资源简介

第6讲 统计概率
考点一 简单随机抽样
【例1-1】（24-25上海）某工厂利用随机数表对生产的 50 个零件进行抽样测试， 先将 50 个零件进行编号， 编号分别为 01， 02， ......， 50. 从中抽取 5 个样本，下面提供随机数表的第 1 行到第 2 行:
66 67 40 37 14 64 05 71 11 05 65 09 95 86 68 76 83 20 37 90
57 16 03 11 63 14 90 84 45 21 75 73 88 05 90 52 23 59 43 10
若从表中第 1 行第 7 列开始向右依次读取数据， 则得到的第5个样本编号是 （ ）.
A．09 B．05 C．65 D．71
【答案】A
【解析】第一行第7列为3，依次往右读，37，14，05，11，09.09为第5个样本编号，故选：A
【例1-2】（2025·内蒙古通辽）某中学有高中生1000人，初中生3000人.为了解学生的身心发展情况，按比例采用分层随机抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为80的样本，则抽中的高中生人数为（ ）
A．5 B．10 C．20 D．30
【答案】C
【解析】分层抽样的抽取比例为所以从高中生中抽取的人数为.故选：C．
【变式】
1．（2025河南）某校为了解同学们对“天宫课堂”这种授课模式的兴趣，决定利用分层抽样的方法从高二、高三学生中选取90人进行调查，已知该校高二年级学生有1200人，高三年级学生有1500人，则抽取的学生中，高三年级有（ ）
A．20人 B．30人 C．40人 D．50人
【答案】D
【解析】由题意可知该校高二年级学生有1200人，高三年级学生有1500人，则高二年级与高三年级的学生人数比为，根据分层抽样的特征可知，抽取的学生中，高三年级有人．故选：D
2．（24-25上海·期中）设总体由编号为的60个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从该随机数表第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的3个个体的编号为 .
5044664421 6606580562 6155643502 4235489632 1452415248
2266221586 2663754199 5842367224 5837521851 0337183911
【答案】
【解析】根据从随机数表第1行第6个数开始读，第一个编号是64，舍去；第二个编号是42；
第三个编号是16；第四个编号是60，舍去；第五个编号是65，舍去；第六个编号是80，舍去；第七个编号是56，
所以入选的三个个体编号分别为42，16，56，
故答案为：42，16，56.
3．（24-25上海）某公司利用随机数表对生产的900支新冠疫苗进行抽样测试，先将疫苗按000，001，…，899进行编号，从中抽取90个样本，若选定从第4行第4列的数开始向右读数，（下面摘取了随机数表中的第3行至第5行），根据下图，读出的第5个数的编号是 ．
1676622766 5650267107 3290797853 1355385859 8897541410
1256859926 9682731099 1696729315 5712101421 8826498176
5559563564 3854824622 3162430990 0618443253 2383013030
【答案】729
【解析】从685开始向右数，即685，992，696，827，310，991，696，729，跳过992，991，696重复，跳过，
所以第5个数字为729.故答案为：729.
考点二 用样本估计总体
【例2-1】（24-25湖南）（多选）春节期间，电影《哪吒2》在全国各地的影院热映，已知某影院连续10天的观影人数（单位：百人）依次为90，120，80，160，160，180，200，160，120，130，则这组数据的（ ）
A．众数为120 B．平均数为140 C．中位数为145 D．第85百分位数为170
【答案】BC
【解析】观影人数从小到大排列为：80，90，120，120，130，160，160，160，180，200，
则众数为160，故A不正确；
平均数为，故B正确；
中位数为，故C正确；又，故第85百分位数为180，故不正确.
故选：BC.
【例2-2】（24-25天津市）某人工智能公司为优化新开发的语言模型，在其模型试用人群中开展满意度问卷调查，满意度采用计分制（满分100分），统计满意度并绘制成如下频率分布直方图，图中，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．满意度计分的众数约为75分
C．满意度计分的平均分约为79分 D．满意度计分的第一四分位数约为70分
【答案】C
【解析】对于A，由频率分布直方图可得，
又，解得，故A正确；
对于B，由频率分布直方图可得，满意度计分的众数为最高矩形底边中点横坐标75分，故B正确；
对于C，满意度计分的平均分约为，故C错误；
对于D，前两组的频率之和为，所以满意度计分的第一四分位数约为70分，故D正确.
故选：C
【例2-3】（2025·陕西安康）有一组样本数据，其平均数为，方差为，若样本数据，的平均数为，方差为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据样本数据平均数公式可知，，方差.
故选：C
【变式】
1．（2025·甘肃平凉）（多选）某运动员在一次训练中共射击6次，成绩（单位：环）如下：，则下列说法正确的是（ ）
A．成绩的众数是10
B．成绩的中位数与成绩的平均数相同
C．成绩的分位数和分位数相同
D．若增加一个成绩8环，则成绩的方差不变
【答案】BC
【解析】对于A，根据众数的概念可知，成绩的众数是6和10，故A错误；
对于B，成绩的中位数为，成绩的平均数为，故B正确；
对于C，因为，
所以成绩的分位数和分位数都是从小到大排列的第5个数10，故C正确；
对于D，设原成绩的方差为，若增加一个成绩8环，则方差为，故D错误.
故选：BC
2．（2025·河北）（多选）某商场统计了180天的日收入（单位：万元），并分组如下：，，， ，，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ）
A．这180天中日收入不低于8万元的有54天
B．用比例分配的分层随机抽样法从日收入低于8万元的天数中抽取14天，则这14天中有6天的日收入低于4万元
C．这组数据的平均数是6万元（每组数据以区间中点值为代表）
D．这组数据的第75百分位数为8.5万元
【答案】AD
【解析】对于A，由频率分布直方图得这180天中日收入不低于8万元的有天，故A正确；
对于B，日收入低于8万元的各组的频率比为，
所以从日收入低于8万元的天数中抽取14天各组抽取的天数依次为2天、3天、4天、5天，
则这14天中有天的日收入低于4万元，故B错误；
对于C，这组数据的平均数是
万元，故C错误；
对于D，因为前4组的频率为，
前5组的频率为，
所以这组数据的第75百分位数在第5组为万元，故D正确.
故选：AD
3．（2025·河北秦皇岛）（多选）已知一组样本数据，，…，，…，，，则下列说法错误的是（ ）
A．，，…，的下四分位数为
B．，，…，的中位数为
C．，，…，的平均数小于，，…，的平均数
D．，，…，的方差为，，…，的方差的倍
【答案】ABD
【解析】对于A，由，得下四分位数为，A错误；
对于B，数据，，…，共个，其中位数为，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，，，…，的方差为，，…，的方差的倍，D错误.
故选：ABD
考点三 事件的关系与运算
【例3】（2025山东）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名参加演讲比赛，设={2名全是男生}，{2名全是女生}，{恰有一名男生}，{至少有一名男生}，则下列关系不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】至少有1名男生包含2名全是男生 1名男生1名女生，故，，
故A，C正确；
事件B与D是互斥事件，故，故B正确，
表示的是2名全是男生或2名全是女生，表示2名全是女生或名至少有一名男生，
故，D错误，
故选：D.
【变式】
1．（2025江西）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：=“点数为i”，其中；=“点数不大于2”，=“点数大于2”，=“点数大于4”；E=“点数为奇数”，F=“点数为偶数”.判断下列结论是否正确.
（1）与互斥；（2），为对立事件；（3）；（4）；（5），；
（6）；（7）；（8）E，F为对立事件；（9）；（10）
【答案】（1）正确；（2）错误；（3）正确；（4）正确；（5）正确；（6）正确；（7）正确；（8）正确；（9）正确；（10）正确.
【解析】该试验的样本空间可表示为,
由题意知,,,,,.
（1）,,满足,所以与互斥,故正确；
（2）,,满足但不满足.所以为互斥事件,但不是对立事件,故错误；
根据对应的集合易得,（3）正确；（4）正确；（5）正确；
（6）,所以,故正确；（7）,故正确；
（8）因为, ,所以E,F为对立事件,故正确；
（9）正确；（10）正确.
