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高一下学期期末考模拟卷（基础）
考试内容：必修第二册 考试时间：150分钟
单选题(每题5分，每题只有一个选项为正确答案，8题共40分)
1．（贵州省遵义市2025届高三第三次适应性考试数学试卷）复数的虚部是（ ）
A． B．1 C． D．
2．（24-25高一下·安徽宿州·期中）在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件A表示“向上的点数为偶数”，事件B表示“向上的点数是1或3”，事件C表示“向上的点数是4或5或6”，则下列说法正确的是（ ）
A．A与B是对立事件 B．B与C是对立事件 C．A与C是互斥事件 D．A与B是互斥事件
3．（云南“美美与共”民族中学联盟2024-2025学年高一下学期联考（二）数学试卷）在中，，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（24-25高一下·广西桂林·开学考试）设一组样本数据的平均数为3，方差为4，则数据的标准差为（ ）
A．12 B． C．6 D．36
5．（24-25高一上·甘肃甘南·期末）为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举办了“学党史、育文化”暨“喜迎党的二十大”党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法不正确的是（ ）
A．的值为0.005 B．估计这组数据的众数为75
C．估计成绩低于60分的有250人 D．估计这组数据的第85百分位数为85
6．（24-25高一下·广东江门·期中）在中，角的对边分别为，则（ ）
A．1 B． C． D．
7．（24-25高一下·广东佛山·期中）在中，角的对边分别是，且，，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．不确定的
8．（24-25高一下·江苏连云港·期中）在平行四边形中，，分别为，中点，与交于点，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分。4题共20分）
9．（24-25高一下·河南驻马店·阶段练习）某同学参加3次不同测试，用事件表示随机事件“第次测试成绩及格”，则下列说法正确的是（ ）
A．表示前两次测试成绩中有且仅有一次及格
B．表示后两次测试成绩均不及格
C．表示三次测试成绩均及格
D．表示三次测试成绩均不及格
10．（24-25高一下·广东江门·期中）已知向量，，则下列说法正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时，在上的投影向量为 D．当与的夹角为锐角时，的取值范围为．
11．（24-25高一下·广东湛江·期中）已知复数是的共轭复数，则下列说法正确的是（ ）
A．的虚部为i B．
C．在复平面内对应的点位于第二象限 D．为方程的一个根
三、填空题(每题5分，4题共20分)
12．（24-25高一下·福建莆田·阶段练习）如图所示，正方形为一个水平放置的平面图形用斜二测画法画出的直观图，且，则原平面图形的面积为 .
13．（24-25高一下·河北邢台·期中）锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若的面积为，则的取值范围是 ．
14．（2025·贵州·三模）的内角、、所对的边分别为、、.若，边上的高为，则 .
四、解答题（17题10分，其余每题12分，6题共70分）
15．（24-25高一下·江苏徐州·期中）（1）已知，若与平行，求；
（2）已知与的夹角为，若与垂直，求实数的值．
16．（24-25高一下·山东东营·开学考试）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束． 设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．
(1)求乙获胜的概率;
(2)求投篮结束时乙只投了2个球的概率．
17．（24-25高一下·北京·期中）2024年奥运会在巴黎举行，中国代表团获得了40枚金牌，27枚银牌，24枚铜牌，共91枚奖牌，取得了境外举办奥运会的最好成绩，运动员的拼搏精神给人们留下了深刻印象．为了增加学生对奥运知识的了解，弘扬奥运精神，某校组织高二年级学生进行了奥运知识能力测试．根据测试成绩，将所得数据按照分成6组，其频率分布直方图如图所示．
(1)求该样本的第75百分位数；
(2)试估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表)；
(3)该校准备对本次奥运知识能力测试成绩不及格（60分以下）的学生，采用按比例分配的分层随机抽样方法抽出5名同学，再从抽取的这5名同学中随机抽取2名同学进行情况了解，求这2名同学分数在各一人的概率．
18．（24-25高一下·福建莆田·阶段练习）在直三棱柱中，，点为线段的中点.
(1)证明：；
(2)求直线与直线所成角的余弦值.
19．（24-25高一下·安徽滁州·期中）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且满足 .
请从条件①、条件②中选择一个条件补充至横线处，并解决下列问题：
条件：①；②.
(1)证明：；
(2)若的平分线交于，，，求的值；
(3)求的取值范围.
