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2025年湖北省恩施市中考数学三模试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.刘徽在九章算术中有“今两算得失相反，要令正负以名之”可翻译为“今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数”若将湘江的水位下降记作“”，则“”表示湘江的水位( )
A. 下降 B. 上升 C. 上升 D. 下降
2.如图，小明用由个相同的小立方体搭成的立体图形研究几何体的三视图的变化情况．若由图变到图，不改变的是( )
A. 主视图 B. 主视图和左视图 C. 主视图和俯视图 D. 左视图和俯视图
3.计算中的结果是( )
A. B. C. D.
4.我国古代数学名著孙子算经中记载了一道题，大意是：匹马恰好拉了片瓦，已知匹大马能拉片瓦，匹小马能拉片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有匹，小马有匹，那么可列方程组为( )
A. B.
C. D.
5.某校秋季运动会裁判将名三级跳远运动员的成绩录入电脑后，计算得出运动员成绩的平均数为米，方差为核对成绩时，发现号运动员成绩应为米，错误输入为米，号运动员成绩应为米，错误输入为米，更正后实际成绩的方差是，则( )
A. B. C. D.
6.按一定规律排列的代数式：，，，，，第个代数式是( )
A. B. C. D.
7.如图，直线，点在直线上，，，则的度数是( )
A. B. C. D.
8.三角形的面积一定，的长为，边上的高为，则与的函数关系用图象大致表示为( )
A. B. C. D.
9.如图，为的直径，为的中点，，连接和，交于点，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
10.已知、是一元二次方程的两个不相等的实数根，、是一元二次方程的两个不相等的实数根，其中若，则的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11. ．
12.计算的结果为______．
13.现有五个小球，每个小球上面分别标着，，，，这五个数字中的一个，这些小球除标的数字不同以外，其余的全部相同，把分别标有数字、的两个小球放入不透明的口袋中，把分别标有数字、、的三个小球放入不透明的口袋中，现随机从和两个口袋中各取出一个小球，把从口袋中取出的小球上标的数字记作，从口袋中取出的小球上标的数字记作，且，则关于的二次函数与轴有交点的概率是______．
14.如图，海中有一小岛，它周围海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行．在点测得小岛在北偏东方向上，航行海里到达点，这时测得小岛在北偏东方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，那么渔船还需航行 海里就开始有触礁的危险．
15.如图，在中，，为边上的高，为边的中点，点在边上，，若，，则边的长为______．
三、解答题：本题共9小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
计算：．
17.本小题分
如图，在边长为的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
试判断的形状，并说明理由；
在格点上找一点，使四边形是平行四边形，请画出这个四边形．
18.本小题分
综合与实践：某校七年级课外实践小组进行进位制的认识与探究活动，过程如下：
【进位制的认识】
进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，即“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．
为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，就是二进制数的简单写法十进制数一般不标注基数．
一个数可表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式规定当时，如：；．
【解决问题】
我国古代易经一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数例如图表示的是孩子出生后天时打绳结的情况因为：，那么由图可知，孩子出生后的天数是______天
类比十进制加减法计算结果保留二进制．
例如；
写出 ______．
小华设计了一个进制数，换算成十进制数是，求的值为正整数．
19.本小题分
年月日，“天宫课堂”第二课开讲“太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站为广大青少年又一次带来了精彩的太空科普课为了激发学生的航天兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下组满分分，组：，组：，组：，组：，组：，并绘制了如下不完整的统计图请结合统计图，解答下列问题：
本次调查一共随机抽取了______名学生的成绩，频数分布直方图中 ______，所抽取学生成绩的中位数落在______组填、、、、；
补全学生成绩频数分布直方图；
学校将从获得满分的甲乙丙名学生中，随机抽取名参加周一国旗下的演讲，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有甲同学的概率．
20.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，，轴，，双曲线经过点，将绕点逆时针旋转，使点的对应点在轴的正半轴上若的对应线段恰好经过点．
求双曲线的解析式．
小彬通过观察图形得出一个结论：点在双曲线上请你证明这个结论的正确性．
21.本小题分
如图，为的直径，点，分别位于直径的两侧，连接，，，与相交于点，，交的延长线于点，．
求证：是的切线．
若，，求的长．
22.本小题分
