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高一下学期期末考模拟卷（第一、二册综合）（中等）
考试内容：必修第一册、必修第二册 考试时间：150分钟
单选题(每题5分，每题只有一个选项为正确答案，8题共40分)
1．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知复数满足，则（ ）
A． B．i C． D．1
2．（2025辽宁省）已知向量满足，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25天津滨海新·期中）已知集合，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·广东）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高一下·天津滨海新·期中）如图，在中，，，P为上一点，且满足，若，，则的值为（ ）

A．8 B． C．4 D．
6．（2025辽宁省）如图所示，是一个正方体的表面展开图，在正方体中，这4条线段所在的直线满足垂直关系的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
7．（24-25高一下·江苏南通·期中）在斜三角形中，角的对边分别为．若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高一下·天津·期中）已知的内角A，B，C所对的边分别为，下列四个命题中正确个数是（ ）
①若，则定为等腰三角形
②若，则一定是锐角三角形
③若点M是边BC上的点，且，则的面积是面积的
④若平面内有一点O满足：，且，则为等边三角形
⑤若，则点是的内心
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分。4题共20分）
9．（24-25高一上·吉林通化·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法正确的是 （ ）
A．
B．的解集为
C．
D．的解集为
10．（2025·陕西渭南）甲 乙两个体育社团小组成员的某次立定跳远成绩（单位：厘米）如下：
甲组：239，241，243，245，245，247，248，249，251，252
乙组：244，245，245，246，248，251，251，253，254，255，257，263
则下列说法正确的是（ ）
A．甲组数据的第80百分位数是249
B．乙组数据的中位数是251
C．从甲 乙两组各随机选取一个成员，两人跳远成绩均在250厘米以上的概率是
D．乙组中存在这样的成员，将他调派到甲组后，甲 乙两组的跳远平均成绩都有提高
11．（23-24高一下·四川绵阳·阶段练习）已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A．函数的最大值为
B．当时，函数的对称轴方程为
C．若向左平移个单位后，关于轴对称，则的最小值为
D．若在上有且仅有个最大值点，则的取值范围是
三、填空题(每题5分，4题共20分)
12．（24-25高一下·山东泰安·期中）如图，矩形中，边，分别是上的点，若， 则的取值范围是 ．

13．（24-25高一下·陕西榆林·期中）如图，正方体的棱长为2，N为的中点，若过的平面平面，则截该正方体所得截面图形的面积为 .
14．（24-25高一下·吉林长春·期中）如图，在平面四边形中，点与点分别在直线的两侧，，，则 ；若，则的最大值为 ．
四、解答题（17题10分，其余每题12分，6题共70分）
15．（24-25高一上·江西宜春·期末）宜春明月山是国家森林公园、省级风景名胜区.为更好地提升旅游品质，随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图，求的值；
(2)满意度评分位列前的游客将发纪念品，试估计获得纪念品的分数至少为多少分；
(3)若采用按比例分层抽样的方法从评分在的两组中共抽取3人，再从这3人中随机抽取2人进行交流，求选取的2人评分分别在和内各1人的概率.
16．（24-25高一下·云南玉溪·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
(1)求角A；
(2)若外接圆的半径为．
（ⅰ）求面积的最大值；
（ⅱ）已知，AD为的角平分线，求AD的长．
17．（24-25高一下·吉林·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，为等边三角形.平面平面PCD，，，.
(1)设G，H分别为PB，AC的中点，求证：平面PAD；
(2)求证：平面PCD；
(3)求直线BC与平面PAC所成角的正弦值.
18．（山东省日照市2024-2025学年高一下学期期中校际联合考试数学试题）已知向量，，其中，函数，且．
(1)求函数的解析式；
(2)若对，关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围．
19．（24-25高一下·安徽滁州·阶段练习）已知函数.
(1)设函数，求在区间上的值域；
(2)设，证明：的图象是中心对称图形；
(3)若函数，且在区间上有零点，求实数的取值范围.高一下学期期末考模拟卷（第一、二册综合）（中等）
考试内容：必修第一册、必修第二册 考试时间：150分钟
单选题(每题5分，每题只有一个选项为正确答案，8题共40分)
1．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知复数满足，则（ ）
A． B．i C． D．1
【答案】A
【解析】因为，
所以，
所以.
故选：A
2．（2025辽宁省）已知向量满足，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，所以，
又，所以，
则，故．
故选:D．
3．（24-25天津滨海新·期中）已知集合，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当为空集时，时.解不等式，可得.
因为空集是任何集合的子集，所以当时，.
当不为空集时，时，解不等式，可得.
此时，要使，那么集合中的元素都要满足集合的范围.

已知，，所以需满足.
解不等式，可得.
综合可得，又因为前提是，所以取交集得.
综合两种情况，将和两种情况综合起来，取并集可得.
能使成立的所有组成的集合为，
故选： C.
4．（2025·广东）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为在上单调递增，由函数在上单调递增，
可得在上单调递增且恒成立，
，解得，
即实数的取值范围是.
故选：C.
5．（24-25高一下·天津滨海新·期中）如图，在中，，，P为上一点，且满足，若，，则的值为（ ）

