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第十七章勾股定理
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在四边形中，，，于点B，于点D，E、F分别是、上的点，且，，下列结论中：①；②平分；③平分；④若四边形的周长是15，且的面积为3，则四边形的面积等于11．上述结论中一定正确的有（ ）
A．①②④ B．②③ C．②④ D．③④
2．在平面直角坐标系中，已知点，点，在坐标轴上有一点P，且点P到A点和到B点的距离相等，则点P的坐标为（）
A．或 B．或
C．或 D．或
3．如图，边长为的正方形两个顶点分别与数轴上的和重合，以数轴上所在的点为圆心按图示作弧线，交数轴于点，则点表示的数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，一架的云梯AB斜靠在一竖直的墙上，这时为．如果梯子的底端向墙一侧移动了，那么梯子的顶端向上滑动的距离是（　　）
A． B．
C． D．
5．在中，下列条件：①；②；③；④，，．能判断是直角三角形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，在锐角中，，，的平分线交于点，、分别是，上的动点，则的最小值是（ ）
A．3 B．2 C． D．
7．若△ABC是直角三角形，两条直角边分别为5和12，在三角形内有一点D，D到△ABC各边的距离都相等，则这个距离等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．如图，将三角形纸片沿折叠，使点C落在边上的点E处．若，，则的值为（ ）
A．16 B．18 C．20 D．24
9．下面四组数中是勾股数的一组是（　　）
A．4，5，6 B．6，8，10 C．5，11，12 D．10，20，26
10．如图，在中，，，，点D为AB的中点，点E为AC上一点，把沿DE折叠得到，连接．若，则的长为（ ）
A． B． C．4 D．
11．如图，在ABC中，∠B＝22.5°，∠C＝45°，若AC＝2，则ABC的面积是（ ）
A． B．1+ C．2 D．2+
12．一位工人师傅测量一个等腰三角形工件的腰，底及底边上的高，并按顺序记录下数据，量完后，不小心与其他记录的数据记混了，请你帮助这位师傅从下列数据中找出等腰三角形工件的数据（　　）
A．13，10，10 B．13，10，12 C．13，12，12 D．13，10，11
二、填空题
13．如图，长方体的长为3cm，宽为2cm，高为1cm的长方体，蚂蚁沿着表面从A爬行到B的最短路程是 ．
14．如图，动点在直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，……按这样的运动规律，经过第110次运动后，动点经过的路径长为 ．
15．如图，线段，用尺规作图法按如下步骤作图．
（1）过点B作的垂线，并在垂线上取；
（2）连接，以点C为圆心，为半径画弧，交于点E；
（3）以点A为圆心，为半径画弧，交于点D．即点D为线段的黄金分割点．
则线段的长度约为 （结果保留两位小数，参考数据：）
16．若点A（x，0）与B（2，0）的距离为5，则x= ．
17．如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫做半高三角形.已知直角三角形ABC是半高三角形，且斜边AB=10，则它的周长等于 ．
三、解答题
18．勾股定理是一个基本的几何定理，又称为勾股弦定理、勾股定律等，由中国人商高在周朝时期最早提出，我国东汉数学家赵爽通过四个全等直角三角形构造图形，证明出勾股定理，称为赵爽弦图，其中．
(1)请同学们根据赵爽弦图证明；
(2)若正方形的面积为100，正方形的面积为36，求的值；
19．如图，分别以等腰的边，，为直径画半圆．求证：所得两个月形图案和的面积之和（图中阴影部分）等于的面积．
20．在Rt△ABC中，∠C=90°．
(1)已知AB=25，AC=15，求BC；
(2)已知BC=，∠B=60°，求AB．
21．如图，点C为线段上一点，都是等边三角形，与交于点与相交于点G．
（1）求证：；
（2）求证：
（3）若，求的面积．
22．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：
如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．
【阅读理解】
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：
（1）如图1，延长到点E，使，连接．根据__________可以判定__________，得出__________．
这样就能把线段集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是__________．
【方法感悟】
当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”——把中线延长一倍，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“中线加倍”法．
【问题解决】
（2）如图2，在中，，D是边的中点，，交于点E，交于点F，连接，请判断的数量关系，并说明理由．
【问题拓展】
（3）如图3，中，，，是的中线，，，且，请直接写出的长．
23．我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
（1）写出你所知道的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称　 　，　 　．
（2）如图（1），请你在图中画出以格点为顶点，OA、OB为勾股边，且对角线相同的所有勾股四边形OAMB．
（3）如图（2），以边AB作如图正三角形ABD，∠CBE＝60°，且BE＝BC，连接DE、DC，∠DCB＝30°．求证：DC2+BC2＝AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．
24．在中，，分别以的三边为直径作半圆.
