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专题03 图形的变换 定义 命题 证明
核心考点聚焦
平移
轴对称
旋转
定义
命题
证明
定理
一、平移
1 平移的概念：在平面内，将一个图形沿着某一方向平行移动一定的距离后得到另一个图形的平面变换叫作平移。
2 平移的要素：平移的方向和平移的距离。
3 平移的性质：
平移前后的两个图形可以完全重合，对应线段相等且平行或在同一条直线上，对应角相等。
平移前后的两个图形中，对应点的连线段平行或在同一条直线上且相等。
二、轴对称
1 轴对称的概念：一般地，将一个平面图形沿某条直线折叠后得到另一个图形的平面变换叫作轴对称，这条直线叫作对称轴，此时称这两个图形成轴对称。
2 轴对称的性质：
成轴对称的两个图形可以完全重合，对应线段相等，对应角也相等。
对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
3 线段垂直平分线的概念：垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线。
三、旋转
1 旋转的性质：
一个图形和它所经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等。
任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角。
2 中心对称的概念：一般地，在平面内，若一个图形是由另一个图形绕某个点旋转180度得到的，则称这两个图形成中心对称，这个点叫作对称中心，两个对称图形上的对应点叫作对称点。
3 中心对称的性质：
成中心对称的两个图形，对应角相等，对应线段平行或在同一条直线上且相等。
成中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
四、定义
1.定义的概念：对一个概念作出的语句叫作这个概念的定义，根据定义可以准确地判断一个对象是否属于这个概念。
2.常见数学概念的定义，如：
（1）绝对值：数轴上表示一个数的点到原点的距离叫作这个数的绝对值。
（2）相反数：只有符号不同的两个数称为互为相反数。
（3）余角：如果两个角的度数之和等于90°，那么这两个角互为余角。
（4）补角：如果两个角的度数之和等于180°，那么这两个角互为补角。
五、命题
1.命题的概念：可以判断的陈述句叫作命题。一个命题要么为真，要么为假，二者必居其一。
2.命题的分类：
（1）真命题：所作的判断正确的命题。
（2）假命题：所作的判断错误的命题。
3.命题的结构：一般由条件和结论两部分组成，通常可以改写为“如果……，那么……”的形式。
4.互逆命题：互为逆命题的命题称为互逆命题。
六、证明
1.证明的意义：证明是数学严谨性的体现，通过推理和论证来确认命题的真假。
2.证明的一般步骤：
（1）作图：根据题意作出相应的图形。
（2）观察：观察图形，找出图形中的已知条件和隐含条件。
（3）推理：根据已知条件和数学定理进行推理，得出结论。
3.常见的证明方法：
（1）类比法：通过类比已知的事物或命题来推断新的命题。
（2）归纳法：通过观察一系列特殊事例来推断出一般结论。
（3）演绎法：从一般原理出发，推导出特殊结论。
七、重要知识点
1.三角形的内角和为180°。
2.直角三角形的两个锐角为90°。
3.三角形的外角等于其不相邻的内角之和。
难点强化一、平移种的阴影部分问题
1．如图，将直角梯形平移得直角梯形，若，，，则图中阴影部分的面积（ ）
A．30 B．36 C．60 D．72
2．如图，直线l上摆放着两个大小相同的直角三角板和，将三角板沿直线l向左平移到如图所示的位置，使点E落在上的点处，点P为与的交点．图中三块阴影部分的面积之和为6，则一个直角三角板的面积为 ．
3．如图，在三角形中，，，．将三角形沿向右平移，得到三角形，与交于点，连接．
(1)分别求和的度数；
(2)若，，求图中阴影部分的面积；
(3)已知点在三角形约内部，三角形平移到三角形后，点的对应点为，连接．若三角形的周长为，四边形的周长为，请直接写出的长度．
难点强化二、轴对称中的最短问题
1．如图，河道l的同侧有M，N两个村庄，计划铺设管道将河水引至M，N两村，下面四个方案中，管道总长度最短的是（ ）

A． B． C． D．
2．如图，在中，，点，，分别是各边上的动点，若，，，则的最小值是 ．
3．古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营A，B．他总是先去A营，再到河边饮马，之后，再巡查B营．他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？
大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．
如图2，作B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是所求的位置．请你在下列阅读、应用的过程中，完成解答：
(1)证明：如图3，在直线l上另取任一点，连结，，，
∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上，
∴ ， ，
∴ ．
在中，
∵，
∴．
∴，即最小．
本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（在连接A，两点的线中，线段最短）．本问题可归纳为求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值的问题的数学模型．
(2)问题解决
如图，将军牵马从军营P处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到P处，试分别在边和上各找一点E、F，使得走过的路程，即的周长最小．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）
难点强化三、旋转平行求t问题
1．如图直角△AOB和直角△COD中，∠AOB=∠COD=90°，∠B=40°，∠C=80°，点D在边OA上，将图中的△COD绕点O按每秒20°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转过程中，在第 秒时，边CD恰好与边AB平行．
A． B．或 C．或 D．6或15
2．将一副直角三角板和如图放置，此时，，，四点在同一条直线上，点在边上，其中，，．将图中的三角板绕点以每秒的速度，按顺时针方向旋转一定的角度后，记为三角板，设旋转的时间为秒．若在旋转过程中，三角板的某一边恰好与所在的直线平行，则的值为
3．如图所示，将一副三角板中的两块直角三角板按图1放置在两条平行线，之间，，，，，此时点A与点D重合，点A，C，E三点共线．
(1)固定三角形的位置不变，将图1中的三角形沿方向平移，使得点C正好落在直线上，如图2所示，此时的度数为______；
(2)在图2的基础上，将三角形绕点C逆时针旋转，试判断此时与的位置关系，并说明理由；
(3)在图2的基础上，将三角形绕点C按逆时针方向进行旋转，如图3所示．若边与边相交于点G，我们发现的值为定值，请求出这个定值；
(4)在图2的基础上，将三角形绕点C按逆时针方向以每秒的速度旋转，至与直线首次重合时停止运动．设旋转时间为t．试探究t为何值时，线段与三角形的一条平行边，直接写出符合条件的t的值．
难点强化四、三角形的三种角平分线
1．综合与实践
(1)如图1，在中，与的平分线交于点，如果，那么 ．
(2)如图2，作外角、的平分线交于点，试求出、之间的数量关系．
(3)如图3，延长、交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，请直接写出的度数．
2．（1）问题引入：如图①，在中，O是和的平分线的交点，若，则________；如图②，，，，则________（用含的式子表示）
（2）如图③，，，，请猜想________（用含的式子表示），并说明理由．
（3）类比研究：，分别是的外角，的n等分线，它们交于点O，，，，请猜想________．
3．如图①，在中，与的平分线相交于点P．
(1)若，则的度数是 ；
(2)如图②，作外角，的角平分线交于点Q，试探索，之间的数量关系；
(3)如图③，延长线段，交于点E，在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出的度数是 ．
难点强化五、三角形的三种折叠
1．把三角形纸片沿折叠．
(1)如图①，当点A落在四边形内部时，，，有怎样的等量关系？写出这个关系式，并证明你的结论．
(2)如图②，当点A落在四边形外部时，，，有怎样的等量关系？写出这个关系式，并证明你的结论．
2．如图，是一个三角形的纸片，点D，E分别是边，上的两点．
(1)如图（1），如果沿直线折叠，且，则与的关系是 ．
(2)如图（2），如果沿直线折叠后A落在四边形内部，探究，和的关系，并说明理由．
(3)如果折成图（3）的形状，探究，和的关系，并说明理由．
3．（1）如图1，把三角形纸片折叠，使个顶点重合于点．这时，__________；

（2）如果三角形纸片折叠后，个顶点并不重合于同一点，如图，那么(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由；
（3）折叠后如图所示，直接写出、、、、、之间的数量关系_______；
（4）折叠后如图，直接写出、、、、、之间的数量关系：_______；
难点强化六、八字形
1．一般地，我们把如图1这样的图形称为“8字形”，它满足，请利用以上信息，试求出图2中的度数．
2．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，我们把形如图1图形称之为“8字形”，易知．如图2，和的平分线AP和DP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：
(1)在图2中，若，，求∠P的度数为 ；
(2)在图2中，若，，试问与、之间的数量关系为 ；
(3)如图3，则的度数为 ．
3．【问题背景】
（1）如图1的图形我们把它称为“字形”，可得结论：；请说明理由．
【简单应用】
（2）阅读下面的内容，并解决后面的问题：如图，分别平分，， 若，，求的度数；
