资源简介

三角函数与不等式
1. (2024 年高考全国甲卷数学 (理) 真题) 已知 ,则 ( )
A. B. C. D.
2. (2024 年全国高考名校名师联席命制数学信息卷 (四) 已知角 是第二象限角,且终边经过点(-3,4),则 ( )
A. 3 B. C. 2 D. 或 2
3.(2024 年新课标全国I卷数学真题)已知 ,则 ( )
A. B. C. D.
4. (2023 年新课标全国I卷数学真题) 已知 ,则 ( ).
A. B. C. D.
5. (2023 年新课标全国II卷数学真题) 已知 为锐角, ,则 ( ).
A. B. C. D.
6. (2022 年全国新高考 II 卷数学试题) 若 ,则 ( )
A. B.
C. D.
7. (2021 年全国高考甲卷数学 (理) 试题) 若 ,则 ( )
A. B. C. D.
8. (2021 年全国新高考I卷数学试题) 若 ,则 ( )
A. B. C. D.
9. (四川省绵阳市 2021-2022 学年高三上学期第一次诊断性考试理科数学试题) 若 ,则
_____.
10. (2024 年新课标全国II卷数学真题) 已知 为第一象限角, 为第三象限角, , 则 _____.
11. (河北省邯郸市 2024-2025 学年高三上学期第一次调研考试数学试题) 已知 ,则 ( )
A. B. C. D.
12. (重庆市拔尖强基联盟 2025 届高三上学期 10 月联合考试数学试卷) 已知 为锐角,
,则 ( )
A. B. C. D.
13. (江苏省南京市 2023-2024 学年高一下学期 6 月期末数学试题) 若 ,则 的最大值为( )
A. B. C. D.
14. (河北省衡水中学 2022 届高三上学期高考模拟卷(一)数学试题) 已知 均为锐角,且 ,则 的最大值是 ( )
A. 4 B. 2 C. D.
15. (湖北省武汉市部分学校 2024-2025 学年高三上学期九月调研考试数学试卷) 已知函数 是 上的奇函数,则 ( )
A. 2 B. -2 C. D.
16. (广东省佛山市 2024 届高三下学期教学质量检测 (二) 数学试题) 已知角 满足 ,则 的值为( )
A. B. C. D.
17. (江苏省南京市、盐城市 2024 届高三第一次模拟考试数学试题) 已知 ,且 , ,则 _____.
18. (2024 届福建省高三下学期数学适应性练习卷) 已知 ,则 ( )
A. B. C. D.
19. (浙江省浙南名校联盟 2023-2024 学年高三上学期第一次联考数学试题) 若 ,则 的值为( )
A. -7 B. -14 C. D.
20. (浙江省 2024 年第一届启航杯联考数学试题) 已知 且 ,则 的值为 ( )
A. B. C. D.
21. (福建省泉州市 2025 届高中毕业班适应性练习卷数学试题) 已知 ,则 的值为( )
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
22. (湖南省湘潭市湘潭县第一中学 2024 届高三下学期 2 月月考数学试题) 若 是函数 的一个零点,则 ( )
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
23. (湖北省高中名校联盟 2023-2024 学年高三下学期 3 月月考数学试题) 已知函数 ,若 有两个零点 ,则( )
A. B.
C. D.
24. (多) (江苏省南京市、盐城市 2023 届高三下学期一模数学试题) 已知 ,且 是 在 内的三个不同零点,则 ( )
A. B.
C. D.
25. (2017 全国一卷) 已知曲线 ,则下面结论正确的是
A. 把 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移 个单位长度,得到曲线
B. 把 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移 个单位长度,得到曲线
C. 把 上各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移 个单位长度,得到曲线
D. 把 上各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移 个单位长度,得到曲线
26. (2021 年全国高考乙卷数学(理)试题)把函数 图像上所有点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变, 再把所得曲线向右平移 个单位长度,得到函数 的图像,则 ( )
A. B.
C. D.
27. (2024 届浙江省丽水、湖州、衢州三地市二模数学试卷) 将函数 的图象向右平移 个单位后得到函数 的图象,若对满足 的 ,有 ,则 ( )
A. B. C. D.
28. (广东省广州市 2024 届普通高中毕业班综合测试(二)数学试卷)已知函数 的部分图象如图所示,若将函数 的图象向右平移 个单位后所得曲线关于 轴对称,则 的最小值为 ( )
A. B. C. D.
29.(多)(T8 (华师一附中、湖南师大附中等)2023 届高三上学期第一次学业质量评价数学试题)将函数 的图像向左平移 个单位得到函数 的图像,若 的图像与 的图像关于 轴对称,则下列说法正确的有( )
A.
B.
C. 的对称轴过 的对称中心
D. ,使得
30. (全国甲卷理数)) 函数 的图象由函数 的图象向左平移 个单位长度得到,则 的图象与直线 的交点个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
31. (2024 年新课标全国I卷数学真题) 当 时,曲线 与 的交点个数为( )
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
32. (山东省潍坊市 2023-2024 学年高一下学期期末考试数学试题) 函数 的图象和函数 的图象的连续两个交点为 ,若 ,则 的取值范围为_____.
33. (湖北省武汉市 2023 届高三下学期二月调研数学试题) 已知函数 的部分图象如图所示,其中 . 在已知 的条件下,则下列选项中可以确定其值的量为 ( )
A. B. C. D.
34. (湖北省武汉市 2024 届高中毕业班二月调研考试数学试题) 如图,在函数 的部分图象中,若 ,则点 的纵坐标为( )
A. B. C. D.
35. (广东省佛山市 2023 届高三二模数学试题) 已知函数 ,若存在 , 且 ,使 ,则 的值为( )
A. B. C. D.
36. (山东省济南市 2023 届高三二模数学试题) 已知函数 的图象关于直线 对称, 则下列说法正确的是( )
A. 是偶函数 B. 的最小正周期为
C. 在区间 上单调递增 D. 方程 在区间 上有 2 个实根
37. (多)(山东省山东师范大学附属中学 2022-2023 学年高三上学期 10 月月考数学试题)函数 的部分图象如图所示,则下列说法中正确的有( )
A. 的最小正周期 为
B. 向右平移 个单位后得到的新函数是偶函数
C. 若方程 在(0, m)上共有 4 个根,则这 4 个根的和为
D. 图象上的动点 到直线 的距离最小时, 的横坐标为 .
38. (多) (湖南省长郡中学 2023 届高三下学期月考 (七) 数学试题) 已知 是函数 的一个零点, 则 ( )
A. 在区间 单调递减
B. 在区间 只有一个极值点
C. 直线 是曲线 的对称轴
D. 直线 是曲线 的切线
39. (多) (广东省广州市 2023 届高三综合测试 (一) 数学试题) 已知函数 的图像关于直线 对称,则( )
A. 函数 的图像关于点 对称
B. 函数 在 有且仅有 2 个极值点
C. 若 ,则 的最小值为
D. 若 ,则
40. (多) (安徽省合肥市 2024 届高三第二次教学质量检测数学试卷)已知函数 ,则( )
A. 函数 在 上单调递减
B. 函数 为奇函数
C. 当 时,函数 恰有两个零点
D. 设数列 是首项为 ,公差为 的等差数列,则
41. (多) (“加速杯”新高考 2023 届高三一月迎新春调研测试数学试题) 定义关于 的函数 , 其中 和 皆为非零常数,则 ( )
A. 存在实数 和 ,使得 的最小值为 -2
B. 存在实数 和 ,使得 的最大值为 1
C. 为正偶数时,方程 在区间 共有 个实根
D. 为正奇数时,“ 为 的零点”是 “ 为 的零点”的必要不充分条件
42. (山西实验中学、南海桂城中学 2018 届高三上学期联考理数试题) 若函数 在 上单调递增,则 的取值范围是
A. B. C. D.
43. (四川省绵阳市 2021-2022 学年高三上学期第一次诊断性考试理科数学试题) 已知函数 , 若不等式 对任意的 恒成立,则实数 的取值范围为_____.
