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专题05 一元一次不等式
核心考点聚焦
不等式
一元一次不等式的概念
解一元一次不等式
一元一次不等式组
用一元一次不等式解决问题
一、不等式的概念
不等式是用“<”（或“≤”）,“>”（或“≥”）,≠连接的式子。能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集。解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如x>a，x≤a等；另一种是用数轴表示。
二、不等式的基本性质
不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。
不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
三、一元一次不等式的定义及解法
含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式。解一元一次不等式的基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。
四、一元一次不等式组
几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。一元一次不等式组的解集是几个一元一次不等式的解集的公共部分。解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集。
五、一元一次不等式的应用
根据实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案。列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系。
难点强化一、一元一次不等式(组)求参
1．若不等式的解都能使不等式成立，则实数 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
2．已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集是 ．
3．已知关于x的方程的解是负数．
(1)求m的取值范围；
(2)在（1）的条件下，解关于x的不等式．
难点强化二、一元一次不等式(组)的整数解
1．若关于x的不等式只有3个正整数解，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．若关于x的不等式组恰好有3个整数解，则a的取值范围是 ．
3．已知关于的不等式组
(1)若，求这个不等式组的解集；
(2)若这个不等式组的整数解共有3个，求的取值范围．
难点强化三、一元一次不等式(组)的最值
1．若a、b满足，则的最大值与最小值的差为（ ）
A．4 B． C． D．
2．已知三个实数满足．
（1）若，则 （填“”或“”）；
（2）若且，则的最小值是 ．
3．（1）已知非负数，，满足，
①请用含的式子分别表示，，并求出的取值范围；
②设，求的最大值与最小值；
（2）已知正整数，，满足，，试求，，的值．
难点强化四、一元一次不等式(组)的有、无解
1．关于的一元一次不等式组有解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知不等式组无解，则a的取值范围是 ．
3．已知关于x的不等式组；
(1)若该不等式组的解集为，求m的值．
(2)若该不等式组无解，则m的取值范围为______．
(3)若该不等式组只有4个整数解，求m的整数解．
难点强化五、一元一次不等式(组)与方程(组)结合
1．如果关于y的方程有非负整数解，且关于x的不等式组的解集为，则所有符合条件的整数a的和为（ ）
A． B． C． D．
2．若关于的方程有非负整数解，且关于的不等式组至多有三个整数解，则符合条件的所有整数的和为 ．
3．已知关于x，y的二元一次方程组．
(1)求这个方程组的解（用含m的式子表示）；
(2)若这个方程组的解x，y满足成立，求m的取值范围．
难点强化六、一元一次不等式(组)的解决应用
1．快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件．快递员的提成取决于送件数和揽件数．某快递公司快递员小李若平均每天的送件数和揽件数分别为80件和20件，则他平均每天的提成是160元；若平均每天的送件数和揽件数分别为120件和25件，则他平均每天的提成是230元．
(1)求快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是多少元；
(2)已知快递员小李一周内平均每天的送件数和揽件数共计200件，且揽件数不大于送件数的．如果他平均每天的提成不低于318元，求他平均每天的送件数最少是多少．