注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分.高一下学期期末考模拟卷（基础）
考试内容：必修第二册 考试时间：150分钟
单选题(每题5分，每题只有一个选项为正确答案，8题共40分)
1．（贵州省遵义市2025届高三第三次适应性考试数学试卷）复数的虚部是（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【解析】复数的虚部是.故选：C
2．（24-25高一下·安徽宿州·期中）在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件A表示“向上的点数为偶数”，事件B表示“向上的点数是1或3”，事件C表示“向上的点数是4或5或6”，则下列说法正确的是（ ）
A．A与B是对立事件 B．B与C是对立事件 C．A与C是互斥事件 D．A与B是互斥事件
【答案】D
【解析】当向上的点数为5时，事件A与B同时不发生，故A错误；
当向上的点数为2时，事件B与C同时不发生，故B错误；
当向上的点数是4或6时，事件A与事件C同时发生，故C错误；
事件A与事件B不能同时发生，故D正确．
故选：D
3．（云南“美美与共”民族中学联盟2024-2025学年高一下学期联考（二）数学试卷）在中，，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】在中，，
即，化简得，
解得或（不合题意，舍去），
，
故选：C.
4．（24-25高一下·广西桂林·开学考试）设一组样本数据的平均数为3，方差为4，则数据的标准差为（ ）
A．12 B． C．6 D．36
【答案】C
【解析】的方差为4，故的方差为，
故标准差为.
故选：C
5．（24-25高一上·甘肃甘南·期末）为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举办了“学党史、育文化”暨“喜迎党的二十大”党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法不正确的是（ ）
A．的值为0.005 B．估计这组数据的众数为75
C．估计成绩低于60分的有250人 D．估计这组数据的第85百分位数为85
【答案】D
【解析】对于A：由频率分布直方图可得，解得，故A正确；
对于B：由图易得在区间的人最多，故可估计这组数据的众数为，故B正确；
对于C：，故成绩低于分的有人，即C正确；
对于D：由图中前四组面积之和为：，
图中前五组面积之和为：，
故这组数据的第85百分位数在第五组数据中，
设这组数据的第85百分位数为，
则有，解得，
即估计这组数据的第85百分位数为86，故D错误.
故选：D.
6．（24-25高一下·广东江门·期中）在中，角的对边分别为，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，
由正弦定理可得：.
由余弦定理可得：.
故选：B
7．（24-25高一下·广东佛山·期中）在中，角的对边分别是，且，，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．不确定的
【答案】A
【解析】在中，由余弦定理得，
因为，可得，
代入上式，整理得，即，所以，
所以，所以为等腰三角形.
故选：A.
8．（24-25高一下·江苏连云港·期中）在平行四边形中，，分别为，中点，与交于点，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在平行四边形中，因为，分别为，中点，
则，
因为，则，
则，显然，，
则，而三点共线，
故，则，则，
即
则，则.
故选：C.

二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分。4题共20分）
9．（24-25高一下·河南驻马店·阶段练习）某同学参加3次不同测试，用事件表示随机事件“第次测试成绩及格”，则下列说法正确的是（ ）
A．表示前两次测试成绩中有且仅有一次及格
B．表示后两次测试成绩均不及格
C．表示三次测试成绩均及格
D．表示三次测试成绩均不及格
【答案】BCD
【解析】因为表示前两次测试成绩中至少有一次及格，故A错误；
因为表示第二次和第三次测试成绩中至少有一次及格，所以表示后两次测试成绩均不及格，故B正确；
表示同时发生，即表示三次测试成绩均及格，故C正确；
表示测试成绩均不及格，所以表示三次测试成绩均不及格，故D正确；
故选：BCD.
10．（24-25高一下·广东江门·期中）已知向量，，则下列说法正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时，在上的投影向量为 D．当与的夹角为锐角时，的取值范围为．
【答案】ACD
【解析】对于A：若，则，解得，故A正确；
对于B：若，则，解得，故B错误；
对于C：当时，，所以，，
所以在上的投影向量为，故C正确．
对于D：当与夹角为锐角时，则，解得，此时向量不同向，
所以当与的夹角为锐角时，的取值范围为，故D正确；
故选：ACD．
11．（24-25高一下·广东湛江·期中）已知复数是的共轭复数，则下列说法正确的是（ ）
A．的虚部为i B．
C．在复平面内对应的点位于第二象限 D．为方程的一个根
【答案】CD
【解析】，对应点为在第二象限，故C对；
又，虚部为，故A错，
，故B错；
，故为方程的一个根，D对.