44. (福建省泉州市 2025 届高三质量监测 (一) 数学试题) 已知函数 ,则( )
A. 是 的一个周期 B. 是 图象的一条对称轴
C. 是 图象的一个对称中心 D. 在区间 内单调递减
45. (多) (河南省创新发展联盟 2024-2025 学年高三上学期 9 月月考数学试题) 已知函数 ,则( )
A. 的图象关于点 中心对称
B. 的图象关于直线 对称
C. 的值域为
D. 在 上单调递增
46. (多) (重庆市 2025 届高三上学期第一次质量检测数学试题) 关于函数 ,下列说法中正确的是 ( )
A. 图象关于直线 对称 B. 图象关于直线 对称
C. 最小正周期为 D. 最大值为
47.(多)(福建省福州市九县(市、区)一中 2023-2024 学年高二下学期 7 月期末联考数学试题)已知函数 ,
则( )
A. 的图象关于 对称
B.
C.
D. 在区间 上的极小值为
48.(多)(湖南省邵阳市邵东创新实验学校 2024 届高三上学期第二次月考数学试题)新型冠状病毒属于 属的冠状病毒,有包膜,颗粒常为多形性,其中包含着结构为数学模型的 ,人体肺部结构中包含 , 的结构,新型冠状病毒肺炎是由它们复合而成的,表现为 . 则下列结论正确的是 ( )
A. 若 ,则 为周期函数
B. 对于 的最小值为 2
C. 若 在区间(0,1)上是增函数,则
D. 若 ,满足 ,则
49. (多) (湖南省长沙市雅礼中学 2023 届高三二模数学试题) 已知函数 ,则下列说法正确的是( )
A. 是以 为周期的函数
B. 直线 是曲线 的对称轴
C. 函数 的最大值为 ,最小值为
D. 若函数 在区间 上恰有 2023 个零点,则
50. (多) (安徽省安庆市示范高中 2024 届高三联考 (三模) 数学试题) 已知函数 ,则( )
A. 函数 的最小正周期为
B. 函数 在 上单调递增
C. 函数 的最大值为
D. 若方程 在 上有且仅有 8 个不同的实根,则
51. (多) (湖南省长沙市第一中学、广东省深圳实验学校 2022 届高三上学期期中联考数学试题) 数学中一般用 表示 中的较小值, 表示 中的较大值; 关于函数: ,有如下四个命题,其中是真命题的是 ( )
A. 与 的最小正周期均为
B. 与 的图象均关于直线 对称
C. 的最大值是 的最小值
D. 与 的图象关于原点中心对称
52. (多) (江苏省苏锡常镇 2024 届高三下学期教学情况调研(一)数学试卷)已知函数 ,则( )
A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点 对称
C. 不等式 无解 D. 的最大值为
53. (多) (2024 届河南省信阳市浉河区信阳高级中学二模数学试题) 已知函数 ,下列结论正确是 ( )
A. 值域是 B. 是周期函数
C. 图像关于直线 对称 D. 在 上单调递增
54. (四川省成都市成都市第七中学 2022-2023 学年高三上学期 10 月月考数学(理)试题)辅助角公式是我国清代数学家李善兰发现的用来化简三角函数的一个公式,其内容为 . (其中 , ). 已知函数 的图像的两相邻零点之间的距离小于 为函数 的极大值点,且 ,则实数 的最小值为_____.
55.(浙江省名校新高考研究联盟(Z20 名校联盟)2024 届高三第三次联考(三模)数学试题)若函数 的最大值为 2,则常数 的取值可以为( )
A. 1 B. C. D.
56. (安徽省六安市舒城中学 2021 届高三下学期高考仿真(一)理科数学试题)已知点 是函数 的图象和函数 图象的连续三个交点,若 是锐角三角形,则 的取值范围为( )
A. B. C. D.
57. (安徽省江淮十校 2024 届高三第一次联考数学试题) 已知函数 ,当 时,函数 的最大值为 ,则满足条件的 的个数为_____.
58. (2019 年全国统一高考数学试卷 (理科) (新课标III) 设函数 ,已知 在 有且仅有 5 个零点, 下述四个结论:
① 在 有且仅有 3 个极大值点
② 在 有且仅有 2 个极小值点
③ 在 单调递增
④ 的取值范围是
其中所有正确结论的编号是
A. ①④ B. ②③ C. ①②③ D. ①③④
59. (广东省佛山市 2023 届高三教学质量检测 (一) 数学试题) 已知函数 (其中 ). 为 的最小正周期,且满足 . 若函数 在区间 上恰有 2 个极值点,则 的取值范围是_____.
60. (山西省 2022 届高三一模数学 (理) 试题) 已知函数 在 上恰有 3 个零点,则 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
61. (湖北省武汉市 2021 届高三下学期 3 月质量检测数学试题) 设函数 ,若对于任意实数 在区间 上至少有 2 个零点,至多有 3 个零点,则 的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
62. (江苏省南京市 2024 届高三上学期 9 月学情调研数学试题) 若函数 在区间 恰有 2 个零点,则 的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
63. (山东省名校考试联盟 2024 届高三上学期 12 月阶段性检测数学试题) 已知函数 在区间 内不存在最值,且在区间 上,满足 恒成立,则 的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
64. (2016 全国一卷) 已知函数 为 的零点, 为 图象的对称轴,且 在 单调,则 的最大值为
A. 11 B. 9
C. 7 D. 5
65. (四川省绵阳市 2021-2022 学年高三上学期第一次诊断性考试理科数学试题) 函数 ,
,已知 ,且对于任意的 都有 ,若 在 上单调,则 的最大值为( )
A. 11 B. 9 C. 7 D. 5
66. (河北省衡水市第二中学 2025 届高三上学期素养检测一数学试题) 已知函数 在区间 单调,
其中 为正整数, ,且 .
(1) 求 图象的一条对称轴;
(2)若 ,求 .
67. (广东省深圳市 2021 届高三一模数学试题) 拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理: “以任意三角形的三条边为边,向外构造三个等边三角形,则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形(此等边三角形称为拿破仑三角形)的顶点.”已知 内接于单位圆,以 , , 为边向外作三个等边三角形,其外接圆圆心依次记为 . 若 ,则 的面积最大值为_____. 68. (广东省深圳市 2021 届高三下学期二模数学试题)著名的费马问题是法国数学家皮埃尔德费马(1601-1665)于 1643 年提出的平面几何极值问题: “已知一个三角形,求作一点,使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小. ”费马问题中的所求点称为费马点,已知对于每个给定的三角形,都存在唯一的费马点,当 的三个内角均小于 时,则使得 的点 即为费马点. 已知点 为 的费马点,且 ,若 , 则实数 的最小值为_____.
69. (广东省深圳市 2022 届高三下学期一模数学试题 word) 古希腊数学家托勒密于公元 150 年在他的名著《数学汇编》 里给出了托勒密定理,即圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积. 已知 为圆的内接四边形 的两条对角线,且 ,若 ,则实数 的最小值为_____.
70. (广东省佛山市 2024 届高三下学期教学质量检测(二)数学试题)近年,我国短板农机装备取得突破,科技和装备支撑稳步增强,现代农业建设扎实推进. 农用机械中常见有控制设备周期性开闭的装置. 如图所示,单位圆 绕圆心做逆时针匀速圆周运动,角速度大小为 ,圆上两点 始终满足 ,随着圆 的旋转, 两点的位置关系呈现周期性变化. 现定义: 两点的竖直距离为 两点相对于水平面的高度差的绝对值. 假设运动开始时刻,即 秒时,点 位于圆心正下方:则 _____秒时, 两点的竖直距离第一次为 两点的竖直距离关于时间 的函数解析式为 _____.
71. (江西省南昌市 2023 届高三第一次模拟测试数学(理)试题)潮汐现象是地球上的海水在太阳和月球双重引力作用下产生的全球性的海水的周期性变化,入们可以利用潮汐进行港口货运. 某港口具体时刻 (单位: 小时) 与对应水深 (单位: 米) 的函数关系式为 . 某艘大型货船要进港,其相应的吃水深度 (船底与水面的距离)为 7 米,船底与海底距离不小于 4.5 米时就是安全的,该船于 2 点开始卸货(一次卸货最长时间不超过 8 小时), 同时吃水深度以 0.375 米/小时的速度减少,该船 8 小时内没有卸完货,要及时驶入深水区域,则该船第一次停止卸货的时刻为_____.
