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专题04 二元一次方程组
核心考点聚焦
二元一次方程
二元一次方程组的概念
解二元一次方程组
三元一次方程组
用二元一次方程组解决问题
一、二元一次方程概念及解
1.定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。识别方法需注意“二元”即含有两个未知数，“一次”即含未知数的次数是1，“整式方程”即未知数不能出现在分母中。
2.二元一次方程的解：适合二元一次方程的一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解。需注意二元一次方程的每一个解都是一对数值，而不是一个数；一般情况下，一个二元一次方程有无穷多个解，但如果对其未知数的取值附加某些限制条件，那么也可能只有有限个特殊的解。
二、二元一次方程组概念及解
1.方程组：两个或两个以上的方程的组合叫做方程组。
2.二元一次方程组：把含有两个未知数的两个一次方程联立在一起，就组成了一个二元一次方程组。需注意含有两个整式方程；方程中共含有两个未知数；含未知数的项的次数都是1。
3.二元一次方程组的解：二元一次方程组中两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解。需注意方程组的解同时满足方程组中的每一个方程；由于方程组需用“{”括起来，所以方程组的解也要用“{”括起来。二元一次方程组解的情况包括唯一解、无数解和无解。
三、二元一次方程组的解法
1.代入消元法：将方程组的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，并代入另一个方程，消去一个未知数，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程。这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法。
2.加减消元法：把方程组的两个方程（或先作适当变形）相加或相减，消去其中一个未知数，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程。这种解方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法。
四、实际问题与二元一次方程组
在解决实际问题时，首先要弄清题意和题目中的数量关系，用字母（如x，y）表示题目中的两个未知数；然后找出能够表达实际问题全部含义的两个相等关系；接着根据这些相等关系列出方程组；之后解这个方程组，求出未知数的值；最后检验求出的解是否符合实际意义，并写出答案。
五、三元一次方程组
1.定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的求知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组。
2.应用：列三元一次方程组解应用题的一般步骤包括弄清题意和题目中的数量关系，用字母（如x，y，z）表示题目中的两个（或三个）未知数；找出能够表达应用题全部含义的相等关系；根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；解这个方程组，求出未知数的值；写出答案（包括单位名称）。
难点强化一、二元一次方程组求参
1．若关于x、y的方程组和有相同的解，则的值为（ ）
A．0 B． C．1 D．2021
2．已知关于x，y的二元一次方程组（为实数）．
（1） （用含的式子表示）；
（2）若方程组的解也是方程（为整数，且不等于0或-6）的解，也是整数，则的最大值为 ．
3．已知关于的二元一次方程组．
(1)当时，求这个方程组的解．
(2)若该方程组的解满足等式，求的值．
(3)在（2）的条件下，某同学在解关于的方程组时，将中的看成了6，“”写成了“”，结果得到方程组的解为，而方程组正确的解为，求的值．
难点强化二、二元一次方程组的整数解
1．如果的解是整数，那么可能的值是（ ）
A． B． C． D．
2．已知为正整数，且方程组的解，均为整数，则的值是 ．
3．阅读下列材料，解答下面的问题：
我们知道方程有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．例：由，得为正整数，要使为正整数，则为正整数，可知：为3的倍数，从而，代入，所以的正整数解为
问题：
(1)请你直接写出方程的正整数解___________；
(2)若为自然数，则满足条件的正整数的值有___________；
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
(3)关于的二元一次方程组的解是正整数，求整数的值．
难点强化三、二元一次方程组的整体带入
1．已知关于的二元一次方程组的解为，若满足二元一次方程组，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
2．已知方程组的解是，可得方程组的解是 ．
3．阅读探索：
材料一：解方程组时，采用了一种“换元法”的解法，解法如下：
解：设，原方程组可化为解得，即，解得；
材料二：解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下：
解：将方程②，变形为③，把方程①代入③得，，则；把代入①得，，所以方程组的解为：；
根据上述材料，解决下列问题：
(1)运用换元法解求关于，的方程组：的解；
(2)若关于，的方程组的解为，求关于，的方程组的解．
(3)已知、、，满足，试求y的值．
难点强化四、二元一次方程组的解决应用
1．在纸盒制作的劳动实践课上，对规格是的原材料板材进行裁剪得到型长方形纸板和型正方形纸板为了避免材料浪费，每张原材料板材先裁得张的纸板条，每张纸板条又恰好可以裁得张型长方形纸板或张型正方形纸板，如图所示．（单位：）
(1)每张原材料板材可以裁得型纸板______张或裁得型纸板______张；