【问题探究】
（3）如图， 直线平分的外角，平分的外角， 若，，猜想的度数为：________；
【拓展延伸】
（4）在图中，若设，，，，直接写出与，之间的数量关系为：______（用，表示）．
真题感知
1．（2024·江苏徐州·中考真题）古汉字“雷”的下列四种写法，可以看作轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·江苏苏州·中考真题）下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·江苏扬州·中考真题）“致中和，天地位焉，万物育焉”，对称之美随处可见．下列选项分别是扬州大学、扬州中国大运河博物馆、扬州五亭桥、扬州志愿服务的标识．其中的轴对称图形是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·江苏盐城·中考真题）下列四幅图片中的主体事物，在现实运动中属于翻折的是（ ）
A．工作中的雨刮器 B．移动中的黑板
C．折叠中的纸片 D．骑行中的自行车
5．（2024·江苏宿迁·中考真题）请写出定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理 ．
6．（2024·江苏无锡·中考真题）命题“若，则”是 命题．（填“真”或“假”）
答案与解析
难点强化一、平移种的阴影部分问题
1．如图，将直角梯形平移得直角梯形，若，，，则图中阴影部分的面积（ ）
A．30 B．36 C．60 D．72
【答案】B
【分析】本题考查了平移的性质、平行线的性质，熟练掌握平移的性质是解题关键．先根据平移的性质可得，，，，再根据平移的性质可得，从而可得四边形和四边形都是直角梯形，然后根据图中阴影部分的面积等于直角梯形的面积求解即可得．
【详解】解：由图可知，在直角梯形中，，
由平移的性质可知，，，，，
∴，
∴四边形和四边形都是直角梯形，
∵，
∴，
∵，
∴图中阴影部分的面积为
，
故选：B．
2．如图，直线l上摆放着两个大小相同的直角三角板和，将三角板沿直线l向左平移到如图所示的位置，使点E落在上的点处，点P为与的交点．图中三块阴影部分的面积之和为6，则一个直角三角板的面积为 ．
【答案】6
【分析】本题主要考查了平移的性质，由平移的性质得到，则，再根据图形之间的关系，结合三块阴影部分的面积之和为6，进行求解即可．
【详解】解；由平移的性质可得，
∴，
∴，
故答案为：6．
3．如图，在三角形中，，，．将三角形沿向右平移，得到三角形，与交于点，连接．
(1)分别求和的度数；
(2)若，，求图中阴影部分的面积；
(3)已知点在三角形约内部，三角形平移到三角形后，点的对应点为，连接．若三角形的周长为，四边形的周长为，请直接写出的长度．
【答案】(1)；
(2)10
(3)6
【分析】此题主要考查了图形的平移变换及其性质，熟练掌握图形的平移变换及其性质是解决问题的关键．
（1）由平移的性质得，，，，，则，由此可得的度数；由得，由此可得的度数；
（2）先根据，得，再根据三角形的面积公式可求出图中阴影部分的面积；
（3）依题意得，，即，由此得，再根据平移的性质得，据此可得的长．
【详解】（1）由平移性质得：，，，，，
，
，
，
，
；
（2），，
，
又，
；
（3）的周长为，
，
又四边形的周长为，
，
即，
，
，
由平移的性质得：，
，
，
即的长度为6．
难点强化二、轴对称中的最短问题
1．如图，河道l的同侧有M，N两个村庄，计划铺设管道将河水引至M，N两村，下面四个方案中，管道总长度最短的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据轴对称的性质及两点之间线段最短即可得出结论．
【详解】解：作点M关于直线l的对称点，连接交直线l于点Q，则，由两点之间线段最短可知，此时管道长度最短．
故选：B．

【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知两点之间线段最短是解题的关键．
2．如图，在中，，点，，分别是各边上的动点，若，，，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了线段最短问题，轴对称，解题的关键是正确作出辅助线．
作，交于点E，作点E关于的对称点，关于的对称点．
将转化为求线段的长度；再利用三角形面积公式求出边上的高，进而得到的最小值．
【详解】解：作，交于点E，
∴为到的垂线段，即高，是的最小值，
作点E关于的对称点，关于的对称点．
∴，，则．
当M，N与C重合时，，
，，
路径
∴当、N、M、共线时，和最小，即的长度．
，
∴，即、C、共线，
故．
面积，
又，即，
解得．
∴，即的最小值为．
故答案为：．
3．古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营A，B．他总是先去A营，再到河边饮马，之后，再巡查B营．他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？
大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．
