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广东省江门市培英中学2024年中考数学一模试卷
1．（2024·江门模拟）计算的结果等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】有理数的加法法则
【解析】【解答】解：．
故选B．
【分析】根据有理数的加法即可求出答案.
2．（2024·江门模拟）以下是四个银行标志图案，图案中既是中心对称图形又是轴对称图形是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
B、该图形既不是轴对称图形，也不是中心轴对称图形，不符合题意；
C、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
D、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
故选：D．
【分析】在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，如果把一个图形绕某个点旋转180度后，能与原图形重合，那么就说这个图形是中心对称图形.
3．（2024·江门模拟）预计到2025年，中国5G用户将超过亿，将亿用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：亿．
故选：D．
【分析】根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解.
4．（2024·江门模拟）如图，一把直尺、两个含的三角尺拼接在一起，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：由题意知，，
∴，
故选：C．
【分析】根据直线平行性质即可求出答案.
5．（2024·江门模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故选项正确，符合题意；
B、，故选项错误，不符合题意；
C、，故选项错误，不符合题意；
D、，故选项错误，不符合题意；
故选：A
【分析】根据幂的乘方，合并同类项法则，同底数幂的乘除法逐项进行判断即可求出答案.
6．（2024·江门模拟）下列语句正确的是（　　）
A．负数没有立方根 B．的立方根是
C．立方根等于本身的数只有 D．
【答案】D
【知识点】立方根的概念与表示；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：∵正数、0和负数都有立方根，
∴选项A不符合题意；
∵64的立方根是4，
∴选项B不符合题意；
∵立方根等于本身的数有和0，
∴选项C不符合题意；
∴，
∴选项D符合题意，
故选：D．
【分析】根据立方根的定义逐项进行判断即可求出答案.
7．（2024·江门模拟）分式方程的解为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：在方程两边同乘以，得：
，
解得：，
检验：把代入，得：，
∴是原方程的解．
故选：C．
【分析】去分母转换为整式方程，再解方程即可求出答案.
8．（2024·江门模拟）二次函数的图象过，，，四个点，下列说法一定正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：，
∴抛物线对称轴为直线，
，
∴抛物线开口向下，
，
，
若，则，，选项A错误，
若，则，，选项B错误，
若，则，
，选项C正确，
若，则，，选项D错误，
故选：C．
【分析】根据二次函数的性质即可求出答案.
9．（2024·江门模拟）箱内有50颗白球和10颗红球，小慧打算从箱内抽球31次，每次从箱内抽出一球，如果抽出白球则将白球放回箱内，如果抽出红球则不将红球放回箱内．已知小慧在前30次抽球中共抽出红球4次，若她第31次抽球时箱内的每颗球被抽出的机会相等，则这次她抽出红球的机率为何？（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意得，第31次抽球时箱内共有球的数量为：50+10-4=56（棵），
共有红色球的数量为10-4=6（棵），
∴ 第31次抽球时， 抽出红球的机率为.
故答案为：D.
【分析】找出第31次抽球时，袋中球的总个数及红色小球的个数，根据概率公式计算可得答案.
10．（2024·江门模拟）如图，A，B两点分别为与x轴，y轴的切点．，C为优弧的中点，反比例函数的图像经过点C，则k的值为（　　）
A． B． C．12 D．16
【答案】A
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；切线的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：连接，过点作轴于点，延长交于点，
则：，
∵A，B两点分别为与x轴，y轴的切点，
∴轴，轴，
∴轴，
∴，
∴四边形为正方形；
∵，
∴，
∴，；
∵轴，轴，，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵C为优弧的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选A．
【分析】连接，过点作轴于点，延长交于点， 则：， 根据正方形判定定理可得四边形为正方形，则，根据等腰直角三角形性质可得，则，，再根据矩形判定定理可得四边形为矩形，，，根据圆周角定理可得，再根据角之间的关系可得∠COE，根据等腰直角三角形性质可得，再根据边之间的关系可得CD，DF，则，再根据待定系数法将点C坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
11．（2024·江门模拟）计算：　 　．
【答案】
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】分式的运算法则：①同分母分式加减法则：分母不变，分子相加减；②异分母分式加减法则：先通分，化为同分母分式，通分后再按照同分母分式的加减法则计算，据此即可得出答案.