(2)现有张原材料板材全部裁剪每张原材料板材只能一种裁法得到型与型纸板当侧面和底面，做成如图所示的竖式无盖长方体纸盒和横式无盖长方体纸盒，若横式无盖长方体纸盒个数为竖式无盖长方体纸盒个数的两倍，问：怎样裁剪才能使剪出的，型纸板恰好用完，两种纸盒各做多少个？
2．某超市购进A、B型两种大米销售，其中两种大米的进价、售价如下表：
类型 进价（元/袋） 售价（元/袋）
A型大米 20 30
B型大米 30 45
(1)该超市在6月份购进A、B型两种大米共90袋，进货款恰好为2200元，求这两种大米各购进多少袋？
(2)为刺激销量，超市决定在进货款仍为2200元的情况下，7月份增加购进C型大米作为赠品，进价为每袋10元，并出台了“买3袋A型大米送1袋C型大米，买3袋B型大米送2袋C型大米”的促销方案，若7月份超市的购进数量恰好满足上述促销搭配方案，此时购进3种大米各多少袋？
3．如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．利用图中信息解决下列问题：
物理常识开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为“开水的体积×开水降低的温度=温水的体积×温水升高的温度”．
(1)王老师拿空水杯先接了的温水，又接了的开水，刚好接满，且水杯中的水温为．①王老师的水杯容量为________；
②若不计热损失，请求此时的值；
(2)嘉琪同学拿空水杯先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯体积为，温度为的水（不计热损失），求嘉琪同学接温水和开水的时间分别为多少？
难点强化五、二元一次方程组的整体思想
1．已知关于，的二元一次方程组，求的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得，的值再代入求值，可得到答案．此常规思路运算量比较大，其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，就可以通过适当变形，求得该整式的值，例如由可得，这种解题思想就是通常所说的“整体思想”．根据上述材料解答下面问题：
(1)已知方程组，由可得__________；
(2)用“整体思想”解答：已知方程组，求的值；
(3)请说明在关于，的方程组中，无论取何值，的值始终不变．
2．【阅读理解】已知方程组，求的值．本题常规解题思路是，解方程组得的值，再代入得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察方程组中两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
(1)【模仿应用】已知方程组，请用整体思想求的值；
(2)【解决问题】某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔，3块橡皮和2本日记本共需32元，买39支铅笔，5块橡皮和3本日记本共需58元，则购买5支铅笔，5块橡皮和5本日记本共需多少元？
(3)【拓展延伸】对于有理数，定义新运算，其中是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知．求的值．
3．阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x、y满足①，②，求和的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①－②可得，由①＋②×2可得解得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
(1)已知二元一次方程组则______，______；
(2)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
(3)对于实数x、y，定义新运算：解得，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知，，那么______．
难点强化六、二元一次方程组的整除问题
1．已知一个三位数，如果它的百位数字加上2与十位数字加上5的和等于个位数字加上8，则称这个三位数叫“258数”．如：245，∵，∴245是“258数”；437，∵，，，∴437不是“258数”．
(1)请根据材料判断526和738是不是“258数”，并说明理由；
(2)若“258数”（，且a，b、c均为整数）能被3整除，请求出所有符合题意的m的值．
2．定义：对于三位自然数，各位数字都不为，且它的百位数字的倍与十位数字和个位数字之和恰好能被整除，则称这个自然数为“博雅数”．例如：是“博雅数”，因为，，都不为，且，能被整除；不是“博雅数”，因为，不能被整除．
(1)判断，是否是“博雅数”？并说明理由；
(2)求出百位数字比十位数字大的所有“博雅数”，并说明理由．
3．如果把一个正整数各数位上数字从最高位到个位依次排出一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的正整数叫做“完美数”．例如：自然数64746从最高位到个位排出的一串数字是：6、4、7、4、6，从个位到最高排出的一串数字也是：6、4、7、4、6，所以64746是“完美数”．再如：33，181，212，4664，…，都是“完美数”．
(1)若由、（、均为的正整数）组成的两位数、，则与的和一定能被_______整除；
(2)现有一个四位数，若它是“完美数”，则这个“完美数”一定能被_______整除；
(3)现有一个三位“完美数”，、、均为的正整数，若这个“完美数”正好能被9整除，请直接写出符合条件的所有“完美数”．
难点强化七、二元一次方程组的新定义应用
1．定义：当两个数x，y满足，则称x与y具有“友好关系”．
(1)判断方程组的解x，y是否具有“友好关系”？说明你的理由．
(2)若方程组的解x，y具有“友好关系”，请求出方程组的解及a，b的正整数值．
2．定义：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”，如二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”.