（1）若这三个半圆在的两侧（如图所示），半圆的面积分别为，，，则，之间有什么数量关系 请说明理由.
（2）若这三个半圆在的同一侧（如图所示），的面积等于，两个“月牙”的面积分别为，，则，，之间有什么数量关系 请说明理由.
《第十七章勾股定理》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A D A B A A C B D
题号 11 12
答案 D B
1．C
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定定理，角平分线的定义，三角形的三边关系定理，垂直定义等知识点，延长到G，使，连接，，根据全等三角形的判定定理求出，根据全等三角形的性质得出，，，求出，根据全等三角形的判定定理得出，根据全等三角形的性质得出，，，再进行判断即可．
【详解】解：延长到G，使，连接，，
∵，，
∴，
在和中
，
∴，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中
，
∴，
∴，，，
∴平分，故②正确；
根据已知不能推出，平分，故①③不正确；
在和中，
，
∴，
∴，
设，，
∵四边形的周长是15，
∴，
∵的面积为3，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积，故④正确；
综上，正确的有②④．
故选：C．
2．A
【分析】本题考查了坐标与图形及用勾股定理求两点间距离，熟练掌握坐标与图形及用勾股定理求两点间距离是解题的关键．若点P在轴上，设，可得，，再根据，列出方程，再求解，若点P在轴上，设，再同理求解即可．
【详解】解：若点P在轴上，设，
，，
，，
，即，
，
，
，
若点P在轴上，设，
，点，
，，
，即，
，
，
，
即或，
故选：A．
3．D
【分析】本题考查勾股定理，无理数的知识，解题的关键是根据题意，求出正方形的对角线，再根据以对角线为半径，作弧线，即可得到点表示的数．
【详解】解：∵正方形的边长为，
∴正方形的对角线为，
以数轴上所在的点为圆心，对角线为半径，按图示作弧线，
∴点表示的数为：．
故选：D．
4．A
【分析】此题考查了勾股定理，利用勾股定理求出的长，再求出的长，进而即可得解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵
∴
∵
∴
∴．
故选：A．
5．B
【分析】本题考查了三角形内角和定理、勾股定理逆定理、等边三角形的判定定理，根据三角形内角和定理、勾股定理逆定理、等边三角形的判定定理分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：①∵，
∴，
∵，
∴，故是直角三角形，符合题意；
②∵，
∴，故不是直角三角形，不符合题意；
③∵，
∴，故是直角三角形，符合题意；
④∵，，，
∴，故是等边三角形，不符合题意；
综上所述，能判断是直角三角形的有①③，共个，
故选：B．
6．A
【分析】作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M点，过M点作MN⊥AB，垂足为N，则BM+MN为所求的最小值，再根据AD是∠BAC的平分线可知MH=MN，再求出BH即可得出结论．
【详解】解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M点，过M点作MN⊥AB，垂足为N，则BM+MN为所求的最小值．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴M′H=MN，
∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短），
∵AB=，∠BAC=45°，
∴BH=，
∴BM+MN的最小值是BM+MN=BM+MH=BH=3．
故选：A．
【点睛】本题考查的是轴对称最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．
7．A
【分析】根据勾股定理列式求出斜边的长度，然后根据三角形的面积不变列式求解即可．
【详解】解：的两条直角边分别为和，
斜边，
设D到各边的距离都相等为,
则,
解得．
故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，勾股定理的应用，本题利用三角形的面积列式求解更加简便．
8．C
【分析】根据折叠的性质得到，由勾股定理得到，两式相减，通过整式的化简即可得到结论．
【详解】解：∵将三角形纸片沿折叠，使点C落在边上的点E处，
∴，
∴，
∴
，
∵，，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查了翻折变换—折叠问题，勾股定理，整式的化简，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
9．B
【详解】根据勾股数的定义：满足a2+b2=c2 的三个正整数，称为勾股数解答可得：
A、42+52≠62，不能构成勾股数，故错误；
B、62+82=102能构成勾股数，故正确误；
C、52+112≠122不能构成勾股数，故错误；
D、102+202≠262不能构成勾股数，故错误；
故选B．
10．D
【分析】过点A作AF⊥DE于点F，由直角三角形的性质可得AF=1，AE=，即可求A'E，EC的长，由勾股定理可求A'C的长．
【详解】解：如图，过点A作AF⊥DE于点F，
∵AB=4，点D为AB的中点，
∴AD=2，
∵∠ADE=30°，AF⊥DE，
∴AF=1，∠FAD=60°，
∵∠BAC=105°，
∴∠FAE=45°，AF⊥DE，
∴∠AEF=45°=∠EAF，
∴AF=EF=1，
∴AE=，
∴EC=AC-AE=2，
∵把△ADE沿DE折叠得到△A'DE，
∴∠AEA'=2∠AEF=90°，A'E=AE=，
∴A'C=，
故选D.