72. (多)(2020 年新高考全国卷I数学高考试题(山东))已知 ,且 ,则( )
A. B.
C. D.
73. (四川省南充高中 2023-2024 学年高三下学期第十三次月考理科数学试卷 (附答案)) 设 ,且 ,则下列结论正确的个数为( )
① ② ③ ④
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
74. (重庆市南开中学校 2023-2024 学年高三第六次质量检测 (2 月) 数学试题) 对于正数 ,有 , 则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
75. (多) (2022 年全国新高考 II 卷数学试题) 若 满足 ,则( )
A. B.
C. D.
76. (2015 年全国普通高等学校招生统一考试数学(重庆卷)设 ,则 的最大值为_____.
77. (云南省昆明市第一中学 2024-2025 学年高三上学期第二次联考数学试题) 已知正实数 ,满足 , 则 的最小值为( )
A. 1 B. C. D.
78. (黑龙江省齐齐哈尔市多校 2024-2025 学年高三第一次联考 (月考) 数学试题) 已知 ,且 , 则 的最小值为 ( )
A. B. C. D. 79. (江苏省苏州市部分高中 2024 届高三下学期 3 月适应性考试数学试题) 已知 ,则 的最大值为( )
A. B. C. D.
80. (多) (湖南省邵阳市邵东市第四中学 2025 届高三第二次月考数学试题) 已知正实数 满足 ,下列说法正确的是( )
A. 的最大值为 4 B. 的最小值为 2
C. 的最小值为 D. 的最小值为
81. (重庆市巴蜀中学校 2024-2025 学年高三上学期 9 月月考数学试题) 已知 ,则 的最大值是_____.
82. (江苏省南通市 2025 届高三九月份调研考试数学试题) 已知 ,则 的最小值为_____.
83. (河南省新乡市多校联考 2025 届高三上学期调研考试数学题) 已知正数 满足 ,则 的最小值为_____.
84. (重庆市第八中学校 2024 届高三下学期高考适应性月考数学试卷(五))对任意的正实数 ,满足 ,则 的最小值为_____.
85. (2014 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(浙江卷带解析)已知实数 、 、 满足 ,
,则 的最大值为_____.
86. (2024 届高三第二次学业质量评价 (T8 联考) 数学试题) 已知 是实数,满足 ,当 取得最大值时, _____.
87. (河北省邢台市邢襄联盟 2024-2025 学年高三上学期开学考试数学试题) 已知实数 满足 ,则 的最大值为_____.
88. (上海市三校(金山中学、闵行中学、嘉定一中)2022-2023 学年高二下学期 5 月联考数学试题)在平面直角坐标系 中,已知动点 到两直线 与 的距离之和为 ,则 的取值范围是_____.
参考答案:
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 11 12
答案 B C A B D C A C D C
题号 13 14 15 16 18 19 20 21 22 23
答案 D C B C B B C A A C
题号 24 25 26 27 28 29 30 31 33 34
答案 ACD D B A A AC C C B B
题号 35 36 37 38 39 40 41 42 44 45
答案 A D ACD ABD ABD BCD AD C B ACD
题号 46 47 48 49 50 51 52 53 55 56
答案 BCD ABD AD ACD ACD BD BD BC D A
题号 58 60 61 62 63 64 65 72 73 74
答案 D C B B D B D ABD C C
题号 75 77 78 79 80
答案 BC B C D ACD详细解析
1. B 【分析】先将 弦化切求得 ,再根据两角和的正切公式即可求解.
【详解】因为 ,
所以 ,
所以 ,
故选: B.
2.
【分析】根据已知条件求出 和 的值,再利用 求解即可.
【详解】 角 是第二象限角,且终边经过点(-3,4),
,
.
故选: C.
3. A
【分析】根据两角和的余弦可求 的关系,结合 的值可求前者,故可求 的值.
【详解】因为 ,所以 ,
而 ,所以 ,
故 即 ,
从而 ,故 ,
故选: A.
4. B
【分析】根据给定条件,利用和角、差角的正弦公式求出 ,再利用二倍角的余弦公式计算作答.
【详解】因为 ,而 ,因此 ,
则 ,
所以 .
故选:B
【点睛】方法点睛: 三角函数求值的类型及方法
(1)“给角求值”:一般所给出的角都是非特殊角,从表面来看较难,但非特殊角与特殊角总有一定关系. 解题时,要利用观察得到的关系, 结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数.
(2)“给值求值”:给出某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,解题关键在于“变角”,使其角相同或具有某种关系.
(3)“给值求角”:实质上也转化为“给值求值”,关键也是变角,把所求角用含已知角的式子表示,由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角, 有时要压缩角的取值范围.
5. D
【分析】根据二倍角公式 (或者半角公式) 即可求出.
【详解】因为 ,而 为锐角,
解得: .
故选: D.
6. C
【分析】由两角和差的正余弦公式化简, 结合同角三角函数的商数关系即可得解.
【详解】[方法一]:直接法
由已知得: ,
即: ,
即:
所以
故选:C
[方法二]: 特殊值排除法
解法一: 设 则 ,取 ,排除 ;
再取 则 ,取 ,排除 ；选 .
[方法三]: 三角恒等变换
所以
即
即 ,
故选: C.
7. A
【分析】由二倍角公式可得 ,再结合已知可求得 ,利用同角三角函数的基本关系即可求解.
【详解】
,
,解得 ,
.
故选: A.
【点睛】关键点睛: 本题考查三角函数的化简问题,解题的关键是利用二倍角公式化简求出 .
8.
【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简,然后增添分母 ,进行齐次化处理,化为正切的表达式,代入 即可得到结果.
【详解】将式子进行齐次化处理得:
故选: C.
【点睛】易错点睛: 本题如果利用 ,求出 的值,可能还需要分象限讨论其正负,通过齐次化处理, 可以避开了这一讨论.
9.
【分析】由两角和差公式化简分数, 再由同角关系化为正切表达式, 结合已知条件求值.
【详解】 ,
,
又 ,
,
故答案为: .
10.
【分析】法一: 根据两角和与差的正切公式得 ,再缩小 的范围,最后结合同角的平方和关系即
可得到答案；法二:利用弦化切的方法即可得到答案.
【详解】法一: 由题意得 ,
因为 ,
则 ,
又因为 ,
则 ,则 ,
则 ,联立 ,解得 .
法二: 因为 为第一象限角, 为第三象限角,则 ,
则
故答案为: .
11. D
【分析】先应用同角三角函数公式切化弦, 再应用两角和与差的正弦公式计算即可.
【详解】由 ,得 ,所以 ,
又 ,
所以 ,
所以 .
故选: D.
12.
【分析】利用诱导公式与两角和的余弦公式化简已知条件等式得 ,根据角的范围与函数值的大小比较得 ,从而得到 ,然后利用两角差的余弦公式求得 ,再利用二倍角的余弦公式求 可得.
【详解】由 ,
得 ,
则 ,由 为锐角,则 ,
又 ,
故 ,
所以
由二倍角余弦公式得 ,则 .
又 为锐角,所以 ,
故 .
故选: C.
13. D
【分析】由 知 ,由两角和的正弦公式展开并整理得到 ,再利用 得到 ,由基本不等式得
【详解】若 ,则 ,
所以 ,
所以 ,即 ,
若使得 取得最大值,不妨设 ,
则 ,
当且仅当 ,即 时取等号.
故选: D.
【点睛】方法点睛: 三角函数中的凑角技巧
14. C
【分析】将 变形,配角 利用两角差的正弦公式展开化简计算,可得关于 的一元二次方程,根据 列不等式求解 的取值范围,即可得最大值.
【详解】 ,即 ,即 ,又因为 为锐角,所以该方程有解, 即 ,解得 . 又 为锐角, . 所以 的最大值是 .
故选:C
15. B
【分析】利用正切的和角公式化简得 ,结合题意得分母为偶函数,则 ,继而即可求解.
【详解】
是 上的奇函数,
又 为奇函数,则分母上的函数需为偶函数,
.
故选: B .
16. C
【分析】借助三角恒等变换公式与同角三角函数基本关系化简可得 的值,即可得解.
【详解】由
则 ,
则 或 ,由 ,故 ,
则 .
故选: C.
17.
【分析】变形后得到 ,利用辅助角公式得到 ,得到 ,两边平方后得到 ,利用同角三角函数关系求出 .
【详解】由题可知 ,所以 ,
所以 ,
因为 ,所以 ,
又 ,所以 ,故 ,
所以 ,
两边平方后得 ,故 ,
故答案为: 18. B 【分析】利用诱导公式、同角三角函数基本关系式、二倍角公式进行化简求值. 【详解】由 或 (舍去). 所以 . 故选: B 19. B 【分析】先由三角函数平方关系结合已知求出 ,从而求出 ,再由 即可求出 ,
最后由两角和的正切公式代入表达式即可求解.