(1)直接写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”：______
(2)二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出m，n的值.
3．定义：若点满足，则称点p为关于x，y的二元一次方程的融合点．
(1)若点为方程的融合点，则　 　；（直接写出答案）
(2)u，v为正整数，且点为方程的融合点．求u，v的值；
(3)m，s，t，k为实数，点与点都是方程的融合点，且，求k的值．
真题感知
1．（2023·江苏无锡·中考真题）下列4组数中，不是二元一次方程的解是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·江苏宿迁·中考真题）若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于x、y的方程组的解是 ．
3．（2024·江苏盐城·中考真题）中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题，大意是：现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿子，绳索比竿子长5尺；若将绳索对折去量竿子，绳索就比竿子短5尺，问绳索、竿子各有多长？该问题中的竿子长为 尺．
4．（2023·江苏盐城·中考真题）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：“几个人一起去购买某物品，每人出8钱，则多出3钱；每人出7钱，则还差4钱．问人数、物品的价格分别是多少？”该问题中的人数为 .
5．（2024·江苏徐州·中考真题）中国古代数学著作《张邱建算经》中有一道问题；“今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人各有钱币若干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？请用二元一次方程组解答上述问题．
6．（2024·江苏苏州·中考真题）解方程组：．
7．（2023·江苏连云港·中考真题）解方程组
答案与解析
难点强化一、二元一次方程组求参
1．若关于x、y的方程组和有相同的解，则的值为（ ）
A．0 B． C．1 D．2021
【答案】B
【分析】将方程组中不含的两个方程联立，求得的值，代入，含有的两个方程中联立求得的值，再代入代数式中求解即可．
【详解】解：由题意，得，
解得．
把代入方程组中，得，
①＋②，得．
∴．
故选B．
2．已知关于x，y的二元一次方程组（为实数）．
（1） （用含的式子表示）；
（2）若方程组的解也是方程（为整数，且不等于0或-6）的解，也是整数，则的最大值为 ．
【答案】 / 10
【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，根据二元一次方程组的解的情况确定参数的取值及分式求值，正确地求得二元一次方程组的解是解决问题的关键．
（1）两式相加化简即可得出结果；
（2）解方程组，用用含p的式子表示的解，再代入，求出，根据题意即可解答．
【详解】解：（1），
两式相加得：，
，
故答案为：；
（2），
①②得：，解得：，
将代入②得：，解得：，
方程组的解也是方程的解，
，
，
q为整数，且q不等于0或，
或，
p是整数，
时，有最大整数值，则有最大整数值，
，
故答案为：．
3．已知关于的二元一次方程组．
(1)当时，求这个方程组的解．
(2)若该方程组的解满足等式，求的值．
(3)在（2）的条件下，某同学在解关于的方程组时，将中的看成了6，“”写成了“”，结果得到方程组的解为，而方程组正确的解为，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查解二元一次方程组，涉及加减消元法解二元一次方程组，读懂题意，掌握二元一次方程组解法是解决问题的关键．
（1）将代入原方程组，由加减消元法解二元一次方程组即可得到答案；
（2）由加减消元法解二元一次方程组得到、，由方程组的解满足等式，将、代入，得到关于的一元一次方程求解即可得到答案；
（3）在（2）的条件下，，根据题意，将代入关于的方程组求解得到，再将代入关于的方程组求解得到，即可得到答案．
【详解】（1）解：当时，，
整理得，
由①②得，
；
将代入①得，
；
当时，这个方程组的解为；
（2）解：，
整理得，
由①②得，
；
将代入①得，
；
，解得；
（3）解：在（2）的条件下，，
是关于的方程组的解，
；
是关于的方程组的解，
，
解得，
综上所述，，
．
难点强化二、二元一次方程组的整数解
1．如果的解是整数，那么可能的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的知识点是解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握二元一次方程组的解法．
首先解方程组求得方程组的解，然后根据方程组的解是整数，把选项中的数据代入验证即可．
