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第十九章一次函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．函数的自变量x的取值范围为　　
A． B． C． D．且
2．一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，则的面积为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
3．如图，直线分别与轴、轴交于点，，在轴上有一点，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴向左运动，设运动的时间为，连接．当运动到与全等时，的值为（ ）
A．2 B．4 C．2或4 D．2或6
4．数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y=x+5和直线y=ax+b,相交于点P ,根据图象可知，方程x+5=ax+b的解是（ ）
A．x=20 B．x=5 C．x=25 D．x=15
5．一个蓄水池现储水，有两个进水口和一个放水口．现关闭所有进水口，打开放水口匀速放水，水池中的水量和放水时间的关系如下表所示，则下列说法不正确的是（ ）
放水时间（） 1 2 3 4 …
水池中水量（） 95 90 85 80 …
A．放水时间是自变量，水池中的水量是放水时间的函数 B．放水口每分钟出水
C．放水后，水池中的水全部放完 D．放水后，水池中还有水
6．如图，在平面直角坐标系中有两条直线：：，：，对点作如下操作．第1步，作点关于的对称点；第2步，作关于的对称点；第3步，再作关于的对称点；第4步，再作关于的对称点以此类推，问：点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．要使函数y＝(m﹣2)xn﹣1+n是一次函数，应满足(　　)
A．m≠2，n≠2 B．m＝2，n＝2 C．m≠2，n＝2 D．m＝2，n＝0
8．一次函数与图象的交点为，则方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
9．一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形面积是(　 　)
A．4 B．8 C．16 D．32
10．下列四个选项中符合一次函数的性质的是（ ）
A．随的增大而增大 B．其图像经过第一、三、四象限
C．其图像经过点 D．其图像与轴的交点坐标是
11．已知在正比例函数的图象中，y随x的增大而减小，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点是y轴上一点．把坐标平面沿直线折叠，使点B刚好落在x轴上，则a值为（ ）.
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点O为圆心、的长为半径画弧，交直线于点，过点作轴，交直线于点；以点O为圆心、的长为半径画弧，交直线于点，过点作轴，交直线于点；以点O为圆心、的长为半径画弧，交直线于点；…按照此规律进行下去，点的坐标为 ．
14．若一次函数的图象经过第一，三，四象限，且关于的分式方程的解为非负数，则满足条件的取值范围为 ．
15．从大村到黄岛的距离为60千米，一辆摩托车以平均每小时35千米的速度从大村出发到黄岛，则摩托车距黄岛的距离y（千米）与行驶时间t（时）的函数表达式为 ．
16．由一次函数的图象经过，可知方程的解为 ．
17．已知一次函数y＝﹣2x+5，若﹣1≤x≤2，则y的最小值是 ．
三、解答题
18．匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中为一折线）．这个容器的形状是下图中哪一个？匀速地向另两个容器注水时，你能画出水面高度h随时间t变化的图象（草图）吗？
19．如图，某植物天后的高度为，反映了与之间的关系．根据图象回答下列问题：
（1）3天后该植物高度为多少
（2）预测该植物12天后的高度；
（3）几天后该植物的高度为
（4）图象对应的一次函数中，和的实际意义分别是什么
20．为提升学生的文学素养，培养学生的阅读兴趣，某校准备购进A，B两种图书．经调查，购进A种图书费用y元与购进A种图书本数x之间的函数关系如图所示，B种图书每本20元．
(1)当和时，求y与x之间的函数关系式；
(2)现学校准备购进300本图书，其中购进A种图书x本，设购进两种图书的总费用为w元．
①当时，求出w与x间的函数表达式；
②若购进A种图书不少于60本，且不超过B种图书本数的2 倍，那么应该怎样分配购买A，B两种图书才能使总费用最少？最少总费用多少元？
21．已知：如图，直线：y＝﹣x＋4分别交x，y轴于A、B两点．以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC，∠BAC＝90°；直线l2经过点C与点D（4，0），且与直线l1在x轴下方相交于点E
（1）请求出直线l2的函数关系式；
（2）求出△ADE的面积；
（3）在直线l2上不同于点E，是否存在一点P，使得△ADP与△ADE面积相等，如若存在，请求出点P的坐标；如若不存在，请说明理由；
（4）在坐标轴上是否存在点F，使△BCF的面积与四边形ABCD的面积相等？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
22．如图，已知两直线y＝－x＋3和y＝2x－1，求它们与y轴所围成的三角形的面积.