【详解】一方面由题意 ,且注意到 ,
联立得 ,解得 ,
所以 ,
另一方面不妨设 ,且 ,
所以有 ,解得 或 (舍去),即 ,
由两角和的正切公式有 ,
所以
.
故选: B.
20.
【分析】由题意等式两边平方化简为平方得 ,令 ,结合二倍角余弦公式得 ,取 ,利用二倍角正弦公式和诱导公式计算 的结果;
【详解】平方得 ,令 ,
则 ,
不妨取 ,则 ,
故选: C.
21. A
【分析】由三角恒等变换得出 是方程 的一个实根,再利用导数研究函数单调性,结合零点存在定理即可求解.
【详解】
;
,
即 是方程 的一个实根.
令 ,
,显然 ,
当 时, ,所以 在 上单调递减,
又 ,
所以 ,即 .
故选: A.
【点睛】关键点点睛: 关键是得到 是方程 的一个实根,进一步结合零点存在定理以及函数单调性即可顺利得解. 22. A 【分析】由 利用正余弦的二倍角公式计算可得 ,再由 得
,根据 求出 ,代入 即可.
【详解】因为 ,
所以
,
可得 ,
即 ,解得 ,
由 ,
可得 ,即 ,
因为 ,所以 ,解得 ,
故选: A.
【点睛】关键点点睛: 本题的解题的关键点是根据 利用正余弦的二倍角公式求出 的值.
23.
【分析】 选项,根据题目条件得到 或 ,结合 得到答案; 选项, ,利用和差化积公式得到答案; 选项,根据 得到 错误.
【详解】AB 选项,令 得 ,
故 或 ,
所以 或 ,
解得 或 ,
由 ,故当 时,解得 错误;
选项,
正确,
选项,因为 ,所以 错误.
故选: C.
【点睛】和差化积公式: ,
24. ACD
【分析】根据题意结合余弦函数的图像性质,解出 ,即可判断选项 、 ,将 根据诱导公式化为 ,分子分母同乘 ,结合倍角公式即可判断 ,将 通过诱导公式化为 ,再将分子分母同乘 ,结合积化和差公式进行化简即可判断 .
【详解】解: 由题知 是 的三个根,
可化为 ,即 ,
所以可得 或 ,
解得 或 ,
因为 ,所以 不成立,
当 成立时,取 ,解得 ,
取 ,解得 ,取 ,解得 ,
取 ,解得 (舍), 故 ,
所以选项 A 正确；
因为 ,所以选项 错误;
故选项 C 正确；
而
,
根据积化和差公式: ,
所以原式可化为:
,故选项 D 正确.
故选: ACD
【点睛】思路点睛: 此题考查三角函数的化简问题, 属于中难题, 关于化简问题常用的思路有:
(1)利用诱导公式将角化为关系比较接近的；
(2)遇见 的形式,分子分母同乘 ,再用倍角公式化简；
(3)积化和差公式: ,
25. D
【详解】把 上各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变,得到函数 图象,再把得到的曲线向左平移 个单位长度,得到函数 的图象,即曲线 , 故选 D.
点睛:三角函数的图象变换, 提倡“先平移, 后伸缩”, 但“先伸缩, 后平移”也常出现在题目中, 所以也必须熟练掌握. 无论是哪种变形,切记每一个变换总是对字母 而言. 函数 是奇函数 ; 函数 是偶函数 ; 函数 是奇函数 ; 函数 是偶函数 .
26. B
【分析】解法一:从函数 的图象出发,按照已知的变换顺序,逐次变换,得到 ,即得 ,再利用换元思想求得 的解析表达式;
解法二: 从函数 出发,逆向实施各步变换,利用平移伸缩变换法则得到 的解析表达式.
【详解】解法一:函数 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变,得到 的图象,再把所得曲线向右平移 个单位长度,应当得到 的图象,
根据已知得到了函数 的图象,所以 ,
令 ,则 ,
所以 ,所以 ;
解法二: 由已知的函数 逆向变换,
第一步: 向左平移 个单位长度,得到 的图象,
第二步: 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,得到 的图象,
即为 的图象,所以 .
故选: B.
27. A
【分析】根据函数图象的平移可得 ,利用三角函数的最值,求出自变量 的值,然后判断选项即可,
【详解】因函数 的最小正周期为 ,
将 的图象向右平移 个单位后得到函数 的图象,
若对满足 的可知,两个函数的最大值与最小值的差为 2,有 ,
不妨 ,则 ,即 在 取得最小值,
当 时, ,
此时 ,不合题意 ,
当 时, ,
此时 ,当 满足题意,
故选: A,
28. A
【分析】根据给定的图象特征,结合五点法作图列式求出 和 ,再根据图象的平移变换,以及图象的对称性即可得解.
【详解】由 ,得 ,又点 及附近点从左到右是上升的,则 ,
由 ,点 及附近点从左到右是下降的,且上升、下降的两段图象相邻,得 ,
联立解得 ,而 ,于是 ,
若将函数 的图像向右平移 个单位后,得到 ,
则 ,而 ,因此 ,
所以当 时, 取得最小值为 .
故选: A
29. AC
【分析】根据平移法则结合 得到 ,得到 正确 错误；计算对称轴代入函数得到 正确,根据范围计算两个函数的值域得到 错误,得到答案.
【详解】 的图像与 的图像关于 轴对称,
,即 ,经检验,满足题意,故选项 正确,选项 不正确;
的对称轴 满足 ,即 ,
,即 的对称轴过 的对称中心,故选项 正确;
当 时, 的值域为 ,
当 时, 的值域为 ,故选项 不正确.
故选: AC
30. C
【分析】先利用三角函数平移的性质求得 ,再作出 与 的部分大致图像,考虑特殊点处 与 的大小关系,从而精确图像,由此得解.
【详解】因为 向左平移 个单位所得函数为 ,所以
而 显然过 与(1,0)两点,
作出 与 的部分大致图像如下,
考虑 ,即 处 与 的大小关系,
当 时, ；
当 时, ;
当 时, ;
所以由图可知, 与 的交点个数为 3 .
故选:C.
31. C
【分析】画出两函数在 上的图象,根据图象即可求解
【详解】因为函数 的的最小正周期为 ,
函数 的最小正周期为 ,
所以在 上函数 有三个周期的图象,
在坐标系中结合五点法画出两函数图象, 如图所示:
由图可知, 两函数图象有 6 个交点.
故选:C
32.
【分析】作出函数图象, 结合三角形的等价条件进行转化, 求出三角形的底和高, 结合三角函数的相交性质进行求解即可.
【详解】作出两个函数的图象如图,则根据对称性知 ,即 为等腰三角形.
三角函数的周期 ,
且 ,取 的中点 ,连接 ,则 , ,
由 ,得 ,
得 ,得 ,得 ,
则 ,
即 点纵坐标为 1,则 ,
, ,解得 ,即 ,得 ,
即 的取值范围为 .
故答案为: .
33. B
【分析】根据函数图象可知, 是函数 的两个零点,即可得 ,利用已知条件即可确定 的值.
【详解】根据图象可知,函数 的图象是由 向右平移 个单位得到的;
由图可知 ,利用整体代换可得 ,
所以 ,若 为已知,则可求得 .
故选: B
34. B
【分析】由题意首先得 ,进一步得由 得 ,将它们代入函数表达式结合诱导公式二倍角公式即可求解.
【详解】由题意 ,则 ,所以 ,
设 ,因为 ,
所以 ,解得 ,
所以
,
所以 ,又由图可知 ,所以 .
故选: B.
35. A
【分析】由 范围可求出 整体的范围,结合 的图象,根据对称性即可求出 的值.
【详解】
解: 令 ,因为 ,
所以 ,
因为 ,
结合 的图象 (如图所示),
得到 或 ,
因为 ,
所以 ,
则 ,此时 ,满足题意,
或 解得 ,不符合题意舍去.
故选: A.
36. D
【分析】利用赋值法可求 的关系,从而可得 ,利用公式可判断 的正误,结合 的符号可判断 的正误,结合特例可判断 的正误,求出方程 在区间 上解后可判断 的正误.
【详解】因为 的图象关于直线 对称,故 ,
所以 ,所以 ,
所以 ,
此时 ,故函数图象关于直线 对称.