【点睛】本题是对折叠几何问题的考查，熟练掌握勾股定理及三角函数知识是解决本题的关键.
11．D
【分析】如图，过点A作AD⊥AC于A，交BC于D，过点A作AE⊥BC于E，先证明△ADC是等腰直角三角形，得AD＝AC＝2，∠ADC＝45°，CD＝AC＝2，再证明AD＝BD，计算AE和BC的长，根据三角形的面积公式可解答．
【详解】解：如图，过点A作AD⊥AC于A，交BC于D，过点A作AE⊥BC于E，
∵∠C＝45°，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴AD＝AC＝2，∠ADC＝45°，CD＝AC＝2，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠B＝22.5°，
∴∠DAB＝22.5°，
∴∠B＝∠DAB，
∴AD＝BD＝2，
∵AD＝AC，AE⊥CD，
∴DE＝CE，
∴
∴△ABC的面积．
故选：D．
【点睛】本题考查的是勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，熟知掌握等腰三角形的性质是解本题的关键．
12．B
【分析】根据等腰三角形的三线合一，得底边上的高也是底边上的中线．根据勾股定理知：底边的一半的平方加上高的平方应等于腰的平方，即可得出正确结论．
【详解】解：由题可知，在等腰三角形中，底边的一半、底边上的高以及腰正好构成一个直角三角形，且（）2+122＝132，符合勾股定理．
故选B．
【点睛】本题考查等腰三角形的三线合一以及勾股定理的逆定理，熟练掌握相关定理是解题的关键．
13．
【分析】将长方体从不同侧面展开，分别利用从不同的表面得出其路径长，进而得出答案．
【详解】解：如图1，
AB= （cm），
如图2，
AB= （cm），
如图3，
AB= （cm），
故沿长方体的表面爬到对面顶点B处，只有图2最短， 其最短路线长为： cm．
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了平面展开图最短路径问题，解决本题的关键要将长方体分情况正确展开并利用勾股定理计算．
14．/
【分析】本题考查了两点之间的距离公式、实数的加法，正确归纳类推出一般规律是解题关键．先求出动点第次运动的路径长，再归纳类推出一般规律，由此即可得．
【详解】解：动点第1次运动的路径长为，
动点第2次运动的路径长为，
动点第3次运动的路径长为，
动点第4次运动的路径长为，
则动点第次运动的路径总长为，
观察可知，动点运动的路径长是以为一个循环往复的，
∵，
∴经过第110次运动后，动点经过的路径长为，
故答案为：．
15．6.18
【分析】根据作图得△ABC为直角三角形，，AE=AD,
根据勾股定理求出AC，再求出AE，即可求出AD．
【详解】解：由作图得△ABC为直角三角形，，AE=AD,
∴cm，
∴cm，
∴cm．
故答案为：6.18
【点睛】本题考查了尺规作图，勾股定理等知识，根据作图步骤得到相关已知条件是解题关键．
16．-3或7.
【详解】试题解析：∵点A（x，0）与B（2，0）的距离为5，
∴AB==5，
解得x=-3或x=7．
考点：两点间的距离公式．
17．或
【分析】分两种情况讨论：①Rt△ABC中，CD⊥AB，CD＝AB＝5；②Rt△ABC中，AC＝BC，分别依据勾股定理和三角形的面积公式，即可得到该三角形的周长．
【详解】解：如图所示，Rt△ABC中，CD⊥AB，CD＝AB＝5，
设BC＝a，AC＝b，则
解得a＋b＝10，或a＋b＝ 10（舍去），
∴△ABC的周长为10＋10；
如图所示，Rt△ABC中，AC＝BC，
设BC＝a，AC＝b，则
，
解得，
∴△ABC的周长为；
综上所述，该三角形的周长为或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了三角形的高线以及勾股定理的运用，解决问题的关键是利用勾股定理进行推算．
18．(1)见详解
(2)
【分析】此题考查勾股定理的证明，解题的关键是面积公式的计算．
（1）根据面积公式证明勾股定理即可；
（2）根据面积公式和勾股定理解得即可．
【详解】（1）证明：∵大正方形的面积是，直角三角形的面积是，
小正方形的面积为，
∴
即；
（2）解：由正方形的面积是100，得，
解得：，
由正方形的面积为36，得，
一个直角三角形面积为：
解得：，
∴，
则，
故．
19．见解析
【分析】由勾股定理可得，然后确定出，从而得证．
【详解】证明：是直角三角形，
，
以等腰的边、、为直径画半圆，
∴，，，
∵，
∴，
，
∴①的面积＋②的面积＋③的面积＋④的面积＝①的面积＋＋③的面积，
∴②的面积＋④的面积＝，
所得两个月型图案和的面积之和（图中阴影部分）等于的面积．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，是基础题，熟记勾股定理是解题的关键．
20．（1）20；（2）2
【分析】（1）根据勾股定理即可直接求出BC的值；
（2）根据直角三角形的性质即可求出AB的值．
【详解】解：（1）根据勾股定理可得：
BC==20；