12．（2024·江门模拟）已知x＝﹣2是方程+ax﹣2＝0的根，则a的值是 　 　．
【答案】1
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：由题意可知：
把x＝﹣2代入方程+ax﹣2＝0中
4﹣2a﹣2＝0，解得：a＝1
故答案为1．
【分析】
根据方程解的定义，把x＝﹣2代入方程+ax﹣2＝0得到关于a的方程4﹣2a﹣2＝0，解出a即可．
13．（2024·江门模拟）比大且比小的整数是　 　．
【答案】3
【知识点】无理数的大小比较；无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，，
∴比大且比小的整数是3，
故答案为：3．
【分析】先估算无理数范围，再比较大小即可求出答案.
14．（2024·江门模拟）三角形具有稳定性，所以要使如图所示的五边形木架不变形，至少要钉上　 　根木条．
【答案】2
【知识点】三角形的稳定性；多边形的对角线
【解析】【解答】解：∵过五边形的一个顶点作对角线，有2条对角线，
∴至少要钉上2根木条，
故答案为：2．
【分析】要使五边形木架不变形需把它分成三角形，即过五边形的一个顶点作对角线，有几条对角线，就至少要钉上几根木条．
15．（2024·江门模拟）如图，正方形的边在的边上，顶点D、G分别在边、上，如果的边长为20，高为15，那么正方形的边长为　 　．
【答案】
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定；三角形内接矩形相似模型；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应三线
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，即，
∵是的高，
∴，
．
∵，
∴，
．
，，
，，
∴，
设正方形的边长，
∵长为20，高为15，
∴，
解得．
故正方形的边长是．
故答案为：．
【分析】根据正方形性质可得，即，再根据相似三角形判定定理可得，则．再根据边之间的关系可得，设正方形的边长，代入等式，解方程即可求出答案.
16．（2024·江门模拟）计算：
【答案】解：原式=3-2
【知识点】求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】
=2--1+2-2×
=2-+1-
= 3-2 ，
故答案为： 3-2.
【分析】先利用绝对值的性质、0指数幂的性质、负指数幂的性质及特殊角的三角函数值化简吗，再计算即可.
17．（2024·江门模拟）某校举行“中国共产党十九大”知识问答竞赛．每班选20名同学参加比赛．根据答对的题目数量得分，等级分为5分，4分，3分，2分．学校将八年级甲班和乙班的成绩整理并绘制成如下的统计图．
甲、乙两班成绩统计表
班级 平均数（分） 中位数（分） 众数（分）
甲班 3.6 4
乙班 3.6 3.5
（1）请把甲班知识问答成绩统计图补充完整．
（2）通过统计得到表，请求出表中数据______，______．
（3）根据（2）的结果，你认为甲，乙两班哪个班级成绩更好？写出你的理由．
【答案】（1）解：甲班得分为3分的人数为（人），
补全图形如下：
（2）4，5
（3）解：甲班成绩更好，理由如下：
在甲、乙班平均得分相等的前提下，甲班成绩的中位数大于乙班，
所以加班高分人数多于乙班，
∴甲班成绩更好（答案不唯一）．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；众数
【解析】【解答】（2）解：甲班中位数是第10和第11个数，都是4分，
∴；
乙班中，出现最多的是5分，
∴；
故答案为：4，5；
【分析】（1）根据各得分人数和为20求出得分为3分的人数即可补全图形；
（2）根据中位数与众数的定义求解即可；
（3）根据中位数、众数的意义求解即可.
