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第三章概率初步
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列事件是必然事件的是（ ）
A．酒瓶会爆炸
B．抛掷一枚硬币，正面朝上
C．地球在自转
D．今天的气温是100度
2．某人在做抛掷硬币试验中，抛掷n次，正面朝上有m次，若正面朝上的频率是P，则下列说法正确的是( )
A．P一定等于0.5 B．多投一次，P更接近0.5
C．P一定不等于0.5 D．投掷次数逐渐增加，P稳定在0.5附近
3．如图，一个可以自由转动的转盘被平均分成8个区域，每个区域分别标注数1，2，3，4，5，6，7，8．任意转动转盘一次，当转盘停止转动时，对于下列事件，发生可能性最大的事件是（ ）
A．指针落在标有5的区域 B．指针落在标有10的区域
C．指针落在标有奇数的区域 D．指针落在标有能被3整除的数的区域
4．下列事件中，是必然事件的是（　　）
A．射击运动员射击一次，命中靶心
B．掷一次骰子，向上一面的点数是6
C．任意买一张电影票，座位号是2的倍数
D．从一个只装有红球的盒子里摸出一个球是红球
5．下列说法正确的是（ ）
A．“打开电视，正在播放本溪新闻节目”是必然事件 B．某种彩票中奖率为10%是指买十张一定有一张中奖
C．“明天降雨的概率是50%”表示明天有半天都在降雨 D．“掷一次骰子，向上一面的点数是6”是随机事件
6．下列事件属于必然事件的是（　　）
A．三角形内角和是
B．电视打开时正在播放球赛
C．任意两个负数的乘积为正数
D．杯子掉在水泥地面上会破碎
7．如图1所示，有一个不规则的图案（图中画图部分），小帆想估算该图案的面积.他采取了以下的办法：用一个长为，宽为的矩形，将不规则图案围起来，再在适当位置随机地向矩形区域扔小球，并记录小球在不规则图案内的频率，如图2（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），则不规则图案的面积大约为（ ）
A． B． C． D．
8．如图为一正方形草坪，四边形为正方形， ，，若小鸟落在正方形草坪内的任一位置的可能性相同，则落在阴影部分中的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．下列事件是必然事件的是（　　）
A．打开电视机，正在播放动画片 B．中秋节晚上能看到月亮
C．买100张彩票一定会中奖 D．在只装有红球的袋中摸出1个球是红球
10．一个不透明的袋子中装有个红球和若干个白球，这些球除了颜色外都相同.若小明每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回,经过多次重复试验，小明发现摸到白球的频率逐渐稳定于，则小明估计袋子中白球的个数为( )
A． B． C． D．
11．下列事件中，属于随机事件的是（ ）
A．刻舟求剑
B．从长度分别为、、、的4根小木棒中，任取3根为边拼成一个三角形
C．方程在实数范围内有解
D．在装有10个红球的口袋内，摸出一个白球
12．数学社团的同学做了估算π的实验．方法如下：
第一步：请全校同学随意写出两个实数x、y（x、y可以相等），且它们满足：0＜x＜1，0＜y＜1；
第二步：统计收集上来的有效数据，设“以x，y，1为三条边长能构成锐角三角形”为事件A；
第三步：计算事件A发生的概率，及收集的本校有效数据中事件A出现的频率；
第四步：估算出π的值．
为了计算事件A的概率，同学们通过查阅资料得到以下两条信息：
①如果一次试验中，结果落在区域D中每一个点都是等可能的，用A表示“试验结果落在区域D中一个小区域M中”这个事件，那么事件A发生的概率为P(A)＝；
②若x，y，1三个数据能构成锐角三角形，则需满足x2＋y2＞1．
根据上述材料，社团的同学们画出图，若共搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份，则可以估计π的值为（　　 ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．至少需要调查 名同学，才能使“有两个同学生日在同一个月”为必然事件．
14．某家庭电话，打进的电话响第一声时被接的概率为0.1，响第二声被接的概率为0.2，响第三声或第四声被接的概率都是0.25，则电话在响第五声之前被接的概率为 ．
15．抛掷一枚质地均匀的骰子，对于事件①向上一面的数为偶数、②向上一面的数为1、③向上一面的数为3的倍数，将它们的序号按事件发生可能性从小到大的顺序排列： ．
16．一个不透明的袋中装有2个红球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．现随机从袋中摸出一个球，记下它的颜色后放回摇匀，再从袋中摸出一个球，则两次摸出的球都是“红球”的概率是 ．
17．在的两个空格口中，任意填上“”或“”．若运算结果是3，则丽丽获胜，否则颖颖获胜．这个游戏对双方 （填“公平”或“不公平”）．
三、解答题
18．如图，转盘被分成六个相同的扇形，并在上面依次写上数字：，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止．
(1)当转盘停止时，指针指向奇数区域的概率是多少？
(2)当转盘停止时，指针指向的数小于或等于5的概率是多少？