令 ,
则 ,而 ,
故 不是偶函数,故 错误.
的最小正周期为 ,故 B 错误.
因为 的正负无法确定,故 在 的单调性无法确定,故 错误.
令 ,因 ,则 ,
因为 ,故 ,故 即 ,
故方程 共 2 个不同的解,故 正确.
故选: D.
37. ACD
【分析】由函数图象以及函数解析式,建立方程组,求得 的值,
根据三角函数的最小正周期的公式,可得 的答案;
利用函数图象平移变换,写出平移后的函数解析式,根据三角恒等变换进行整理,可得 的答案;
首先设出 4 个根,根据三角函数的对称性,可得 的答案;
直观想象直线平移到最早与三角函数有公共点时的位置, 即切线位置, 利用导数求切点, 可得 D 的答案.
【详解】因为 经过点 ,所以 ,又 在 的单调递减区间内,所以 ①,
又因为 经过点 ,所以 ,又 是 在 时
最小的解,所以 ②.
联立①②,可得 ,解得 ,代入①,可得 ,又 ,所以 ,则
故 的最小正周期 ,则 正确;
向右平移 个单位后得到的新函数是
,则 为奇函数,故 错误；
设 在(0, m)上的 4 个根从大到小依次为 ,令 ,则 ,根据 的对称性,可得 ,则由 的周期性可得 ,所以 故 正确;
作与直线 平行的直线 ,使其与 有公共点,则在运动的过程中,只有当直线与 相切时,直线 与直线 存在最小距离,也是点 到直线 的最小距离,令 ,则 ,解得 或 ,又 , 所以 或 或 (舍去),又 ,令 ,则由 ,可得 到直线 的距离大于 到直线 的距离,所以 到直线 的距离最小时, 的横坐标为 ,故 正确.
故选: ACD.
38. ABD
【分析】先利用函数的零点解出 ,再根据整体代换思想结合正弦函数的图象和性质判断 ,利用导数的几何意义判断 D.
【详解】由题意得 ,所以 ,即 ,
又 ,所以 时, ,故 ,
选项 A:当 时, ,由正弦函数 图象可得 在 上单调递减,正确；
选项 B: 当 时, ,由正弦函数 图象可得 只有 1 个极值点,由 ,
解得 ,即 为函数的唯一极值点,正确;
选项 ,当 时, ,故直线 不是对称轴,错误;
选项 ,由 得 ,
所以 或 ,解得 或 ,
所以函数 在点 处的切线斜率为 , 切线方程为 即 ,正确; 故选: ABD
39. ABD
【分析】利用函数图象的对称性求出 ,再结合正弦函数的图象与性质逐项分析、计算判断作答.
【详解】依题意, ,即 ,而 ,则 ,
对于 ,因为 ,于是函数 的图像关于点 对称, 正确;
对于 ,当 时, ,而正弦函数 在 上有且只有两个极值点,
所以函数 在 有且仅有 2 个极值点, 正确;
对于 ,因为 ,又 ,因此 中一个为函数 的最大值点,
另一个为其最小值点,又函数 的周期为 ,所以 的最小值为 错误;
对于 ,依题意, ,
则
,因此 正确.
故选: ABD
40. BCD
【分析】利用三角恒等变换化简 ,再利用正弦函数单调性奇偶性判断 ,利用裂项相消及累加求和判断 .
【详解】易知 ,
同理 ,
对 先减后增,故 错误;
对 为奇函数,故 正确;
对 ,则 在 单调递增,
在 单调递减,即 在 单调递增,在 单调递减,
又 ,
,
故函数 恰有两个零点,故 正确;
对 ,易知 ,令 ,则 ,
..........................
则 ,
故 ,故 正确.
故选: BCD.
【点睛】关键点点睛:本题考查三角函数的性质及数列求和应用, 关键是利用利用裂项相消及累加求和判断 D.
41. AD
【分析】根据正弦函数和余弦函数的图象与性质逐项进行检验即可求解.
【详解】对于 ,要使 的最小值为 -2,则 ,
当 时,使得 的最小值为 -2,故选项 正确;
对于 ,当 时, 不满足;
当 时,由正弦函数的性质可知: 要使 ,只能 与 中至少一个为零,与已知矛盾,
所以不存在实数 和 ,使得 的最大值为 1,故选项 错误;
对于 ,方程 可化为: ,
也即 ,
化简可得: ,
也即 ,所以 或 ,
当 时,因为 ,所以 或 ,有两个零点;
当 时,也即 ,
所以 ,
因为 为正偶数,且 ,
当 时,则 ,因为 ,所以 ,
此时有 个零点;
当 时,则 ,因为 ,所以 ,
此时有 个零点;
当 时,则 ,因为 ,所以 ,此时有 个零点；
所以当 时,有 个零点;
综上所述: 共有 个零点,故选项 错误;
对于 ,若 为 的零点,则 ,
即 ,由余弦函数的图象可知:
或
解得: 或 ;
若 为 的零点,则 ,
即 ,由余弦函数的图象可知:
或
解得: 或 ;
下面证明充分性: 只需证明 和 的情况;
若 ,则 为 的零点成立, ,
因为 为正奇数,所以 或 2,充分性不成立;
必要性: 若 ,则 为 的零点成立,
因为 为正奇数,所以 ,必要性成立; 所以 为正奇数时,“ 为 的零点”是 “ 为 的零点”的必要不充分条件, 故选项 D 正确, 故选: AD. 42. 【详解】试题分析: 对 恒成立, 故 ,即 恒成立, 即 对 恒成立,构造 ,开口向下的二次函数 的最小值的可能值为端点值, 故只需保证 ,解得 . 故选 C. 【考点】三角变换及导数的应用 【名师点睛】本题把导数与三角函数结合在一起进行考查, 有所创新, 求解的关键是把函数单调性转化为不等式恒成立, 再进一步转化为二次函数在闭区间上的最值问题,注意与三角函数值域或最值有关的问题,即注意正、余弦函数的有界性.
43.
【分析】由题意可得 ,即 ,令 ,讨论 时恒成立, 当 时,分离 转化为最值问题即可求解.
【详解】若 可得 ,即 ,
所以 ,所以 ,
令 ,
若 ,则 ,
当 时, 成立,
当 时, ,所以 ,
因为 ,
当且仅当 即 或 时, 取得最小值 ,
所以 ；
若 ,则 ,
当 时, 恒成立,
当 时, ,可得 ,
因为 在 上单调递增,所以 即 时, ,
所以 ,
综上所述: ,
故答案为: .
44. B
【分析】法一:利用排除法,取特值检验即可；法二:根据周期性的定义判断 A；根据对称性的定义判断 BC；利用导数判断 在区间 内单调性,进而判断 .
【详解】法一: (排除法) 因为 ,
即 ,所以 不是 的一个周期,故 错误;
且 ,所以 不是 图象的一个对称中心,故 错误;
又因为 ,
即 ,所以 在区间 内不单调递减,故 错误;
法二: A: 因为
即 ,所以 不是 的一个周期,故 错误;
B: 因为 ,
即 ,所以 是 图象的一条对称轴,故 正确;
C: 因为 ,
即 ,所以 不是 图象的一个对称中心,故 错误;
D: 因为
当 时, ,此时 ;
当 时, ,此时 ;
当 时, ,此时 ;
可知 在 上单调递减,在 上单调递增,在 上单调递减,
所以 在区间 内不单调递减,故 错误;
故选: B.
【点睛】关键点点睛: 对于复杂的函数性质问题, 可以通过举反例的形式说明其错误, 这样可以简化计算和推理.
45. ACD
【分析】函数解析式变形为 , A 选项,由 判断结论; B 选项,由
判断结论; 选项,通过换元,利用导数求值域; 选项,通过导数判断函数在区间内的单调性.
【详解】
所以 的图象关于点 中心对称, 选项正确;
所以 的图象不关于直线 对称, 选项错误;
令 ,则 ,设 ,则 ,
解得 ； 解得 或 ,
所以 在 上单调递增,在 和 上单调递减,
所以 的值域为 ,即 的值域为 选项正确;
当 时, ,
所以 在 上恒成立,得 在 上单调递增, 选项正确.
故选: ACD.
【点睛】方法点睛:
通过检验法判断对称性, 利用导数判断单调性, 利用导数求函数值域.