（1）解：甲班得分为3分的人数为（人），
补全图形如下：
（2）解：甲班中位数是第10和第11个数，都是4分，
∴；
乙班中，出现最多的是5分，
∴；
故答案为：4，5；
（3）解：甲班成绩更好，理由如下：
在甲、乙班平均得分相等的前提下，甲班成绩的中位数大于乙班，
所以加班高分人数多于乙班，
∴甲班成绩更好（答案不唯一）．
18．（2024·江门模拟）如图，在四边形中，平分．
（1）求证；
（2）请用直尺（不带刻度）和圆规作的外接圆（不必写作法，但要保留作图痕迹），求证：是的切线．
【答案】（1）证明：，，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
即；
（2）解：如图，即为所求．
证明：连接，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
为的半径，
是的切线．
【知识点】平行线的判定与性质；切线的判定；角平分线的概念；相似三角形的性质-对应边；尺规作图-作三角形的外接圆
【解析】【分析】（1）根据勾股定理可得AD，根据边之间的关系可得，根据角平分线定义可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（2）连接，根据角平分线定义可得，根据等边对等角可得，则，再根据直线平行判定定理可得，则，再根据切线判定定理即可求出答案.
（1）证明：，，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
即；
（2）解：如图，即为所求．
证明：连接，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
为的半径，
是的切线．
19．（2024·江门模拟）图1是放置在写字台上的一盏折叠式台灯，其主视图如图2，座杆与水平桌面垂直，臂杆可绕点旋转调节，灯体可绕点旋转调节． 若，，在同一平面上，，，，臂杆与座杆的夹角即，臂杆与灯体的夹角即，灯体上点到水平桌面的高度为．
（1）求的度数．
（2）求的长．（结果精确到．参考数据：，，）
【答案】（1）解：如图所示，过点C作，延长交于H，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：在中，
，
在中，
，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴的长为．
【知识点】矩形的判定；解直角三角形的其他实际应用；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）过点C作，延长交于H，根据补角可得∠CBH=42°，再根据直角三角形两锐角互余即可求出答案.
（2）解直角三角形可得BH，DF，再根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：如图所示，过点C作，延长交于H，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：在中，
，
在中，
，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴的长为．
20．（2024·江门模拟）由于共享单车的投放使用，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某商城的自行车销售量逐月增加，据统计，该商城5月份销售自行车64辆，7月份销售100辆．
（1）若该商城5月至7月的自行车销售的月平均增长率相同，求自行车销售的月平均增长率．
（2）考虑到自行车需求不断增加，该商场准备再购进一批两种规格的自行车共100辆．已知A型车的进价为每辆500元，售价为每辆700元；B型车的进价为每辆1000元，售价为每辆1300元．假设所购进的车辆全部售完，为使利润不低于26000元，该商场购进A型车不超过多少辆？
【答案】（1）解：设自行车销售的月平均增长率为x，
依题意得：，
解得：（不合题意，舍去）．
答：自行车销售的月平均增长率为；
（2）解：设该商场购进A型车m辆，则购进B型车辆，
依题意得：，
解得：，
答：该商场购进A型车不超过40辆．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】（1）设自行车销售的月平均增长率为x，根据该商城5月份销售自行车64辆，7月份销售100辆建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设该商场购进A型车m辆，则购进B型车辆，分别求出A型车和B型车的利润，再根据总利润不低于26000元建立不等式，解不等式即可求出答案.
（1）解：设自行车销售的月平均增长率为x，
依题意得：，
解得：（不合题意，舍去）．
答：自行车销售的月平均增长率为；
（2）解：设该商场购进A型车m辆，则购进B型车辆，
依题意得：，
解得：，
答：该商场购进A型车不超过40辆．
21．（2024·江门模拟）综合与实践
【主题】黄金矩形
【素材】素材一：矩形就是长方形．四个角都是，两组对边平行且相等．
素材二：宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．
素材三：黄金矩形是可以通过折纸折叠出来的。
【操作步骤】
【第一步】在一张矩形纸片的一端，利用图1所示的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．
【第二步】如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．
【第三步】折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中所示的处．
【第四步】展平纸片，按照所得的点折出，矩形（图4）就是黄金矩形．
【问题解决】设．
（1）求证：矩形是黄金矩形．
（2）求证：矩形MNDE也是黄金矩形．
【答案】（1）证明：根据题意可得，，，
∴，
根据勾股定理可得，
∴
∴
∴
∴矩形是黄金矩形．
（2）证明：由（1）知，，，
∴，
∴，
故矩形是黄金矩形．
【知识点】二次根式的混合运算；勾股定理；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【分析】（1）根据题意可得，，，则，根据勾股定理可得AB，再根据边之间的关系可得CD，再根据黄金矩形的定义即可求出答案.