2．（2024广西）设某随机试验的样本空间，事件，，，求下列事件：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【解析】1）由已知；
（2）由题意；
（3）由已知，，所以
（4）由已知，，所以．
考点四 概率的性质
【例4-1】（24-25江苏盐城·阶段练习）已知随机事件A和B，下列表述中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若互斥，则 D．若对立，则
【答案】D
【解析】选项A：若 ，则 ，因此 ，而非 ，错误.
选项B：若 ，则 ，因此 ，而非 ，错误.
选项C：若 和 互斥，则 ，故 ，而非 ，错误.
选项D：若 和 对立，则 为必然事件，故 ，正确.
故选：D.
【例4-2】（24-25广东佛山·期中）已知为随机事件，A与B互斥，B与C互为对立，且，，则（ ）
A．0.06 B．0.5 C．0.6 D．0.7
【答案】D
【解析】因为B与C互为对立，，所以，
因为A与B互斥，所以.故选：D.
【例4-3】（24-25浙江杭州）设是一个随机试验中的两个事件，记为事件的对立事件，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以.
又
所以.
故.
故选：D.
【变式】
1．（23-24浙江舟山）设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，，故，，
因为与为互斥事件，故，
又，
所以有，
故，故.
故选：A.
2．（23-24高一下·全国·阶段练习）已知事件、、两两互斥，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为事件、、两两互斥，，
所以，
所以.
故选：B
3．（2025高三·全国·专题练习）（多选）下列命题正确的是（ ）
A．对立事件一定是互斥事件
B．若A，B为两个随机事件，则
C．若事件A，B，C彼此互斥，则
D．若事件A，B满足，则A与B是对立事件
【答案】AB
【解析】对于A，根据对立事件与互斥事件的关系，可知A显然是正确的；
对于B，当与是互斥事件时，才有，对于任意两个事件A，B，满足，所以B正确；
对于C，事件A，B，C彼此互斥，但不一定是全体样本空间，故不一定等于1，还可能小于1；
对于D，只要等于全体样本空间，必定有，但事件与不一定互斥,故D错误．
故选：AB
4．（24-25重庆）（多选）若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且，则实数a的值可以是（　　）
A． B． C． D．
【答案】CD
【解析】由题意可知，即，即，
解得，故选：CD.
5．（23-24高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末）（多选）已知事件两两互斥，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】因为事件两两互斥，所以，故D正确；
，则，故A正确；
，则，故B错误；
，故C正确.故选：ACD
考点五 古典概型
【例5】（2025陕西）某商场随机抽取了100名员工的月销售额x（单位：千元），将x的所有取值分成五组，并绘制得到如图所示的频率分布直方图，其中．
(1)求a、b的值；
(2)若月销售额在这一组中男女职工人数为，现从中随机抽取2人，求所抽取的2人中至少有一名女职工的概率．
【答案】(1)，；
(2).
【解析】（1）由频率分布直方图，得，则，而，
所以，.
（2）月销售额在这一组的人数为，
其中男职工3人，记为A，B，C，女职工2人，记为a，b，
从中随机抽取2 人，基本事件有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共10个，
事件“至少有一名女职工”含有的基本事件为Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共7个，
所以所抽取的2人中至少有一名女职工的概率为.
【变式】
1．（24-25 贵州·阶段练习）某报社发起“建党周年”主题征文比赛，活动中收到了来自社会各界的大量文章，报社从中选取了篇文章，打算以专栏形式在报纸上发表，已知这些文章的作者各不相同，且年龄都集中在内，根据统计结果，作出频率分布直方图如图所示．
(1)求的值；
(2)估计这名作者年龄的中位数；（结果精确到）
(3)为了展示不同年龄作者心中的党的形象，报社按照各年龄段人数的比例，用分层随机抽样的方法从这篇文章中抽出篇文章，并邀请相应作者参加座谈会，若从参加座谈会的年龄在的作者中随机选出人作为代表发言，求这人中至少有人的年龄在的概率．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）由频率分布直方图可知，所以．
（2）因为前两组频率之和为，前三组频率之和为，
所以中位数在中，故中位数的估计值为．
（3）由题可知抽出的篇文章的作者中，年龄在的有人，记为、，
年龄在的有人，记为、、，
现从这个人中选出人，所有不同的结果有种：
、、、、、、、、、.
至少有人的年龄在内对应的不同的结果有种：
、、、、、、，所以所求概率．
2（24-25高一上·江西·期末）古人云：“腹有诗书气自华．”为响应全民阅读，建设书香中国，校园读书活动的热潮正在兴起．某校为统计学生一周课外读书的时间，从全校学生中随机抽取名学生进行问卷调查，统计了他们一周课外读书时间（单位：h）的数据如下：
一周课外读书时间/h 合计
频数 4 6 10 12 14 24 48 32
频率 0.02 0.03 0.05 0.06 0.07 0.12 0.25 0.16 1
(1)根据表格中提供的数据，求的值，学校将对读书时间更长的前的同学授予“读书积极分子”称号，请估算至少一周课外读书时间多长时，才能获得此荣誉．
(2)如果读书时间按，，分组，用分层抽样的方法从名学生中抽取20人．
①求每层应抽取的人数；
②若从，中抽出的学生中再随机选取2人，求这2人不在同一层的概率．
【答案】(1)，，；h．
(2)①2，5，13；②．
【解析】（1）由题意可得，，；
设一周读书时间的前位数为，
因为，
.
所以一周读书时间的前位数.
且.
即一周的读书时间超过h，才能获得“读书积极分子”荣誉．
（2）（ⅰ）由题意知用分层抽样的方法从样本中抽取20人，抽样比为，
又，，的频数分别为20，50，130，
所以从，，三层中抽取的人数分别为2，5，13．
（ⅱ）由（ⅰ）知，在，两层中共抽取7人，
设内被抽取的学生分别为，内被抽取的学生分别为；
若从这7人中随机抽取2人，则所有情况为：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21种，
其中2人不在同一层的情况为，，，，，，，，，共10种．
设事件为“这2人不在同一层”，
则由古典概型的概率计算公式得．
3．（24-25高一下·贵州遵义·阶段练习）某地文化和旅游局统计了春节期间100个家庭的旅游支出情况，统计得到这100个家庭的旅游支出（单位：千元）数据，按分成5组，并绘制成频率分布直方图，如图所示．

(1)估计这100个家庭的旅游支出的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）；
(2)估计这100个家庭的旅游支出的第70百分位数（结果保留一位小数）；
(3)在这100个家庭中，旅游支出在（千元）的家庭中，按分层抽样的方法抽取5个家庭，再从这5个家庭中抽取2个家庭，求至少有1个家庭的旅游支出在千元内的概率.
【答案】(1)8.3千元
(2)9.7
(3)
【解析】（1）估计这100个家庭的旅游支出的平均值为：
（千元）.
（2）由频率分布直方图知，旅游支出在千元的频率为，
在千元的频率为，则这100个家庭的旅游支出的第70百分位数，
则，解得，
所以估计这100个家庭的旅游支出的第70百分位数为9.7.
（3）以频率估计概率，得每个家庭的旅游支出在千元内的概率为，千元内的概率为，则按分层抽样的方法抽取5个家庭，千元内抽取家庭数之比为,所以千元内抽取2个家庭, 千元内抽取3个家庭,
设旅游支出在千元的2个家庭记为，在千元的3个家庭记为从这5个家庭中抽取2个家庭的所有可能情况有：，共10种.
至少有1个家庭旅游支出在千元内的情况有：共7种.
所以至少有1个家庭的旅游支出在千元内的概率.