23．星期天8：00～8：30，燃气公司给平安加气站的储气罐注入天然气．之后，一位工作人员以每车20立方米的加气量，依次给在加气站排队等候的若干辆车加气．储气罐中的储气量y（立方米）与时间x（小时）的函数关系如图所示．
（1）8：00～8：30，燃气公司向储气罐注入了多少立方米的天然气；
（2）当x≥0.5时，求储气罐中的储气量y（立方米）与时间x（小时）的函数解析式；
（3）请你判断，正在排队等候的第18辆车能否在当天10：30之前加完气？请说明理由．
24．一次函数的图象经过点(﹣2，12)和(3，﹣3)．
(1)求这个一次函数的表达式．
(2)画出这条直线的图象．
(3)设这条直线与两坐标轴的交点分别为A、B，求△AOB的面积．
《第十九章一次函数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B D A D A C D C C
题号 11 12
答案 A A
1．D
【详解】试题解析：根据题意得：x+1≥0且x-1≠0，
解得：x≥－1且 x≠1．
故选D．
2．B
【分析】本题考查的是一次函数与坐标轴的交点坐标问题，熟练的求解函数与坐标轴的交点坐标是解本题的关键．根据当函数图象与x轴相交时，函数图象与y轴相交时，结合已知函数解析式可得A、B两点的坐标；由A、B两点的坐标求出中两直角边的长度，再根据三角形的面积计算公式求出的面积．
【详解】解：∵一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，
∴当时，，当时，，则，
∴，，
∴．
故选：B．
3．D
【分析】由直线的函数解析式，令求点坐标，求点坐标；根据题意可知，，则，所以，则时间内移动了，可算出值．
本题考查了一次函数的性质，全等三角形的判定与性质，理解全等三角形的判定定理是关键．
【详解】解：对于直线，
当时，；当时，，
，，
，
∵当运动到与全等时
∴，分为两种情况：
①当在上时，，
，
动点从点以每秒1个单位的速度沿轴向左移动2个单位，所需要的时间是2秒钟；
②当在的延长线上时，，
则，此时所需要的时间（秒），
故选：D．
4．A
【分析】两直线的交点坐标为两直线解析式所组成的方程组的解．
【详解】解：由图可知：
直线y=x+5和直线y=ax+b交于点P（20，25），
∴方程x+5=ax+b的解为x=20．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程：任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0 （a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．
5．D
【分析】根据题意可得蓄水量y=100-5t，然后逐项判断即可．
【详解】解：设蓄水量为y，时间为t，则可得y=100-5t，
A、放水时间是自变量，水池中的水量是放水时间的函数，正确，不符合题意；
B、放水口每分钟出水（m3），正确，不符合题意；
C、当t=20时，y=100-5×20=0，故放水20min后，水池中的水全部放完，不符合题意；
D、当t=8时，y=100-5×8=60，故此项错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了函数关系式，常量与变量，解答本题的关键是根据题意确定函数关系式．
6．A
【分析】标出点，连接、、、、、，取直线：：上的点，取点，取点，取直线：：上的点，连接，取点，连接点、、，得到，过点作轴于点，得出，进而推出，，证明和是等边三角形，于是得出，，根据轴对称变换，分析、、、、，和坐标轴的夹角，得出，利用含度角的直角三角形的性质，得出，然后根据勾股定理得出，据此即可得出点的坐标．
【详解】解：如图，标出点，连接、、、、、，取直线：：上的点，取点，取点，取直线：：上的点，连接，取点，连接点、、，得到，过点作轴于点，
∴轴，轴，，
，
，
，
，
∴，
，
和是等边三角形，
∴，，
∴第1步，作点关于的对称点落在轴上，
第2步，作关于的对称点落在轴上，
第3步，作关于的对称点，和轴的夹角，
第4步，作关于的对称点，和轴的夹角，
继续作关于的对称点，和轴的夹角，即，
∴，
，
∴点的坐标为，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，坐标与图形变化——轴对称，等边三角形的判定与性质，含度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握坐标与图形变化——轴对称是解题的关键．
7．C
【分析】根据y=kx+b（k、b是常数，k≠0）是一次函数，可得m-2≠0，n-1=1，求解即可得答案．