2．国庆节期间，某品牌服装在两个平台做促销活动．
平台：①顾客所购服装的原总价打九折；②原总价每满元即送元现金券，折后可用券抵扣．例如，某人购物原总价为元，则他实际付款为（元）．
平台B：
原总价 优惠标准
不超过元的部分 九折优惠
超过元但不超过元的部分 六折优惠
超过元的部分 五折优惠
例如，某人购物原总价为元，则他实际付款为（元）．
(1)若小李要买一件元的该品牌服装，则他应选择平台 (填“”或“”)购买．
(2)某款服装单价的定价为元，若小芳计划购买件，发现在两个平台上优惠后价格一样，求的值．
(3)小华要购买原总价超过元且不超过元的该品牌服装，那他在哪个平台上购买更划算？请你帮他设计购买方案．
3．根据以下素材，探索完成任务．
背景 为了迎接2023杭州亚运会，某班级开展知识竞赛活动，去咖啡店购买A、B两种款式的咖啡作为奖品．
素材1 若买10杯A款咖啡，15杯B款咖啡需230元；若买25杯A型咖啡，25杯B型咖啡需450元．
素材2 为了满足市场的需求，咖啡店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料或者不加料．小华恰好用了208元购买A、B两款咖啡，其中A款不加料的杯数是总杯数的．
问题解决
任务1 问A款咖啡和B款咖啡的销售单价各是多少元？
任务2 在不加料的情况下，购买A、B两种款式的咖啡（两种都要），刚好花200元，问有几种购买方案？
任务3 求小华购买的这两款咖啡，其中B型加料的咖啡买了多少杯（直接写出答案）？
难点强化七、一元一次不等式(组)的新定义应用
1．阅读理解：
定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”．例如：的解为：，的解集为：，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”．
问题解决：
(1)在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”有：______；（填序号）
(2)若关于的方程是不等式组的“子方程”，求的取值范围．
2．定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的“关联方程”．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”．
(1)方程______（填“是”或“不是”）不等式组的“关联方程”．
(2)已知关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围．
(3)已知关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，直接写出的取值范围为______．
3．定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“完美解”．
例：已知方程的解为，不等式的解集为，则称“”为方程和不等式的“完美解”．
(1)下列不等式（组）：①，②，③中与方程存在“完美解”的有哪些？并说明理由；
(2)若关于x，y的二元一次方程组的解是该方程组与不等式组的“完美解”，求m的取值范围．
难点强化八、一元一次不等式(组)的取值范围
1．阅读下列材料：
解答“已知x﹣y=2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围”有如下解法：
解：∵x﹣y=2，又∵x＞1，∴y+2＞1，即y＞﹣1
又y＜0，∴﹣1＜y＜0．…①
同理得：1＜x＜2．…②
由①+②得﹣1+1＜y+x＜0+2，∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2．
请按照上述方法，完成下列问题：
已知关于x、y的方程组的解都为非负数．
（1）求a的取值范围；
（2）已知2a﹣b=1，且，求a+b的取值范围；
（3）已知a﹣b=m（m是大于1的常数），且b≤1，求2a+b最大值．（用含m的代数式表示）
2．阅读下列材料：
解答“已知x﹣y=2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围”有如下解法：
解：∵x﹣y=2，又∵x＞1，∴y+2＞1，即y＞﹣1
又y＜0，∴﹣1＜y＜0．…①
同理得：1＜x＜2．…②
由①+②得﹣1+1＜y+x＜0+2，∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2．
请按照上述方法，完成下列问题：
已知关于x、y的方程组的解都为非负数．
（1）求a的取值范围；
（2）已知2a﹣b=1，且，求a+b的取值范围；
（3）已知a﹣b=m（m是大于1的常数），且b≤1，求2a+b最大值．（用含m的代数式表示）
3．阅读下列材料：