【详解】解：，
由①得：，
代入②得：，
则，
则，
即方程组的解是：，
则在可能的取值，，，中只有能使，的值是整数．
故选：．
2．已知为正整数，且方程组的解，均为整数，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
解出、，再根据解的情况求出的值即可．
【详解】解：解方程组，得，
为正整数，
必为正整数，
又、均为整数，
为和的公约数，
或，
解得：（舍去）或，
，
故答案为：．
3．阅读下列材料，解答下面的问题：
我们知道方程有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．例：由，得为正整数，要使为正整数，则为正整数，可知：为3的倍数，从而，代入，所以的正整数解为
问题：
(1)请你直接写出方程的正整数解___________；
(2)若为自然数，则满足条件的正整数的值有___________；
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
(3)关于的二元一次方程组的解是正整数，求整数的值．
【答案】(1)
(2)B
(3)或
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解的应用，能灵活运用知识点求出特殊解是解此题的关键．
（1）先仿照题意得到，再根据x、y是正整数求解即可；
（2）根据题意得出的值为6或3或2或1，据此求解即可；
（3）利用加减消元法消去x，用含k的式子表示出y，根据y为正整数求出k的值，再带回验证x的值是否为正整数即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵x、y都是正整数，
∴x必须是2的倍数，
∴当时，，
∴方程的正整数解为；
（2）解：解：∵为自然数，
∴的值为6或3或2或1，
∴正整数x的值有9，6，5，4，共4个，
故选：B；
（3）解：解：，
得：，
解得：，
，是正整数，是整数，
∴的值为1或3，
或，
当时，此时,则，解得，符合题意；
当时，此时,则，解得，符合题意；
∴或。
难点强化三、二元一次方程组的整体带入
1．已知关于的二元一次方程组的解为，若满足二元一次方程组，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了二元一次方程组的解，利用了类比的方法，弄清题中方程组解的特征是解本题的关键．利用关于的二元一次方程组的解为得到即可．
【详解】解：∵关于的二元一次方程组的解为，
把关于满足二元一次方程组可化为可看作关于和的二元一次方程组，
，
，
故选：B．
2．已知方程组的解是，可得方程组的解是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解及其解法；先把与看作一个整体，则与是已知方程组的解，于是可得，进一步即可求出答案．
【详解】解：由题意得：方程组的解为，
解得：．
故答案为：．
3．阅读探索：
材料一：解方程组时，采用了一种“换元法”的解法，解法如下：
解：设，原方程组可化为解得，即，解得；
材料二：解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下：
解：将方程②，变形为③，把方程①代入③得，，则；把代入①得，，所以方程组的解为：；
根据上述材料，解决下列问题：
(1)运用换元法解求关于，的方程组：的解；
(2)若关于，的方程组的解为，求关于，的方程组的解．
(3)已知、、，满足，试求y的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查二元一次方程组的特殊解法，掌握“换元法”，“整体代换”是关键．
（1）根据题意，设，运用“换元法”求解即可；
（2）把代入，结合所求方程组中相同字母的系数相同得到，由此即可求解；
（3）根据题意变形，即，代入求解即可．
【详解】（1）解：设，则原方程组变形得，
解得，，
∴，
解得，；
（2）解：关于，的方程组的解为，
∴，
∴，
解得，；
（3）解：∵，，
∴，
∴，
解得，．
难点强化四、二元一次方程组的解决应用
1．在纸盒制作的劳动实践课上，对规格是的原材料板材进行裁剪得到型长方形纸板和型正方形纸板为了避免材料浪费，每张原材料板材先裁得张的纸板条，每张纸板条又恰好可以裁得张型长方形纸板或张型正方形纸板，如图所示．（单位：）
(1)每张原材料板材可以裁得型纸板______张或裁得型纸板______张；
(2)现有张原材料板材全部裁剪每张原材料板材只能一种裁法得到型与型纸板当侧面和底面，做成如图所示的竖式无盖长方体纸盒和横式无盖长方体纸盒，若横式无盖长方体纸盒个数为竖式无盖长方体纸盒个数的两倍，问：怎样裁剪才能使剪出的，型纸板恰好用完，两种纸盒各做多少个？
【答案】(1)，
(2)180个；360个
【分析】（）由题意得每张原材料板材可裁得张的纸板条，每张纸板条又恰好可以裁得张型长方形纸板或张型正方形纸板，进而即可求解；