（2）由（1）知，，，根据边之间的关系可得ND，再根据黄金矩形的定义即可求出答案.
（1）证明：根据题意可得，，，
∴，
根据勾股定理可得，
∴
∴
∴
∴矩形是黄金矩形．
（2）证明：由（1）知，，，
∴，
∴，
故矩形是黄金矩形．
22．（2024·江门模拟）已知抛物线经过点，且与轴的另一个交点为点C．
（1）当时，解决下列问题．
①求抛物线的解析式、顶点坐标以及点C的坐标；
②坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点C及的一段，分别记为．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为，求点移动的最短路程；
（2）已知直线．定义：横纵坐标均为整数的点称为“美点”
①判断直线是否过点；
②当时，直接写出直线与抛物线围成的封闭图形边界上“美点”的个数；
③当时，记抛物线在的部分为．光点从点弹出，沿直线发射，若击中抛物线上的“美点”，就算发射成功，直接写出此时整数的个数．
【答案】（1）解：①∵抛物线经过点，
∴把代入
得
∵
∴
解得
∴把，代入
得出；
∴
则顶点坐标为；
∵与轴的另一个交点为点C．
∴
则
∴；
②由①知的顶点坐标为；
依题意，∵坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点C及的一段，分别记为．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为
∴函数的顶点坐标为；
即点移动的最短路程为与之间的距离（两点之间线段最短）
∴
∴点移动的最短路程为．
（2）解：①依题意，把代入
得
∴直线过点；
②5
③个
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；坐标系中的两点距离公式；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：（2）②∵抛物线经过点，
∴把代入
得
①当时，
∴，
解得；
∴，顶点坐标为
∴；
则直线与抛物线围成的封闭图形如图所示：
∴边界上“美点”的个数有个点；
③∵抛物线经过点，
∴把代入
得
∵
∴
∴
∵光点从点弹出，沿直线发射，若击中抛物线上的“美点”，就算发射成功，
∴
∴
∴
∵均为整数，抛物线在的部分为．
∴当时，则（不符合题意，舍去）
当时，则（符合题意）
当时，则（不符合题意，舍去）
当时，则（符合题意）
当时，则（不符合题意，舍去）
当时，则（符合题意）
以此类推，当为偶数时，为的整数倍，不是整数，不符合题意；
以此类推，当为奇数时，为的整数倍，是整数，符合题意；
∴含有（个）
∴此时整数的个数为个．
【分析】（1）①根据待定系数法将点A坐标代入解析式可得，转换为顶点式可得顶点坐标为，根据x轴上点的坐标特征即可求出点C坐标.
②①知的顶点坐标为，函数图象的平移规律可得函数的顶点坐标为，即点移动的最短路程为与之间的距离（两点之间线段最短），根据两点间距离即可求出答案.
（2）①将点A坐标代入解析式进行判断即可求出答案.
②根据待定系数法将点A坐标代入解析式可得，则顶点坐标为，作出图形，根据“美点”的定义即可求出答案.
③根据待定系数法将点A坐标代入解析式可得，根据题意联立方程组，化简可得，因为均为整数，当为偶数时，为的整数倍，不是整数，不符合题意；当为奇数时，为的整数倍，是整数，符合题意；则，此时整数的个数为个，即可求出答案.
23．（2024·江门模拟）【知识技能】
（1）如图1，在矩形中，点E，F分别在边，上，，垂足为点G．求证：．
【数学理解】
（2）如图2，在正方形中，点E，F分别在边，上，，延长到点H，使，连接．求证：．
【拓展探案】
（3）如图3，在菱形中，点E，F分别在边，上，，，，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵四边形是正方形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点H在的延长线上，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：如解图，延长至点G，使，连接，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，即的长为3．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；正方形的性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据矩形性质可得，再根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据正方形性质可得，，，再根据全等三角形判定定理可得，则，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据直线平行性质可得，则，即可求出答案.
（3）延长至点G，使，连接，根据菱形性质可得，，则，再根据全等三角形判定定理可得，，再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则， 再根据边之间的关系即可求出答案.