解答“已知，且，，试确定的取值范围”的过程如下：
解：，又，，
又，同理得：
由得，的取值范围是
请按照上述方法，解答下列问题：
若，且，，求的取值范围；
若，且，，求最大值．
真题感知
1．（2024·江苏南京·中考真题）某商场促销方案规定：单笔消费金额每满100元立减10元．例如，单笔消费金额为208元时，立减20元．甲在该商场单笔购买2件商品，立减了20元；乙在该商场单笔购买2件商品与1件商品，立减了30元．若商品的单价是整数元，则它的最小值是（ ）
A．1元 B．99元 C．101元 D．199元
2．（2024·江苏苏州·中考真题）若，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·江苏常州·中考真题）“绿波”，是车辆到达前方各路口时，均遇上绿灯，提高通行效率．小亮爸爸行驶在最高限速的路段上，某时刻的导航界面如图所示，前方第一个路口显示绿灯倒计时32s，第二个路口显示红灯倒计时44s，此时车辆分别距离两个路口480m和880m．已知第一个路口红、绿灯设定时间分别是30s、50s，第二个路口红、绿灯设定时间分别是45s、60s．若不考虑其他因素，小亮爸爸以不低于的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），则车速v（）的取值范围是 ．
4．（2024·江苏南京·中考真题）解不等式组：
5．（2024·江苏常州·中考真题）解方程组和不等式组：
(1)
(2)
6．（2024·江苏扬州·中考真题）解不等式组，并求出它的所有整数解的和．
7．（2024·江苏盐城·中考真题）求不等式的正整数解．
8．（2024·江苏连云港·中考真题）解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
答案与解析
难点强化一、一元一次不等式(组)求参
1．若不等式的解都能使不等式成立，则实数 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查一元一次不等式的解集．先求出不等式得到，进而根据意义得到，求解即可．
【详解】解：解不等式，得，
，
，
，
故选：B
2．已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集是 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘（或除以）同一个负数不等号方向要改变．由不等式的解集为得且，将原不等式变形可得，结合两边除以可得答案．
【详解】解：∵不等式，
∴，
∵不等式的解集为，
∴且，
∵
∴
∴，解得，
故答案为：．
3．已知关于x的方程的解是负数．
(1)求m的取值范围；
(2)在（1）的条件下，解关于x的不等式．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查根据方程的解的情况求参数的范围，求不等式的解集：
（1）先求出方程的解，根据方程的解为负数，得到关于的不等式，进行求解即可；
（2）根据解不等式的步骤进行求解即可．
【详解】（1）解：，
解得：，
∵方程的解为负数，
∴，
∴；
（2），
∴，
∴，
由（1）知：，
∴．
难点强化二、一元一次不等式(组)的整数解
1．若关于x的不等式只有3个正整数解，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了解一元一次不等式的整数解，根据不等式的解即可求解．
【详解】解：∵关于x的不等式只有3个正整数解，为，，
∴
故选：A．
2．若关于x的不等式组恰好有3个整数解，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，先求出不等式的解集为，结合题意得出整数解为3、4、5，从而即可得出a的取值范围．
【详解】解：解得：，
解得，，
∴不等式组的解集为，
∵关于x的不等式组恰好有3个整数解，
∴整数解为3、4、5，
∴，
∴a的取值范围是，
故答案为：．
3．已知关于的不等式组
(1)若，求这个不等式组的解集；
(2)若这个不等式组的整数解共有3个，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查求不等式组的解集，根据解集的情况求参数的范围：
（1）先求解不等式组得到解集，然后将代入即可；
（2）根据（1）求得的解集结合有3个整数解的条件即可解答．
【详解】（1）解：．
解不等式①，得，
解不等式②，得．
∴当时，，
∴不等式组的解集是．
（2）∵不等式组的整数解共有3个，
∴由（1）可知：
∴整数解是，0，1，
∴，
∴的取值范围是．
难点强化三、一元一次不等式(组)的最值
1．若a、b满足，则的最大值与最小值的差为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查整式的乘法，完全平方公式，不等式的性质等．熟练运用完全平方公式的变形是解题的关键．