（）设用张原材料板材裁剪型纸板，则用张原材料板材裁剪型纸板，设竖式无盖长方体纸盒个，横式无盖长方体纸盒个，根据题意列出方程组即可求解；
本题考查了有理数乘法的实际应用，二元一次方程组的应用，理解题意是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意，每张原材料板材可裁得张的纸板条，每张纸板条又恰好可以裁得张型长方形纸板或张型正方形纸板，
∴每张原材料板材可以裁得型纸板张，每张原材料板材可以裁得型纸板张，
故答案为：，；
（2）解：设用张原材料板材裁剪型纸板，则用张原材料板材裁剪型纸板，设竖式无盖长方体纸盒个，横式无盖长方体纸盒个，
根据题意得， ，
解得，
，，
答：用张原材料板材裁剪型纸板，用张原材料板材裁剪型纸板，能做竖式无盖长方体纸盒个，横式无盖长方体纸盒个．
2．某超市购进A、B型两种大米销售，其中两种大米的进价、售价如下表：
类型 进价（元/袋） 售价（元/袋）
A型大米 20 30
B型大米 30 45
(1)该超市在6月份购进A、B型两种大米共90袋，进货款恰好为2200元，求这两种大米各购进多少袋？
(2)为刺激销量，超市决定在进货款仍为2200元的情况下，7月份增加购进C型大米作为赠品，进价为每袋10元，并出台了“买3袋A型大米送1袋C型大米，买3袋B型大米送2袋C型大米”的促销方案，若7月份超市的购进数量恰好满足上述促销搭配方案，此时购进3种大米各多少袋？
【答案】(1)A型大米购进50袋，B型大米购进40袋
(2)购进A型大米33袋，B型大米39袋，C型大米37袋；或购进A型大米66袋，B型大米18袋，C型大米34袋
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
（1）设A型大米购进袋，B型大米购进袋，根据题意列出二元一次方程组求解即可；
（2）设7月份该超市购进A型大米袋，B型大米袋，则购进C型大米袋，根据题意列出二元一次方程，整理得到，然后根据均为正整数求解即可．
【详解】（1）解：设A型大米购进袋，B型大米购进袋，
依题意得，
解得．
答：A型大米购进50袋，B型大米购进40袋．
（2）设7月份该超市购进A型大米袋，B型大米袋，则购进C型大米袋，
依题意得，
化简得
．
又均为正整数，
既是3的倍数，又是11的倍数，是3的倍数，
或．
当时，；当时，．
答：购进A型大米33袋，B型大米39袋，C型大米37袋；或购进A型大米66袋，B型大米18袋，C型大米34袋．
3．如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．利用图中信息解决下列问题：
物理常识开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为“开水的体积×开水降低的温度=温水的体积×温水升高的温度”．
(1)王老师拿空水杯先接了的温水，又接了的开水，刚好接满，且水杯中的水温为．①王老师的水杯容量为________；
②若不计热损失，请求此时的值；
(2)嘉琪同学拿空水杯先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯体积为，温度为的水（不计热损失），求嘉琪同学接温水和开水的时间分别为多少？
【答案】(1)①400；②
(2)嘉琪接温水的时间为，接开水的时间为
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次方程的应用，列代数式表达式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）①根据水量等于水速乘时间列式计算，即可作答．
②根据“开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度．” 列出方程，解方程，即可作答．
（2）设嘉琪接温水的时间为，接开水的时间为，列出二元一次方程组，再解方程，即可作答．
【详解】（1）解：①依题意：
，
∴王老师的水杯容量为．
故答案为：
②接入水杯的温水吸收的热量为：
，
热水放出的热量为：，
由题意： ，
解得：，
答：王老师的水杯容量为，水温约；
（2）解：设嘉琪接温水的时间为，接开水的时间为，根据题意得：
，
解得：，
∴嘉琪接温水的时间为，接开水的时间为．
难点强化五、二元一次方程组的整体思想
1．已知关于，的二元一次方程组，求的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得，的值再代入求值，可得到答案．此常规思路运算量比较大，其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，就可以通过适当变形，求得该整式的值，例如由可得，这种解题思想就是通常所说的“整体思想”．根据上述材料解答下面问题：
(1)已知方程组，由可得__________；
(2)用“整体思想”解答：已知方程组，求的值；
(3)请说明在关于，的方程组中，无论取何值，的值始终不变．
【答案】(1)
(2)7
(3)见解析
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的特殊解法：