考点六 互斥与对立事件
【例6-1】（24-25河南信阳·期末）（多选）袋子中有4个大小质地完全相同的球，其中2个红球、2个黄球，从中不放回依次摸出2个球，记“恰有一次摸到红球”，“两次都摸到红球”，“两次都摸到黄球”，“至少有一次摸到红球”，“至多一次摸到红球”．则下列说法正确的是（ ）
A．事件A与事件B是互斥事件 B．事件B与事件C是对立事件
C．事件C与事件D是对立事件 D．事件D与事件E是互斥事件
【答案】AC
【解析】对于A，由于事件A与事件B不可能同时发生，故二者是互斥事件，A正确；
对于B，，但，故二者为互斥事件，不是对立事件，B错误；，
对于C，至少有一次摸到红球包括有一次摸到红球一次摸到黄球和两次都摸到红球，
其对立事件为没有一次摸到红球，即两次都摸到黄球，故事件C与事件D是对立事件，C正确；
对于D，{有一次摸到红球，另一次摸到黄球}，故二者不互斥，D错误，
故选：AC
【例6-2】（24-25 湖北黄冈·期中）某饮料生产企业推出了一种有一定中奖机会的新饮料.甲、乙、丙三名同学都购买了这种饮料，设事件为“甲、乙、丙三名同学都中奖”，则与互为对立事件的是（ ）
A．甲、乙、丙恰有两人中奖 B．甲、乙、丙都不中奖
C．甲、乙、丙至少有一人不中奖 D．甲、乙、丙至多有一人不中奖
【答案】C
【解析】事件“甲、乙、丙三名同学都中奖”的对立事件是“甲、乙、丙三名同学至少有一人不中奖”.
故选：C
【变式】
1．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不大于3”，“点数不小于3”，“点数大于4”，“点数为奇数”，“点数为偶数”，下列结论正确的是（ ）
A．A，B为互斥事件 B．B，C为对立事件
C．C，D为互斥事件 D．D，E为对立事件
【答案】D
【解析】A选项，设抛掷一颗质地均匀的骰子，向上的点数为基本事件，
则样本空间为，
事件包含的基本事件有点数为1，点数为2，点数为3，
事件包含的基本事件有点数为3，点数为4，点数为5，点数为6，
由于有共同的基本事件，即点数为3，，故A，B不为互斥事件，A错误；
B选项，事件C包含的基本事件有点数为5，点数为6，
结合A选项，显然B，C包含共同的基本事件，不互斥，不对立，B错误；
C选项，事件包含的基本事件有点数为1，点数为3，点数为5，
结合B选项，可知C，D包含共同的基本事件，不互斥，C错误；
D选项，事件包含的基本事件有点数为2，点数为4，点数为6，
结合C选项，，且，
所以D，E为对立事件，D正确.
故选：D
2．（24-25高二上·湖北·期末）某小组有2名男生和3名女生，从中任选2名同学参加比赛，那么互斥且不对立的两个事件是（ ）
A．至少有1名女生与全是女生 B．恰有1名女生与恰有2名女生
C．至少有1名女生与全是男生 D．至少有1名女生与至多有1名男生
【答案】B
【解析】“从中任选2名同学参加比赛”所包含的基本情况有：两男、两女、一男一女.
A. “至少有1名女生”包含的基本情况有：两女、一男一女，与“全是女生”可以同时发生，不是互斥事件，A错误.
B.“恰有1名女生” 表示一男一女，与“恰有2名女生”不可能同时发生，是互斥事件，但不是对立事件，B正确.
C.“至少有1名女生”与“全是男生”是互斥事件也是对立事件，C错误.
D.“至少有1名女生”包含的基本情况有：两女、一男一女，“至多有1名男生” 包含的基本情况有：两女、一男一女，可以同时发生，不是互斥事件，D错误.
故选：B.
3．（2024 安徽 ）抛掷一枚质地均匀的骰子，记随机事件：“点数为奇数”，“点数为偶数”，“点数大于2”，“点数小于2”，“点数为3”．则下列结论不正确的是（ ）
A．为对立事件 B．为互斥不对立事件
C．不是互斥事件 D．是互斥事件
【答案】D
【解析】点数为奇数与点数为偶数不可能同时发生，且必有一个发生，所以E，F是对立事件，选项A正确；
点数大于2与点数小于2不可能同时发生，且不是必有一个发生，G，H为互斥且不对立事件，选项B正确；
点数为奇数与点数大于2可能同时发生，E，G不互斥，选项C正确；
点数大于2与点数为3可能同时发生，G，R为不互斥事件，选项D不正确.
故选：D.
考点七 事件的相互独立性
【例7-1】（24-25高一上·北京房山·期末）甲、乙两人独立解同一道数学题目，甲解出这道题目的概率是，乙解出这道题目的概率是.
(1)求甲、乙两人都解出这道题目的概率；
(2)求甲、乙两人恰有一人解出这道题目的概率；
(3)求这道题目被甲、乙两人解出的概率.
【答案】(1)(2)(3)
【解析】（1）设事件“甲、乙两人都解出这道题目”，
则.
（2）设事件“甲、乙两人恰有一人解出这道题目”，
则.
（3）设事件“这道题目被甲、乙两人解出”，
则.
2．（24-25高一上·辽宁·期末）学校组织知识竞赛，题库中的试题分为A，B两种类型，每个学生选择两题作答，第一题从A，B两种试题中随机选择一题作答，学生若答对第一题，则第二题选择同一种试题作答的概率为，若答错第一题，则第二题选择同一种试题作答的概率为，已知学生甲答对A种试题的概率均为，答对B种试题的概率均为，且每道试题答对与否互相独立．
(1)求学生甲两题选择A，B两种试题作答的概率；
(2)求学生甲两题均答对的概率．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）若学生甲第一题选择A种试题作答，则第二题选择B种试题作答的概率
，
若学生甲第一题选择B种试题作答，则第二题选择A种试题作答的概率
，
故学生甲两题选择A，B两种试题作答的概率．
（2）若学生甲两题都选择A种试题作答，则两道试题均答对的概率，
若学生甲两题都选择B种试题作答，则两道试题均答对的概率，
若学生甲第一题选择A种试题作答，第二题选择B种试题作答，则两道试题均答对的概率
，
若学生甲第一题选择B种试题作答，第二题选择A种试题作答，则两道试题均答对的概率
，
故学生甲两题均答对的概率.
【变式】
1．（24-25高一下·山东东营·开学考试）甲、乙两位队员进行某种球类对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜，通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为， 乙发球甲赢的概率为， 不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球．
(1)求该局打4个球甲赢的概率;
(2)求该局打5个球结束的概率．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）设甲发球甲赢为事件A，乙发球甲赢为事件B，该局打4个球甲赢为事件C，
由题意可知：，，且，
可得，
所以该局打4个球甲赢的概率为．
（2）设该局打5个球结束时甲赢为事件D，乙赢为事件E，打5个球结束为事件F，
可知事件D，E为互斥事件，且，
则，
，
可得，
所以该局打5个球结束的概率为．
2．（24-25高一下·山东东营·开学考试）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束． 设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．
(1)求乙获胜的概率;
(2)求投篮结束时乙只投了2个球的概率．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）设Ak，Bk分别表示甲、乙在第k次投篮时投中，
则．
记“乙获胜”为事件C，
则
；
（2）记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件D，
则
．
3（24-25 四川成都·期末）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮一次，规则如下：若命中，则此人继续投篮一次，若未命中，则换对方投篮一次.已知甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为，甲、乙每次投篮的结果相互独立，第一次投篮者为甲.
(1)求第3次投篮者为乙的概率；
(2)求前4次投篮中甲投篮次数不少于3次的概率.
【答案】(1)(2)
【解析】（1）设事件"甲第次投篮投进"，事件"乙第次投篮投进"，事件"第三次投篮者为乙"，
根据题意可知，与互斥，
；
（2）设事件"前4次投篮中甲投篮次数不少于3次"，根据题意可知：
，
事件互斥，且每次投篮的结果相互独立，
.
