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菏泽市大同中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试卷
一、选择题
1．已知某质点的位移函数为，则当时，该质点的瞬时速度是( )
A. B. C. D..
2．甲，乙，丙3名学生约定：利用假期观看A，B，C，D，E这5部新上映的电影，待返校后互相分享精彩内容.返校后，已知5部电影都有人观看，且每部电影只有一个人观看，则所有观看电影的情况种数为( )
A.150 B.243 C.183 D.393
3．将一根长为3的铁丝截成9段,使其组成一个正三棱柱的框架（铁丝长等于正三棱柱所有棱的长度之和）,则该正三棱柱的体积最大为( )
A. B. C. D.
4．如图,函数的图象在点P处的切线方程是,则( )
A. B.2 C. D.
5．已知函数，则函数在处的切线方程为( )
A. B.
C. D.
6．已知函数,则下列说法正确的是( )
A.的极小值为 B.的极大值为
C.在区间上单调递增 D.在区间上单调递减
7．已知,设函数,若存在,使得,则a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8．函数在R上单调,则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．数学竞赛小组有高一学生2人,高二学生4人,高三学生6人,则( )
A.若每个年级各选1名学生外出培训,则共有12种不同的选法
B.若选派2名学生外出培训,这2人来自不同年级,则共有44种不同的选法
C.若选派3名学生外出培训,恰好有1人来自高二年级,则有116种不同的选法
D.若选派3名学生外出培训,高三年级的甲乙两位同学不能同时参加,则共有210种不同的选法
10．已知函数，，则下列判断正确的是( )
A.方程有两个根
B.函数有2个零点
C.当时，函数的图像总在函数图像的上方
D.函数的最大值为1
11．已知函数，则( )
A.当时，的单调递减区间为
B.存在，使得有三个零点
C.当时，的极小值点为
D.当时，曲线的对称中心为
三、填空题
12．如图，用4种不同颜色对图中4个区域涂色，要求每个区域涂1种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有___________种.
A D
B
C
13．在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”.则_________旋转函数（填：“是”或者“不是”）；若是旋转函数，则a的取值范围是________.
14．已知函数若对于任意的都有成立，则实数a的取值范围为___________.
四、解答题
15．有4名男生，3名女生，共7个人从左至右站成一排，在下列情况下，各有多少种不同的站法.
(1)男生 女生各站在一起；
(2)男生必须站在一起；
(3)男生互不相邻，且女生也互不相邻.
(4)最左端只能站某生甲或乙，最右端不能站某生甲，则有多少种不同的站法？
16．为响应国家提出的“大众创业万众创新”的号召,小王大学毕业后决定利用所学专业进行自主创业,生产某小型电子产品.经过市场调研,生产该小型电子产品需投入年固定成本2万元,每生产万件,需另投入流动成本万元.已知在年产量不足4万件时,,在年产量不小于4万件时,.每件产品售价6元.通过市场分析,小王生产的产品当年能全部售完.
（1）写出年利润（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式.（年利润=年销售收入-年固定成本-流动成本.）
（2）年产量为多少万件时,小王在这一产品的生产中所获年利润最大 最大年利润是多少
17．已知.
(1)求函数的极值；
(2)过点做曲线的切线l,求切线l的方程.
18．若存在实数a,使得对任意恒成立,则称在D上被a控制.
（1）已知函数在上被a控制,求a的取值范围.
（2）（i）证明:函数在上被1控制.
（ii）设,证明:.
19．函数和有相同的定义域,导函数分别为,,若在定义域内均有,则称是的“－函数”.
(1)判断是否为的“－函数”,并证明;
(2)设和为定义在R上的函数,已知,,是的“－函数”,证明：（c为常数）;
(3)若,,,,证明：是的“－函数”.
参考答案
1．答案：D
解析：由题意可得，
所以，
即该质点的瞬时速度是.
故选：D
2．答案：B
解析：分三类，第一类：1个人观看5部电影有3种情况；
第二类：2个人观看5部电影有种情况；
第三类：3个人观看5部电影有种情况；
所以共有：种情况.
故选：B.
3．答案：C
解析：设正三棱柱的底面边长为x,侧棱长为y,则,即.
正三棱柱的体积,.
当时,,当时,,所以函数在上单调递增,在上单调递减,
所以当时,V取得最大值,最大值为.
故选:C.
4．答案：D
解析：依题意可知切点,
函数的图象在点P处的切线方程是,
,即
又
即
故选：D.
5．答案：D
解析：易知，
可得，又，
所以切线方程为，
即.
故选：D
6．答案：B
解析：因为,所以,
令,得或;令,得;
所以在区间,上单调递增,在区间上单调递减,
所以在处有极大值,极大值为;
在处有极小值,极小值为.
故选：B.
7．答案：D
解析：当时,易知的最小值为,
当时,,令,解得,
若,则在上单调递增,且时,,
所以只需,解得或,
又,所以,
若,则在上单调递减,在上单调递增,
成立,所以符合题意,
综上,a的取值范围是.
故选:D.
8．答案：C
解析：由题意,函数在R上单调递增,当时,,依题需使恒成立,则;
当时,由在上递增,需使在上恒成立,则,即;
又由在R上递增,可得,解得.
综上可得,a的取值范围是.
故选:C.