1 / 1广东省江门市培英中学2024年中考数学一模试卷
1．（2024·江门模拟）计算的结果等于（　　）
A． B． C． D．
2．（2024·江门模拟）以下是四个银行标志图案，图案中既是中心对称图形又是轴对称图形是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024·江门模拟）预计到2025年，中国5G用户将超过亿，将亿用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2024·江门模拟）如图，一把直尺、两个含的三角尺拼接在一起，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024·江门模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024·江门模拟）下列语句正确的是（　　）
A．负数没有立方根 B．的立方根是
C．立方根等于本身的数只有 D．
7．（2024·江门模拟）分式方程的解为（　　）
A． B． C． D．
8．（2024·江门模拟）二次函数的图象过，，，四个点，下列说法一定正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
9．（2024·江门模拟）箱内有50颗白球和10颗红球，小慧打算从箱内抽球31次，每次从箱内抽出一球，如果抽出白球则将白球放回箱内，如果抽出红球则不将红球放回箱内．已知小慧在前30次抽球中共抽出红球4次，若她第31次抽球时箱内的每颗球被抽出的机会相等，则这次她抽出红球的机率为何？（　　）
A． B． C． D．
10．（2024·江门模拟）如图，A，B两点分别为与x轴，y轴的切点．，C为优弧的中点，反比例函数的图像经过点C，则k的值为（　　）
A． B． C．12 D．16
11．（2024·江门模拟）计算：　 　．
12．（2024·江门模拟）已知x＝﹣2是方程+ax﹣2＝0的根，则a的值是 　 　．
13．（2024·江门模拟）比大且比小的整数是　 　．
14．（2024·江门模拟）三角形具有稳定性，所以要使如图所示的五边形木架不变形，至少要钉上　 　根木条．
15．（2024·江门模拟）如图，正方形的边在的边上，顶点D、G分别在边、上，如果的边长为20，高为15，那么正方形的边长为　 　．
16．（2024·江门模拟）计算：
17．（2024·江门模拟）某校举行“中国共产党十九大”知识问答竞赛．每班选20名同学参加比赛．根据答对的题目数量得分，等级分为5分，4分，3分，2分．学校将八年级甲班和乙班的成绩整理并绘制成如下的统计图．
甲、乙两班成绩统计表
班级 平均数（分） 中位数（分） 众数（分）
甲班 3.6 4
乙班 3.6 3.5
（1）请把甲班知识问答成绩统计图补充完整．
（2）通过统计得到表，请求出表中数据______，______．
（3）根据（2）的结果，你认为甲，乙两班哪个班级成绩更好？写出你的理由．
18．（2024·江门模拟）如图，在四边形中，平分．
（1）求证；
（2）请用直尺（不带刻度）和圆规作的外接圆（不必写作法，但要保留作图痕迹），求证：是的切线．
19．（2024·江门模拟）图1是放置在写字台上的一盏折叠式台灯，其主视图如图2，座杆与水平桌面垂直，臂杆可绕点旋转调节，灯体可绕点旋转调节． 若，，在同一平面上，，，，臂杆与座杆的夹角即，臂杆与灯体的夹角即，灯体上点到水平桌面的高度为．
（1）求的度数．
（2）求的长．（结果精确到．参考数据：，，）
20．（2024·江门模拟）由于共享单车的投放使用，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某商城的自行车销售量逐月增加，据统计，该商城5月份销售自行车64辆，7月份销售100辆．
（1）若该商城5月至7月的自行车销售的月平均增长率相同，求自行车销售的月平均增长率．
（2）考虑到自行车需求不断增加，该商场准备再购进一批两种规格的自行车共100辆．已知A型车的进价为每辆500元，售价为每辆700元；B型车的进价为每辆1000元，售价为每辆1300元．假设所购进的车辆全部售完，为使利润不低于26000元，该商场购进A型车不超过多少辆？
21．（2024·江门模拟）综合与实践
【主题】黄金矩形
【素材】素材一：矩形就是长方形．四个角都是，两组对边平行且相等．
素材二：宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．
素材三：黄金矩形是可以通过折纸折叠出来的。
【操作步骤】
【第一步】在一张矩形纸片的一端，利用图1所示的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．
【第二步】如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．
【第三步】折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中所示的处．
【第四步】展平纸片，按照所得的点折出，矩形（图4）就是黄金矩形．
【问题解决】设．
（1）求证：矩形是黄金矩形．
（2）求证：矩形MNDE也是黄金矩形．
22．（2024·江门模拟）已知抛物线经过点，且与轴的另一个交点为点C．
（1）当时，解决下列问题．
①求抛物线的解析式、顶点坐标以及点C的坐标；
②坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点C及的一段，分别记为．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为，求点移动的最短路程；
（2）已知直线．定义：横纵坐标均为整数的点称为“美点”
①判断直线是否过点；
②当时，直接写出直线与抛物线围成的封闭图形边界上“美点”的个数；
③当时，记抛物线在的部分为．光点从点弹出，沿直线发射，若击中抛物线上的“美点”，就算发射成功，直接写出此时整数的个数．
23．（2024·江门模拟）【知识技能】
（1）如图1，在矩形中，点E，F分别在边，上，，垂足为点G．求证：．
【数学理解】
（2）如图2，在正方形中，点E，F分别在边，上，，延长到点H，使，连接．求证：．
【拓展探案】
（3）如图3，在菱形中，点E，F分别在边，上，，，，求的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】有理数的加法法则
【解析】【解答】解：．
故选B．
【分析】根据有理数的加法即可求出答案.
2．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
B、该图形既不是轴对称图形，也不是中心轴对称图形，不符合题意；
C、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
D、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
故选：D．
【分析】在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，如果把一个图形绕某个点旋转180度后，能与原图形重合，那么就说这个图形是中心对称图形.
3．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：亿．
故选：D．
【分析】根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解.
4．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：由题意知，，
∴，
故选：C．
【分析】根据直线平行性质即可求出答案.
5．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故选项正确，符合题意；
B、，故选项错误，不符合题意；
C、，故选项错误，不符合题意；
D、，故选项错误，不符合题意；
故选：A
【分析】根据幂的乘方，合并同类项法则，同底数幂的乘除法逐项进行判断即可求出答案.
6．【答案】D
【知识点】立方根的概念与表示；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：∵正数、0和负数都有立方根，
∴选项A不符合题意；
∵64的立方根是4，
∴选项B不符合题意；
∵立方根等于本身的数有和0，
∴选项C不符合题意；
∴，
∴选项D符合题意，
故选：D．
【分析】根据立方根的定义逐项进行判断即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：在方程两边同乘以，得：
，
解得：，
检验：把代入，得：，
∴是原方程的解．
故选：C．
【分析】去分母转换为整式方程，再解方程即可求出答案.
8．【答案】C
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：，
∴抛物线对称轴为直线，
，
∴抛物线开口向下，
，
，
若，则，，选项A错误，
若，则，，选项B错误，
若，则，
，选项C正确，
若，则，，选项D错误，
故选：C．
【分析】根据二次函数的性质即可求出答案.
9．【答案】D
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意得，第31次抽球时箱内共有球的数量为：50+10-4=56（棵），
共有红色球的数量为10-4=6（棵），
∴ 第31次抽球时， 抽出红球的机率为.
故答案为：D.
【分析】找出第31次抽球时，袋中球的总个数及红色小球的个数，根据概率公式计算可得答案.
10．【答案】A
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；切线的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：连接，过点作轴于点，延长交于点，
则：，
∵A，B两点分别为与x轴，y轴的切点，
∴轴，轴，
∴轴，
∴，
∴四边形为正方形；
∵，
∴，
∴，；
∵轴，轴，，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵C为优弧的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选A．
【分析】连接，过点作轴于点，延长交于点， 则：， 根据正方形判定定理可得四边形为正方形，则，根据等腰直角三角形性质可得，则，，再根据矩形判定定理可得四边形为矩形，，，根据圆周角定理可得，再根据角之间的关系可得∠COE，根据等腰直角三角形性质可得，再根据边之间的关系可得CD，DF，则，再根据待定系数法将点C坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】分式的运算法则：①同分母分式加减法则：分母不变，分子相加减；②异分母分式加减法则：先通分，化为同分母分式，通分后再按照同分母分式的加减法则计算，据此即可得出答案.