【详解】解：∵y=（m﹣2）xn﹣1+n是一次函数，
∴m﹣2≠0，n﹣1=1，
∴m≠2，n=2，
故选C．
【点睛】本题考查了一次函数，y=kx+b，k、b是常数，k≠0，x的次数等于1是解题关键．
8．D
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，满足函数解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点就一定满足函数解析式，函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．
根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解即可得到答案．
【详解】解：一次函数与图象的交点为
方程组的解是，
故选：D ．
9．C
【分析】当x=0时，求出函数与y轴的交点坐标；当y=0时，求出函数与x轴的交点坐标；然后即可求出一次函数y=2x+8与坐标轴围成的三角形面积．
【详解】当x=0时，y=8，与y轴的交点坐标为（0，8）；
当y=0时，x=-4，与x轴的点坐标为（-4，0）；
则三角形的面积为×|-4|×8=16．
故选C．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据题意求出与x轴的交点坐标、与y轴的交点坐标是解题的关键．
10．C
【分析】根据一次函数图像的性质，一次函数与坐标轴的交点坐标的计算等知识即可求解．
【详解】解：一次函数中，，，
∴图像经过第一、二、四象限，随的增大而减小，函数图像与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标是，
∴选项，随的增大而增大，故选项错误，不符合题意；
选项，其图像经过第一、二、四象限，故选项错误，不符合题意；
选项，当时，，故选项正确，符合题意；
选项，其图像与轴的交点坐标是，故选项错误，不符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查一次函数图像的性质，理解并掌握一次函数图像的性质是解题的关键．
11．A
【分析】本题考查正比例函数的性质．根据y随x的增大而减小，得到，求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴，
故选：A．
12．A
【分析】过C作CD⊥AB于D，先求出A，B的坐标，分别为（12，0），（0，5），得到AB的长，再根据折叠的性质得到AC平分∠OAB，得到CD=CO=a，DA=OA=12，则DB=13-12=1，BC=5-a，在Rt△BCD中，利用勾股定理得到a的方程，解方程求出n即可．
【详解】解：过C作CD⊥AB于D，如图，
对于直线，
当x=0，得y=5,
当y=0，x=12，
∴A（12，0），B（0，5），即OA=12，OB=5，
∴AB= ，
又∵坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上，
∴AC平分∠OAB，
∴CD=CO=a，则BC=5-a，
∴DA=OA=12，
∴DB=13-12=1，
在Rt△BCD中，DC2+BD2=BC2，
∴a2+12=（5-a）2，
解得a=,
故选：A．
【点睛】本题考查了求直线与坐标轴交点的坐标的方法：分别令x=0或y=0，求对应的y或x的值；也考查了折叠的性质和勾股定理．
13．
【分析】由A1（1，2），OA1=OB1，设，可求得B1为（2，1），同理可得A2（2，4），B2（4，2），找出规律，即可求得B2022的坐标．
【详解】解：∵点B1在直线上，
∴设B1的坐标为，
∵A1（1，2），OA1=OB1，
∴ ， 解得：a1=2，a2=-2（舍去），
∴设B1的坐标为（2，1），
同理可得： A2的坐标为（2，4），B2的坐标为（4，2），
A3的坐标为（4，8），B3的坐标为（8，4），
…
归纳可得：A2022的坐标为，B2022的坐标为，
故答案为．
【点睛】本题考查了图形的坐标规律的探究，正比例函数的性质，勾股定理的应用，根据题意求得点的坐标之间的内在联系，是解决问题的关键．
14．且
【分析】根据一次函数经过第一、三、四象限则得到；再解分式方程得到，结合分式方程解得情况求解即可．
【详解】解：∵一次函数的图象经过第一，三，四象限，
∴，
解得；
去分母得：，
去括号得：，
∴，
∵关于的分式方程的解为非负数，
∴，
解得且，
综上所述，且，
故答案为：且．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，根据分式方程解的情况求参数，解一元一次不等式组，灵活运用所学知识是解题的关键．
