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第十八章平行四边形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在平面直角坐标系中，A（1，2），B（﹣1，0），C（3，0），若四边形ABCD为平行四边形，则点D的坐标为（　　）
A．（4，2） B．（2，4） C．（2，5） D．（5，2）
2．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3、BC=4、P、Q两点分别在AC和AB上．且CP=BQ=1，在平面上找一点M．以A、P、Q、M为顶点画平行四边形，这个平行四边形的周长的最大值为（　　　）
A．12 B． C． D．
3．四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ）
A．AB=CD B．AB=BC C．AC⊥BD D．AC=BD
4．如图，平行四边形的对角线交于点，平分交于点，且，，连接．下列结论：①；②；③；④．其中成立的个数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
5．如图所示，在中，，垂直平分腰，若，，则的度数为（　　）．
A． B．
C． D．
6．如图，在□ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥DC交DC的延长线于点F，且∠EAF=60°，则∠B等于 （ ）
A．60° B．50° C．70° D．65°
7．如图，已知四边形ABCD和四边形BCEF均为平行四边形，∠D＝60°，连接AF，并延长交BE于点P，若AP⊥BE，AB＝3，BC＝2，AF＝1，则BE的长为（　　）
A．5 B．2 C．2 D．3
8．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的坐标为(1，)，则点C的坐标为(　　)

A．(－，1) B．(－1，) C．(，1) D．(－，－1)
9．下面性质中，矩形不一定具有的是（ ）．
A．对角线相等 B．四个角都相等
C．是轴对称图形 D．对角线互相垂直
10．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，下面四个结论：①CF=2AF；②tan∠CAD= ；③DF=DC；④△AEF∽△CAB；⑤S四边形CDEF=S△ABF ,其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
11．关于矩形的判定，以下说法不正确的是（ ）
A．四个角相等的四边形是矩形 B．一个内角是直角且对角线相等的四边形是矩形
C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
12．如图，在矩形ABCD中，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点．若AB＝4，AD＝6，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．12 B．6 C．24 D．3
二、填空题
13．如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧；再以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D，连接AD，CD．若∠B＝65°，则∠BCD的大小是 °．
14．已知直角三角形斜边上的中线长为6，斜边上的高线长为4，则该三角形的面积为 ．
15．在Rt△ABC中，∠C=90°，点G是Rt△ABC的重心，如果CG=6，那么斜边AB的长等于 .
16．(1)三角形的中位线的定义：连结三角形两边 叫做三角形的中位线．
(2)三角形的中位线定理是三角形的中位线 第三边，并且等于 ．
17．菱形的面积：
（1）面积＝
（2）面积＝两条对角线的长的乘积的
三、解答题
18．如图，的两条高分别为、，为的中点．求证：．
19．如图在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，且BD＝CE，M、N分别是BE、CD的中点．过MN的直线交AB于P，交AC于Q，线段AP、AQ相等吗 为什么
20．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，CE平分∠ACB，交AD于点G，交AB于点E，EF⊥BC于点F.
求证：四边形AGFE是菱形．
21．（1）如图1，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两线交于点P，则四边形CODP的形状是 ；
（2）如图2，若题目中的矩形变为菱形，则四边形CODP的形状是 ；
（3）如图3，若题目中的矩形变为正方形，请判断四边形CODP的形状，并说明理由.