故选：CD
三、填空题(每题5分，4题共20分)
12．（24-25高一下·福建莆田·阶段练习）如图所示，正方形为一个水平放置的平面图形用斜二测画法画出的直观图，且，则原平面图形的面积为 .
【答案】
【解析】因为正方形为一个平面图形的水平直观图，
所以可得原图形是一平行四边形，且，，，
所以平行四边形的面积为.
故答案为：.
13．（24-25高一下·河北邢台·期中）锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若的面积为，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由，得，解得．
因为，所以，所以．
，
所以．
因为，所以，
则，从而．
故答案为：
14．（2025·贵州·三模）的内角、、所对的边分别为、、.若，边上的高为，则 .
【答案】
【解析】由题意可得，整理可得，
不妨设，则，
由余弦定理可得，故，
所以，，
因为，故.
故答案为：.
四、解答题（17题10分，其余每题12分，6题共70分）
15．（24-25高一下·江苏徐州·期中）（1）已知，若与平行，求；
（2）已知与的夹角为，若与垂直，求实数的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）因为，
且与平行，
所以，解得，
所以，
所以．
（2）已知与的夹角为，
所以，
因为与垂直，
所以
所以．
16．（24-25高一下·山东东营·开学考试）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束． 设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．
(1)求乙获胜的概率;
(2)求投篮结束时乙只投了2个球的概率．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）设Ak，Bk分别表示甲、乙在第k次投篮时投中，
则．
记“乙获胜”为事件C，
则
；
（2）记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件D，
则
．
17．（24-25高一下·北京·期中）2024年奥运会在巴黎举行，中国代表团获得了40枚金牌，27枚银牌，24枚铜牌，共91枚奖牌，取得了境外举办奥运会的最好成绩，运动员的拼搏精神给人们留下了深刻印象．为了增加学生对奥运知识的了解，弘扬奥运精神，某校组织高二年级学生进行了奥运知识能力测试．根据测试成绩，将所得数据按照分成6组，其频率分布直方图如图所示．
(1)求该样本的第75百分位数；
(2)试估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表)；
(3)该校准备对本次奥运知识能力测试成绩不及格（60分以下）的学生，采用按比例分配的分层随机抽样方法抽出5名同学，再从抽取的这5名同学中随机抽取2名同学进行情况了解，求这2名同学分数在各一人的概率．
【答案】(1)分；
(2)分；
(3).
【解析】（1）由题设，可得，
由，，
所以样本的第75百分位数位于区间，设为，则，
所以分.
则其第75百分位数为分.
（2）由题设分；
则平均分为分.
（3）由题设，的频率比为，
故抽取的5人中有2人为、有3人为，
任抽2人有，共10种情况，
其中分数在各一人有，共6种情况，
所以这2名同学分数在各一人的概率.
18．（24-25高一下·福建莆田·阶段练习）在直三棱柱中，，点为线段的中点.
(1)证明：；
(2)求直线与直线所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）由直三棱柱，可得平面，又平面，
所以，又，，平面，
所以平面，又，所以平面，
又平面，所以；
（2）取中点，连接，
因为点为线段的中点，所以，
所以或其补角为直线与直线所成的角，
在中，可得，
在中，则，
在中，则，所以，
在中，则，
在中，由余弦定理可得，
所以直线与直线所成角的余弦值为.
19．（24-25高一下·安徽滁州·期中）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且满足 .
请从条件①、条件②中选择一个条件补充至横线处，并解决下列问题：
条件：①；②.
(1)证明：；
(2)若的平分线交于，，，求的值；
(3)求的取值范围.
注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【解析】（1）若选①：因为，由正弦定理得，
因为，
所以，
所以，
所以，或（舍去），即；
若选②：由正弦定理及，
得，
所以，
所以，
因为，所以，
所以或（舍去），
所以；
（2）因为，为锐角，
所以，，
因为，
所以，
所以，
所以，；
（3）由是锐角三角形，，，，可得，
所以，
，
令，则，在上单调递增，
而，，
所以，
所以.

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