单选题
1．（24-25 河南周口 ）某校高三年级共有2000人，其中男生1200人，女生800人，某次考试结束后，学校采用按性别分层随机抽样的方法抽取容量为的样本，已知样本中男生比女生人数多8人，则（ ）
A．20 B．30 C．40 D．48
【答案】C
【解析】根据分层抽样的性质可知，样本中男生人数为：，样本中女生人数为：，
由题意，所以，所以.故选：C
2．（24-25高一下·甘肃兰州·阶段练习）为了了解全校200名学生的年龄情况，从中抽取40名学生进行调查，下列说法正确的是（ ）
A．总体是200 B．个体是每一名学生
C．样本是40名学生 D．样本容量是40
【答案】D
【解析】由题意可得，总体是200名学生的年龄，故A错误；
个体是每一名学生的年龄，故B错误；样本是40名学生的年龄，故C错误；样本容量是40，故D正确.故选：D
3．（24-25高一下·江西抚州·阶段练习）如图，用四个不同的元件连接成一个工作系统，当元件正常工作，且三个元件中至少有一个正常工作时，该系统正常工作．已知元件A正常工作的概率为，元件正常工作的概率均为，且这四个元件是否正常工作相互独立，则该系统正常工作的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题可知，元件均不正常工作的概率为，
则元件中至少有一个正常工作的概率为，
从而该系统正常工作的概率为．
故选：B
4．（2025·新疆喀什·模拟预测）若一组样本数据的平均数为2，方差为4，则样本数据的平均数与方差分别为（ ）
A．3，4 B．2，4 C．3， D．2，
【答案】D
【解析】样本数据的平均数，
因为，
所以样本数据的方差.
故选：D.
5．（24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末）甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为与，且每次射击命中与否互不影响，两人约定如下：每次由一人射击，若命中，下一次由另一人射击；若没有命中，则继续射击.约定甲先射击，则前4次中甲恰好射击3次的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】前4次中甲恰好射击3次有三种情况：
第一种情况：第一次甲命中，第二次乙命中，第三次甲没命中，第四次甲射击.
第二种情况：第一次甲没命中，第二次甲没命中，第三次甲命中，第四次乙射击 .
第三种情况：第一次甲没命中，第二次甲命中，第三次乙命中，第四次甲射击 .
甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为与，
则甲、乙两人每次射击没有命中目标的概率分别为与.
计算第一种情况的概率:
根据独立事件概率的乘法公式，这种情况的概率为.
计算第二种情况的概率:
根据独立事件概率的乘法公式，这种情况的概率为.
计算第三种情况的概率:
根据独立事件概率的乘法公式，这种情况的概率为.
计算前4次中甲恰好射击3次的总概率:
将三种情况的概率相加得，前4次中甲恰好射击3次的概率为.
故选：B.
6．（2025甘肃）从一堆产品（其中正品与次品均多于两件）中任取两件，观察所抽取的正品件数与次品件数，则下列每对事件中，是对立事件的是（ ）
A．恰好有一件次品与全是次品 B．至少有一件次品与全是次品
C．至少有一件次品与全是正品 D．至少有一件正品与至少有一件次品
【答案】C
【解析】任取两件所有可能结果为：全是正品、全是次品、一件正品一件次品；
A中，恰好有一件次品即为一件正品一件次品，
所以恰好有一件次品与全是次品是互斥但不对立事件；
B中，至少有一件次品包含：全是次品、一件正品一件次品，
所以至少有一件次品与全是次品不是对立事件；
C中，至少有一件次品包含：全是次品、一件正品一件次品，
所以至少有一件次品与全是正品是对立事件；
D中，至少有一件正品包含：全是正品、一件正品一件次品；
至少有一件次品包含：全是次品、一件正品一件次品，
所以至少有一件正品与至少有一件次品有交集，不是对立事件．
故选：C
7．（24-25 山东淄博 ）对空中移动的目标连续射击两次，设两次都击中目标两次都没击中目标{恰有一次击中目标}，至少有一次击中目标}，下列关系不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】A.事件包含恰好一次击中目标或两次都击中目标，所以，故A正确；
B.包含的事件为至少一次击中目标，为样本空间，所以B错误，C正确；
D.事件与事件是对立事件，所以，故D正确.
故选：B
8．（24-25高一下·江西景德镇·期中）抛一枚质地均匀的骰子两次，设事件表示“第二次朝上的数字为偶数”，则下列事件中与事件相互独立的是（ ）
A．第二次朝上的数字是奇数 B．第二次朝上的数字为2
C．两次朝上的数字之和为9 D．两次朝上的数字之和为10
【答案】C
【解析】抛掷骰子两次，共有个基本事件数，
则
，共18个基本事件，则，
设事件为第二次朝上面的数字是奇数，则事件与事件是对立事件，故A错误；
设事件为第二次朝上面的数字是2，则，故B错误；
设事件为两次朝上面的数字之和是9，
则共4个基本事件，则，
且，则，
，所以事件与事件相互独立，故C正确；
设事件两次朝上面的数字之和是10，
则，则，
且，则，
因为，所以事件与事件不相互独立，故D错误.
故选：C.
多选题
9．（2025海南）港珠澳大桥是中国境内一座连接中国香港、广东珠海和中国澳门的桥隧工程，因其超大的建筑规模、空前的施工难度以及顶尖的建造技术闻名世界，为内地前往香港的游客提供了便捷的交通途径，某旅行社分年龄统计了大桥落地以后，由港珠澳大桥实现内地前往香港的老中青旅客的比例为，现使用分层随机抽样的方法从这些旅客中随机抽取n名，若青年旅客抽到60人，则（ ）

A．老年旅客抽到100人 B．中年旅客抽到20人
C． D．被抽到的老年旅客以及中年旅客人数之和超过200
【答案】AC
【解析】由题意知，由港珠澳大桥实现内地前往香港的老中青旅客的比例为，
现使用分层随机抽样的方法从这些旅客中随机抽取n名，若青年旅客抽到60人，
则，解得（人），故C正确，D错误；
则老年旅客抽到（人），故A正确；
则中年旅客抽到40人，故B错误.
故选 ：AC.
10．（2025·安徽·模拟预测）一组样本数据如下：47，48，49，50，50，51，52，53，则（ ）
A．该组数据的平均数为50 B．该组数据的中位数为50
C．该组数据的方差为3 D．该组数据的第80百分位数为51.5
【答案】AB
【解析】对于A，平均数为，A正确；
对于B，中位数为，B正确；
对于C，方差为，C错误；
对于D，由，得第80百分位数为52，D错误.
故选：AB
11．（2025·江西南昌）人工智能是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究 开发用于模拟 延伸和扩展人的智能的理论 方法 技术及应用系统的一门新的技术科学.很多学校已经推出基于的人工智能通识课程，帮助学生深入了解人工智能的历史 关键技术及其在科学研究 社会发展中的高效应用，培养跨学科思维，推动人工智能技术在多领域的深度融合与创新.某探究小组利用解答了50份高考模拟试卷，收集其准确率，整理得到如下频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．估计准确率的分位数为
C．估计准确率的平均数为
D．估计准确率的中位数为
【答案】ABD
【解析】对于A选项，由频率分布直方图可得，解得，A对；
对于B选项，前两个矩形的面积之和为，
所以估计准确率的分位数为，B对；
对于C选项，估计准确率的平均数为，C错；
对于D选项，设中位数为，前三个矩形的面积之和为，
所以，则，解得，
所以估计准确率的中位数为，D对.
故选：ABD.
12．（23-24高一下·湖南怀化·期末）设A，B是两个随机事件，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】由，，即，
知，所以C错误.
又，所以A正确.
同理可得，B正确.
又，所以D正确.

故选：ABD.
13．（24-25 浙江杭州·期末）抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的面的点数，“点数为偶数”记为事件A，“点数小于5”记为事件B，“点数小于2”记为事件C．下列说法正确的是（ ）
A．A与C互斥 B．B与C对立 C．A与B相互独立 D．
【答案】AC
【解析】样本空间为，事件，事件，事件，
A.∵，∴与互斥，A正确.
B.∵，∴与不对立，B错误.
C.∵，∴，
∵，
∴，与相互独立，C正确.
D.∵，∴，
∵，∴，D错误.
故选：AC.