22．图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点．
（1）在图1中画出等腰直角三角形MON，使点N在格点上，且∠MON=90°；
（2）在图2中以格点为顶点画一个正方形ABCD，使正方形ABCD面积等于（1）中等腰直角三角形MON面积的4倍，并将正方形ABCD分割成以格点为顶点的四个全等的直角三角形和一个正方形，且正方形ABCD面积没有剩余（画出一种即可）．
23．如图1，是我国古代著名的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形围成，即
，其中四边形是正方形，四边形是正方形，如图2，将图1中的线段和线段分别延长到点和点，使，，连接，，，，得到四边形．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，求四边形的面积．
24．如图，在四边形中，，交于点交于点F，且．求证：四边形是平行四边形．
《第十八章平行四边形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D D B C A D A D D
题号 11 12
答案 B A
1．D
【分析】根据平行四边形的性质即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，点A（1，2），B（﹣1，0），C（3，0），
∴AD=BC=3+1=4，
故点D的坐标为（1+4，2），即（5，2）
故选：D．
【点睛】此题考查了坐标与图形，解题的关键是熟知平行四边形的性质．
2．D
【分析】先依据勾股定理以及相似三角形的性质，即可得到的长，再分三种情况，即可得到以、、、为顶点的平行四边形的周长，进而得出周长的最大值．
【详解】解：由勾股定定理得：，则；
过点作，垂足为，则，
则，
则，
，
由，得，
再由勾股定理得：；
如图1：周长；
如图2：周长；
如图3：周长为最长．
∵，并且
即，
故周长的最大值是
故选：．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，关键是作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理计算得到的长．
3．D
【分析】四边形ABCD的对角线互相平分，则说明四边形是平行四边形，由矩形的判定定理知，只需添加条件是对角线相等．
【详解】添加AC=BD，
∵四边形ABCD的对角线互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC=BD，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，
∴四边形ABCD是矩形，
故选D．
【点睛】考查了矩形的判定，关键是掌握矩形的判定方法：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形．
4．B
【分析】此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及等边三角形的判定与性质，证得是等边三角形以及是的中位线是解答本题的关键．
由中，，易得是等边三角形，又由，证得；继而证得，得；由、以及，可得；可得是三角形的中位线，证得．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
平分，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，故正确；
，
，故正确；
，，
，
，故错误；
，，，
，
，
，
，
，故错误；
故选：B．
5．C
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，熟悉菱形的判定方法是解答本题的关键，连结，，先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证明四边形是平行四边形，再利用一组邻边相等的平行四边形是菱形，证明四边形是菱形，然后证明是等边三角形，得到最后利用菱形的性质即可得到答案．
【详解】解：如图，连接，，
，，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，
垂直平分腰，
，
是等边三角形，
，
，
故选：C．
6．A
【分析】利用平行四边形的性质以及互余两角的关系求出∠B的度数即可.
【详解】解：∵在平行四边形ABCD中，AF⊥CD，
∴BA⊥AF，即∠BAF＝90°.
因为∠EAF＝60°，可得∠BAE＝30°.
∵AE⊥BC，
所以∠B＝90°－30°＝60°.
故选A.
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及互余两角的关系，熟记掌握相关知识是解题关键.
7．D
【分析】过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H，连接BD，DE，先证∠DHC=90 ，再证四边形ADEF是平行四边形，最后利用勾股定理得出结果．
【详解】过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H，连接BD，DE，
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=3，∠ADC=60 ，
∴CD=AB=3，∠DCH=∠ABC=∠ADC=60 ，
∵DH⊥BC，
∴∠DHC=90 ，∴∠ADC+∠CDH=90°，∴∠CDH=30°，
在Rt△DCH中，CH=CD=，DH=，
∴，
∵四边形BCEF是平行四边形，
∴AD=BC=EF，AD∥EF，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴AF∥DE，AF=DE=1，
∵AF⊥BE，
∴DE⊥BE，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练运用这些性质解决问题．
8．A
【详解】解：如图：过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E，
∵∠OAD+∠AOD=∠COE+∠AOD，
∴∠OAD=∠COE，
∵OC=OA，∠ODA=∠OEC=90°，
∴△OAD△OCE全等，
∴OE=AD=，CE=OD=1，
∴点C的坐标为（-，1），
故选A．
9．D
【分析】本题考查矩形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键．
