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2024-2025甘肃省定西市渭源县第二高级中学期末预测卷2
高一年级 数学
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个正确选项．
1．在复平面内，i为虚数单位，若复数z＝（1+i）（2﹣i），则z的实部为（　　）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
2．将两枚质地均匀的骰子同时投掷，设事件A＝“两枚骰子掷出点数均为偶数”，若连续投掷100次，则事件A发生的频数为（　　）
A．20 B．25 C．50 D．无法确定
3．样本数据11，12，13，14，15，16，17，18，19，20的第80百分位数是（　　）
A．18 B．19 C．18.5 D．18或19
4．已知点P（2，0），Q（3，2），向量，则向量在方向上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
5．已知圆O的半径为2，弦AB＝2，D为圆O上一动点，则的最小值为（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣4 D．﹣6
6．在△ABC中，a＝6，c＝10，，则边b＝（　　）
A．6 B．10 C．14 D．
7．已知四棱柱ABCD﹣EFGH的高为3，其底面ABCD水平放置的直观图（斜二测画法）A'B'C'D'如图所示，其中A'B'＝2A'D'＝2D'C'＝2，A'B'∥C'D'，则这个四棱柱的体积为（　　）
A． B． C． D．
8.已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面积为，若该三棱柱的顶点都在同一个球O的表面上，则球O的表面积的最小值为（　　）
A．12π B．16π C．36π D．64π
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.
9.某校举办羽毛球比赛，有4名同学进入半决赛，这4名同学恰好来自两个不同的班，每班两名同学，现通过摸球决定半决赛分组情况．袋子里有大小、质地完全相同的2个黄球、2个白球，共4个球．这4名同学每人不放回地摸出一个球，摸到同色球的两人对战，且摸到黄色球两人先进行比赛，胜者进入决赛．记事件A＝“决赛两人来自同一个班”，事件B＝“决赛两人来自不同班”，事件C＝“先进行半决赛两人来自同一个班”，事件D＝“后进行半决赛两人来自不同班”．则（　　）
A．P（A∪B）＝1 B．A与B互斥但不对立
C．C与D对立 D．P（A）+P（B）＝P（C）+P（D）
10．在△ABC中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c．已知（a+b）（sinA+sinB）＝csinC+asinB，c＝6，则下列结论正确的是（　　）
A．
B．△ABC外接圆的半径为2
C．△ABC面积的最大值为3
D．若CD为△ABC的中线，则CD的最小值为
11．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是A1A，C1C的中点，点P是线段A1C1上的动点，则下列结论正确的是（　　）
A．点P到平面BEF的距离不变
B．平面BEF截该正方体所得的截面面积为5
C．当点P在线段A1C1上运动时，始终有PD∥平面AB1C
D．D1P+PC的最小值为
三．填空题（每题5分，共15分）
12.已知，则P（A∩B）＝　 　
13.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中a＝4，b＝6，∠C＝120°，若点D在AB边上，且CD为∠C的角平分线，则CD＝　 　 ．
14.在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，O点是内心，且λ1λ2，则λ1+λ2＝　 　
四．解答题（共5小题，共77分）
15．（13分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2c﹣b＝2acosB．
（1）求角A；
（2）若△ABC的面积为为AC的中点，求BD长度的最小值．
．
16．（17分）如图，AB是圆柱OO1的一条母线，BC是底面的一条直径，D是圆O上一点，且AB＝BC＝5，CD＝3．
（1）求直线AC与平面ABD所成角正弦值；
（2）求点B到平面ACD的距离．