46. BCD
【分析】利用轴对称的条件,验证 成立与否判断 A,验证 成立与否判断 B,利用周期定义验证 ,利用导数研究函数的单调性与最值判断 . 【详解】对于 ,故 错误； 对于 ,故 正确; 对于 ,故 是 的周期, 设正数 为 的周期,则 恒成立, 故 为 的最小正周期,故 正确; 对于 ,根据 选项可知 的最大值即 在 上的最大值, 求 ,设 , 则 在 上单减,在 上单增,在 上单减, , ,故 的最大值为 ,故 D 正确. 故选: BCD 47. ABD 【分析】对于 ,通过计算 ,比较与 的关系进行判断,对于 ,结合基本不等式分析判断,对于 , 举例判断,对于 ,对函数求导后,求出其单调区间,进而求出极值判断.
【详解】对于 ,因为 ,
所以 的图象关于 对称,所以 正确,
对于
当且仅当 ,即 时取等号,所以 正确,
对于 ,因为
,所以 错误,
对于 ,由 ,得 ,
当 时, ,所以 ,
当 时, ,
令 ,则 ,
所以 在(-1,0)上递减,
当 时, ,所以 ,
所以 ,所以 ,
当 时, ,所以 ,
所以 ,所以 ,
所以 在 上递减,在 上递增,
所以 在 处取得极小值,
所以 的极小值为 ,所以 正确.
故选: ABD
【点睛】关键点点睛: 此题考查诱导公式的应用, 考查利用导数求函数的极值, 解题的关键是对函数求导后, 对其变
形 ,再次构造函数,利用导数判断其单调性,考查计算能力,属于较难题.
48. AD
【分析】运用周期函数的定义计算得 为周期函数判断 ,利用导数法判断函数 的单调性即可判断 , 求导,分离参数, 构造函数, 利用导数判断函数的单调性, 从而求解参数范围判断 C, 利用三角恒等变换化简函数, 根据函数的对称性结合二倍角公式列式求解判断 . 【详解】因为 ,
所以 ,
代换整理得到: ,
若 ,则 为周期函数;
若 ,则 ,
则 为周期函数, 正确;
设 ,故 ,设 ,
故 ,故 单调递减,
且 ,故存在 使 .
在 上单调递增,在 上单调递减,且 ,
当 无限趋近于 0 时, 无限趋近于 1 ,故 错误;
在区间(0,1)上增函数,则 ,
即 恒成立,
设 ,则 ,
故 在(0,1)上单调递增,故 在(0,1)上单调递减, ,
故 错误;
对于 ,
其中 . 又 ,即函数关于 对称,
故 ,即 ,
则 ,故 正确;
故选: AD
【点睛】关键点点睛: 对于函数周期性的判断, 往往利用定义法, 如果是三角函数, 能使用结论则用结论, 对于函数最值的求解, 往往利用导数法判断单调性即可求解. 49. ACD
【分析】根据周期函数定义判断 即可; 根据函数对称轴定义判断 即可; 由 知 是以 为周期的函数,所以根据求解 在区间 上的最大值即可判断选项 ,利用 在区间 上的零点个数即可判断选项 .
【详解】对于 ,因为 ,
所以 是以 为周期的函数,故 正确;
对于 ,有 ,故 错误;
对于 ,由 知只需考虑 在区间 上的最大值,
当 时,令 ,
则 ,
易知 在区间 上单调递减,
所以 的最大值为 ,最小值为 ;
当 时,令 ,
则 ,
易知 在区间 上单调递增,
所以 的最大值为 ,最小值为 ,
综合可知: 函数 的最大值为 ,最小值为 ,故 正确;
对于 ,因为 是以 为周期的函数,
可以先研究函数 在区间 上的零点个数,易知 ,
当 时,令 ,解得 或 1,
因为 ,则 ,
则 在区间 上无解,
在区间 上仅有一解 ,
当 时,令 ,解得 或 1,
因为 ,则 ,
则 在区间 上无解,
在区间 上也无解,
综合可知: 函数 在区间 上有两个零点,分别为 和 ,
又因为 是以 为周期的函数,
所以若 ,则 在区间 上恰有 个零点,
又已知函数 在区间 上恰有 2023 个零点,
所以 ,故 正确.
故选: ACD
【点睛】关键点睛: 本题主要考查命题的真假判断, 利用三角函数的图像和性质, 进行分类讨论是解决本题的关键,
属于中档题.
50. ACD
【分析】A 选项,由函数 与 的最小正周期 的周期性即可; 选项,利用函数的单调性定义求解; 选项,由倍角公式化简函数解析式,利用二次函数的性质求最大值; 选项,利用导数讨论函数的单调性,数形结合求 的取值范围.
【详解】由条件可知 ,
因 ,
又函数 与 的最小正周期均为 ,
所以函数 的最小正周期为 选项正确;
时, ,
,则函数 在 上不可能单调递增, 选项错误;
当 时,函数 取最大值 选项正确;
,所以函数 为偶函数,
方程 在 上有且仅有 8 个不同的实根,则在 上有四个根,
此时 ,则 ,
设
令 ,得 ,令 ,得
则 在上 和 单调递增,在 和 上单调递减,
又 ,如图所示,
若想方程 在 上有四个根,则 ,即 ,
因此选项 D 正确.
故选: ACD.
51. BD
【分析】先求出 ,结合函数 与 的图象即可求解
【详解】设 ,
则 ,
函数 与 的大致图象如下所示:
对 ,由图知, 与 的最小正周期均为 ; 故 错误;
对 ,由图知, 为函数 与 的对称轴,故 正确.
对 ,由图知 : 函数 的值域为 ,函数 的值域为 ,故 错误:
对 ,由图知, 与 的图象关于原点中心对称,故 正确;
故选: BD.
52. BD
【分析】对于选项 A: 验证 是否成立即可判断; 对于选项 B: 验证 是否成立即可判断;
对于选项 C: 利用 即可验证 有解; 对于选项 D: 利用二倍角公式,结合基本不等式即可判断.
【详解】对于选项 A: 不是 的周期,故 A 错误;
对于选项 关于 对称,故 正确;
对于选项 有解,故 错误;
对于选项 ,若 ,则 ,
若 ,则 ,
当且仅当 ,即 时,原式取等,故 正确.
故选:BD.
53. BC
【分析】对于 ,首先利用三角恒等变换得 ,通过换元法结合对勾函数性质即可判断; 对于 ,由 的周期性即可判断; 对于 ,判断 是否相等; 对于 ,由复合函数单调性证伪即可.
【详解】
令 ,所以 ,
由对勾函数性质知道 在 单调递减,在 单调递增,
而 ,所以 值域是 ,故 错误;
对于 ,
所以 是以 为周期的周期函数,故 正确;
对于 ,
所以 ,故 正确;
对于 在 单调递增, 在 单调递增, 在(-1,0)上单调递减,
而由 选项分析可知 在 单调递减,在 单调递增,故 错误.
故选: BC.
【点睛】关键点点睛:关键是正确利用三角恒等变换化简函数 表达式,由此即可顺利得解.
54. 13
【分析】首先根据周期求出 ,再根据函数的极大值点求出 ,由 及辅助角公式求出 ,即可求出 的取值,再代入计算可得.
【详解】解: 因为函数两相邻零点之间的距离小于 ,所以 ,即 ,解得 ,
又 其中 ,
因为 为函数 的极大值点,所以 ,
所以 ,
所以 ,
所以 ,
因为 ,
所以 ,
即 ,所以 ,
所以 ,则 ,
所以 ,
即 ,
又 ,所以 ;
故答案为: 13
55. D
【分析】首先分别分析函数 和 的最大值,再根据三角函数的性质,即可求解.
【详解】因为函数 的最大值为 1, 的最大值为 1,
由题意可知, 取得最大值 1 时, 也取得最大值 1,
即当 时, ,
得 ,
当 时, ,其他值不满足等式.
故选: D
56. A
【分析】作出函数图象, 结合锐角三角形的等价条件进行转化, 求出三角形的底和高, 结合三角函数的相交性质进行求解即可.
【详解】作出两个函数的图象如图,则根据对称性可知 ,即 为等腰三角形,
函数的周期为 ,且 ,
取 中点 ,连接 ,则 ,
要使 是锐角三角形,只需要 即可,
即 即可,即 ,
由 得 ,
则 ,可得 ,
则 ,
即 点的纵坐标为 1,则 ,
由 得 ,即 ,则 ,
即 ,得 ,即 的取值范围为 .