19．在本节课的“石头、剪刀、布”游戏中，小凡没有参与活动，有“任人宰割”的感觉，于是他们修改游戏规则如下：三人同时做“石头、剪刀、布”游戏，如果三人的手势都相同或三人的手势互不相同，那么三人不分胜负；如果有两个人的手势相同，那么按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定胜负（有可能有两个胜者）这个游戏对三人公平吗？先算一算，再做一做．
20．有一个转盘如图所示，被分成6个大小相同的扇形，颜色分别为红、绿、黄三种，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，重新转动）．有下列事件：①指针指向红色；②指针指向绿色；③指针指向黄色；④指针不指向黄色．
(1)在上述事件中，可能性最大的是________，可能性最小的事件是________（填序号）；
(2)将上述事件按发生的可能性从小到大的顺序排列________（填序号）．
21．下列4个事件，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？根据你的判断，把这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列．
（1）13人中至少有2个人的生日在同一个月；
（2）公路上行驶的一辆汽车的车牌号为偶数；
（3）的绝对值小于0；
（4）从装有1个黄球和8个红球的袋子中摸出1个球是红球．
22．“共和国勋章”获得者钟南山院士说：按照疫苗保护率达到70%计算，中国的新冠疫苗覆盖率需要达到近80%，才有可能形成群体免疫，本着自愿的原则，18至60周岁符合身体条件的中国公民均可免费接种新冠疫苗．居民甲、乙准备接种疫苗，其居住地及工作单位附近有两个大型医院和两个社区卫生服务中心均可免费接种疫苗，提供疫苗种类如下表：
接种地点 疫苗种类
医院 A 新冠病毒灭活疫苗
B 重组新冠病毒疫苗（CHO细胞）
社区卫生服务中心 C 新冠病毒灭活疫苗
D 重组新冠病毒疫苗（CHO细胞）
若居民甲、乙均在A、B、C、D中随机独立选取一个接种点接种疫苗，且选择每个接种点的机会均等（提示：用A、B、C、D表示选取结果）
（1）求居民甲接种的是新冠病毒灭活疫苗的概率；
（2）请用列表或画树状图的方法求居民甲、乙接种的是相同种类疫苗的概率．
23．一个不透明的口袋中放着若干个红球和黑球，这两种球除了颜色之外没有其他任何区别，将袋中的球充分摇匀，闭眼从口袋中摸出一个球，经过很多次实验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在．
(1)估计摸到黑球的概率是_______；
(2)如果袋中原有黑球15个，估计原口袋中共有几个球？
(3)在（2）的条件下，又放入个黑球，再经很多次实验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在，估计的值．
24．袋中装有个红球、个白球和个黑球，每个球除颜色外其他都相同．事先选择要摸的球的颜色，任意摸出个球，若摸到的球的颜色与事先选择的一样，则获胜．为了尽可能获胜，你事先应该选择摸哪种颜色的球？
《第三章概率初步》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D C D D C B C D C
题号 11 12
答案 B D
1．C
【分析】此题考查必然事件，必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，难度适中．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念解答．
【详解】必然事件指在一定条件下一定发生的事件，依据定义即可判断．
A、B是随机事件，C是必然事件，D是不可能事件，
故选C．
2．D
【分析】大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做此事件概率的估计值，从而可得答案．
【详解】解：根据频率和概率的关系可知，投掷次数逐渐增加，P稳定在0.5附近，
故选：D．
【点睛】考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．注意随机事件可能发生，也可能不发生．
3．C
【分析】此题考查了可能性大小，根据每个选项占的区域个数从而确定正确的选项即可．
【详解】解：∵一共被平均分成8个区域，
其中5有1个区域，10没有区域，奇数有4个区域，被3整除的数的区域有3和6，共2个，
∴发生可能性最大的事件是指针落在标有奇数的区域．
故选：C．
4．D
【分析】根据随机事件是有可能发生，也有可能不生发，必然是事件是一定要发生的来进行判定．
【详解】解：A．射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，故A不符合题意；
B．掷一次骰子，向上一面的点数是6，是随机事件，故B不符合题意；
C．任意买一张电影票，座位号是2的倍数，是随机事件，故C不符合题意；
D．从一个只装有红球的盒子里摸出一个球是红球，是必然事件，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了随机事件和必然事件的判定，理解随机事件和必然事件的定义是解答关键．
5．D
【分析】根据必然事件、随机事件和概率的定义逐项判断即得答案.