填空题
14．（24-25 上海·期中）某次期中考试随机抽取了12名同学的数学成绩作为样本，分别是53，59，61，62，67，75，77，80，82，86，90，93．则这组数据的60百分位数为 ．
【答案】80
【解析】由，所以组数据的第60百分位数为80.
故答案为：80
15．（2024·广东深圳）某高中有学生500人，其中男生300人，女生200人，为了获得全体学生的身高信息，按照分层抽样的原则抽取了容量为50的样本.已知男生身高样本均值为，方差为；女生身高样本均值为，方差为.经计算可知所有样本的均值为，则所有样本的方差为 .
【答案】
【解析】依题意，容量为50的样本中，男生人数为，女生人数为，
所有样本的方差为.
故答案为：
16．（24-25 上海黄浦·期末）在10件产品中有3件次品，从中选3件．下列各种情况是互斥事件的有 .
①A：“所取3件中至多2件次品”，B：“所取3件中至少2件为次品”；
②A：“所取3件中有一件为次品”，B：“所取3件中有二件为次品”；
③A：“所取3件中全是正品”，B：“所取3件中至少有一件为次品”；
④A：“所取3件中至多有2件次品”，B：“所取3件中至少有一件是正品”.
【答案】②③
【解析】对于①，A：“所取3件中至多2件次品”包含3个基本事件，即3件正品；1件次品，2件正品；2件次品，1件正品；
B：“所取3件中至少2件为次品”包含2个基本事件，即3件次品；2件次品，1件正品；
两事件均包含2件次品，1件正品，故不是互斥事件，①错误；
对于②，A：“所取3件中有一件为次品”，和B：“所取3件中有二件为次品”不可能同时发生，为互斥事件，②正确；
对于③，B：“所取3件中至少有一件为次品”包含3个基本事件，即1件次品，2件正品；2件次品，1件正品；3件次品；
与A：“所取3件中全是正品”不可能同时发生，故为互斥事件，③正确；
对于④，A：“所取3件中至多有2件次品”，包含3个基本事件，即3件正品；1件次品，2件正品；2件次品，1件正品；
B：“所取3件中至少有一件是正品”包含3个基本事件，即3件正品；1件次品，2件正品；2件次品，1件正品；
两事件为同一事件，故不是互斥事件，④错误.
故答案为：②③
解答题
17．（24-25 四川德阳·阶段练习）2024年奥运会在巴黎举行，中国代表团获得了40枚金牌，27枚银牌，24枚铜牌，共91枚奖牌，取得了境外举办奥运会的最好成绩，运动员的拼搏精神给人们留下了深刻印象.为了增加学生对奥运知识的了解，弘扬奥运精神，某校组织高二年级学生进行了奥运知识能力测试.根据测试成绩，将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示.
(1)求a的值
(2)试估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分；
(3)该校准备对本次奥运知识能力测试成绩不及格（60分以下）的学生，采用按比例分配的分层随机抽样方法抽出5名同学，再从抽取的这5名同学中随机抽取2名同学进行情况了解，求这2名同学分数在，各一人的概率.
【答案】(1)
(2)71.
(3).
【解析】（1）由题意可得：，
解得：，
（2）因为，
所以估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分为71.
（3）采用分层抽样从和抽取5名同学，
因为，
则应在成绩为的学生中抽取2人，记为a，b；
在成绩为的学生中抽取3人，记为A，B，C；
再从抽取的这5名同学中随机抽取2名同学有如下结果，
，，，，，，，，，共10种可能结果：
其中在，各一人的共6种；
所以所求概率.
18．（23-24高一下·吉林·期末）随着全民健身意识增强，马拉松运动逐渐成为深受群众喜爱的体育健身项目之一.吉林市自2016年以来，现已成功举办五届马拉松比赛，“吉马”也因此成为了东北地区乃至全国颇具影响力的品牌赛事.2023年“吉马”被中国田径协会评为“城市形象媒体传播赛事典型案例”.时隔一年，吉林市委、市政府再次启动这一国际化赛事，将挑战自我、超越极限、坚韧不拔、永不放弃的马拉松精神与我市激流勇进的城市精神相结合，并将其发扬光大.为此，某校举办了“吉马”知识竞赛，从所有竞赛成绩中抽取一个容量为100的样本，并按竞赛成绩（单位：分）分成六组：，，，，，，得到如下图所示的频率分布直方图.

(1)求频率分布直方图中a的值，并求样本中竞赛成绩的第80百分位数；
(2)现从样本中竞赛成绩在内用比例分配的分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中抽取2人座谈，求至少有一人竞赛成绩在内的概率；
(3)已知样本中竞赛成绩在内的平均数，方差，样本中竞赛成绩在内的平均数，方差，并据此估计所有答卷中竞赛成绩在内的总体方差.
参考公式：总体分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，.记总的样本平均数为，样本方差为，.
【答案】(1)，第80百分位数为
(2)
(3)
【解析】（1），.
.
，
第80百分位数在区间中
设第80百分位数为，则，
，所以第80百分位数为.
（2）由题知，区间的频率比为，，，
则在区间抽取2人，记为，在区间抽取4人，记为，
从这6人中抽取两人座谈，样本空间如下：
，共15个样本点，
设“至少有一人竞赛成绩在内”为事件，
事件，所以，
所以至少有一人竞赛成绩在内的概率为.
（3）区间的频率比为，
，
.
19．（24-25高一下·江西景德镇·期中）在高一学生预选科之前，为了帮助他们更好地了解自己是否适合选读物理，某校从高一年级中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求的值．若根据这次成绩，学校建议成绩排名前的学生选报物理，成绩排名后的学生选报历史，某同学想选报物理，请问他的物理成绩应不低于多少分较为合适？（小数点后保留一位）
(2)现学校要选拔学生参加物理竞赛，需要再进行考试．考试分为两轮，第一轮需要考2个模块，每个模块成绩从高到低依次有A＋，A，B三个等级，若两个模块成绩均为A＋，则直接参加；若一个模块成绩为A＋，另一个模块成绩为A，则要参加第二轮实验操作，实验操作通过也能参加，否则均不能参加．现有甲、乙二人报名参加，二人互不影响，甲在每个模块考试中取得A＋，A，B的概率分别为，，；乙在每个模块考试中取得A＋，A，B的概率分别为，，；甲、乙在实验操作中通过的概率分别为，．求甲、乙至少有一个人能参加物理竞赛的概率．
【答案】(1)，不低于分
(2)
【解析】（1）依题意得，，
又
，
所以第分位数位于，且，
他的物理成绩应不低于分较为合适．
（2）依题意甲能参加物理竞赛的概率，
乙能参加物理竞赛的概率，
二人互不影响，所以甲、乙至少有一人能参加物理竞赛的概率为:
.
20．（24-25高一上·辽宁朝阳·期末）已知甲、乙两人进行围棋挑战赛，先胜两局的一方赢得比赛，每局比赛不考虑平局，并且前一局先手的一方，下一局比赛将作为后手．在每一局比赛中若甲方先手，则该局甲获胜的概率为；若甲方后手，则该局甲获胜的概率为．
(1)求双方需要进行第三局比赛的概率；
(2)若第一局比赛乙先手，求甲赢得比赛的概率．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）若双方需要进行第三局比赛，则前两局比赛中双方各胜一局，
因为前两局比赛中，双方各先手一次，
故双方需要进行第三局比赛的概率．
（2）记第局甲获胜为事件，甲赢得比赛为事件，则包含的所有事件为，且这个事件之间两两互斥，
由，
，
，
得．
21．（24-25高一上·辽宁丹东·期末）甲乙两人进行投篮比赛，规定：每人每轮投球一次，若同时命中或同时未命中，则进行下一轮投球，若只有一人命中时，则命中者获得比赛的胜利，同时比赛结束.已知甲的命中率为，乙的命中率为，且各次投篮互不影响.
(1)求第一轮比赛未分出胜负的概率；
(2)求甲在第3轮比赛时获胜的概率.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）记事件“甲第i轮投中”，“乙第i轮投中”，
第一轮比赛未分出胜负是甲乙同时命中或都未命中，且与相互独立，
则第一轮比赛未分出胜负的概率.