故选: A. 57. 2
【分析】根据 的范围、最大值为 可得 ,分 讨论,结合图象可得答案.
【详解】由题知,当 时, ,
因为最大值为 ,所以 ,解得 .
当 时,即 解的个数,
转化为方程 解的个数,
且 ,
由图可知有且只有一个 能够满足.
当 时, ,
此时函数最大值为 3,即 ,显然满足条件,
综上,满足条件的 有 2 个.
故答案: 2 .
【点睛】关键点点睛: 本题的关键点是 解的个数,转化为方程 解的个数, 考查了学生思维能力和运算能力. 58. D
【分析】本题为三角函数与零点结合问题,难度大,通过整体换元得 ,结合正弦函数的图像分析得出答案.
【详解】当 时, ,
在 有且仅有 5 个零点,
,
,故④正确,
由 ,知 时,
令 时取得极大值,①正确;
极小值点不确定, 可能是 2 个也可能是 3 个, ②不正确;
因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案,
当 时, ,
若 在 单调递增,
则 ,即 ,
,故③正确.
故选 .
【点睛】极小值点个数动态的, 易错, ③正确性考查需认真计算, 易出错, 本题主要考查了整体换元的思想解三角函数问题, 属于中档题.
59.
【分析】根据题意可得 为 的一条对称轴,即可求得 ,再以 为整体分析可得 , 运算求解即可得答案.
【详解】由题意可得: 的最小正周期 ,
,且 ,则 为 的一条对称轴,
,解得 ,
又 ,则 ,
故 ,
,则 ,
若函数 在区间 上恰有 2 个极值点,则 ,解得 ,
故 的取值范围是 .
故答案为: .
【点睛】方法点睛: 求解函数 的性质问题的三种意识
(1)转化意识:利用三角恒等变换将所求函数转化为 的形式.
(2)整体意识:类比 的性质,只需将 中的“ ”看成 中的“ ”,采用整体代入求解.
①令 ,可求得对称轴方程.
②令 ,可求得对称中心的横坐标.
③将 看作整体,可求得 的单调区间,注意 的符号.
( 3 )讨论意识:当 为参数时,求最值应分情况讨论 .
60. C
【分析】先由零点个数求出 ,再用整体法得到不等式组,求出 的取值范围.
【详解】 ,其中 ,解得: ,
则 ,要想保证函数在 恰有三个零点,满足① ,
,令 ,解得: ; 或要满足 ,
令 ,解得: ; 经检验,满足题意,其他情况均不满足 条件,
综上: 的取值范围是 .
故选:C
【点睛】三角函数相关的零点问题,需要利用整体思想,数形结合等进行解决,通常要考虑最小正周期,确定 的范围,本题中就要根据零点个数,先得到 ,从而求出 ,再进行求解.
61. B
【分析】 ,只需要研究 的根的情况,借助于 和 的图像,根据交点情况,列不等式组,解出 的取值范围.
【详解】令 ,则
令 ,则
则问题转化为 在区间 上至少有两个,至多有三个 ,使得 ,求 的取值范围. 作出 和 的图像,观察交点个数,
可知使得 的最短区间长度为 ,最长长度为 ,
由题意列不等式的:
解得: .
故选:B
【点睛】研究 的性质通常用换元法 (令 ),转化为研究 的图像和性质较为方便.
62. B
【分析】利用换元法结合三角函数图象的列出限制条件可得答案.
【详解】令 ,
则等价于 有两个根,由于 时, 有两个根;
原题等价于 与 有一个公共点,如图,
则 且 ,所以 .
故选: B.
63. D
【分析】由正弦型函数的区间最值情况得 ,进而有 或 ,讨论 结合已知恒成立确定最终 的取值范围.
【详解】由 ,则 内不存在最值,
即 ,则 ,则 或 ,
由 ,则 中 恒成立,
只需 且 ,
或 ;
所以 的取值范围是 .
故选:D
64. B
【分析】根据已知可得 为正奇数,且 ,结合 为 的零点, 为 图象的对称轴,求出满足条件的解析式,并结合 在 上单调,可得 的最大值. 【详解】 为 的零点, 为 图象的对称轴,
,即
即
即 为正奇数,
在 上单调,则 ,
即 ,解得: ,
当 时, ,
此时 在 不单调,不满足题意;
当 时, ,
此时 在 单调,满足题意;
故 的最大值为 9,
故选 .
【点睛】本题将三角函数的单调性与对称性结合在一起进行考查, 题目新颖, 是一道考查能力的好题.注意本题求解中用到的两个结论: ① 的单调区间长度是最小正周期的一半; ②若 的图像关于直线 对称,则 或 .
65. D
【分析】结合正弦函数的最值,对称性求 的值,再结合单调性确定 的最大值.
【详解】 ,
,
又对于任意的 都有 ,
,又 ,
或 ,
当 时, 且 ,
当 时, ,
若 ,则 ,
在 上不单调, 错误,
当 时, 且 ,
当 时, ,
若 ,则 ,
在 上不单调, 错误,
当 时, ,
若 ,则 ,
在 上单调, 正确,
故选: D.
【点睛】已知 的性质求函数解析式的关键在于转化为正弦函数的问题.
66. (1)
(2)
【分析】(1)由正弦函数的单调性与周期性,可得 ,所以 在同一个周期内,由 ,取其中点值,即可得 图象的一条对称轴;
(2)由 ,可得 ,又 为正整数,所以 ,2,3,再分三种情况讨论,结合 在 处取得最值, 即可求解.
【详解】( 1 )因为函数 在区间 单调,
,
在同一个周期内,
图像的一条对称轴为
(2)由(1)知, ,即 ,
又 为正整数,所以 ,
由 (1) 知, 在 处取得最值,
所以 ,即 .
当 时, ,由 ,知 ,所以 ,
所以 ,不符合题意;
当 时, ,
由 ,知 ,所以 ,
所以 ,符合题意;
当 时, ,
由 ,所以 ,
所以 ,不符合题意,
综上所述, .
67.
【分析】设 ,求出 ,从而可得 ,在 中,设 ,由正弦定理用 表示出 ,这样 就表示为 的函数,然后由降幂公式,两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式, 结合正弦函数性质可得最大值, 从而得面积最大值.
【详解】解: 设 ,由题意以 边向外作等边三角形 ,其外接圆圆心分别为 , 连接 并延长分别交 于 , 则 ,同理 , 都是等边三角形,则 ,又 ,则 ,所以 是正三角形,所以其面积为 , 内接于单位圆,即其外接圆半径为 ,则 ,同理 ,设 , 则 , , 所以当 时, 取得最大值 , 所以 的面积最大值为 . 故答案为: .
【点睛】关键点点睛: 本题考查三角函数在几何中的应用,解题关键是设设 ,用 表示出 (说明 即可得),等边 面积就可能用 表示,然后用正弦定理把 用角表示,利用三角函数的恒等变换及正弦函数性质求得最大值.
68.
【分析】根据题意 ,不妨设 ,故 , 进而得 ,所以在 和 中,由正弦定理得 ,故
,在结合三角恒等变换化简整理求函数最值即可.
【详解】根据题意,点 为 的费马点, 的三个内角均小于 ,
所以 ,
设 ,
所以在 和 中, ,且均为锐角,
所以
所以由正弦定理得: ,
所以 , ,
因为
所以
因为 ,所以 ,所以 ,
所以
故实数 的最小值为 .
故答案为:
【点睛】本题考查数学文化背景下的解三角形, 三角恒等变换解决三角函数取值范围问题, 考查运算求解能力, 数学建模能力,化归转化思想,是难题.本题解题的关键在于根据题目背景,通过设 ,进而建立解三角形的模型, 再根据正弦定理及三角恒等变换化简求最值即可.
69.
【分析】由圆内接四边形性质结合正弦定理可得到 ,再利用托勒密定理得
,结合 整理得 ,求得答案.
【详解】根据圆内接四边形的性质可知; ,
所以 ,
即 ,
在 中, ,故 ,
由题意可知: ,
则 ,所以 ,
故 ,
当且仅当 时等号取得,
又 ,所以 ,
则 ,则实数 的最小值为 ,
故答案为:
70.
【分析】以 为原点,以 所在直线为 轴建立平面直角坐标系,利用三角函数定义表示点 的坐标,由已知结合和角的正弦公式化简即得.