先将式子化简为，由得到，即可得到的最大值，同理得到，得到的最小值，即可解答．
【详解】解：∵，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为，
∴的最大值为；
∵，
∴，
∴，
∴的最大值为2，
∴的最小值为；
即的最大值为，最小值为，
它们的差为．
故选：D
2．已知三个实数满足．
（1）若，则 （填“”或“”）；
（2）若且，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了完全平方公式因式分解，不等式的性质；
（1）根据题意可得，代入得出，根据，推出，即可求解；
（2）根据题意得出，代入，进而根据不等式的性质，求得最小值，即可求解．
【详解】（1）解：∵．
∴，
∴
∵
∴，即，
∴，
故答案为：．
（2）∵，
∴，
∴
∴
∵，,
∴时，的最小值是
故答案为：．
3．（1）已知非负数，，满足，
①请用含的式子分别表示，，并求出的取值范围；
②设，求的最大值与最小值；
（2）已知正整数，，满足，，试求，，的值．
【答案】（1）①，；②的最小值为，最大值为；（2），，
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，不等式的性质，解二元一次方程，正确解方程和解不等式组是解题的关键．
（1）①把x看做已知解方程即可求出y、z的值，再根据x、y、z均为非负数列出不等式组求出x的范围即可；②根据①所求结合用含x的式子表示出，再根据x的取值范围求出的取值范围即可得到答案；
（2）根据，推出，则可求出，即，则，再由得到，据此求出b的值，进而求出c的值即可．
【详解】解：（1）①∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，都是非负数，
∴，
解得；
②∵，
∴
，
∵，
∴，
∴的最小值为，最大值为；
（2）∵正整数，，满足，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
难点强化四、一元一次不等式(组)的有、无解
1．关于的一元一次不等式组有解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握求不等式组的解集的方法是解题的关键．分别解不等式得出，，根据不等式组有解，得出，解不等式即可求解．
【详解】解：，
解不等式①得，
解不等式②得，
关于的一元一次不等式组有解，
，
解得：．
故选：D．
2．已知不等式组无解，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组．熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键．
解得，解得，由不等式组无解，可得，计算求解即可．
【详解】解：，
，
解得，，
，
解得，，
∵不等式组无解，
∴，
解得，，
故答案为：．
3．已知关于x的不等式组；
(1)若该不等式组的解集为，求m的值．
(2)若该不等式组无解，则m的取值范围为______．
(3)若该不等式组只有4个整数解，求m的整数解．
【答案】(1)
(2)
(3)0
【分析】本题考查根据一元一次不等式组解集的情况求参数、求一元一次不等式组的整数解，（1）先分别解一元一次不等式，再根据不等式组的解集可得，最后求解即可；
（2）由（1）可得，，再根据不等式组无解可得，再求解即可；
（3）由（1）可得，，根据该不等式组只有4个整数解，可得，再解不等式组即可求解．
【详解】（1）解：，
由①得，，
由②，
∵该不等式组的解集为，
∴，
解得；
（2）解：由（1）可得，，
∵该不等式组无解，
∴，
解得，
故答案为：；
（3）解：由（1）可得，，
∵该不等式组只有4个整数解，
∴，
解得，
∴m的整数解是0．
难点强化五、一元一次不等式(组)与方程(组)结合
1．如果关于y的方程有非负整数解，且关于x的不等式组的解集为，则所有符合条件的整数a的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是解一元一次方程方程与解不等式组，求各种特殊解的前提都是先求出整个解集，然后在解集中求特殊解，了解求特殊解的方法是解决本题的关键．
解方程得出，根据关于y的方程有非负整数解，得出，由不等式的解集得出，进而即可求解．
【详解】解： ，
解得，
∵关于y的方程有非负整数解，
∴，
解得：，且为整数，
关于的不等式组整理得 ，
∵不等式组的解集为，
∴，
解得：，
∴且a为整数，
∴，，，，
于是符合条件的所有整数的值之和为：，
故选：A．
2．若关于的方程有非负整数解，且关于的不等式组至多有三个整数解，则符合条件的所有整数的和为 ．
【答案】11
