物线的顶点坐标为，二次项系数为，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：当，，时，
∴，
如图所示，当时，直线与抛物线，和没有交点；
如图所示，当时，直线与抛物线，和有2个交点；
如图所示，当时，直线与抛物线，和有4个交点；
如图所示，当时，直线与抛物线，和有3个交点；
如图所示，当时，直线与抛物线，和有4个交点；
综上所述，若直线与抛物线，和有且只有4个交点，的取值范围为或．
（3）解：当，时，
∴，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵抛物线的解析式为，
∵将抛物线关于直线的对称抛物线记为，
∴，，，
如图所示，
∵关于点中心对称的抛物线记为，
∴抛物线的顶点坐标为，二次项系数为，
∴抛物线的解析式为．
25．【答案】（1）①×；②√；③√
（2）证明：连接，如图，
∵是的直径，
，
∵四边形为圆正直四边形，
，
，
，
，
∴．
（3）解：∵四边形ABED是圆内接四边形，
∴∠BAD+∠BED=180°，
又∵∠BED+∠CED=180°，
∴∠BAD=∠CED.
又∵∠DCE=∠BCA，
∴△DCE∽△BCA，
∴.
设DE=x，PD=y，
则AB=2DE=2x，PB=12－y，
∵，且
∴，
∴，，
∴，.
∵，
，
，
，
，
，
，
，即，
∴，
.
∴，，
∴，
，
，，
，
∴，
整理得：，
∴当y=6时，x2有最小值，最小值为，此时，
∴的最小值为：．
【知识点】圆与三角形的综合；圆与函数的综合
【解析】【解答】解：（1）如图，若四边形为圆正直四边形，则，
，
.
若AB=BC，AD=DC，且AB≠CD，同样有，
此时四边形ABCD不是平行四边形；故说法①错误；说法③正确；
当AB=BC=CD=AD时，四边形ABCD是正方形，且同样有，故说法②正确；
故答案为：①×；②√；③√.
【分析】（1）根据四边形为圆正直四边形，得出，根据勾股定理得出和，可得．再根据平行四边形、正方形的性质即可判断①②③即可．
（2）连接，根据圆周角定理得出，再根据圆正直四边形的性质可得，于是可得，证得，利用相似三角形的性质即可得到结论.
（3）由圆内接四边形的性质可证明△DCE∽△BCA，于是有.设DE=x，PD=y，可表示出AB和PB的值，再结合，可表示出BE和AD的长；证明△APD∽△EPB，可得，继而可证明，得出，于是可根据三角形内角和定理证得，利用勾股定理证出，分别把AB，DE，AD和BE的长代入，可得关于的等式，再根据二次函数最值即可求出最终结果．
（1）解：如图，若四边形为圆正直四边形，则，
，
．
故四边形不一定是平行四边形；可能是正方形；
①四边形一定是平行四边形；（×）
②四边形可能是正方形；（√）
③四边形的四条边的数量关系为．（√）
（2）证明：连接，如图，
∵是的直径，
，
∵四边形为圆正直四边形，
，
，
，
，
∴．
（3）解：∵，
，
，
，
，
，
，
即，
∴，
，
又 ∵，
∴，即，
，
，
，
四点共圆，
，
，
，
，
又 ∵，
设，则，
，
∴在中，，
，
则利用勾股定理可得，
在中，，
，
则利用勾股定理可得，
∵，
∴，
即有，
∴当时，取最小值，从而取最小值，最小值为，
即的最小值为：．
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