12．【答案】1
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：由题意可知：
把x＝﹣2代入方程+ax﹣2＝0中
4﹣2a﹣2＝0，解得：a＝1
故答案为1．
【分析】
根据方程解的定义，把x＝﹣2代入方程+ax﹣2＝0得到关于a的方程4﹣2a﹣2＝0，解出a即可．
13．【答案】3
【知识点】无理数的大小比较；无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，，
∴比大且比小的整数是3，
故答案为：3．
【分析】先估算无理数范围，再比较大小即可求出答案.
14．【答案】2
【知识点】三角形的稳定性；多边形的对角线
【解析】【解答】解：∵过五边形的一个顶点作对角线，有2条对角线，
∴至少要钉上2根木条，
故答案为：2．
【分析】要使五边形木架不变形需把它分成三角形，即过五边形的一个顶点作对角线，有几条对角线，就至少要钉上几根木条．
15．【答案】
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定；三角形内接矩形相似模型；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应三线
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，即，
∵是的高，
∴，
．
∵，
∴，
．
，，
，，
∴，
设正方形的边长，
∵长为20，高为15，
∴，
解得．
故正方形的边长是．
故答案为：．
【分析】根据正方形性质可得，即，再根据相似三角形判定定理可得，则．再根据边之间的关系可得，设正方形的边长，代入等式，解方程即可求出答案.
16．【答案】解：原式=3-2
【知识点】求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】
=2--1+2-2×
=2-+1-
= 3-2 ，
故答案为： 3-2.
【分析】先利用绝对值的性质、0指数幂的性质、负指数幂的性质及特殊角的三角函数值化简吗，再计算即可.
17．【答案】（1）解：甲班得分为3分的人数为（人），
补全图形如下：
（2）4，5
（3）解：甲班成绩更好，理由如下：
在甲、乙班平均得分相等的前提下，甲班成绩的中位数大于乙班，
所以加班高分人数多于乙班，
∴甲班成绩更好（答案不唯一）．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；众数
【解析】【解答】（2）解：甲班中位数是第10和第11个数，都是4分，
∴；
乙班中，出现最多的是5分，
∴；
故答案为：4，5；
【分析】（1）根据各得分人数和为20求出得分为3分的人数即可补全图形；
（2）根据中位数与众数的定义求解即可；
（3）根据中位数、众数的意义求解即可.
（1）解：甲班得分为3分的人数为（人），
补全图形如下：
（2）解：甲班中位数是第10和第11个数，都是4分，
∴；
乙班中，出现最多的是5分，
∴；
故答案为：4，5；
（3）解：甲班成绩更好，理由如下：
在甲、乙班平均得分相等的前提下，甲班成绩的中位数大于乙班，
所以加班高分人数多于乙班，
∴甲班成绩更好（答案不唯一）．
18．【答案】（1）证明：，，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
即；
（2）解：如图，即为所求．
证明：连接，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
为的半径，
是的切线．
【知识点】平行线的判定与性质；切线的判定；角平分线的概念；相似三角形的性质-对应边；尺规作图-作三角形的外接圆
【解析】【分析】（1）根据勾股定理可得AD，根据边之间的关系可得，根据角平分线定义可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（2）连接，根据角平分线定义可得，根据等边对等角可得，则，再根据直线平行判定定理可得，则，再根据切线判定定理即可求出答案.
（1）证明：，，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
即；
（2）解：如图，即为所求．
证明：连接，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
为的半径，
是的切线．
19．【答案】（1）解：如图所示，过点C作，延长交于H，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：在中，
，
在中，
，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴的长为．
【知识点】矩形的判定；解直角三角形的其他实际应用；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）过点C作，延长交于H，根据补角可得∠CBH=42°，再根据直角三角形两锐角互余即可求出答案.
（2）解直角三角形可得BH，DF，再根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：如图所示，过点C作，延长交于H，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：在中，
，
在中，
，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴的长为．
20．【答案】（1）解：设自行车销售的月平均增长率为x，
依题意得：，
解得：（不合题意，舍去）．
答：自行车销售的月平均增长率为；
（2）解：设该商场购进A型车m辆，则购进B型车辆，
依题意得：，
解得：，
答：该商场购进A型车不超过40辆．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】（1）设自行车销售的月平均增长率为x，根据该商城5月份销售自行车64辆，7月份销售100辆建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设该商场购进A型车m辆，则购进B型车辆，分别求出A型车和B型车的利润，再根据总利润不低于26000元建立不等式，解不等式即可求出答案.