根据矩形的性质逐项判断即可．
【详解】解：A、矩形的对角线平分、相等，故A正确，不符合题意；
B、矩形的四个角都是直角，故B正确，不符合题意；
C、矩形是轴对称图形，故C正确，不符合题意；
D、矩形对角线相等，不一定互相垂直，故D错误，符合题意．
故选D．
10．D
【分析】依据△AEF∽△CBF，即可得出CF=2AF；依据△BAE∽△ADC，即可得到tan∠CAD= ；过D作DM∥BE交AC于N，依据DM垂直平分CF，即可得出DF=DC；依据∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，即可得到△AEF∽△CAB；设△AEF的面积为s，则△ABF的面积为2s，△CEF的面积为2s，△CDE的面积为3s，四边形CDEF的面积为5s，进而得出S四边形CDEF=S△ABF
【详解】解：∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∵AE= AD= BC，
∴CF=2AF，故①正确，符合题意；
设AE=a，AB=b，则AD=2a，
∵BE⊥AC，∠BAD=90°，
∴∠ABE=∠ADC，而∠BAE=∠ADC=90°，
∴△BAE∽△ADC，
，即
，故②正确，符合题意；
如图，过D作DM∥BE交AC于N，
∵DE∥BM，BE∥DM，
∴四边形BMDE是平行四边形，
∴BM=DE= BC，
∴BM=CM，
∴CN=NF，
∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，
∴DN⊥CF，
∴DM垂直平分CF，
∴DF=DC，故③正确，符合题意；
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，
∵BE⊥AC于点F，
∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，
∴△AEF∽△CAB，故④正确，符合题意；
如图，连接CE，
由△AEF∽△CBF，可得
设△AEF的面积为s，则△ABF的面积为2s，△CEF的面积为2s，
∴△ACE的面积为3s，
∵E是AD的中点，
∴△CDE的面积为3s，
∴四边形CDEF的面积为5s，
∴S四边形CDEF=S△ABF，故⑤正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算以及解直角三角形的综合应用，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键．解题时注意：相似三角形的对应边成比例．
11．B
【分析】根据矩形的判定定理逐项分析即可．
【详解】A：四个角相等的四边形是矩形，该选项正确；
B：对角线相等的平行四边形是矩形，该选项错误；
C：对角线相等的平行四边形是矩形，该选项正确；
D：对角线互相平分且相等的四边形是矩形，该选项正确；
故选：B．
【点睛】本题考查矩形的判定定理，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．
12．A
【分析】连接AC，BD，FH，EG，得出平行四边形ABFH，推出HF＝AB＝2，同理EG＝AD＝4，求出四边形EFGH是菱形，根据菱形的面积等于×GH×HF，代入求出即可．
【详解】解：连接AC，BD，FH，EG，
∵E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，
∴AH＝AD，BF＝BC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，ADBC，
∴AH＝BF，AHBF，
∴四边形AHFB是平行四边形，
∴FH＝AB＝2，
同理EG＝AD＝4，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∵E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，
∴HGAC，HG＝AC，EFAC，EF＝AC，EH＝BD，
∴EH＝HG，GH＝EF，GHEF，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∴平行四边形EFGH是菱形，
∴FH⊥EG，
∴阴影部分EFGH的面积是×HF×EG＝×6×4＝12，
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，平行四边形的判定等知识点，关键是求出四边形EFGH是菱形．
13．115
【分析】根据以为圆心，以长为半径作弧；再以顶点为圆心，以长为半径作弧，得，，得四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质，即可求出．
【详解】∵以为圆心，以长为半径作弧；再以顶点为圆心，以长为半径作弧
∴，
∴四边形是平行四边形
∴
∴
∵
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查平行四边形的知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质．
14．24
【分析】根据直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半，求出斜边的长，再利用三角形面积公式即可求解．
【详解】解：∵直角三角形斜边的中线为6，
∵直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半，
∴该直角三角形的斜边长为，
∵直角三角形斜边上的高线为4，
∴直角三角形面积为：．
故答案为：24．
【点睛】本题主要考查了直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的知识，掌握直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，是解答本题的关键．
15．18
【详解】CD为斜边上的中线，如图，
∵点G是Rt△ABC的重心，
∴CG：GD=2：1，
∴DG=CG=×6=3，
∴CD=3+6=9，
∴AB=2CD=18．
故答案为18．
16． (1)中点的线段; (2)平行于三角形的 第三边的一半
【详解】(1)三角形的中位线的定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，
故答案为中点的线段；
(2)三角形的中位线定理是三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，
故答案为平行于三角形的，第三边的一半.
