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华安一中2025届高三数学模拟试卷
一、单选题（40分）
1．设集合，，若只含一个元素，则（ ）
A． B． C． D．
2．在复平面内，(为虚数单位)对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．过双曲线的左焦点F的直线l与双曲线C的一条渐近线交于P点，且另一条渐近线垂直平分线段PF，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
4．设函数，若在内恰有3个零点，则的取值不可以为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数 ，方程 的根的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．已知向量与的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
7．设椭圆的左，右焦点分别为，点在上运动，点在圆：上运动，且恒成立，则的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．设则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题18分
9．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角.角度用弧度制表示.例如：正四面体每个顶点均有个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为.如图，在正方体中，，则（ ）
A．在四面体中，点的曲率为
B．在四面体中，点的曲率大于
C．四面体外接球的表面积为
D．四面体内切球半径的倒数为
10．已知函数，则下列结论正确的有（ ）
A．函数的最小正周期为 B．函数在上有2个零点
C．函数的图象关于对称 D．函数的最小值为
11．已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，，离心率为，直线l过点与椭圆C交于M，N两点，若x轴上存在一定点P，使得的内切圆圆心在x轴上.则下列结论正确的有（ ）
A．椭圆C的方程为
B．的周长为4
C．定点P的坐标为
D．当轴时，的内切圆圆心坐标为
三、填空题（15）
12．已知曲线在处的切线与轴垂直，则实数的值为 .
13．已知等差数列的前n项和为，则 ．
14．投掷一枚质地均匀的硬币，若出现连续三次正面朝上的情况，则停止投掷，那么投掷总次数的数学期望为
四、解答题
15（13分）．2025年春节期间，电影《哪吒之魔童闹海》掀起全民观影热潮，连续7天票房逆势攀升，单日最高突破8.6亿元，吸引部分家庭携老扶幼共赴影院，缔造中国影史春节档票房与观影人次双冠王的奇迹.某电影院为了解民众观影的喜欢程度，随机采访了180名观影人员，得到下表：
是否成年人 是否喜欢 合计
不喜欢 喜欢
未成年人 80 100
成年人 20 80
合计 180
(1)求的值；
(2)依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢电影《哪吒之魔童闹海》与是否成年有关？
(3)用频率估计概率，现随机采访一名成年人和一名未成年人，设表示这两人中非常喜欢电影《哪吒之魔童闹海》的人数，求的分布列和数学期望.
参考公式：
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
16（15分）．已知数列满足：，且．
(1)求的通项公式；
(2)若记为满足不等式的正整数的个数，求数列的前项和．
17（15分）．在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点，，，.
（1）求证：平面平面；
（2）若，求直线与所成角的余弦值.
18（17分）．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足．
(1)求证：；
(2)若是锐角三角形，且角A的平分线交BC边于D，且，求边b的取值范围．
19（17分）．在平面直角坐标系中，椭圆，左右焦点分别是，，点A是椭圆上的任意一点，A到原点O的距离最大为．
(1)若面积的最大值为1，求椭圆的表达式；
(2)若，过点A（异于顶点）作长轴的垂线，垂足为M，连接AO并延长交椭圆于另一点B，连接BM交椭圆于另一点C，证明：；
(3)在（2）的条件下，过点A作不经过的直线l，其斜率为k，交椭圆于另一点D，到直线l的距离为d．如果直线、l、的斜率依次成等差数列，求d的取值范围．
试卷第1页，共3页
《华安一中2025届高三数学模拟试卷》参考答案
1．D【详解】集合表示直线上及上侧所有点，集合表示圆心在，半径为1的圆上所有的点，又与相切，所以若只含一个元素，则，
故选：D
2．C【详解】因为，
所以对应的点为，位于第三象限.故选：C.
3．B
【详解】

如图，设双曲线的渐近线分别与直线交于点，
依题意，直线垂直平分，则，
由渐近线的对称性知，，故，
在中，因，则，
故，解得.
故选：B.
4．C【详解】当时，
因为在内恰有3个零点，，即存在有3个不同的解使得，
当时，，所以满足的值有，符合题意；
当时，，所以满足的值有，符合题意；
当时，，所以满足的值有，不符合题意；
当时，，所以满足的值有，符合题意；
故选：C
5．B
【详解】当时， ，故是的一个周期，
又时，，则，
作出函数和的函数图象，
因， ，
结合图象可知，和的函数图象交点个数为.