如图2，作B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是所求的位置．请你在下列阅读、应用的过程中，完成解答：
(1)证明：如图3，在直线l上另取任一点，连结，，，
∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上，
∴ ， ，
∴ ．
在中，
∵，
∴．
∴，即最小．
本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（在连接A，两点的线中，线段最短）．本问题可归纳为求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值的问题的数学模型．
(2)问题解决
如图，将军牵马从军营P处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到P处，试分别在边和上各找一点E、F，使得走过的路程，即的周长最小．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）
【答案】(1)，，
(2)见解析
【分析】本题主要考查的是对称轴的性质以及两点之间，线段最短等知识，正确掌握两点之间，线段最短是解题的关键．
（1）根据对称轴的性质以及三角形三边关系进行作答即可；
（2）分别过P作和的对称点，分别为和，然后连接分别交和于一点，即为点E和点F，则有，，那么的周长为，即三点共线，线段最短即可使得走过的路程，即的周长最小．
【详解】（1）解：由题意可知，
∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上，
∴，，
∴，
在中，
∵，
∴．
∴，即最小．
（2）解：分别过P作和的对称点，分别为和，然后连接分别交和于一点，即为点E和点F，如图所示：
∵是点P，的对称轴，是点P，的对称轴，
所以，，
那么的周长为，
所以三点共线，
即两点之间，线段最短，那么的周长最小．
难点强化三、旋转平行求t问题
1．如图直角△AOB和直角△COD中，∠AOB=∠COD=90°，∠B=40°，∠C=80°，点D在边OA上，将图中的△COD绕点O按每秒20°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转过程中，在第 秒时，边CD恰好与边AB平行．
A． B．或 C．或 D．6或15
【答案】D
【分析】讨论：如图1，△COD绕点O顺时针旋转得到△C′OD′，C′D′交OB于E，利用平行线的判定，当∠OEC′=∠B=40°时，C′D′∥AB，则根据三角形外角性质计算出∠C′OC=120°，从而可计算出此时△COD绕点O顺时针旋转100°得到△C′OD′所需时间；如图2，△COD绕点O顺时针旋转得到△C″OD″，C″D″交直线OB于F，利用平行线的判定得当∠OFC″=∠B=40°时，C″D″∥AB，根据三角形内角和计算出∠C″OC=60°，则△COD绕点O顺时针旋300°得到△C″OD″，然后计算此时旋转的时间．
【详解】解：如图1，
△COD绕点O顺时针旋转得到△C′OD′，C′D′交OB于E，
∠C′OD′=∠COD=90°，∠OC′D=∠C=80°，
当∠OEC′=∠B=40°时，C′D′∥AB，
∴∠C′OC=∠OEC′+∠OC′E=40°+80°=120°，
∴△COD绕点O顺时针旋转100°得到△C′OD′所需时间为 =6（秒）；
如图2，△COD绕点O顺时针旋转得到△C″OD″，C″D″交直线OB于F，则∠C″OD″=∠COD=90°，∠OC″D=∠C=80°，
当∠OFC″=∠B=40°时，C″D″∥AB，
∴∠C″OC=180°-∠OFC″-∠O C″F=180°-40°-80°=60°，
而360°-60°=300°，
∴△COD绕点O顺时针旋280°得到△C″OD″所需时间为=15（秒）；
综上所述，在旋转的过程中，在第6秒或15秒时，边CD恰好与边AB平行．
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等，也考查了平行线的判定．
2．将一副直角三角板和如图放置，此时，，，四点在同一条直线上，点在边上，其中，，．将图中的三角板绕点以每秒的速度，按顺时针方向旋转一定的角度后，记为三角板，设旋转的时间为秒．若在旋转过程中，三角板的某一边恰好与所在的直线平行，则的值为
【答案】6或9或18
【分析】本题主要考查了平行线的性质，角度的计算等知识，分三种情况讨论：第一种情况当时，a为，第二种情况当时，a为，第三种情况，当时，a为，根据角度转动速度分别求解t即可．
【详解】解：I．如图，当时，
，，
，
，
，
a为
（秒），
II．如图，当时，
，
，
a为，
（秒），
III． 如图，当时，

此时与在同一条直线上，
a为，
（秒），
综上所述：三角板的某一边恰好与所在的直线平行， t的值为：6或9或18
故答案为：6或9或18
3．如图所示，将一副三角板中的两块直角三角板按图1放置在两条平行线，之间，，，，，此时点A与点D重合，点A，C，E三点共线．