（1）由，即可求解；
（2）由，即可求解；
（3）由，得，即可求解．
【详解】（1）解：由可得：；
故答案为：，
（2）解：
由得：，
解得：．
（3）解：
由得：，
整理得：，
，
无论取何值，的值始终不变．
2．【阅读理解】已知方程组，求的值．本题常规解题思路是，解方程组得的值，再代入得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察方程组中两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
(1)【模仿应用】已知方程组，请用整体思想求的值；
(2)【解决问题】某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔，3块橡皮和2本日记本共需32元，买39支铅笔，5块橡皮和3本日记本共需58元，则购买5支铅笔，5块橡皮和5本日记本共需多少元？
(3)【拓展延伸】对于有理数，定义新运算，其中是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知．求的值．
【答案】(1)19
(2)30元
(3)
【分析】本题考查了二元一次方程组和三元一次方程组的应用，掌握整体思想解决问题是解题的关键．
（1）将方程即可求解；
（2）设每只铅笔元，每块橡皮元，每本日记元，由题意列出方程组，即可求解；
（3）由题意列出方程组，再计算出的结果即可得到答案，即可求解．
【详解】（1）解：解：
得，，
得，；
（2）解：解：设一支铅笔的单价为元，一块橡皮的单价为元，一本日记本的单价为元，
根据题意得，
得，，
得，，
得，，
答：购买5支铅笔，5块橡皮和5本日记本共需30元；
（3）解：解：根据新定义运算得，
得，
∴．
3．阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x、y满足①，②，求和的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①－②可得，由①＋②×2可得解得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
(1)已知二元一次方程组则______，______；
(2)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
(3)对于实数x、y，定义新运算：解得，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知，，那么______．
【答案】(1)，6；
(2)购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元；
(3)．
【分析】（1）利用可求出的值；利用可求出的值；
（2）设铅笔的单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元，根据“买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元”，即可得出关于，，的三元一次方程组，利用，即可求出购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本所需费用；
（3）根据定义的新运算结合“，”，即可得出关于a，b，c的三元一次方程，利用，即可求出的值．
【详解】（1）解：
由得：；
由得：．
故答案为：，6．
（2）设铅笔的单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元，
依题意得：
由得：．
答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元．
（3）依题意得：
由得：，
即：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及三元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）利用“整体思想”，求出和的值；（2）找准等量关系，正确列出三元一次方程组；（3）找准等量关系，正确列出三元一次方程组．
难点强化六、二元一次方程组的整除问题
1．已知一个三位数，如果它的百位数字加上2与十位数字加上5的和等于个位数字加上8，则称这个三位数叫“258数”．如：245，∵，∴245是“258数”；437，∵，，，∴437不是“258数”．
(1)请根据材料判断526和738是不是“258数”，并说明理由；
(2)若“258数”（，且a，b、c均为整数）能被3整除，请求出所有符合题意的m的值．
【答案】(1)526是“258数”， 738不是“258数”，理由见解析
(2)267、627、357、537
【分析】（1）根据“258数”得定义判断即可；
（2）先确定可能是：，再根据的值以及能被3整除，确定m的值即可．
【详解】（1）解：，
526是“258数”，
，
738不是“258数”；
（2），且a，b、c均为整数，