【分析】本题考查了一元一次方程的解，一元一次不等式组的整数解，先解一元一次不等式组，根据不等式组至多有3个整数解，求出a的范围，再解分式方程，根据分式方程有非负整数解，确定a的值即可解答．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式组至多有3个整数解，
∴，
∴，
，
，
解得，
∵方程有非负整数解，
∴（x为非负整数），
∴，且为整数，
∴，
∴，
∵，
∴符合条件的所有整数a的值为：0，3，8，
∴符合条件的所有整数a的和是：．
故答案为：11．
3．已知关于x，y的二元一次方程组．
(1)求这个方程组的解（用含m的式子表示）；
(2)若这个方程组的解x，y满足成立，求m的取值范围．
【答案】(1)；
(2)
【分析】本题为二元一次方程与不等式综合应用，考查了解含参数的二元一次方程组，解一元一次不等式等知识．
（1）利用加减分即可求解；
（2）把代入不等式得到，解一元一次不等式即可求解．
【详解】（1）解：，
①+②得：，解得，
把代入①得：，
解得，
∴原方程组的解为；
（2）解：∵这个方程组的解x，y满足成立，
，
解得．
难点强化六、一元一次不等式(组)的解决应用
1．快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件．快递员的提成取决于送件数和揽件数．某快递公司快递员小李若平均每天的送件数和揽件数分别为80件和20件，则他平均每天的提成是160元；若平均每天的送件数和揽件数分别为120件和25件，则他平均每天的提成是230元．
(1)求快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是多少元；
(2)已知快递员小李一周内平均每天的送件数和揽件数共计200件，且揽件数不大于送件数的．如果他平均每天的提成不低于318元，求他平均每天的送件数最少是多少．
【答案】(1)快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是1.5元和2元
(2)他平均每天的送件数最少是160件
【分析】本题考查二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系列出相应的方程组或不等式组．
（1）设快递员小李平均每送一件的提成是元，平均每揽一件的提成是元，列方程组求解即可；
（2）设他平均每天的送件数是m件，则他平均每天的揽件数是件，列不等式组，求解即可．
【详解】（1）解：设快递员小李平均每送一件的提成是元，平均每揽一件的提成是元，
根据题意得，
解得．
答：快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是1.5元和2元；
（2）解：设他平均每天的送件数是m件，则他平均每天的揽件数是件，
根据题意得：，
解得：．
是正整数，
的值为160，161，162，163，164．
答：他平均每天的送件数最少是160件。
2．国庆节期间，某品牌服装在两个平台做促销活动．
平台：①顾客所购服装的原总价打九折；②原总价每满元即送元现金券，折后可用券抵扣．例如，某人购物原总价为元，则他实际付款为（元）．
平台B：
原总价 优惠标准
不超过元的部分 九折优惠
超过元但不超过元的部分 六折优惠
超过元的部分 五折优惠
例如，某人购物原总价为元，则他实际付款为（元）．
(1)若小李要买一件元的该品牌服装，则他应选择平台 (填“”或“”)购买．
(2)某款服装单价的定价为元，若小芳计划购买件，发现在两个平台上优惠后价格一样，求的值．
(3)小华要购买原总价超过元且不超过元的该品牌服装，那他在哪个平台上购买更划算？请你帮他设计购买方案．
【答案】(1)
(2)
(3)当时，在平台上购买；当时，在平台上购买；当时，在两个平台上购买价格一样
【分析】（1）分别求出小李在两个平台购买的付款数量，再进行比较即可；
（2）分别求出平台的优惠价为元，平台B的优惠价为元，再根据“在两个平台上优惠后价格一样”列出关于的一元一次方程，求解即可；
（3）设原总价为元，平台的优惠价为元，平台的优惠价为元，当时，得，，然后分三种情况：若；若；若，分别求解即可．
【详解】（1）解：小李要买一件元的该品牌服装，
若选择平台购买，应付款：（元），
若选择平台购买，应付款：（元），
∵，
∴他应选择平台购买，
故答案为：；
（2）平台的优惠价为元，平台B的优惠价为元，
依题意，得：，
解得：，
∴的值为．
（3）设原总价为元，平台的优惠价为元，平台的优惠价为元，
当时，
，，
若，则，解得：；
若，则，解得：；
若，则，解得：；
当时，
，
，
∴，
综上所述，当时，在平台上购买；当时，在平台上购买，当时，在两个平台上购买价格一样．
【点睛】本题考查有理数混合运算的实际应用，一元一次方程及一元一次不等式的应用等知识点，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．