（2）甲在第3轮比赛时获胜，则前两轮都是平局，第3轮投球甲命中，
表示为，
则甲在第3轮比赛时获胜的概率为
.
22．（24-25 广东佛山·期中）某中学举办科学竞技活动，报名参加科学竞技活动的同学需要通过两轮选拔.第一轮为笔试，设有三门考试科目且每门是否通过相互独立，至少有两门通过，则认为是笔试合格.若笔试不合格，则不能进入下一轮选拔；若笔试合格，则进入第二轮现场面试.面试合格者代表年级组参加全校的决赛.现有某年级甲、乙两名学生报名参加本次竞技活动，假设笔试中甲每门合格的概率均为，乙每门合格的概率分别是，，，甲、乙面试合格的概率分别是，.
(1)求甲能够代表年级组参加全校的决赛的概率；
(2)求甲、乙两人中有且只有一人代表年级组参加全校的决赛的概率.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由题意甲能够代表年级组参加全校的决赛的概率为：
；
（2）由题意乙能够代表年级组参加全校的决赛的概率为：
，
所以甲、乙两人中有且只有一人代表年级组参加全校的决赛的概率为：
.
23．（24-25 贵州·期中）在某次学科知识竞赛的初赛中，共有两道试题，两道题都答对者才能进入决赛．现有甲、乙、丙三名学生去参加初赛，他们答对第一题的概率分别是，，，答对第二题的概率分别是，，．已知甲和丙都答对第一题的概率为，且他们三人是否答对各道题之间是互不影响的．
(1)求甲进入决赛的概率；
(2)求甲、乙、丙这三名学生中恰有两人进入决赛的概率．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由题知：甲和丙都答对第一题的概率为，则；
记“甲进入决赛”为事件，由题知：；
（2）记“乙进入决赛”为事件，记“丙进入决赛”为事件，
由题知：；；
则甲、乙、丙三位学生中恰有两人进入决赛的概率为
.第6讲 统计概率
考点一 简单随机抽样
【例1-1】（24-25上海）某工厂利用随机数表对生产的 50 个零件进行抽样测试， 先将 50 个零件进行编号， 编号分别为 01， 02， ......， 50. 从中抽取 5 个样本，下面提供随机数表的第 1 行到第 2 行:
66 67 40 37 14 64 05 71 11 05 65 09 95 86 68 76 83 20 37 90
57 16 03 11 63 14 90 84 45 21 75 73 88 05 90 52 23 59 43 10
若从表中第 1 行第 7 列开始向右依次读取数据， 则得到的第5个样本编号是 （ ）.
A．09 B．05 C．65 D．71
【例1-2】（2025·内蒙古通辽）某中学有高中生1000人，初中生3000人.为了解学生的身心发展情况，按比例采用分层随机抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为80的样本，则抽中的高中生人数为（ ）
A．5 B．10 C．20 D．30
【变式】
1．（2025河南）某校为了解同学们对“天宫课堂”这种授课模式的兴趣，决定利用分层抽样的方法从高二、高三学生中选取90人进行调查，已知该校高二年级学生有1200人，高三年级学生有1500人，则抽取的学生中，高三年级有（ ）
A．20人 B．30人 C．40人 D．50人
2．（24-25上海·期中）设总体由编号为的60个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从该随机数表第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的3个个体的编号为 .
5044664421 6606580562 6155643502 4235489632 1452415248
2266221586 2663754199 5842367224 5837521851 0337183911
3．（24-25上海）某公司利用随机数表对生产的900支新冠疫苗进行抽样测试，先将疫苗按000，001，…，899进行编号，从中抽取90个样本，若选定从第4行第4列的数开始向右读数，（下面摘取了随机数表中的第3行至第5行），根据下图，读出的第5个数的编号是 ．
1676622766 5650267107 3290797853 1355385859 8897541410
1256859926 9682731099 1696729315 5712101421 8826498176
5559563564 3854824622 3162430990 0618443253 2383013030
考点二 用样本估计总体
【例2-1】（24-25湖南）（多选）春节期间，电影《哪吒2》在全国各地的影院热映，已知某影院连续10天的观影人数（单位：百人）依次为90，120，80，160，160，180，200，160，120，130，则这组数据的（ ）
A．众数为120 B．平均数为140 C．中位数为145 D．第85百分位数为170
【例2-2】（24-25天津市）某人工智能公司为优化新开发的语言模型，在其模型试用人群中开展满意度问卷调查，满意度采用计分制（满分100分），统计满意度并绘制成如下频率分布直方图，图中，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．满意度计分的众数约为75分
C．满意度计分的平均分约为79分 D．满意度计分的第一四分位数约为70分
【例2-3】（2025·陕西安康）有一组样本数据，其平均数为，方差为，若样本数据，的平均数为，方差为，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式】
1．（2025·甘肃平凉）（多选）某运动员在一次训练中共射击6次，成绩（单位：环）如下：，则下列说法正确的是（ ）
A．成绩的众数是10 B．成绩的中位数与成绩的平均数相同
C．成绩的分位数和分位数相同 D．若增加一个成绩8环，则成绩的方差不变
2．（2025·河北）（多选）某商场统计了180天的日收入（单位：万元），并分组如下：，，， ，，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ）
A．这180天中日收入不低于8万元的有54天
B．用比例分配的分层随机抽样法从日收入低于8万元的天数中抽取14天，则这14天中有6天的日收入低于4万元
C．这组数据的平均数是6万元（每组数据以区间中点值为代表）
D．这组数据的第75百分位数为8.5万元
3．（2025·河北秦皇岛）（多选）已知一组样本数据，，…，，…，，，则下列说法错误的是（ ）
A．，，…，的下四分位数为
B．，，…，的中位数为
C．，，…，的平均数小于，，…，的平均数
D．，，…，的方差为，，…，的方差的倍
考点三 事件的关系与运算
【例3】（2025山东）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名参加演讲比赛，设={2名全是男生}，{2名全是女生}，{恰有一名男生}，{至少有一名男生}，则下列关系不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式】
1．（2025江西）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：=“点数为i”，其中；=“点数不大于2”，=“点数大于2”，=“点数大于4”；E=“点数为奇数”，F=“点数为偶数”.判断下列结论是否正确.