15．y=60﹣35t．
【详解】试题分析：根据题意可得摩托车距黄岛的距离y=大村到黄岛的距离为60千米﹣摩托车行驶t的距离．
解：由题意得：y=60﹣35t，
故答案为y=60﹣35t．
【点评】此题主要考查了列函数解析式，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
16．
【分析】方程3x+9=1的解就是一次函数y=3x+9当y=1时对应的x的值，由于一次函数过点 ，即当时，y=1，由此可得答案．
【详解】解：由于一次函数的图象经过点，即把，代入函数的表达式中所得的等式成立，即，能使方程成立，所以方程的解为．
【点睛】本题考查的是一次函数与一元一次方程的关系，对一次函数来说，图象上的一个点（m，n）表示一次方程的解是x=m，就象本题，一次函数的图象经过点，意味着方程3x+9=1的解是．
17．1
【分析】根据一次函数的性质得出其增减性，进而解答即可．
【详解】解：∵一次函数y＝﹣2x+5，k＝﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵﹣1≤x≤2，
∴当x＝2时，y的最小值是1，
故答案为1
【点睛】此题主要考查了一次函数，根据一次函数的性质得出其增减性是解答此题的关键．
18．（3）；见解析．
【分析】从图中可以看出，OA上升较快，AB上升较慢，BC上升最快，依次分析三个容器的容积即可得．
【详解】解：从图中可以看出，OA上升较快，AB上升较慢，BC上升最快，
从（1）可以看出，下面容积最大，中间容积较大，上面容积最小，
从（2）可以看出，下面容积最小，中间容积最大，上面容积较大，
从（3）可以看出，下面容积较大，中间容积最大，上面容积最小，
则题中所给的图象对应的容器的形状是（3）；
（1）图像如下

（2）图像如下：
【点睛】本题考查了函数的图象，解题的关键是依次分析容器的容积．
19．（1）；（2）；（3）10天；（4）表示植物增长的速度，表示开始时植物的高度．
【分析】（1）设y与t之间的函数解析式为，然后把（0，3），（10，10）代入求解即可；
（2）根据（1）所求把代入函数关系式求解即可；
（3）根据函数图像求解即可；
（4）根据题意可知k表示植物的增长的速度，b表示开始时植物高度．
【详解】解：（1）设y与t之间的函数解析式为，把（0，3），（10，10）代入得
由题意得： ，
∴，
∴y与t之间的函数解析式为，
∴当时，，
∴3天后该植物高度为5.1cm；
（2）当时，，
∴预测12天后该植物高度为11.4cm；
（3）由函数图像可知，在第10天后植物的高度达到10cm；
（4）k表示植物的增长的速度，b表示开始时植物高度．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键在于能够熟练掌握一次函数的相关知识．
20．(1)
(2)①；②购买A种200本，B种100本时，总费用最少，最少总费用为5800元
【分析】(1)根据函数关系图示，分别求y与x之间的函数关系式即可；
(2)结合上面数据，①当时，求出w与x间的函数表达式即可；
②根据题意求得，再利用一次函数的性质求得最少总费用即可．
【详解】（1）解：当时，设，
将代入解析式，得，
解得，
，
当时，设，
将、分别代入解析式，
得
解得，
，
综上，；
（2）解：①当时，
；
②，，
，
此时，
，
随x的增大而减小，
当时，w最小，最小值为：，
故购买A种200本，B种100本时总费用最少，最少总费用为5800元．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图像和性质的应用，采用分段讨论的思想是解决本题的关键．
21．（1）y=x-4；（2）；（3）存在，；（4）存在，F坐标为（0，8）或（0，0）或（56，0）
【分析】（1）先求得A，B两点坐标，然后过点C作CM⊥x轴于点M，利用AAS定理证明△BOA≌△AMC，确定C点坐标，然后利用待定系数法求函数解析式；
（2）联立方程组求得E点坐标，然后利用三角形面积公式进行计算；
（3）结合两个三角形等底的特点，当两个三角形等高时面积相等，从而求解；
（4）分点F在x轴或y轴两种情况，结合三角形和四边形面积列方程求解．
【详解】解：（1）在y=-x+4中，
令x=0，则y=4，
∴B（0，4），
令y=0，则x=3，
∴A（3，0），
过点C作CM⊥x轴于点M，
∵∠BOA=∠BAC=∠AMC=90°，
∴∠OBA+∠OAB=∠CAM+∠OAB=90°，
∴∠OBA=∠CAM，
又∵AB=AC，
∴△BOA≌△AFC（AAS），
∴AM=BO=4，CM=OA=3，
∴OM=OA+AM=7，