可能是：，
是“258数”，
，
当时，，
m是，但都不能被3整除，所以这些数都不符合题意；
当时，，
m是，但都不能被3整除，所以这些数都不符合题意；
当时，，
m是，都能被3整除，所以这些数都符合题意；
当时，，
m是，都不能被3整除，所以这些数都不符合题意；
当时，，
m是，都不能被3整除，所以这些数都不符合题意；
当时，，
m是，都不能被3整除，所以这些数都不符合题意；
当时，，符合题意的数不存在；
综上所述，所有符合题意的m的是：．
【点睛】本题考查了数与式的新定义，解题的关键是读懂题意，掌握新定义的内容，利用新定义解决问题．
2．定义：对于三位自然数，各位数字都不为，且它的百位数字的倍与十位数字和个位数字之和恰好能被整除，则称这个自然数为“博雅数”．例如：是“博雅数”，因为，，都不为，且，能被整除；不是“博雅数”，因为，不能被整除．
(1)判断，是否是“博雅数”？并说明理由；
(2)求出百位数字比十位数字大的所有“博雅数”，并说明理由．
【答案】(1)是“博雅数”，不是“博雅数”；理由见解析
(2)这样的“博雅数”共有个，它们分别是，，；理由见解析
【分析】（1）根据“博雅数”定义判断．
（2）根据“博雅数”的条件求解．
【详解】（1）解：是“博雅数”，不是“博雅数”，
∵，能被整除，
∴是“博雅数”；
∵，不能被整除，
∴不是“博雅数”．
（2）由题意可设这样的“博雅数”为：，则，
∴，
由“博雅数”的定义可知：能被整除，
∴为整数，
又∵，且，为整数，
∴或或，
综上，这样的“博雅数”共有个，它们分别是，，．
【点睛】本题考查用新定义解题，有理数的混合运算，列代数式，不定方程．理解新定义是解题的关键．
3．如果把一个正整数各数位上数字从最高位到个位依次排出一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的正整数叫做“完美数”．例如：自然数64746从最高位到个位排出的一串数字是：6、4、7、4、6，从个位到最高排出的一串数字也是：6、4、7、4、6，所以64746是“完美数”．再如：33，181，212，4664，…，都是“完美数”．
(1)若由、（、均为的正整数）组成的两位数、，则与的和一定能被_______整除；
(2)现有一个四位数，若它是“完美数”，则这个“完美数”一定能被_______整除；
(3)现有一个三位“完美数”，、、均为的正整数，若这个“完美数”正好能被9整除，请直接写出符合条件的所有“完美数”．
【答案】(1)
(2)
(3)这个“完美数”为，，，，，，，，．
【分析】（1）先分别表示为，为，再求和，结合乘法的分配律变形可得答案；
（2）由题意可得这个四位的完美数为，其中，为一位正整数，再表示这个完美数即可得到答案；
（3）由题意可得这个三位完美数可表示为，再根据整除的含义可得或或，再分类讨论即可．
【详解】（1）解：∵、（、均为的正整数）组成的两位数、，
∴为，为，
∴这两个数的和为：，
∴与的和一定能被整除；
（2）∵一个四位数，它是“完美数”，
∴这个四位数为，其中，为一位正整数，
∴这个四位数为：，
∴这个“完美数”一定能被整除；
（3）∵有一个三位“完美数”，、、均为的正整数，
∴，
∴这个完美数为：，
∵这个“完美数”正好能被9整除，
∴是9的倍数，
∴或或，
当时，
∴，，，，
此时这个“完美数”为，，，，
当时，
，，，，
此时这个“完美数”为，，，，
当时，
，
此时这个“完美数”为，
综上：这个“完美数”为，，，，，，，，．
【点睛】本题考查的是新定义运算，数的整除，有理数的乘法分配律的逆应用，整式的加减运算的应用，二元一次方程的正整数解问题，理解题意，列出正确的运算式与方程是解本题的关键．
难点强化七、二元一次方程组的新定义应用
1．定义：当两个数x，y满足，则称x与y具有“友好关系”．
(1)判断方程组的解x，y是否具有“友好关系”？说明你的理由．
(2)若方程组的解x，y具有“友好关系”，请求出方程组的解及a，b的正整数值．
【答案】(1)具有友好关系．理由见解析
(2)
【分析】本题考查解二元一次方程组，根据方程组的解的情况，求参数的值：
（1）用，得到，即可得出结论；
（2）根据x与y具有“友好关系”，得到，结合组成新的方程组，求出的值，得到关于的二元一次方程，进而求出其正整数值即可．
【详解】（1）解：x与y具有“友好关系”，理由如下：
由方程组，
得，
∴方程组的解x与y具有“友好关系”；
（2）解：∵方程组的解x与y具有“友好关系”，
∴③
联立，
解得，
把代入中得，
则a，b的正整数值为或．
2．定义：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”，如二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”.
(1)直接写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”：______
(2)二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出m，n的值.