【详解】解：A、“打开电视，正在播放本溪新闻节目”是随机事件，故本选项说法错误；
B、某种彩票中奖率为10%是指买十张不一定有一张中奖，故本选项说法错误；
C、“明天降雨的概率是50%”表示明天有可能降雨，故本选项说法错误；
D、掷一次骰子，向上一面的点数是6”是随机事件，故本选项说法正确；
故选：D.
【点睛】本题考查了必然事件、随机事件和概率的意义，熟知相关概念是解题的关键.注意：事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，可能发生也可能不发生的事件叫随机事件.
6．C
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答．
【详解】解：A．三角形内角和是，是不可能事件，故A不符合题意；
B．电视打开时正在播放球赛，是随机事件，故B不符合题意；
C．任意两个负数的乘积为正数，是必然事件，故C符合题意；
D．杯子掉在水泥地面上会破碎，是随机事件，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了随机事件，三角形内角和定理，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
7．B
【分析】本题考查了几何概率和用频率估计概率，解题的关键是理解题意，得出小球落在不规则图案内的概率约为．根据图可得，小球落在不规则图案内的概率约为，设不规则图案的面积为，再根据几何概率可得：不规则图案的面积长方形的面积=小球落在不规则图案内的概率，列出方程即可求解．
【详解】解：由题意可得：小球落在不规则图案内的概率约为，
长方形的面积为，
设不规则图案的面积为，则，
解得：．
即不规则图案的面积约为．
故选：B．
8．C
【分析】本题考查几何概率，熟练掌握数形结合思想是解题的关键；
根据题意，求得正方形的面积，再求得阴影部分面积，进而求解；
【详解】解：阴影部分面积为：，
正方形面积为：，
落在阴影部分中的概率为；
故选：C
9．D
【分析】直接利用随机事件以及必然事件的定义分析得出答案．
【详解】解：A、打开电视机，正在播放动画片，是随机事件，故此选项不符合题意；
B、中秋节晚上能看到月亮，是随机事件，故此选项不符合题意；
C、买100张一定会中奖，是随机事件，故此选项不符合题意；
D、在只装有红球的袋中摸出1球，是红球，是必然事件，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了随机事件以及必然事件的定义，正确把握相关定义是解题关键．
10．C
【分析】设袋子中白球有x个，根据概率公式即可得到答案．
【详解】解：设袋子中白球有x个，由题意可得，
解得，
故选C．
【点睛】本题主要考查利用频率算随机事件概率及概率公式，解题的关键是熟练掌握．
11．B
【分析】本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可．
【详解】解：A、刻舟求剑，是不可能事件，不符合题意；
B、从长度分别为、、、的4根小木棒中，任取3根为边拼成一个三角形，是随机事件，符合题意；
C、方程在实数范围内有解，是不可能事件，不符合题意；
D、在装有10个红球的口袋内，摸出一个白球，是不可能事件，不符合题意；
故选：B．
12．D
【分析】根据x，y，1三个数据能构成锐角三角形，则需满足x2＋y2＞1的条件，可以判断符合条件的区域为图中（3）的区域，再根据①几何概率的计算方法即可得到满足题意的概率，最后通过搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份的条件，得到用m，n表示上述方法计算的概率，从而解出π的值，得出答案．
【详解】解：根据第一步，0＜x＜1，0＜y＜1，
可以用图中正方形区域表示，
∴，
再根据若x，y，1三个数据能构成锐角三角形，
则需满足x2＋y2＞1，
可以用图中（3）区域表示，
∴面积为正方形面积减去四分之一圆的面积，
∴，
设“以x，y，1为三条边长能构成锐角三角形”为事件A，
∴根据①概率计算方法可以得到：
，
又∵共搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份，
∴，
解得，
故选：D．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，几何概率的计算方法以及圆的面积公式，解题的关键是利用图中所给条件找出符合条件的图形的面积，从而求出概率．
13．13
【分析】本题主要考查了事件的判断，根据一年有12个月，结合必然事件的定义解答即可.