（1）解：设自行车销售的月平均增长率为x，
依题意得：，
解得：（不合题意，舍去）．
答：自行车销售的月平均增长率为；
（2）解：设该商场购进A型车m辆，则购进B型车辆，
依题意得：，
解得：，
答：该商场购进A型车不超过40辆．
21．【答案】（1）证明：根据题意可得，，，
∴，
根据勾股定理可得，
∴
∴
∴
∴矩形是黄金矩形．
（2）证明：由（1）知，，，
∴，
∴，
故矩形是黄金矩形．
【知识点】二次根式的混合运算；勾股定理；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【分析】（1）根据题意可得，，，则，根据勾股定理可得AB，再根据边之间的关系可得CD，再根据黄金矩形的定义即可求出答案.
（2）由（1）知，，，根据边之间的关系可得ND，再根据黄金矩形的定义即可求出答案.
（1）证明：根据题意可得，，，
∴，
根据勾股定理可得，
∴
∴
∴
∴矩形是黄金矩形．
（2）证明：由（1）知，，，
∴，
∴，
故矩形是黄金矩形．
22．【答案】（1）解：①∵抛物线经过点，
∴把代入
得
∵
∴
解得
∴把，代入
得出；
∴
则顶点坐标为；
∵与轴的另一个交点为点C．
∴
则
∴；
②由①知的顶点坐标为；
依题意，∵坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点C及的一段，分别记为．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为
∴函数的顶点坐标为；
即点移动的最短路程为与之间的距离（两点之间线段最短）
∴
∴点移动的最短路程为．
（2）解：①依题意，把代入
得
∴直线过点；
②5
③个
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；坐标系中的两点距离公式；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：（2）②∵抛物线经过点，
∴把代入
得
①当时，
∴，
解得；
∴，顶点坐标为
∴；
则直线与抛物线围成的封闭图形如图所示：
∴边界上“美点”的个数有个点；
③∵抛物线经过点，
∴把代入
得
∵
∴
∴
∵光点从点弹出，沿直线发射，若击中抛物线上的“美点”，就算发射成功，
∴
∴
∴
∵均为整数，抛物线在的部分为．
∴当时，则（不符合题意，舍去）
当时，则（符合题意）
当时，则（不符合题意，舍去）
当时，则（符合题意）
当时，则（不符合题意，舍去）
当时，则（符合题意）
以此类推，当为偶数时，为的整数倍，不是整数，不符合题意；
以此类推，当为奇数时，为的整数倍，是整数，符合题意；
∴含有（个）
∴此时整数的个数为个．
【分析】（1）①根据待定系数法将点A坐标代入解析式可得，转换为顶点式可得顶点坐标为，根据x轴上点的坐标特征即可求出点C坐标.
②①知的顶点坐标为，函数图象的平移规律可得函数的顶点坐标为，即点移动的最短路程为与之间的距离（两点之间线段最短），根据两点间距离即可求出答案.
（2）①将点A坐标代入解析式进行判断即可求出答案.
②根据待定系数法将点A坐标代入解析式可得，则顶点坐标为，作出图形，根据“美点”的定义即可求出答案.
③根据待定系数法将点A坐标代入解析式可得，根据题意联立方程组，化简可得，因为均为整数，当为偶数时，为的整数倍，不是整数，不符合题意；当为奇数时，为的整数倍，是整数，符合题意；则，此时整数的个数为个，即可求出答案.
23．【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵四边形是正方形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点H在的延长线上，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：如解图，延长至点G，使，连接，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，即的长为3．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；正方形的性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据矩形性质可得，再根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据正方形性质可得，，，再根据全等三角形判定定理可得，则，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据直线平行性质可得，则，即可求出答案.
（3）延长至点G，使，连接，根据菱形性质可得，，则，再根据全等三角形判定定理可得，，再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则， 再根据边之间的关系即可求出答案.
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