3．根据以下素材，探索完成任务．
背景 为了迎接2023杭州亚运会，某班级开展知识竞赛活动，去咖啡店购买A、B两种款式的咖啡作为奖品．
素材1 若买10杯A款咖啡，15杯B款咖啡需230元；若买25杯A型咖啡，25杯B型咖啡需450元．
素材2 为了满足市场的需求，咖啡店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料或者不加料．小华恰好用了208元购买A、B两款咖啡，其中A款不加料的杯数是总杯数的．
问题解决
任务1 问A款咖啡和B款咖啡的销售单价各是多少元？
任务2 在不加料的情况下，购买A、B两种款式的咖啡（两种都要），刚好花200元，问有几种购买方案？
任务3 求小华购买的这两款咖啡，其中B型加料的咖啡买了多少杯（直接写出答案）？
【答案】任务1：A型咖啡的每杯价格为8元，B型咖啡每杯价格为10元；任务2：四种；任务3：6杯
【分析】任务1：设A型咖啡的每杯价格为x元，B型咖啡每杯价格为y元，列出二元一次方程组，解方程组即可求解；
任务2：设A型咖啡为m杯，B型咖啡为n杯，列出二元一次方程，可得，根据m，n均为正整数，即可求解；
任务3：设A型不加料为a杯，总的杯数为3a杯，设A型的加料和B型的不加料为b杯，则B的加料为杯，根据A型的加料和B型的不加料的价格均为每杯10元，可得总花费为：，即可得，根据，可得，问题随之得解．
【详解】解：任务1：设A型咖啡的每杯价格为x元，B型咖啡每杯价格为y元，
由题可知：，
解得：，
即A型咖啡的每杯价格为8元，B型咖啡每杯价格为10元；
任务2：设A型咖啡为m杯，B型咖啡为n杯，
则，
∴，
∵m，n均为正整数，
∴解得：，，，，
即有共有四种方案；
任务3：买了6杯
设A型不加料为a杯，总的杯数为3a杯，设A型的加料和B型的不加料共为b杯，则B的加料为杯，
∵A型的加料和B型的不加料的价格均为每杯10元，
∴总花费为：，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∵a，b是整数，
∴，，
∴（杯）．
【点睛】本题主要考查了二元次一方程组的应用，以及根据题意解二元一次方程等知识，问题的难点是任务三，根据A型的加料和B型的不加料的价格均为每杯10元，列出总花费为：，是解答本题的关键．
难点强化七、一元一次不等式(组)的新定义应用
1．阅读理解：
定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”．例如：的解为：，的解集为：，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”．
问题解决：
(1)在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”有：______；（填序号）
(2)若关于的方程是不等式组的“子方程”，求的取值范围．
【答案】(1)①③
(2)
【分析】本题考查了不等式组的解集定义、解一元一次不等式组、解一元一次方程等知识，正确理解“子方程”概念并求出不等式组的解集是解题关键．
（1）分别解出方程①②③和不等式组，判断方程的解是否在不等式组解集的范围内即可；
（2）先解关于x的方程，再将求得的x值代入不等式组的解集得到关于k的不等式组，解出即可．
【详解】（1）解：解方程①得：
，
解方程②得：
，
解方程③得：
，
解不等式组得：
，
和都在范围内，
不等式组的“子方程”有①③．
故答案为：①③．
（2）解： ，
，
，
由①得：
，
解得：，
由②得： ，
解得： ，
，
把代入得：
，
由③得： ，
解得：，
由④得： ，
解得： ，
的取值范围．
2．定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的“关联方程”．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”．
(1)方程______（填“是”或“不是”）不等式组的“关联方程”．
(2)已知关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围．
(3)已知关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，直接写出的取值范围为______．
【答案】(1)是；
(2)；
(3)．
【分析】本题考查了解不等式组，一元一次方程，熟练掌握解法是解题的关键．
（）根据题意分别解出和，再根据“关联方程”定义即可求解；
（）根据题意分别解出和，再根据“关联方程”定义得出，然后求解集即可；
（）由解不等式得，解不等式得，由得，根据“关联方程”定义得出，然后解不等式组即可．
【详解】（1）解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