碧玉妆成一树高，万条垂下绿丝绦阳春三月，垂柳吐绿，生机盎然，依依垂柳的新芽，形成一道美丽的风景如图是某公园的一棵垂柳局部，这棵垂柳中某一枝的形状呈如图所示的抛物线形，它距离地面的高度与到树干的水平距离之间满足关系式、为常数，已知这枝柳条的始端到地面的距离，末端恰好距离水平地面处，且末端到树干轴的水平距离为注：树干近似看作直线，且与地面垂直，无风，柳条不动
求该抛物线的函数表达式；
王刚的身高为，他从点出发沿轴正方向走，请计算王刚走了多少米时，头顶恰好碰到这枝柳条？
23.本小题分
如图，在等边三角形中，为边上一点，满足，连接，以点为中心，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在射线上．
求证：．
如图，若点关于直线的对称点为，直线交于点，连接．
求证：．
若，求的度数．
24.本小题分
在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交轴于、两点，交轴于点，点是抛物线的顶点，连接和．
如图，求抛物线的解析式；
如图，点在第一象限对称轴右侧的抛物线上，过点作的垂线，垂足为，设的长为，点的横坐标为，求与之间的函数关系式不要求写出自变量的取值范围；
如图，在的条件下，的延长线交于，过点作轴的平行线与的延长线交于点，连接，当时，求的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：“”表示湘江的水位上升；
故选：．
2.【答案】
【解析】主视图都是第一层三个正方形，第二层左边一个正方形，故主视图不变；
左视图都是第一层两个正方形，第二层左边一个正方形，故左视图不变；
俯视图底层的正方形位置发生了变化．
不改变的是主视图和左视图．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：由题意得：，
故选：．
5.【答案】
【解析】解：由题意可知，录入有误的两个数的和为，实际的两个数的和为，
所以更正后实际成绩的平均数是与原来平均数相同，方差变小，
所以，
故选：．
6.【答案】
【解析】解：罗列前个数据，寻找规律：
第个代数式是，
第个代数式是，
第个代数式是，
第个代数式是，
第个代数式是，
，
第个代数式是．
故选：．
7.【答案】
【解析】解：如图，
因为直线，，
所以，
因为，
所以，
因为，
所以，
所以．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：设三角形的面积为，
则，
，
的长为，边上的高为是反比例函数，
函数图象是双曲线；
，，
该反比例函数的图象位于第一象限．
9.【答案】
【解析】解：如图，连接，，，
为的直径，
，
为的中点，
，
，
，
，
，
．
故选：．
10.【答案】
【解析】解：将方程和转化成函数和，
如图所示，两条抛物线都交于点，
，
，
两条抛物线的对称直线的值为和，
，
，
，
将点代入得：．
故选：．
11.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
12.【答案】
【解析】解：
故答案为：．
13.【答案】
【解析】解：画树状图如下：
关于的二次函数与轴有交点，
，即，
则关于的二次函数与轴有交点的概率为，
故答案为：．
14.【答案】
【解析】如图，过作于点，则的长是到的最短距离，
，，
，，
，
海里，
，，
海里，
由勾股定理得：海里，且
如图，设渔船还需航行海里就开始有触礁的危险，即到达点时有触礁的危险，
在直角中，由勾股定理得：．
解得．
渔船还需航行海里就开始有触礁的危险．
故答案是：．
15.【答案】
【解析】解：过作于，
为边上的高，
，
，
，
，，
，，
取的中点，连接，，
为边的中点，
，
，
，，
，
∽，
，
，
，
．
故答案为：．
16.【答案】解：
．
17.【答案】解：结论：是直角三角形．
理由：，，，
，
，
是直角三角形；
如图，四边形即为所求．

18.【解析】天，
即孩子出生后的天数为天，
故答案为：；
；
故答案为：；
由题意，得：，
解得：或舍去；
故．
19.【解析】解：本次调查一共随机抽取的学生总人数为：名，
组的人数为：名，
，
所抽取学生成绩的中位数是第个和第个成绩的平均数，，
所抽取学生成绩的中位数落在组，
故答案为：，，；
组的人数为：人，
补全学生成绩频数分布直方图如下：
画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中抽取同学中恰有恰有甲同学的结果有种，
抽取同学中恰有甲同学的概率为．
20.【答案】解：轴，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，，
过点作轴，
，
，
；
双曲线经过点，
．
双曲线的解析式为．
，，
，
，
，
，
，
，
，
点在双曲线上．
21.【解析】证明：，，
，
，
，
，
为的半径，
是的切线；
如图，连接．
设的半径为，则，
，
∽，
，
，
解得，
，，
在中，
，
，，
∽，
，
，
．
22.【解析】解：由题意得：，，
把，代入中得：
，
解得：，
；
把代入中得：，
解得：，舍去，
王刚走了米时，头顶恰好碰到这枝柳条．
23.【答案】证明：是等边三角形，
，，
由旋转可知：，，
，
，
在和中，
，
≌，
；
证明：点关于直线的对称点为，
，，
，
，
设，则，
，
，
，
，
；
解：点关于直线的对称点为，
，
，
由知，，
如图，连接，
则，
，
由知：，
，
，
，
由知，，
，
，
，
．
24.【解析】顶点坐标为，
抛物线的对称轴为直线，
，即．
把代入，得：．
，
，
．
抛物线的解析式为；
抛物线交轴于、两点，交轴于点，
当时，得：，
解得：，；
当时，得：，
，，，
，
在中，，
由勾股定理得：，．
点在抛物线上，
．
过作于点，交于点如图，则，
，，，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
设直线的解析式为，将点，点的坐标分别代入得：
，
解得：，
直线的解析式为，
轴，
，
点在直线上，
，
，
．
延长交轴于点，如图，
．
在和中，
，
≌，
．
，
，
，
过作于点，
，
，
，
，
，不合题意，舍去，
，
过点作于点，
则，，
在中，，
由勾股定理得：．
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