17．（15分）为提高国民法律意识，某地开通了网上学法考试平台，方便广大群众网上学习法律知识，并且可以通过考试检测自己学习情况．为了解广大群众学习法律知识的情况，在参与考试的男性参考者和女性参考者中各随机抽取10名参考者的考试成绩，得分如下：
男性参考者考试成绩：70，74，85，84，82，81，92，89，98，95．
女性参考者考试成绩：69，71，82，84，75，88，89，87，95，97．
（1）求抽取的男性参考者考试成绩的平均数、极差和方差；
（2）若规定得分在90分及以上的为成绩优秀，从上述成绩优秀的人员中任取2人，求这2人性别相同的概率．
18．（15分）已知，是平面内两个不共线的向量，若，，．
（1）证明：A，B，C三点共线；
（2）若，，点D（2，1），B，C，D，P恰好构成平行四边形BCDP，求点P的坐标．
19．（17分）在三棱锥A﹣BCD中，AB＝AD，CB＝CD，O为BD的中点．
（1）证明：平面ABD⊥平面OAC．
（2）过O点作一个平面α，使得平面α∥平面ACD，请画出这个平面α，并说明理由．
（3）若AB＝BC＝BD＝2，平面ABD⊥平面BCD，求点B到平面ACD的距离．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D D C C B C D A
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 ACD BCD ACD
三．填空题（共3小题）
12.．
13.．
．
四．解答题（共5小题）
15.解：（1）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2c﹣b＝2acosB，
由正弦定理得2sinC﹣sinB＝2sinAcosB，
又sinC＝sin（A+B），
则sinB＝2sin（A+B）﹣2sinAcosB
＝2（sinAcosB+cosAsinB）﹣2sinAcosB＝2cosAsinB，
而sinB＞0，则，
又A∈（0，π），所以；
（2）依题意，，由（1）知，得bc＝16，
在△ABD中，由余弦定理得，
当时取到等号，
所以BD的最小值为．
16.解：（1）∵AB⊥平面BCD，BC，CD 平面BCD，
∴AB⊥CD，AB⊥BC；
∵BC是圆O的直径，
∴BD⊥CD，
又AB∩BD＝B，AB，BD 平面ABD，
∴CD⊥平面ABD，
∴∠CAD即为直线AC与平面ABD所成角，
∵AB＝BC＝5，AB⊥BC，
∴，
又CD＝3，
∴，即直线AC与平面ABD所成角的正弦值为．
（2）过B作BM⊥AD，垂足为M，
由（1）得：CD⊥平面ABD，CD 平面ACD，
∴平面ABD⊥平面ACD，
又平面ABD∩平面ACD＝AD，BM 平面ABD，BM⊥AD，
∴BM⊥平面ACD，
∵，
∴，
根据等面积法知：，
∴，
即B到平面ACD的距离等于．
17.（1）平均数：85
极差：28
方差：70.6
18.解：（1）证明：因为已知，是平面内两个不共线的向量，
又因为，所以．
所以A，B，C三点共线．
（2）设点P的坐标为（x，y），则，，
因为B，C，D，P恰好构成平行四边形BCDP．所以，
即，解得，
所以点P的坐标为（0，2）．
解：（1）证明：因为AB＝AD，CB＝CD，O为BD的中点，
所以OA⊥BD，OC⊥BD，
又因为OA，OC 平面OAC，OA∩OC＝O，所以BD⊥平面OAC，
又因为BD 平面ABD，所以平面ABD⊥平面OAC；
（2）取AB的中点E，BC的中点F，连接OE，OF，EF，
又因为O为BD的中点，所以OE∥AD，
又因为OE 平面ACD，AD 平面ACD，所以OE∥平面ACD，
同理可得OF∥平面ACD，
因为OE∩OF＝O，OE，OF 平面OEF，所以平面OEF∥平面ACD，
所以平面OEF即为所求的平面α．
（3）因为平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，OA⊥BD，OA 平面ABD，
所以OA⊥平面BCD，
因为AB＝BC＝BD＝2，所以△ABD，△BCD均为等边三角形，
所以，所以，
所以，
因为OA⊥平面BCD，OC 平面BCD，所以OA⊥OC，
由勾股定理得：，
取AC的中点H，连接DH，
因为在△ACD中，，所以DH⊥AC，
所以，，
设点B到平面ACD的距离为d，VB﹣ACD＝VA﹣BCD，
所以，解得．
所以点B到平面ACD的距离为．

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