（2）∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，
∴∠A=30°，
∴AB=2BC=2．
【点睛】本题考查解直角三角形，主要利用了含30°角的直角三角形的性质和勾股定理．
21．（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）根据SAS即可证明△BCE≌△ACD；
（2）由△ACD≌△BCE可得∠CBG=∠CAF，从而利用ASA可证明△ACF≌△BCG；
（3）求出CG=CF=4，过G作GM⊥BD于M，过点F作FN⊥BD于N，求出GM，FN，根据S△ACD=S△ACF+S△CDF=S△BCG+S△CDF可求出答案．
【详解】解：（1）证明：∵△ABC，△CDE是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE，
即∠BCE=∠DCA，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
（2）由（1）得△ACD≌△BCE，
∴∠CBG=∠CAF，
又∵∠ACF=∠BCG=60°，BC=AC，
在△ACF和△BCG中，
，
∴△ACF≌△BCG（ASA）；
（3）∵△ACF≌△BCG，
∴S△ACF=S△BCG，CG=CF，而CF+CG=8，
∴CG=CF=4，
过G作GM⊥BD于M，过点F作FN⊥BD于N，
又∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴GM=CG=，FN=CF=，
∴S△ACD=S△ACF+S△CDF
=S△BCG+S△CDF
=BC GM+CD FN
=（BC+CD）
=BD
=．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质以及等边三角形的判定和性质，利用全等三角形的性质得出CG=CF是解答此题的关键．
22．（1）；；；；（2），理由见解析；（3）
【分析】（1）如图1，延长，使，连接，利用证明，得到，再由三角形三边的关系得到，则，即可求出；
（2）延长使，连接，根据垂直平分线的性质得到，然后利用证明，得到，，进而得到，最后根据勾股定理证明即可；
（3）延长交的延长线于点F，根据证明，然后根据垂直平分线的性质得到，最后根据全等三角形的性质求解即可．
【详解】解：（1）延长，使，连接，
∵D是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
（2），
证明：如图所示，延长到G，使，连接，
∵，，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∵D是的中点，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴在中，由勾股定理得，
∴；
（3）解：如图所示，延长交的延长线于点F，
∵，
∴，
∵是中线，
∴，
在和中，
，
，
∴，，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定方法，三角形的三边关系，勾股定理，线段垂直平分线的性质，“倍长中线”法的运用，解题的关键是根据题意作出辅助线构造全等三角形．
23．（1）直角梯形，长方形；（2）图见解析；（3）证明见解析
【分析】（1）利用含有直角的四边形找出特殊四边形中是勾股四边形的两种图形即可；
（2）利用勾股定理计算画出即可；
（3）首先证明△ABC≌△BDC，得出AC＝DE，BC＝BE，连接CE，进一步得出△BCE为等边三角形；利用等边三角形的性质，进一步得出△DCE是直角三角形，问题得解．
【详解】解：（1）填直角梯形，长方形；
（2）如图，
（3）证明：∵△ABD为等边三角形，
∴AB＝AD，∠ABD＝60°，
∵∠CBE＝60°，
∴∠ABD+∠DBC＝∠CBE+∠DBC，
即∠ABC＝∠DBE，
又∵BE＝BC，
∴△ABC≌△DBE，
∴BE＝BC，AC＝ED；
连接EC，连接AC．则△BCE为等边三角形，
∴BC＝CE，∠BCE＝60°，
∵∠DCB＝30°，
∴∠DCE＝90°，
在Rt△DCE中，
DC2+CE2＝DE2，
∴DC2+BC2＝AC2．
【点睛】此题主要考查勾股定理，三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，是一道综合性很强的题目．
24．（1）.理由见解析；（2）.理由见解析.
【分析】（1）S1+S2=S3，理由为：根据圆的面积公式表示出S1、S2、S3，利用勾股定理列出关系式，整理即可得证；
（2）S1+S2=S3，同理可证．
【详解】（1）.理由如下：
由题意得，，，.
在中，由勾股定理.得，
所以，所以
（2）.理由如下：
如图，由题意得，，，
在中，由勾股定理，得，
所以，
所以
【点睛】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
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