17． 底×高 一半
【解析】略
18．证明见解析．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，从而得证．
【详解】证明：∵是的高，为的中点，
∴，
∵是的高，为的中点，
∴，
∴．
【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
19．AP=AQ，理由见解析.
【详解】根据中位线定理证明MH=NH，进而证明∠HMN=∠HNM，∠HMN=∠PQA，所以△APQ为等腰三角形，即AP=AQ．
20．见解析
【详解】证明如图
∵AD⊥BC，∠BAC=90°，EF⊥BC，CE平分∠ACB
∴AD∥EF，∠4=∠5，AE=EF
∵∠1=180°-90°-∠4，∠2=180°-90°-∠5
∴∠1=∠2
∵AD∥EF
∴∠2=∠3，则∠1=∠3
∴AG=AE
∴AG=EF
∴四边形AGFE为平行四边形
又AE=FE
∴四边形AGFE为菱形
21．（1）四边形CODP的形状是菱形，理由见解析；（2）四边形CODP的形状是矩形，理由见解析；（3）四边形CODP的形状是正方形，理由见解析
【分析】（1）根据矩形的性质得出OD=OC，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形CODP是平行四边形，根据菱形的判定推出即可；
（2）根据菱形的性质得出∠DOC=90°，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形CODP是平行四边形，根据矩形的判定推出即可；
（3）根据正方形的性质得出OD=OC，∠DOC=90°，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形CODP是平行四边形，再根据正方形的判定推出即可.
【详解】(1)如图1，四边形CODP的形状是菱形，
理由是：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD,OA=OC=AC,OB=OD=BD，
∴OC=OD，
∵DP∥OC，DP=OC，
∴四边形CODP是平行四边形，
∵OC=OD，
∴平行四边形CODP是菱形；
(2)如图2，四边形CODP的形状是矩形，
理由是：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠DOC=90°，
∵DP∥OC，DP=OC，
∴四边形CODP是平行四边形，
∵∠DOC=90°，
∴平行四边形CODP是矩形；
故答案为：矩形；
(3)四边形CODP的形状是正方形，
理由是：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD,AC=BD,OA=OC=AC,OB=OD=BD，
∴∠DOC=90°，OD=OC，
∵DP∥OC，DP=OC，
∴四边形CODP是平行四边形，
∵∠DOC=90°，OD=OC
∴平行四边形CODP是正方形.
故答案为：正方形.
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的判定，矩形、菱形、正方形的性质和判定，主要考查学生的猜想能力和推理能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
22．（1）作图参见解析；（2）作图参见解析.
【详解】试题分析：（1）过点O向线段OM作垂线，此直线与格点的交点为N，连接MN即可；（2）根据勾股定理画出图形即可．
试题解析：（1）过点O向线段OM作垂线，此直线与格点的交点为N，连接MN，如图1所示；

（2）等腰直角三角形MON面积是5，因此正方形面积是20，如图2所示；于是根据勾股定理画出图3：
考点：1.作图﹣应用与设计作图；2.勾股定理.
23．(1)见详解
(2)
【分析】（1）由全等三角形的性质得，，，因为，，所以，可推导出，，进而证明及，则，，所以四边形是平行四边形；
（2）由，，得，，则，，求得，，，则．
【详解】（1）（1）证明：，
，，，
，，
，
，，
，，
在和中，
，
，
；
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形．
（2）解：，，
，，
，，
，，
，，
四边形是正方形，
，
，
四边形的面积是86．
【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、根据转化思想求图形的面积等知识与方法，证明及是解题的关键．
24．见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定，平行线的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，关键是推出，主要考查学生运用性质进行推理的能力．
由垂直得到，根据可证明，得到，根据平行四边形的判定判断即可．
【详解】证明：∵，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形．
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