9．答案：BD
解析：选项A:每个年级各选1名学生外出培训,则共有种不同的选法,A选项错误;
选项B:若选派2名学生外出培训,这2人来自不同年级,则共有种不同的选法,故B正确;
选项C:若选派3名学生外出培训,恰好有1人来自高二年级,则有种不同的选法,故C错误;
选项D:若选派3名学生外出培训,高三年级的甲乙两位同学不能同时参加,则共有种情况,故D正确,
故选:BD
10．答案：ACD
解析：A选项，，
定义域为，
令，则，
令得，
令得或，
故在上单调递增，在，上单调递减，
其中，当时，恒成立，
画出及的图像如下：
可以看出两函数有两个不同的交点，故有两个根，A正确；
B选项，，定义域为R，
令得，只有1个零点，B错误；
C选项，令，
则，
令得，令得，
故在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，也是最小值，，
故当时，，函数的图像总在函数图像上方，C正确；
D选项，定义域为R，
，
令得，令得，
故在上单调递增，在上单调递减，
故在处取得极大值，也是最大值，最大值为，D正确
故选：ACD
11．答案：AD
解析：由，得，
对于A，当时，，令，
即，解得或，当时，恒成立，
所以在区间上单调递减，故A正确；
对于B，令，解得或，
又，所以当时，恒成立，
所以在区间上单调递增，
当时，恒成立，所以在区间上单调递减，
当时，恒成立，所以在区间上单调递增，
所以当时，函数取得极大值，，
当时，函数取得极小值，
，
所以不存在，使得有三个零点，故B错误；
对于C，令，解得或，
又，所以当时，恒成立，
所以在区间上单调递增，
当时，恒成立，所以在区间上单调递减，
当时，恒成立，所以在区间上单调递增，
所以，是函数的极小值点，故C错误；
对于D，当时，函数，曲线，
因为的对称中心为，曲线的图像可由的图像向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到，
根据函数图像的平移性质，曲线的对称中心为，故D正确.
故选：AD.
12．答案：48
解析：按照分步计数原理，
第一步：涂区域1，有4种方法；
第二步：涂区域2，有3种方法；
第三步：涂区域3，分两类：（1）区域3与1同色，则区域4有2种方法；（2）区域3与1不同色，则区域3有2种方法，区域4有1种方法；
所以不同的涂色种数有种．
故答案为：48
13．答案：是
解析：在旋转后所曲线上任取一点，旋转前点P对应的点为，
不妨设，设点，即，，
将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，
可得，即点，
即，，
因为，可得变形可得，曲线为函数，
所以，是旋转函数；若函数是旋转函数，
将函数的图象绕着原点逆时针旋转后，
不存在与x轴垂直的直线，使得直线与旋转后的函数图象1个以上的交点.
故不存在直线与函数的图象有两个交点，
即对任意的，方程至多一解，即至多一解，
令为单调函数，则，
因为，故对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
当时，则对任意的恒成立，合乎题意；
当时，则，
令，其中，则，
由可得，由可得，
所以，函数的减区间为，增区间为，
所以，，且函数无最大值，所以此时不合乎题意；
当时，则，此时，，解得.
综上所述，实数a的取值范围是.
故答案为：.
14．答案：
解析：对于任意的都有恒成立，
等价于在上恒成立.
令，则，，
当时，，
即在上递增，
故，所以，
所以在上单调递增，
所以，所以，
所以实数a的取值范围是.
故答案为：.
15．答案：(1)288
(2)576
(3)144
(4)1320
解析：(1)男生必须站在一起，即把4名男生全排列，有种排法，
女生必须站在一起，即把3名女生全排列，有种排法，
全体男生、女生各看作一个元素全排列有种排法，
由分步乘法计数原理知共有（种）排法.
(2)把所有男生看作一个元素，
与3名女生组成4个元素全排列，
故有（种）不同的排法.
(3)先排男生有种排法，
然后让女生插空，有种排法，
所以共有（种）不同的排法.
(4)若最左端站某生甲，余下6名同学全排列共有种排法；
若最左端站某生乙，
则应先排某生甲，有种排法，
剩余5名同学全排列共有种排法，
由分步计数原理知共有种排法.
根据分类加法计数原理可得，共有种.
16．答案：（1）;
（2）当年产量为8万件时,所获年利润最大,为9万元.
解析：（1）由题意,当时,;当时,.
所以.
（2）当时,,令,解得.
易得在上单调递增,在上单调递减,所以当时,
.
当时,,
当且仅当,即时取等号.
综上,当年产量为8万件时,所获年利润最大,为9万元.
17．答案：(1)答案见解析
(2)
解析：(1)函数定义域为R,,
当时,,则在R上单调递增,此时无极值；
当时,令,则,则在上单调递增；
令,则,则在上单调递减；
此时的极小值为,无极大值.
综合上述,当时,无极值；
当时,的极小值为,无极大值.
(2)设直线与曲线的切点坐标为,
由(1)知,则在点A处的切线斜率为,
故切线方程为,①
将点代入得
解得.
代回①得切线方程为.
18．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）令,则.
①当时,,所以在上单调递增.
因为,所以恒成立.
②当时,令,得,所以在上单调递减,在,上单调递增.
所以,
解得.
综上所述,a的取值范围是.
（2）证明:（i）要证在上被1控制,
只需证明,,
即证.
令,,
可得
.
当时,,即在区间上为增函数,
所以.原命题得证.
（ii）由（i）可知,当）时,,
则,
即,
则有,
即,
故.
19．答案：(1)是的“－函数”,证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
解析：(1)由函数,可得,
又由,可得,
因为,所以是的“－函数”.
(2)由为定义在R上的函数,可得函数的定义域为R,
因为,所以为偶函数,
又因为是的“－函数”,所以,
因为,,所以是的“－函数”,
即,用代替x,可得,所以,
令,则,所以（c为常数）,
所以（c为常数）
(3)由函数,,
可得,,
设,可得,
设,则,
则,所以递增,即递增,且,,
存在使得,,
当时,,单调递减;
当时,,单调递增,
所以,
设,可得,
当时,,单调递增;
当时,,单调递减,
所以,所以,即,
所以,
因为,所以,所以,即,
所以当时,是的“－函数”

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