（1）与互斥；（2），为对立事件；（3）；（4）；（5），；
（6）；（7）；（8）E，F为对立事件；（9）；（10）
2．（2024广西）设某随机试验的样本空间，事件，，，求下列事件：(1)；(2)；(3)；(4)．
考点四 概率的性质
【例4-1】（24-25江苏盐城·阶段练习）已知随机事件A和B，下列表述中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若互斥，则 D．若对立，则
【例4-2】（24-25广东佛山·期中）已知为随机事件，A与B互斥，B与C互为对立，且，，则（ ）
A．0.06 B．0.5 C．0.6 D．0.7
【例4-3】（24-25浙江杭州）设是一个随机试验中的两个事件，记为事件的对立事件，且，则（ ）
A． B． C． D．
【变式】
1．（23-24浙江舟山）设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一下·全国·阶段练习）已知事件、、两两互斥，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2025高三·全国·专题练习）（多选）下列命题正确的是（ ）
A．对立事件一定是互斥事件
B．若A，B为两个随机事件，则
C．若事件A，B，C彼此互斥，则
D．若事件A，B满足，则A与B是对立事件
4．（24-25重庆）（多选）若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且，则实数a的值可以是（　　）
A． B． C． D．
5．（23-24高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末）（多选）已知事件两两互斥，若，则（ ）
A． B． C． D．
考点五 古典概型
【例5】（2025陕西）某商场随机抽取了100名员工的月销售额x（单位：千元），将x的所有取值分成五组，并绘制得到如图所示的频率分布直方图，其中．
(1)求a、b的值；
(2)若月销售额在这一组中男女职工人数为，现从中随机抽取2人，求所抽取的2人中至少有一名女职工的概率．
【变式】
1．（24-25 贵州·阶段练习）某报社发起“建党周年”主题征文比赛，活动中收到了来自社会各界的大量文章，报社从中选取了篇文章，打算以专栏形式在报纸上发表，已知这些文章的作者各不相同，且年龄都集中在内，根据统计结果，作出频率分布直方图如图所示．
(1)求的值；
(2)估计这名作者年龄的中位数；（结果精确到）
(3)为了展示不同年龄作者心中的党的形象，报社按照各年龄段人数的比例，用分层随机抽样的方法从这篇文章中抽出篇文章，并邀请相应作者参加座谈会，若从参加座谈会的年龄在的作者中随机选出人作为代表发言，求这人中至少有人的年龄在的概率．
2（24-25高一上·江西·期末）古人云：“腹有诗书气自华．”为响应全民阅读，建设书香中国，校园读书活动的热潮正在兴起．某校为统计学生一周课外读书的时间，从全校学生中随机抽取名学生进行问卷调查，统计了他们一周课外读书时间（单位：h）的数据如下：
一周课外读书时间/h 合计
频数 4 6 10 12 14 24 48 32
频率 0.02 0.03 0.05 0.06 0.07 0.12 0.25 0.16 1
(1)根据表格中提供的数据，求的值，学校将对读书时间更长的前的同学授予“读书积极分子”称号，请估算至少一周课外读书时间多长时，才能获得此荣誉．
(2)如果读书时间按，，分组，用分层抽样的方法从名学生中抽取20人．
①求每层应抽取的人数；
②若从，中抽出的学生中再随机选取2人，求这2人不在同一层的概率．
3．（24-25高一下·贵州遵义·阶段练习）某地文化和旅游局统计了春节期间100个家庭的旅游支出情况，统计得到这100个家庭的旅游支出（单位：千元）数据，按分成5组，并绘制成频率分布直方图，如图所示．

(1)估计这100个家庭的旅游支出的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）；
(2)估计这100个家庭的旅游支出的第70百分位数（结果保留一位小数）；
(3)在这100个家庭中，旅游支出在（千元）的家庭中，按分层抽样的方法抽取5个家庭，再从这5个家庭中抽取2个家庭，求至少有1个家庭的旅游支出在千元内的概率.
考点六 互斥与对立事件
【例6-1】（24-25河南信阳·期末）（多选）袋子中有4个大小质地完全相同的球，其中2个红球、2个黄球，从中不放回依次摸出2个球，记“恰有一次摸到红球”，“两次都摸到红球”，“两次都摸到黄球”，“至少有一次摸到红球”，“至多一次摸到红球”．则下列说法正确的是（ ）
A．事件A与事件B是互斥事件 B．事件B与事件C是对立事件
C．事件C与事件D是对立事件 D．事件D与事件E是互斥事件
【例6-2】（24-25 湖北黄冈·期中）某饮料生产企业推出了一种有一定中奖机会的新饮料.甲、乙、丙三名同学都购买了这种饮料，设事件为“甲、乙、丙三名同学都中奖”，则与互为对立事件的是（ ）
A．甲、乙、丙恰有两人中奖 B．甲、乙、丙都不中奖
C．甲、乙、丙至少有一人不中奖 D．甲、乙、丙至多有一人不中奖
【变式】
1．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不大于3”，“点数不小于3”，“点数大于4”，“点数为奇数”，“点数为偶数”，下列结论正确的是（ ）
A．A，B为互斥事件 B．B，C为对立事件
C．C，D为互斥事件 D．D，E为对立事件
2．（24-25高二上·湖北·期末）某小组有2名男生和3名女生，从中任选2名同学参加比赛，那么互斥且不对立的两个事件是（ ）
A．至少有1名女生与全是女生 B．恰有1名女生与恰有2名女生
C．至少有1名女生与全是男生 D．至少有1名女生与至多有1名男生
3．（2024 安徽 ）抛掷一枚质地均匀的骰子，记随机事件：“点数为奇数”，“点数为偶数”，“点数大于2”，“点数小于2”，“点数为3”．则下列结论不正确的是（ ）
A．为对立事件 B．为互斥不对立事件
C．不是互斥事件 D．是互斥事件
考点七 事件的相互独立性
【例7-1】（24-25高一上·北京房山·期末）甲、乙两人独立解同一道数学题目，甲解出这道题目的概率是，乙解出这道题目的概率是.
(1)求甲、乙两人都解出这道题目的概率；
(2)求甲、乙两人恰有一人解出这道题目的概率；
(3)求这道题目被甲、乙两人解出的概率.
2．（24-25高一上·辽宁·期末）学校组织知识竞赛，题库中的试题分为A，B两种类型，每个学生选择两题作答，第一题从A，B两种试题中随机选择一题作答，学生若答对第一题，则第二题选择同一种试题作答的概率为，若答错第一题，则第二题选择同一种试题作答的概率为，已知学生甲答对A种试题的概率均为，答对B种试题的概率均为，且每道试题答对与否互相独立．
(1)求学生甲两题选择A，B两种试题作答的概率；
(2)求学生甲两题均答对的概率．
【变式】
1．（24-25高一下·山东东营·开学考试）甲、乙两位队员进行某种球类对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜，通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为， 乙发球甲赢的概率为， 不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球．
(1)求该局打4个球甲赢的概率;
(2)求该局打5个球结束的概率．
2．（24-25高一下·山东东营·开学考试）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束． 设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．
(1)求乙获胜的概率;
(2)求投篮结束时乙只投了2个球的概率．
3（24-25 四川成都·期末）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮一次，规则如下：若命中，则此人继续投篮一次，若未命中，则换对方投篮一次.已知甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为，甲、乙每次投篮的结果相互独立，第一次投篮者为甲.
(1)求第3次投篮者为乙的概率；
(2)求前4次投篮中甲投篮次数不少于3次的概率.