【详解】以 为原点,以 所在直线为 轴,建立平面直角坐标系,由于角速 ,
设点 ,圆上两点 始终保持 ,
则 ,要使 两点的竖直距离为 0,
则 ,第一次为 0 时, ,解得 ,
故答案为:
【点睛】关键点点睛: 涉及三角函数实际应用问题, 探求动点坐标, 找出该点所在射线为终边对应的角是关键, 特别注意,始边是 轴非负半轴.
71. 6 时
【分析】令船底与海底距离为 ,则 ,化简后求导判断单调性,从而确定当
时, ,即可求解.
【详解】令船底与海底距离为 ,则
所以 ,所以 ,
又
所以 ,
所以当 或 时, ,当 时, ,
所以 在 上单调递增; 在 上单调递减.
又因为 ,
所以当 时, ; 当 时,
所以该船第一次停止卸货的时刻为 6 时.
故答案为: 6 时
72. ABD
【分析】根据 ,结合基本不等式及二次函数知识进行求解.
【详解】对于 ,
当且仅当 时,等号成立,故 正确;
对于 ,所以 ,故 正确;
对于 ,
当且仅当 时,等号成立,故 不正确;
对于 ,因为 ,
所以 ,当且仅当 时,等号成立,故 正确;
故选: ABD
【点睛】本题主要考查不等式的性质, 综合了基本不等式, 指数函数及对数函数的单调性, 侧重考查数学运算的核心素养. 73. C
【分析】①②直接使用基本不等式,结合对数指数运算,即可判断；③构造函数 ,利用导数研究其单调性和值域,将 转化为 ,即可判断; ④ 构造函数 ,利用导数研究其最大值,结合适度放缩, 即可判断.
【详解】因为 ,故可得 ,当且仅当 取得等号;
① ,错误;
② ,当且仅当 时取得等号,正确；
③ 令 ,
故 在(0,1)单调递增, ,即当 ;
,又 ,即 ,解得 ,故 ；
故 ,也即 ,正确;
④ 令 ,则 ,
故当 时, 单调递增; 当 时, 单调递减;
故 的最大值为 ; 由 可知, ,则 ,正确;
故选: C.
74. C
【分析】根据题意可得利用基本不等式可得 ,再结合二次函数不等式求解方法即可求解.
【详解】由题可知: ,
因为 都是正数,所以 (当且仅当 时取等),
所以 (当且仅当 时取等),
化简可得 ,解得 ,故 正确.
故选: C.
75. BC
【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假.
【详解】因为 ,由 可变形为, ,解得 ,当且仅当 时, ,当且仅当 时, ,所以 错误, 正确; 由 可变形为 ,解得 ,当且仅当 时取等号,所以 正确; 因为 变形可得 ,设 ,所以 ,因此 ,所以当 时满足等式,但是 不成立,所以 错误. 故选: BC. 76. 【详解】由 两边同时加上 得 两边同时开方即得: , 从而有 (当且仅当 ,即 时,“ ”成立) 故填: . 考点: 基本不等式. 【名师点睛】本题考查应用基本不等式求最值,先将基本不等式 转化为 且当且仅当 时取“ ”)再利用此不等式来求解. 本题属于中档题,注意等号成立的条件. 77. B
【分析】先构造函数 ,用导数求单调性,再利用基本不等式求解即可.
【详解】由 得 ,
因为函数 满足 ,
所以 在 上单调递增,
由 ,则 ,即 ;
因为 ,所以 ,
当且仅当 时, 取的最小值为 ,
故选: B.
78. C
【分析】由题意可得 ,利用换元法可将原式变形再利用基本不等式即可求得结果.
【详解】由 可得 ,且
因此 ,
令 ,则 ;
又 ;
当且仅当 时,即 时,等号成立;
此时 的最小值为 .
故选:C
【点睛】关键点点睛: 本题关键在于将未知数个数减少, 并合理变形利用基本不等式求解.
79. D
【分析】由题意首先得 ,且 ,进一步通过换元法以及判别式法即可求解,注意验证取等条件.
【详解】因为 ,所以 ,所以 ,等号成立当且仅当 ,
从而 ,
令 ,设 ,显然 ,
则 ,
因为关于 的一元二次方程有实数根,所以 ,
整理得 ,即 ,
解得 ,注意到 ,从而 ,
等号成立当且仅当 ,即 ,
所以经检验 的最大值,即 的最大值为 .
故选: D.
【点睛】关键点点睛: 关键是得 ,且 ,由此即可顺利得解. 80. ACD 【分析】根据给定条件, 利用基本不等式及 “1” 的妙用逐项求解即得. 【详解】正实数 满足 ,由 ,
对于 ,当且仅当 时取等号,
于是 ,解得 ,因此 的最大值为 正确;
对于 ,当且仅当 时取等号,则 错误;
对于 ,则 ,
当且仅当 ,即 时取等号, 正确；
对于 ,
当且仅当 ,即 时取等号, 正确.
故选: ACD
81.
【分析】先求出 的最小值,再将 化为 ,即可求得答案.
【详解】因为 ,
故 ,
当且仅当 ,结合 ,即 时等号成立,
所以 ,即 的最大值是 ,
故答案为:
82.
【分析】令 ,通过指数式与对数式互化用 表示出 ,再借助基本不等式进行求解即可.
【详解】令 ,则 ,
,
令 , ,则 ,当且仅当 ,即
时等号成立,
,即 .
故答案为: .
【点睛】关键点点睛:在应用基本不等式求最值时,要把握不等式成立的三个条件,就是“一正一”各项均为正；二定 ——积或和为定值；三相等——等号能否取得”,若忽略了某个条件,就会出现错误.
83. 1
【分析】记 ,其中 ,可求得 ,进而可得 ,利用 ,结合基本不等式可求最小值.
【详解】由 ,得 ,
记 ,其中 ,
原不等式化为 ,所以 ,
所以 ,即 .
所以 ,
当且仅当 ,即 时取“ ”,所以 的最小值为 1.
故答案为:1.
【点睛】方法点睛: 三角代换是解题的关键,进而得出 是利用基本不等式求得最小值的基础,进而考查运算求解能力和创新意识.
84.
【分析】变形得到 ,利用两次基本不等式,求出最小值.
【详解】任意的正实数 ,满足 ,
由于 为正实数,故由基本不等式得 ,
当且仅当 ,即 时,等号成立, 所以 当且仅当 ,即 时,等号成立, 综上, 的最小值为 . 故答案为: 【点睛】利用基本不等式求解最值问题,方法灵活,式子不能直接使用基本不等式时,常常需要变形,比如凑项法,“1”
的妙用, 消元法, 多次使用基本不等式等
85.
【详解】试题分析: 因为 ,所以 ,
所以 ,
所以 ,
由 ,解得 ,
故实数 的最大值为 .
考点: 一元二次方程的根的判别式, 容易题.
86. 5
【分析】根据等式特征可知 ,再由不等式及其等号成立条件可得结果.
【详解】由 可得 ,
又 ,
,即 ;
当且仅当 时,即 或 ,等号成立;
此时 .
故答案为:5
【点睛】关键点点睛: 本题关键在于利用条件等式得出平方关系式,得出 ,由等号成立的条件即可得出结论. 87. 7
【分析】依题意可得 ,从而得到点(a, b)在圆 上,再由 表示点(a, b)与点 连线的斜率,结合图象及直线与圆的位置关系求出 的最值,即可得解.
【详解】因为 ,所以 ,
所以点(a, b)在圆 上,其中圆心为(1, - 1),半径为 ,
又 ,其中 表示点(a, b)与点 连线的斜率,
又 ,所以点 在圆外,
由图可知,当直线与圆相切时, 取得最值,设过点 的直线 的方程为 ,
即 ,则 ,解得 或 ,
即 的最大值为 -1,最小值为 -7,
所以 的最大值为 7.
故答案为: 7 88.
【分析】由题意可知 满足 为四边形的四边上任意一点,然后画图由 几何意义求解即可.
【详解】将直线 与 的方程化为一般式为 ,
,所以 到两直线的距离之和为: ,
所以 ①.
当 时,①式变形为: ;
当 时,①式变形为: ;
当 时,①式变形为: ;
当 时,①式变形为: ;
则动点 为如图所示的四边形的边,
的几何意义为正方形边上任意一点与 连线的斜率.
则 的取值范围是: .
故答案为: .

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