【详解】解：一年有12个月，所以至少需要调查13名学生，才能使“有两个同学生日在同一个月”为必然事件.
故答案为：13.
14．0.8
【分析】依题意电话在响第五声之前被接的概率等于打进的电话响第一声时被接的概率+响第二声被接的概率+响第三声和第四声被接的概率，计算得出结果．
【详解】打进的电话响第一声时被接的概率为0.1，响第二声被接的概率为0.2，响第三声或第四声被接的概率都是0.25，
电话在响第五声之前被接的概率为．
故答案为：0.8．
【点睛】本题考查了概率的应用，掌握概率的定义是解题的关键．
15．②③①
【分析】本题考查的是可能性的大小，先求出各自的可能性大小，再进行比较即可．解决这类题目要注意具体情况具体对待，最准确的方法是计算出事件发生的可能性大小进行比较．一般地必然事件的可能性大小为1，不可能事件发生的可能性大小为0，随机事件发生的可能性大小在0至1之间．
【详解】解：①骰子能掷出三面为偶数，故向上一面的数为偶数的可能性大小为；
②向上一面的数为1的可能性大小为；
③骰子能掷出两面为3的倍数，向上一面的数为3的倍数的可能性大小为；
它们的序号按事件发生可能性从小到大的顺序排列为②③①，
故答案为：②③①．
16．
【分析】此题主要考查画树状图或列表法求概率，解题的关键是画出所有的情况，再用概率公式进行求解．
根据题意画出树状图，再利用概率公式进行求解．
【详解】解：画树状图为
由此可得，一共有9种等可能的情况，两次摸出的球都是“红球”的有4种，
∴两次摸出的球都是“红球”的概率为．
故答案为：
17．公平
【分析】本题主要考查了有理数加减运算、简单概率计算等知识，正确计算两人获胜的概率是解题关键．根据题意，可知共有4种运算结果，其中运算结果是3的有2种，结果不为3的有2种，然后分别计算两人获胜概率，比较即可获得答案．
【详解】解：根据题意，在的两个空格口中，任意填上“”或“”，
可有4种结果，如下所示：
，，，，
其中运算结果是3的有2种，结果不为3的有2种，
所以丽丽获胜的概率为，颖颖获胜的概率为，
又因为，
所以，这个游戏对双方公平．
故答案为：公平．
18．(1)
(2)
【分析】本题考查了用列举法求概率，解题的关键是熟练掌握概率公式，一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为且．
（1）当转盘停止转动时，指针指向数字区域2，3，4，5，6，7的机会是均等的，故共有6种均等的结果，其中指针指向奇数区域3，5，7有3种结果，根据概率公式求解即可．
（2）当转盘停止转动时，指针指向数字区域2，3，4，5，6，7的机会是均等的，故共有6种均等的结果，其中指针指向的数小于或等于5区域2，3，4，5有4种结果，根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：当转盘停止转动时，指针指向数字区域2，3，4，5，6，7的机会是均等的，故共有6种均等的结果，其中指针指向奇数区域3，5，7有3种结果，
所以指针指向奇数区域的概率是；
（2）解：当转盘停止转动时，指针指向数字区域2，3，4，5，6，7的机会是均等的，故共有6种均等的结果，其中指针指向的数小于或等于5区域2，3，4，5有4种结果，
所以指针指向的数小于或等于5的概率是．
19．公平
【分析】先画出表格展示所有27种等可能的结果数，再找出三个人赢的结果数，然后计算他们获胜的概率，再通过比较概率的大小判断游戏是否公平．
【详解】列表如下：
第一人 第二人 第三人 所有可能出现的结果
石头 石头 石头 （石头，石头，石头）
剪刀 （石头，石头，剪刀）
布 （石头，石头，布）
剪刀 石头 （石头，剪刀，石头）
剪刀 （石头，剪刀，剪刀）
布 （石头，剪刀，布）
布 石头 （石头，布，石头）
剪刀 （石头，布，剪刀）
布 （石头，布，布）
剪刀 石头 石头 （剪刀，石头，石头）
剪刀 （剪刀，石头，剪刀
布 （剪刀，石头，布）
剪刀 石头 （剪刀，剪刀，石头
剪刀 （剪刀，剪刀，剪刀）
布 （剪刀，剪刀，布）
布 石头 （剪刀，布，石头）
剪刀 （剪刀，布，剪刀）
布 （剪刀，布，布）
布 石头 石头 （布，石头，石头）