(1)固定三角形的位置不变，将图1中的三角形沿方向平移，使得点C正好落在直线上，如图2所示，此时的度数为______；
(2)在图2的基础上，将三角形绕点C逆时针旋转，试判断此时与的位置关系，并说明理由；
(3)在图2的基础上，将三角形绕点C按逆时针方向进行旋转，如图3所示．若边与边相交于点G，我们发现的值为定值，请求出这个定值；
(4)在图2的基础上，将三角形绕点C按逆时针方向以每秒的速度旋转，至与直线首次重合时停止运动．设旋转时间为t．试探究t为何值时，线段与三角形的一条平行边，直接写出符合条件的t的值．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)
(4)秒或
【分析】本题考查了平行线的性质与判定综合，结合旋转，垂直，角度计算，熟练掌握平行线中的旋转是解题的关键．
（1）利用平行线的性质计算即可；
（2）画出图形，先判定，再利用，得出；
（3）过点作，利用拐点的方法求解即可；
（4）分别讨论当时，当时，当时三种情况，利用平行线的性质与判定解答即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（2），理由如下：
如图，由旋转得：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）如图，过点作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴的值为定值，定值为；
（4）当时，如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即旋转角等于，
∵旋转速度是每秒，
∴（秒）；
当时，设交于，如图，
∵，
∴，
∴，
即旋转角等于，
∵旋转速度是每秒，
∴（秒）；
当时，即时，
旋转角等于，
又因为最大旋转角为，
故不存在；
综上，当的值为秒或秒时，线段与三角形的一条边平行．
难点强化四、三角形的三种角平分线
1．综合与实践
(1)如图1，在中，与的平分线交于点，如果，那么 ．
(2)如图2，作外角、的平分线交于点，试求出、之间的数量关系．
(3)如图3，延长、交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，请直接写出的度数．
【答案】(1)
(2)
(3)或或或
【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出，进而求出即可解决问题；
（2）根据三角形的外角性质分别表示出与，再根据角平分线的性质可求得，最后根据三角形内角和定理即可求解；
（3）在中，由于，求出，，所以如果中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况进行讨论：①；②；③；④；分别列出方程，求解即可．
【详解】（1）解：∵．
∴，
∵点P是和的平分线的交点，
∴，
（2）解：∵外角，的角平分线交于点Q，
∴
，
∴；
（3）解：延长至F，
∵为的外角的角平分线，
∴是的外角的平分线，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，即，
又∵，
∴，即；
∵
，
∴；
如果中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，那么分四种情况：
①，则，；
②，则，；
③，则，解得；
④，则，解得．
综上所述，的度数是或或或．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键．
2．（1）问题引入：如图①，在中，O是和的平分线的交点，若，则________；如图②，，，，则________（用含的式子表示）
（2）如图③，，，，请猜想________（用含的式子表示），并说明理由．
（3）类比研究：，分别是的外角，的n等分线，它们交于点O，，，，请猜想________．
【答案】（1）；（2）（3）
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
（1）由三角形内角和定理可求得，根据角平分线的定义可求得，在中利用三角形内角和定理可求得；
（2）方法同（1）；
（3）根据三角形的内角和等于列式整理即可得．
【详解】解：（1）∵，,
∴，
∵点O是和平分线的交点，
∴，
∵，
∴；
同法，在中，
，
故答案为：；；
（2）
理由如下：在中，
；
故答案为：；
（3）类似（2），可得在中，
；
故答案为：．
3．如图①，在中，与的平分线相交于点P．
(1)若，则的度数是 ；
(2)如图②，作外角，的角平分线交于点Q，试探索，之间的数量关系；
(3)如图③，延长线段，交于点E，在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出的度数是 ．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)或或或
【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角定理，角平分线定义．