故选：B
6．C【详解】由题，
，
，
所以．
故选：C．
7．C【详解】由题可得圆半径为，因恒成立，
则.由椭圆定义，可得，
如图，当三点共线时，最大，为，又对于圆外一点P，
当三点共线时最大，又，则，
即，取最值时，四点共线.
则，即，所以，即.
故选：C
8．B
【详解】令，则，
所以在上单调递增，
所以，即，
又，即，可得，
，所以，
综上.
故选：B.
9．ABD
【详解】在正方体中，易证为正三角形，，，
在四面体中，点的曲率为，A选项正确；
在正方体中，，，，在四面体中，点的曲率为，B选项正确；
四面体外接球的半径即为正方体外接球的半径为，
四面体外接球的表面积为，C选项错误；
四面体的体积，
四面体的表面积，
四面体内切球的半径，
即，D选项正确；
故选：ABD.
10．BC
【详解】对于A选项，函数，故为的一个周期，又的最小正周期为，的最小正周期为，故函数的最小正周期为，故A错误；
对于B选项，令得，，在同一坐标系中作出函数和函数的图象可知，当时，两图象有两个交点，故B正确；
对于C选项，，
所以，故的图象关于点中心对称；
对于D选项，
，
当时，，得，得，；当时，，得，；
故函数在上递增，在上递减；又
所以当处取得最小值，
故，故D错误；
故选：BC.
11．ACD【详解】对于A选项，已知，可得.又离心率，则.由，得，所以椭圆方程为，故A正确.
对于B选项，周长为，根据椭圆定义，，，，所以周长是，故B错误
对于C选项，，设，，.
根据题意,设方程，与椭圆方程联立得，由韦达定理，.
因为内心在轴上，所以，即，
即，即，
经化简得，代入韦达定理则，得，解得.
故C正确.
对于D选项，轴时，直线MN方程，代入椭圆方程得.
设内切圆圆心，不妨设直线，根据点到直线距离公式，解得，舍去，故D正确.
故选：ACD.
12．/0.5
【详解】对函数求导得，，
因为曲线在处的切线与轴垂直，
所以，解得.
故答案为：.
13．8【详解】设公差为，则，
故，
又，故，
.
故答案为：8.
14．【详解】设为当前没有连续正面或者最近一次是反面，
为当前连续正面的次数为1，为当前连续正面的次数为2，
为当前连续正面的次数为3，
设为分别表示而到投掷的期望次数，，
由题设有，
从开始，若抛出正面，则期望次数变为，若抛反面，则期望次数变为，
故即，
同理，
所以，故，
故，故，
故答案为：.
15．【详解】（1）由列联表可知所以；
（2）零假设：喜欢电影《哪吒之魔童闹海》与是否成年无关
根据表中数据得：.根据小概率值的独立性检验，没有充分证据证明喜欢电影《哪吒之魔童闹海》与是否成年有关；
（3）由题可知，随机采访一位未成年人，则该未成年人喜欢电影《哪吒之魔童闹海》的概率为，随机采访一位成年人，则该成年人喜欢电影《哪吒之魔童闹海》的概率为
的可能取值为，，
，，
所以X的分布列为
0 1 2
.
16．【详解】（1）由，即，则为等差数列，
又，则数列的公差为，故.
（2）由题设，则，
故，
所以，记，
所以，
两式相减，得，
所以，
所以.
17．【详解】（1）为的中点，且，则，
又因为，则，故四边形为平行四边形，
因为，故四边形为矩形，所以，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
因为平面，因此，平面平面；
（2）连接，由（1）可知，平面，，为的中点，则，
以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则、、、、，
设，
,
因为，则，解得，
，
，则.
因此，直线与所成角的余弦值为.
18【详解】（1）因为，由正弦定理有：，
所以，
，
，
，
因为、，所以，
又因为，所以，所以，
因为，
所以有：，，或，（舍），
所以得证.
（2）因为是锐角三角形，，所以，
所以，解得，
因为为的平分线，且，
所以，所以，
在中，，，
由正弦定理有：，即，
所以
，
因为，所以，
令，则，，
令，，
根据函数解析式，在上单调递减，
因为，，所以，
所以.
19．【详解】（1）依题意，，解得，
所以椭圆的方程为
（2）设，则，
由，得，直线的斜率分别为，
则，，
因此，即，所以.
（3）当直线的方程为，由，得，
，即，
椭圆左、右焦点，设,
由直线的斜率依次成等差数列，得，
又，则，
化简并整理得:，若，则直线：过点，不符合题意，
则，即，此时，整理得，
因此，解得，记点到直线的距离为，
则，
令，在上单调递减，则，
所以d的取值范围是.
答案第1页，共2页

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