∴不等式组的解集为，
由，
，
∴在范围内，
∴方程是不等式组的“关联方程”，
故答案为：是；
（2）解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
∴不等式组的解集为，
由得，
∵关于的方程是不等式组的“关联方程”，
∴，
解得：；
（3）解：
解不等式得：，
解不等式得：，
由得，
∵关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，
∴，
解得：，
故答案为：．
3．定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“完美解”．
例：已知方程的解为，不等式的解集为，则称“”为方程和不等式的“完美解”．
(1)下列不等式（组）：①，②，③中与方程存在“完美解”的有哪些？并说明理由；
(2)若关于x，y的二元一次方程组的解是该方程组与不等式组的“完美解”，求m的取值范围．
【答案】(1)方程只与不等式②存在“完美解”，见解析
(2)
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式（组）、解一元一次方程,解二元一次方程组等知识点，掌握相关解法是解题的关键．
（1）先求出方程的解和不等式的解集，然后进行判断；
（2）先求出方程组的解和不等式组的解集，根据题意得出关于m的不等式组，最后解不等式组即可．
【详解】（1）解：
解得：；
①不等式的解集为，但不在该解集范围内；
②不等式的解集是，在该解集范围内；
③不等式组的解集是，但不在该解集范围内．
综上所述：方程只与不等式②存在“完美解”．
（2）解：解方程组得：
，
，
∵方程组的解是不等式组的“完美解”，
，
．
难点强化八、一元一次不等式(组)的取值范围
1．阅读下列材料：
解答“已知x﹣y=2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围”有如下解法：
解：∵x﹣y=2，又∵x＞1，∴y+2＞1，即y＞﹣1
又y＜0，∴﹣1＜y＜0．…①
同理得：1＜x＜2．…②
由①+②得﹣1+1＜y+x＜0+2，∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2．
请按照上述方法，完成下列问题：
已知关于x、y的方程组的解都为非负数．
（1）求a的取值范围；
（2）已知2a﹣b=1，且，求a+b的取值范围；
（3）已知a﹣b=m（m是大于1的常数），且b≤1，求2a+b最大值．（用含m的代数式表示）
【答案】（1）；（2）；（3）最大值为3+2m．
【详解】试题分析：(1)、首先求出方程组的解，然后根据解为非负数得出a的取值范围；(2)、根据题意得出a=，然后根据a的取值范围得出b的取值范围，从而得出答案；(3)、根据a=m+b以及a的取值范围得出b的取值范围，然后得出最值.
试题解析：(1)、因为关于x、y的方程组的解都为非负数，
解得：，可得：， 解得：；
(2)、由2a﹣b=1，可得：， 可得：，解得：， 所以；
(3)、，所以，可得：，
可得：，同理可得：，
所以可得：
最大值为3+2m．
考点：不等式组的应用
2．阅读下列材料：
解答“已知x﹣y=2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围”有如下解法：
解：∵x﹣y=2，又∵x＞1，∴y+2＞1，即y＞﹣1
又y＜0，∴﹣1＜y＜0．…①
同理得：1＜x＜2．…②
由①+②得﹣1+1＜y+x＜0+2，∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2．
请按照上述方法，完成下列问题：
已知关于x、y的方程组的解都为非负数．
（1）求a的取值范围；
（2）已知2a﹣b=1，且，求a+b的取值范围；
（3）已知a﹣b=m（m是大于1的常数），且b≤1，求2a+b最大值．（用含m的代数式表示）
【答案】（1）；（2）；（3）最大值为3+2m．
【详解】试题分析：(1)、首先求出方程组的解，然后根据解为非负数得出a的取值范围；(2)、根据题意得出a=，然后根据a的取值范围得出b的取值范围，从而得出答案；(3)、根据a=m+b以及a的取值范围得出b的取值范围，然后得出最值.
试题解析：(1)、因为关于x、y的方程组的解都为非负数，
解得：，可得：， 解得：；
(2)、由2a﹣b=1，可得：， 可得：，解得：， 所以；
(3)、，所以，可得：，
可得：，同理可得：，
所以可得：
最大值为3+2m．
考点：不等式组的应用
3．阅读下列材料：
解答“已知，且，，试确定的取值范围”的过程如下：
解：，又，，
又，同理得：
由得，的取值范围是
请按照上述方法，解答下列问题：
若，且，，求的取值范围；
若，且，，求最大值．
【答案】(1)；(2)25.