【答案】【小题1】 【小题2】，．
【分析】（1）本题考查对题干中“反对称二元一次方程”的理解，理解概念即可解题．
（2）本题考查对题干中“反对称二元一次方程”的理解和解二元一次方程，根据概率得出的“反对称二元一次方程”，再将m，n代入这两个二元一次方程求解，即可解题．
【详解】（1）解：由题知，二元一次方程的“反对称二元一次方程”是，
故答案为：．
（2）解：二元一次方程的“反对称二元一次方程”是，
又二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，
，解得，
，．
3．定义：若点满足，则称点p为关于x，y的二元一次方程的融合点．
(1)若点为方程的融合点，则　 　；（直接写出答案）
(2)u，v为正整数，且点为方程的融合点．求u，v的值；
(3)m，s，t，k为实数，点与点都是方程的融合点，且，求k的值．
【答案】(1)3
(2)或
(3)
【分析】（1）根据融合点的定义，进行求解即可；
（2）根据融合点的定义，列出二元一次方程，求正整数解即可；
（3）根据融合点的定义，得到，，推出，结合，得到，进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得：，
∴，
故答案为：3；
（2）由题意，得：，
整理，得：，
∴，
∵u，v为正整数，
∴；
∴或；
（3）由题意，得：，，
∴，得：，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查二元一次方程的解．理解并掌握融合点的定义，是解题的关键．
真题感知
1．（2023·江苏无锡·中考真题）下列4组数中，不是二元一次方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将选项中的的值分别代入方程的左边，进而即可求解．
【详解】解：A、当时，，则是二元一次方程的解，不合题意；
B、当时，，则是二元一次方程的解 ，不合题意；
C、 当时，，则是二元一次方程的解，不合题意；
D、当时，，则不是二元一次方程的解，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解的定义，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键．
2．（2024·江苏宿迁·中考真题）若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于x、y的方程组的解是 ．
【答案】
【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，把，代入，得到，整体代入中，得到方程组，加减消元法解方程组即可．
【详解】解：把代入，得：，
∵，
∴，即：，
，得：，
∵方程组有解，
∴，
∴，
把代入①，得：，解得：；
∴方程组的解集为：；
故答案为：．
3．（2024·江苏盐城·中考真题）中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题，大意是：现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿子，绳索比竿子长5尺；若将绳索对折去量竿子，绳索就比竿子短5尺，问绳索、竿子各有多长？该问题中的竿子长为 尺．
【答案】15
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题关键．
设绳索长 尺，竿长 尺，根据“用绳索去量竿，绳索比竿长尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短尺”，即可得出关于 的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：设绳索长 尺，竿长 尺，
根据题意得： ．
解得：
故答案为15．
4．（2023·江苏盐城·中考真题）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：“几个人一起去购买某物品，每人出8钱，则多出3钱；每人出7钱，则还差4钱．问人数、物品的价格分别是多少？”该问题中的人数为 .
【答案】7人
【分析】设共有x人，价格为y钱，根据题意列出二元一次方程组即可求解．
【详解】解：设共有x人，价格为y钱，依题意得：
，
解得：，
答：物品价格为53钱，共同购买该物品的人数有7人,
故答案为：7．
【点睛】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意列出方程组即可求解．
5．（2024·江苏徐州·中考真题）中国古代数学著作《张邱建算经》中有一道问题；“今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人各有钱币若干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？请用二元一次方程组解答上述问题．
【答案】甲、乙原来各有38枚、18枚钱币
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意找到等量关系列出方程是解决本题的关键．
设甲有钱x枚，乙有钱y枚，根据“甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等”列出方程组，求解即可．
【详解】解：设甲有钱x枚，乙有钱y枚，由题意，得
，
解这个方程组，得．
答：甲、乙原来各有38枚、18枚钱币．
6．（2024·江苏苏州·中考真题）解方程组：．
【答案】
【分析】本题考查的是解二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法求解．根据加减消元法解二元一次方程组即可．
【详解】解：
得，，解得，．
将代入①得．
方程组的解是
7．（2023·江苏连云港·中考真题）解方程组
【答案】
【分析】方程组运用加减消元法求解即可．
【详解】解：
①+②得，
解得，
将代入①得，
解得．
∴原方程组的解为
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，方法主要有：代入消元法和加减消元法．
思维导图
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