（1）根据角平分线定义及三角形内角和定理得，则，再根据可得的度数；
（2）由三角形的外角定理及三角形三角形内角和定理得，再由角平分线定义得，由此得，之间的数量关系；
（3）先求出，根据得，然后分四种情况讨论如下：①当时，②当时，③当时，④当时，分别列方程计算即可．
【详解】（1）解：在中，，
与的平分线相交于点，
，，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）解：，之间的数量关系是：，理由如下：
，，，
，
点是和的角平分线的交点，
，
，
，
故，之间的数量关系是：；
（3）解：平分，平分，，
，，
，
即，
，
由（2）可知：，
，
，
如果在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么有以下四种情况：
①当时，则，
，
此时，
②当时，则，
，则，
此时，
③当时，则，
，
此时，
④当时，则，
，
，
此时，
综上所述，的度数是或或或，
故答案为：或或或．
难点强化五、三角形的三种折叠
1．把三角形纸片沿折叠．
(1)如图①，当点A落在四边形内部时，，，有怎样的等量关系？写出这个关系式，并证明你的结论．
(2)如图②，当点A落在四边形外部时，，，有怎样的等量关系？写出这个关系式，并证明你的结论．
【答案】(1)，证明见解析
(2)，证明见解析
【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理翻折的性质，整体思想的利用是解题的关键．
（1）根据翻折的性质以及平角的定义表示出，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；
（2）先根据翻折的性质以及平角的定义表示出，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解．
【详解】（1）解：，理由如下：
如图，
根据翻折以及平角的意义可得，，，
，
，
整理得，；
（2）解：，理由如下：
如图：
根据翻折以及平角的意义可得，，，
，
，
整理得，．
2．如图，是一个三角形的纸片，点D，E分别是边，上的两点．
(1)如图（1），如果沿直线折叠，且，则与的关系是 ．
(2)如图（2），如果沿直线折叠后A落在四边形内部，探究，和的关系，并说明理由．
(3)如果折成图（3）的形状，探究，和的关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)，理由见解析；
(3)，理由见解析
【分析】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是，也考查了折叠的性质、三角形外角性质．
（1）先根据折叠性质得，然后根据三角形外角性质易得；
（2）连接，先根据三角形外角性质得，，则，所以；
（3）由折叠性质得，，，再根据三角形内角和得，接着利用平角定理得到，然后整理得到.
【详解】（1）解：，
理由：∵沿直线折叠，且，
∴A点落在上，如图（1），
∴，
∴；
故答案为：；
（2）解：，
理由：连接，如图，
∵，，
∴，
又∵，
∴；
（3）解：．
理由：如图（3），由翻折可得：，，，
∵，
，
∴，
∴，
∴．
3．（1）如图1，把三角形纸片折叠，使个顶点重合于点．这时，__________；

（2）如果三角形纸片折叠后，个顶点并不重合于同一点，如图，那么(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由；
（3）折叠后如图所示，直接写出、、、、、之间的数量关系_______；
（4）折叠后如图，直接写出、、、、、之间的数量关系：_______；
【答案】（1）；（2）成立，详见解析；（3）；（4）．
【分析】（1）根据折叠性质和三角形内角和即可；
（2）根据折叠性质和三角形内角和即可；
（3）根据折叠性质和三角形内角和外角性质计算即可；
（4）根据折叠性质和三角形内角和外角性质计算即可．
【详解】（1）由折叠性质可知：，，，
∴，，，
∵
∴，
∴，
故答案为：，
（2）由由折叠性质可知：，，，
∴，，，
∵，，，，
∴，
同理：，，
∴，
（3）根据(2)可知：，，
如图3，∵，，
∴，
∴，
故答案为：，
（4）根据（2）（3）可知：，，，
∴，
∴，
故答案为：
【点睛】此题考查了翻折、角的计算，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
难点强化六、八字形
1．一般地，我们把如图1这样的图形称为“8字形”，它满足，请利用以上信息，试求出图2中的度数．
【答案】
【分析】此题考查了三角形内角和定理，多边形内角和公式；连接，首先利用图1的结论可得，然后求五边形的内角和即可．
【详解】解：如图，连接．
由题意易知，，
．
2．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，我们把形如图1图形称之为“8字形”，易知．如图2，和的平分线AP和DP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：
(1)在图2中，若，，求∠P的度数为 ；