单选题
1．（24-25 河南周口 ）某校高三年级共有2000人，其中男生1200人，女生800人，某次考试结束后，学校采用按性别分层随机抽样的方法抽取容量为的样本，已知样本中男生比女生人数多8人，则（ ）
A．20 B．30 C．40 D．48
2．（24-25高一下·甘肃兰州·阶段练习）为了了解全校200名学生的年龄情况，从中抽取40名学生进行调查，下列说法正确的是（ ）
A．总体是200 B．个体是每一名学生
C．样本是40名学生 D．样本容量是40
3．（24-25高一下·江西抚州·阶段练习）如图，用四个不同的元件连接成一个工作系统，当元件正常工作，且三个元件中至少有一个正常工作时，该系统正常工作．已知元件A正常工作的概率为，元件正常工作的概率均为，且这四个元件是否正常工作相互独立，则该系统正常工作的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·新疆喀什·模拟预测）若一组样本数据的平均数为2，方差为4，则样本数据的平均数与方差分别为（ ）
A．3，4 B．2，4 C．3， D．2，
5．（24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末）甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为与，且每次射击命中与否互不影响，两人约定如下：每次由一人射击，若命中，下一次由另一人射击；若没有命中，则继续射击.约定甲先射击，则前4次中甲恰好射击3次的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025甘肃）从一堆产品（其中正品与次品均多于两件）中任取两件，观察所抽取的正品件数与次品件数，则下列每对事件中，是对立事件的是（ ）
A．恰好有一件次品与全是次品 B．至少有一件次品与全是次品
C．至少有一件次品与全是正品 D．至少有一件正品与至少有一件次品
7．（24-25 山东淄博 ）对空中移动的目标连续射击两次，设两次都击中目标两次都没击中目标{恰有一次击中目标}，至少有一次击中目标}，下列关系不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（24-25高一下·江西景德镇·期中）抛一枚质地均匀的骰子两次，设事件表示“第二次朝上的数字为偶数”，则下列事件中与事件相互独立的是（ ）
A．第二次朝上的数字是奇数 B．第二次朝上的数字为2
C．两次朝上的数字之和为9 D．两次朝上的数字之和为10
多选题
9．（2025海南）港珠澳大桥是中国境内一座连接中国香港、广东珠海和中国澳门的桥隧工程，因其超大的建筑规模、空前的施工难度以及顶尖的建造技术闻名世界，为内地前往香港的游客提供了便捷的交通途径，某旅行社分年龄统计了大桥落地以后，由港珠澳大桥实现内地前往香港的老中青旅客的比例为，现使用分层随机抽样的方法从这些旅客中随机抽取n名，若青年旅客抽到60人，则（ ）

A．老年旅客抽到100人 B．中年旅客抽到20人
C． D．被抽到的老年旅客以及中年旅客人数之和超过200
10．（2025·安徽·模拟预测）一组样本数据如下：47，48，49，50，50，51，52，53，则（ ）
A．该组数据的平均数为50 B．该组数据的中位数为50
C．该组数据的方差为3 D．该组数据的第80百分位数为51.5
11．（2025·江西南昌）人工智能是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究 开发用于模拟 延伸和扩展人的智能的理论 方法 技术及应用系统的一门新的技术科学.很多学校已经推出基于的人工智能通识课程，帮助学生深入了解人工智能的历史 关键技术及其在科学研究 社会发展中的高效应用，培养跨学科思维，推动人工智能技术在多领域的深度融合与创新.某探究小组利用解答了50份高考模拟试卷，收集其准确率，整理得到如下频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．估计准确率的分位数为
C．估计准确率的平均数为
D．估计准确率的中位数为
12．（23-24高一下·湖南怀化·期末）设A，B是两个随机事件，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
13．（24-25 浙江杭州·期末）抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的面的点数，“点数为偶数”记为事件A，“点数小于5”记为事件B，“点数小于2”记为事件C．下列说法正确的是（ ）
A．A与C互斥 B．B与C对立 C．A与B相互独立 D．
填空题
14．（24-25 上海·期中）某次期中考试随机抽取了12名同学的数学成绩作为样本，分别是53，59，61，62，67，75，77，80，82，86，90，93．则这组数据的60百分位数为 ．
15．（2024·广东深圳）某高中有学生500人，其中男生300人，女生200人，为了获得全体学生的身高信息，按照分层抽样的原则抽取了容量为50的样本.已知男生身高样本均值为，方差为；女生身高样本均值为，方差为.经计算可知所有样本的均值为，则所有样本的方差为 .
16．（24-25 上海黄浦·期末）在10件产品中有3件次品，从中选3件．下列各种情况是互斥事件的有 .
①A：“所取3件中至多2件次品”，B：“所取3件中至少2件为次品”；
②A：“所取3件中有一件为次品”，B：“所取3件中有二件为次品”；
③A：“所取3件中全是正品”，B：“所取3件中至少有一件为次品”；
④A：“所取3件中至多有2件次品”，B：“所取3件中至少有一件是正品”.
解答题
17．（24-25 四川德阳·阶段练习）2024年奥运会在巴黎举行，中国代表团获得了40枚金牌，27枚银牌，24枚铜牌，共91枚奖牌，取得了境外举办奥运会的最好成绩，运动员的拼搏精神给人们留下了深刻印象.为了增加学生对奥运知识的了解，弘扬奥运精神，某校组织高二年级学生进行了奥运知识能力测试.根据测试成绩，将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示.
(1)求a的值
(2)试估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分；
(3)该校准备对本次奥运知识能力测试成绩不及格（60分以下）的学生，采用按比例分配的分层随机抽样方法抽出5名同学，再从抽取的这5名同学中随机抽取2名同学进行情况了解，求这2名同学分数在，各一人的概率.
18．（23-24高一下·吉林·期末）随着全民健身意识增强，马拉松运动逐渐成为深受群众喜爱的体育健身项目之一.吉林市自2016年以来，现已成功举办五届马拉松比赛，“吉马”也因此成为了东北地区乃至全国颇具影响力的品牌赛事.2023年“吉马”被中国田径协会评为“城市形象媒体传播赛事典型案例”.时隔一年，吉林市委、市政府再次启动这一国际化赛事，将挑战自我、超越极限、坚韧不拔、永不放弃的马拉松精神与我市激流勇进的城市精神相结合，并将其发扬光大.为此，某校举办了“吉马”知识竞赛，从所有竞赛成绩中抽取一个容量为100的样本，并按竞赛成绩（单位：分）分成六组：，，，，，，得到如下图所示的频率分布直方图.

(1)求频率分布直方图中a的值，并求样本中竞赛成绩的第80百分位数；
(2)现从样本中竞赛成绩在内用比例分配的分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中抽取2人座谈，求至少有一人竞赛成绩在内的概率；
(3)已知样本中竞赛成绩在内的平均数，方差，样本中竞赛成绩在内的平均数，方差，并据此估计所有答卷中竞赛成绩在内的总体方差.
参考公式：总体分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，.记总的样本平均数为，样本方差为，.
19．（24-25高一下·江西景德镇·期中）在高一学生预选科之前，为了帮助他们更好地了解自己是否适合选读物理，某校从高一年级中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求的值．若根据这次成绩，学校建议成绩排名前的学生选报物理，成绩排名后的学生选报历史，某同学想选报物理，请问他的物理成绩应不低于多少分较为合适？（小数点后保留一位）
(2)现学校要选拔学生参加物理竞赛，需要再进行考试．考试分为两轮，第一轮需要考2个模块，每个模块成绩从高到低依次有A＋，A，B三个等级，若两个模块成绩均为A＋，则直接参加；若一个模块成绩为A＋，另一个模块成绩为A，则要参加第二轮实验操作，实验操作通过也能参加，否则均不能参加．现有甲、乙二人报名参加，二人互不影响，甲在每个模块考试中取得A＋，A，B的概率分别为，，；乙在每个模块考试中取得A＋，A，B的概率分别为，，；甲、乙在实验操作中通过的概率分别为，．求甲、乙至少有一个人能参加物理竞赛的概率．
20．（24-25高一上·辽宁朝阳·期末）已知甲、乙两人进行围棋挑战赛，先胜两局的一方赢得比赛，每局比赛不考虑平局，并且前一局先手的一方，下一局比赛将作为后手．在每一局比赛中若甲方先手，则该局甲获胜的概率为；若甲方后手，则该局甲获胜的概率为．
(1)求双方需要进行第三局比赛的概率；
(2)若第一局比赛乙先手，求甲赢得比赛的概率．
21．（24-25高一上·辽宁丹东·期末）甲乙两人进行投篮比赛，规定：每人每轮投球一次，若同时命中或同时未命中，则进行下一轮投球，若只有一人命中时，则命中者获得比赛的胜利，同时比赛结束.已知甲的命中率为，乙的命中率为，且各次投篮互不影响.
(1)求第一轮比赛未分出胜负的概率；
(2)求甲在第3轮比赛时获胜的概率.
22．（24-25 广东佛山·期中）某中学举办科学竞技活动，报名参加科学竞技活动的同学需要通过两轮选拔.第一轮为笔试，设有三门考试科目且每门是否通过相互独立，至少有两门通过，则认为是笔试合格.若笔试不合格，则不能进入下一轮选拔；若笔试合格，则进入第二轮现场面试.面试合格者代表年级组参加全校的决赛.现有某年级甲、乙两名学生报名参加本次竞技活动，假设笔试中甲每门合格的概率均为，乙每门合格的概率分别是，，，甲、乙面试合格的概率分别是，.
(1)求甲能够代表年级组参加全校的决赛的概率；
(2)求甲、乙两人中有且只有一人代表年级组参加全校的决赛的概率.
23．（24-25 贵州·期中）在某次学科知识竞赛的初赛中，共有两道试题，两道题都答对者才能进入决赛．现有甲、乙、丙三名学生去参加初赛，他们答对第一题的概率分别是，，，答对第二题的概率分别是，，．已知甲和丙都答对第一题的概率为，且他们三人是否答对各道题之间是互不影响的．
(1)求甲进入决赛的概率；
(2)求甲、乙、丙这三名学生中恰有两人进入决赛的概率．

展开更多......

收起↑