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天津市嘉诚中学2024-2025学年度第二学期期中质量调查
高一年级 数学学科答案
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
10. 11. 12.
13. 14. 15.
16.解：根据题意，若，设，
又由，则有，解可得，
则或，
根据题意，设向量与向量夹角为，
若，则，
变形可得：；
故向量与向量夹角的余弦值为．
17.解：Ⅰ若是实数，
则，或，
则的值为或；
Ⅱ若是纯虚数，
则，，
则的值为；
Ⅲ若在复平面内对应的点在第四象限，
则，，
则的取值范围为．
18.证明：连结．
侧面是菱形，与交于点
为的中点
是的中点
；
平面，平面
平面
侧面是菱形
，，平面，平面
平面
平面
．
19.解因为，，，
由余弦定理可得，
解得：；
，，所以，
由，可得，
由正弦定理可得，即，
可得，
所以；
因为，，
所以，，
，可得，
所以，
所以的值为．
20.解：因为四边形为矩形，所以，
则即为异面直线与所成的角，
在中，，，
所以，
故异面直线与所成的角为；
证明：平面平面，，平面，
所以平面，又平面，
所以，又，，
则平面，平面，
所以，
因为，为的中点，所以，
因为，，平面，则平面，
又平面，故平面平面；
解：由可知，，，
则为二面角的平面角，
因为，，
则，
所以，
故二面角的余弦值为． 天津市嘉诚中学2024-2025学年度第二学期期中质量调查
高一年级 数学学科
（时长：100分钟 总分：100分）
一、单选题：本题共9小题，每小题3分，共27分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设，则的虚部是．
A. B. C. D.
2.如图，已知，用，表示，则等于( )
A. B.
C. D.
3.已知向量，，且，则( )
A. B. C. D.
4.用、表示两条不同的直线，用、表示两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
5.如图所示，是水平放置的的直观图，且，，则的面积是( )
A. B.
C. D.
6.在中，若，，则的形状为( )
A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
7.已知正方体的棱长为，则三棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
8.已知圆锥的高为，若该圆锥的内切球的半径为，则该圆锥的表面积为( )
A. B. C. D.
9.在正三棱柱中，，则与平面所成角的正切值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
10.是虚数单位，复数，则的共轭复数 ．
11.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为，则这个球的体积为______．
12.已知向量，则向量在方向上的投影向量的坐标为______．
13.在中，内角，，的对边分别是，，，已知，，，则 ______，外接圆半径为______．
14.在正方体中，与所成的角为______，与平面A所成的角为______．
15.在四边形中，，，，，，则实数的值为______，若，是线段上的动点，且，则的最小值为______．
三、解答题：本题共5小题，共49分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知向量，满足．
若，求向量的坐标；
若，求向量与向量夹角的余弦值．
本小题分
已知复数，．
Ⅰ若是实数，求的值；
Ⅱ若是纯虚数，求的值；
Ⅲ若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围．
18.本小题分
如图，斜三棱柱中，侧面是菱形，与交于点，是的中点．求证：
平面；
若，求证：．
19.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，已知，，．
求的值；
求的值；
求的值．
20.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，四边形为矩形，，，为的中点．
求异面直线与所成的角；
求证：平面平面；
求二面角的余弦值．

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