(2)在图2中，若，，试问与、之间的数量关系为 ；
(3)如图3，则的度数为 ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据角平分线的定义得到，，再根据三角形内角和定理得到，，两等式相减得到，即，即可求解；
（2）同理（1）得出，从而得出；
（3）根据三角形内角与外角的关系可得，，再根据四边形内角和为可得答案．
【详解】（1）∵和的平分线AP和DP相交于点P，
∴，，
∵，，
∴ ，即，
∵，，
∴，
故答案为：；
（2）∵，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴；
故答案为：；
（3）如图：
∵，，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形内角与外角的关系、角平分线的性质、多边形的内角和，解题的关键是灵活运用三角形的外角性质及多边形内角和定理．
3．【问题背景】
（1）如图1的图形我们把它称为“字形”，可得结论：；请说明理由．
【简单应用】
（2）阅读下面的内容，并解决后面的问题：如图，分别平分，， 若，，求的度数；
【问题探究】
（3）如图， 直线平分的外角，平分的外角， 若，，猜想的度数为：________；
【拓展延伸】
（4）在图中，若设，，，，直接写出与，之间的数量关系为：______（用，表示）．
【答案】【问题背景】（）理由见解析；
【简单应用】（）；
【问题探究】（）；
【拓展延伸】（）．
【分析】【问题背景】（）根据三角形内角和定理即可证明；
【简单应用】（）由分别平分，，则，，由（）得：，求出即可求解；
【问题探究】（）平分的外角，平分的外角，得，，则，，由，，推出，即可解决问题；
【拓展延伸】（）由（）可知：，，，则，然后代入求值即可；
本题考查了三角形内角和，三角形的内、外角的定义，解题的关键是熟练掌握知识点的应用．
【问题背景】（）证明：在中，，
在 中，，
∵，
∴；
【简单应用】（）如图2，
∵分别平分，，
∴，，
由（）得：，
得，
∴，
∵，，
∴；
【问题探究】（）理由：如图，
∵直线平分的外角，平分的外角，
∴，，
∴，，
∵，
∴由（）得：，，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：；
【拓展延伸】（）由（）可知：，，，
∴，，
∴，
∵，，，，
∴，，
∴
，
∴，
故答案为：．
真题感知
1．（2024·江苏徐州·中考真题）古汉字“雷”的下列四种写法，可以看作轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
2．（2024·江苏苏州·中考真题）下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题主要考查轴对称图形的概念，掌握轴对称图形的概念是解题的关键．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项正确；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，故此选项错误．
故选：A．
3．（2024·江苏扬州·中考真题）“致中和，天地位焉，万物育焉”，对称之美随处可见．下列选项分别是扬州大学、扬州中国大运河博物馆、扬州五亭桥、扬州志愿服务的标识．其中的轴对称图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，进行分析即可．
【详解】解：A，B，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：C．
4．（2024·江苏盐城·中考真题）下列四幅图片中的主体事物，在现实运动中属于翻折的是（ ）
A．工作中的雨刮器 B．移动中的黑板
C．折叠中的纸片 D．骑行中的自行车
【答案】C
【分析】本题考查了折叠，根据折叠的定义逐项判断即可求解，掌握折叠的定义是解题的关键．
【详解】解：、工作中的雨刮器，属于旋转，不合题意；
、移动中的黑板，属于平移，不合题意；
、折叠中的纸片，属于翻折，符合题意；
、骑行中的自行车，属于平移，不合题意；
故选：．
5．（2024·江苏宿迁·中考真题）请写出定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理 ．
【答案】同位角相等，两直线平行
【分析】本题考查了逆定理的改写，根据题意，将题设与结论交换位置即可．
【详解】解：定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理是同位角相等，两直线平行，
故答案为：同位角相等，两直线平行 ．
6．（2024·江苏无锡·中考真题）命题“若，则”是 命题．（填“真”或“假”）
【答案】假
【分析】本题主要考查了真假命题的判断以及不等式的性质，根据，可得出，进而可判断出若，则是假命题．
【详解】解：∵
∴，
∴若，则是假命题，
故答案为：假．
思维导图
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