【分析】利用题中方法得到，，然后把两个不等式相加得到的范围；先利用（1）方法得到，再利用b表示得到，然后利用一次函数的性质解决问题．
【详解】，
，
，
，解，
而，
，
同理可得，
得；
利用中的方法得到，
而，
当时，的值最大，最大值为25．
【点睛】本题是阅读理解题，类比题目中所给的运算方法解决问题是解决这类题目的基本思路.
真题感知
1．（2024·江苏南京·中考真题）某商场促销方案规定：单笔消费金额每满100元立减10元．例如，单笔消费金额为208元时，立减20元．甲在该商场单笔购买2件商品，立减了20元；乙在该商场单笔购买2件商品与1件商品，立减了30元．若商品的单价是整数元，则它的最小值是（ ）
A．1元 B．99元 C．101元 D．199元
【答案】A
【分析】本题考查了不等式的性质，正确的理解题意，列出不等式是解题的关键．本题可先根据甲的消费情况确定商品的价格范围，再结合乙的消费情况列出不等式，进而求出B商品单价的最小值
【详解】∵单笔消费金额每满100元立减10元，
∴2件商品的原价满足：，
∵乙在该商场单笔购买2件商品与1件商品，立减了30元，说明消费金额满了3个100元，
∴，
∴时，B有最小值为1即可；
故选：A
2．（2024·江苏苏州·中考真题）若，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，不等号方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变．
直接利用不等式的性质逐一判断即可．
【详解】解：，
A、，故错误，该选项不合题意；
B、，故错误，该选项不合题意；
C、无法得出，故错误，该选项不合题意；
D、，故正确，该选项符合题意；
故选：D．
3．（2024·江苏常州·中考真题）“绿波”，是车辆到达前方各路口时，均遇上绿灯，提高通行效率．小亮爸爸行驶在最高限速的路段上，某时刻的导航界面如图所示，前方第一个路口显示绿灯倒计时32s，第二个路口显示红灯倒计时44s，此时车辆分别距离两个路口480m和880m．已知第一个路口红、绿灯设定时间分别是30s、50s，第二个路口红、绿灯设定时间分别是45s、60s．若不考虑其他因素，小亮爸爸以不低于的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），则车速v（）的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
利用路程速度时间，结合小亮爸爸以不低于的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出车速的取值范围．
【详解】解： ．
根据题意得：，
解得：，
车速的取值范围是．
故答案为：．
4．（2024·江苏南京·中考真题）解不等式组：
【答案】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”是解题关键．
先求出每个不等式的解集，再求出公共解集即可．
【详解】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
∴原不等式组的解集为．
故答案为：．
5．（2024·江苏常州·中考真题）解方程组和不等式组：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查解方程组和一元一次不等式组：
（1）加减法解方程组即可；
（2）先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集．
【详解】（1）解：
，得：，解得：；
把代入①，得：，解得：；
∴方程组的解为：．
（2）解：，
由①，得：；
由②，得：；
∴不等式组的解集为：．
6．（2024·江苏扬州·中考真题）解不等式组，并求出它的所有整数解的和．
【答案】，整数和为6
【分析】本题主要考查解不等式组的整数解，掌握不等式的性质，不等式组的取值方法是解题的关键．
根据不等式的性质分别求出不等式①，②的解，再根据不等式组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解”即可求解，结合解集取整数，再求和即可．
【详解】解：，
由①得，，
解得，；
由②得，，
移项得，，
解得，，
∴原不等式组的解为：，
∴所有整数解为：，
∴所有整数解的和为：．
7．（2024·江苏盐城·中考真题）求不等式的正整数解．
【答案】，．
【分析】本题考查了求一元一次不等式的解集以及正整数解，先求出不等式的解集，进而可得到不等式的正整数解，正确求出一元一次不等式的解集是解题的关键．
【详解】解：去分母得，，
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
系数化为得，，
∴不等式的正整数解为，．
8．（2024·江苏连云港·中考真题）解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】，图见解析
【分析】本题主要考查解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式的解集，根据去分母，去括号，移项，合并同类项可得不等式的解集，然后再在数轴上表示出它的解集即可.
【详解】解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
解得．
这个不等式的解集在数轴上表示如下：

思维导图
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