剪刀 （布，石头，剪刀）
布 （布，石头，布）
剪刀 石头 （布，剪刀，石头）
剪刀 （布，剪刀，剪刀）
布 （布，剪刀，布）
布 石头 （布，布，石头）
剪刀 （布，布，剪刀）
布 （布，布，布）
共有27种等可能的结果，其中第一人获胜的结果有9种，所以第一人获胜的概率为，第二人和第三人获胜的结果也都有9种，所以第二人和第三人获胜的概率也都是，所以这个游戏对三人是公平的．
【点睛】本题考查了游戏公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．
20．(1)④；②
(2)②③①④
【分析】分别求出摸出各种颜色球的概率，即可比较出摸出何种颜色球的可能性大．
【详解】（1）∵共3红2黄1绿相等的六部分，
∴①指针指向红色的概率为；
②指针指向绿色的概率为；
③指针指向黄色的概率为；
④指针不指向黄色为，
∴可能性最大的是④，可能性最小的事件是②，
故答案为：④；②；
（2）由（1）得：②＜③＜①＜④，
故答案为：②③①④．
【点睛】本题考查的是可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．
21．（1）必然事件，（2）随机事件，（3）不可能事件，（4）随机事件；（3）、（2）、（4）、（1）
【分析】本题主要考查了可能性的大小、随机事件等知识点，掌握各类事件的定义以及发生概率是解题的关键．
根据可能性的大小以及随机事件的定义逐个判断，然后比较即可解答．
【详解】解：（1）13人中至少有2人的生日在同一个月是必然事件，发生的可能性是1；
（2）公路上行驶的一辆汽车的车牌号为偶数，属于随机事件，发生的概率为；
（3）的绝对值小于0是不可能事件，发生的可能性是0；
（4）从装有1个黄球和8个红球的袋子中摸出1个球是红球是随机事件，摸到红球的概率是．
这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列为：（3）、（2）、（4）、（1）．
22．（1）；（2）
【分析】（1）利用概率公式直接计算即可；
（2）先列表求解所有的等可能的结果数，再得到符合条件的结果数，从而利用概率公式进行计算即可.
【详解】解：（1）由概率的含义可得：
居民甲接种的是新冠病毒灭活疫苗的概率是
（2）列表如下：
由表中信息可得一共有种等可能的结果数，属于同种疫苗的结果数有：
，，，，，，，共 种，
所以居民甲、乙接种的是相同种类疫苗的概率为：
【点睛】本题考查的是随机事件的概率，利用列表法或画树状图求解概率，掌握列表的方法与画树状图的方法是解题的关键.
23．(1)
(2)估计原口袋中共有40个球
(3)估计的值为60
【分析】（1）利用频率估计概率即可得出答案；
（2）设原口袋中有m个球，根据题意得，解之即可得出答案；
（3）根据题意得，解之即可得出答案．
【详解】（1）解：∵经过很多次实验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在，
∴估计摸到黑球的概率是．
故答案为：．
（2）设原口袋中有m个球，根据题意得：
，
解得：m＝40，
经检验m＝40是分式方程的解，且符合题意，
答：袋中原有40个球．
（3）解：根据题意得：，
解得：n＝60，
经检验n＝60是分式方程的解，且符合题意，
∴n＝60．
答：估计的值为60．
【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势，估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
24．事先应该选择摸黑色的球，因为袋中黑球的个数最多，摸到它的可能性最大．
【分析】本题考查了事件发生的可能性大小，根据袋中装有红球、白球和黑球个数最多，摸到它的可能性最大，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：由袋中装有个红球、个白球和个黑球，
∵，
∴为了尽可能获胜，事先应该选择摸黑色的球．
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