∴C点坐标为（7，3），
设直线l2的函数关系式为y=kx+b，
将D（4，0），C（7，3）代入，
得：，
解得：，
∴直线l2的函数关系式为y=x-4；
（2）联立方程组
，
解得：，
∴E点坐标为，
∴S △ADE =AD yE=×(4-3)×=，
即△ADE的面积为；
（3）设直线l2上点P坐标为（x，x-4），
∵△ADP与△ADE等底，
∴当△ADP与△ADE面积相等时，
x-4=，解得：x=，
∴P点坐标为（，）；
（4）在Rt△AOB中，，
S四边形ABCD=S梯形BOMC-S△AOB-S△CDM=×(3+4)×7-×3×4-×3×3=14，
①当点F在y轴上时，设F点坐标为（0，y），
∵△BCF的面积与四边形ABCD的面积相等，
∴|y-4|×7=14，
解得：y=8或y=0，
∴F点坐标为（0，8）或（0，0），
②当F点在x轴上时，设F点坐标为（m，0），
若F点在O点左侧，
此时S△BCF=S△BOF+S梯形BOMC-S△FCM=14，
∴×4×(-m)+×7×7-×(7-m)=14，
解得：m=0（不合题意，舍去），
若点F在线段OM上，
此时S△BCF=S梯形BOMC-S△BOF-S△FCM=14，
∴×7×7-×3m-×3(7-m)=14，
此时方程无解，
若点F位于M点右侧，
此时S△BCF=S△FCM+S梯形BOMC-S△BOF=14，
∴×3(m-7)+×7×7-×3m=14，
此时方程无解，
或S△BCF=S△BOF-S△FCM-S梯形BOMC=14，
×4m-×7×7-×3(m-7)=14，
解得：m=56，
∴F点坐标为（56，0），
综上，F点坐标为（0，8）或（0，0）或（56，0）．
【点睛】本题考查一次函数的应用，待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定和性质，理解一次函数的性质，利用数形结合和分类讨论思想解题是关键．
22．两直线y＝－x＋3和y＝2x－1与y轴所围成的△ABC的面积为3.
【分析】由图象可知道A，B的坐标，由两条直线的解析式可得出交点的坐标，有了A，B，C三点的坐标，就能求出三角形ABC的面积．
【详解】解：设直线y＝－x＋3与y轴的交点是A，直线y＝2x－1与y轴的交点是B，两直线的交点是C.
在y＝－x＋3中，令x＝0，得y＝3，即点A的坐标为（0，3）；
在y＝2x－1中，令x＝0，得y＝－1，即点B的坐标为（0，－1）；
由解得
所以两直线的交点坐标为C（，2），
即AB＝4，点C到AB的距离为.
则两直线y＝－x＋3和y＝2x－1与y轴所围成的△ABC的面积＝×4×＝3.
23．（1）8000立方米；（2）y=﹣200x+10100．（3）可以，见解析
【分析】（1）由图象可知，加气站原来有2000方气，加气结束后变为10000方，由此即可求出注入了多少方天然气；
（2）x≥0.5时，可设y=kx+b，由图象知，该直线过点（0.5，10000），（10.5，8000），利用方程组即可求解；
（3）第18辆车在10：30之前能否加完气，就要看前18辆车加气所用时间是否超过2小时即可．
【详解】解：（1）由图可知，星期天当日注入了10000﹣2000=8000立方米的天然气；
（2）当x≥0.5时，设储气罐中的储气量y（立方米）与时间x（小时）的函数解析式为：y=kx+b（k，b为常数，且k≠0），
∵它的图象过点（0.5，10000），（10.5，8000），
∴，
解得．
故所求函数解析式为：y=﹣200x+10100．
（3）可以．
∵给18辆车加气需18×20=360（立方米），储气量为10000﹣360=9640（立方米），
于是有：9640=﹣200x+10100，
解得：x=2.3，
2.3﹣0.5=1.8（小时）
而从8：30到10：30相差2.0小时，显然有：1.8＜2.0．
故第18辆车在当天10：30之前能加完气．
24．(1)y=﹣3x+6；(2)画图见解析；(3)9.
【分析】（1）利用待定系数法即可求得直线AB的解析式；
（2）利用两点法画出直线即可；
（3）在解析式中令x=0，即可求得与y轴的交点，令y=0，即可求得与x轴的交点，然后根据三角形的面积公式求解．
【详解】（1）设直线AB的解析式是y=kx+b，
根据题意得：，
解得：，
则函数的解析式是y=﹣3x+6
(2)画出函数图形如图：
(3) y=﹣3x+6中，令x=0，解得：y=6，则B的坐标是(0，6)；
令y=0，解得：x=2，则A的坐标是(2，0)．
则△AOB的面积是：×3×6=9
【点睛】本题考查了用待定系数法求函数的解析式．熟练掌握待定系数法是解题的关键．
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