A．8 B． C．4 D．
【答案】C
【解析】因为，所以，
所以，所以，
又，
所以
．
故选：C
6．（2025辽宁省）如图所示，是一个正方体的表面展开图，在正方体中，这4条线段所在的直线满足垂直关系的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】C
【解析】还原正方体如图所示：
连接，， ，
在正方体中，因为，则为与所成角或其补角，因为，所以与不垂直，故A不符合题意；
因为，所以为与所成角或其补角，因为，所以与不垂直，故B不符合题意；
因为，且正方体每个面均为正方形，故，所以与互相垂直，故C符合题意；
因为，所以与共面，且,故D不符合题意.
故选：C
7．（24-25高一下·江苏南通·期中）在斜三角形中，角的对边分别为．若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由三角形为斜三角形且，故，
又，，，
则，而，
所以，则，
所以
令，则，
所以，故.
故选：D
8．（24-25高一下·天津·期中）已知的内角A，B，C所对的边分别为，下列四个命题中正确个数是（ ）
①若，则定为等腰三角形
②若，则一定是锐角三角形
③若点M是边BC上的点，且，则的面积是面积的
④若平面内有一点O满足：，且，则为等边三角形
⑤若，则点是的内心
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】对于①，在中，由，得或，
即或，则是等腰三角形或直角三角形，①错误；
对于②，由及余弦定理，得，则为锐角，
而是否为锐角不确定，②错误；
对于③，由，得，即，
则，的面积是面积的，③错误；
对于④，由，得是的重心，
由，得是的外心，
即的重心、外心重合，则为等边三角形，④正确；
对于⑤，由，得，
则，则，
则，即平分，
由，同理得平分，
因此点O是的内心，⑤正确，
所以正确命题的个数是2.
故选：B
二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分。4题共20分）
9．（24-25高一上·吉林通化·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法正确的是 （ ）
A．
B．的解集为
C．
D．的解集为
【答案】AD
【解析】由题意得是方程的两根，且，A正确；
故，即，，
所以，B错误；
，C错误；
，
解得，D正确.
故选：AD
10．（2025·陕西渭南）甲 乙两个体育社团小组成员的某次立定跳远成绩（单位：厘米）如下：
甲组：239，241，243，245，245，247，248，249，251，252
乙组：244，245，245，246，248，251，251，253，254，255，257，263
则下列说法正确的是（ ）
A．甲组数据的第80百分位数是249
B．乙组数据的中位数是251
C．从甲 乙两组各随机选取一个成员，两人跳远成绩均在250厘米以上的概率是
D．乙组中存在这样的成员，将他调派到甲组后，甲 乙两组的跳远平均成绩都有提高
【答案】BCD
【解析】由题意得甲组数据共有10个数字，而，
则甲组数据的第80百分位数是第8个数和第9个数的平均数，
即甲组数据的第80百分位数是，故选项A错误；
乙组数据共有12个数字，故乙组数据的中位数是第6个数和第7个数的平均数，
即乙组数据的中位数是，故选项B正确；
设“从甲组抽取的人跳远成绩在250厘米以上”为事件，
∵甲组中跳远成绩在250厘米以上的有2人，∴；
设“从乙组抽取的人跳远成绩在250厘米以上”为事件，
∵乙组中跳远成绩在250厘米以上的有7人，∴，
而从甲，乙两组各随机选取一个成员，则事件，事件相互独立，
所以由独立事件的概率乘法公式可知：“两人跳远成绩均在250厘米以上”概率为
，故选项C正确；
甲组的跳远平均成绩为，
乙组的跳远平均成绩为，
则将乙组中跳远成绩为248厘米的成员调派到甲组后，甲，乙两组的跳远平均成绩都有提高，故选项D正确.
故选：BCD.
11．（23-24高一下·四川绵阳·阶段练习）已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A．函数的最大值为
B．当时，函数的对称轴方程为
C．若向左平移个单位后，关于轴对称，则的最小值为
D．若在上有且仅有个最大值点，则的取值范围是
【答案】BD
【解析】对于A，函数，
所以函数的最大值为2，故A错误；
对于B，当时，由A得，令，
所以当时，函数的对称轴方程为，故B正确；
对于C，向左平移个单位后得到的函数图象解析式为，
因为其图象关于轴对称，所以，
因为，所以的最小值为，故C错误；
对于D，当时，，
因为在上有且仅有个最大值点，
所以，故D正确.
故选：BD
三、填空题(每题5分，4题共20分)
12．（24-25高一下·山东泰安·期中）如图，矩形中，边，分别是上的点，若， 则的取值范围是 ．

【答案】
【解析】由题意以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的平面直角坐标系，

边，，
所以，
所以，
所以的取值范围是.
故答案为：.
13．（24-25高一下·陕西榆林·期中）如图，正方体的棱长为2，N为的中点，若过的平面平面，则截该正方体所得截面图形的面积为 .
【答案】
【解析】如图，取BC的中点E，的中点F，连接DE，，，FD，
因为E，F分别为BC，的中点，所以，，
所以四边形是平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
同理平面，
又，，平面，所以平面平面，
即四边形为截正方体所得截面图形.
由正方体的棱长为2，易得四边形是边长为的菱形，
对角线即为正方体的体对角线，
又，
所求截面的面积.
故答案为：
14．（24-25高一下·吉林长春·期中）如图，在平面四边形中，点与点分别在直线的两侧，，，则 ；若，则的最大值为 ．
【答案】 / /
【解析】连接，中，，，
由余弦定理得，
则，所以是等腰三角形，所以，
所以；
设，在中，，
所以是等腰三角形，在中，有，
所以，在中，，
由余弦定理得：，
则
，
当且仅当，即时取等号，
所以当时，，
所以的最大值是.
故答案为：；.
四、解答题（17题10分，其余每题12分，6题共70分）
15．（24-25高一上·江西宜春·期末）宜春明月山是国家森林公园、省级风景名胜区.为更好地提升旅游品质，随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图，求的值；
(2)满意度评分位列前的游客将发纪念品，试估计获得纪念品的分数至少为多少分；
(3)若采用按比例分层抽样的方法从评分在的两组中共抽取3人，再从这3人中随机抽取2人进行交流，求选取的2人评分分别在和内各1人的概率.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）由图可知：，解得，，
故的值为；
（2）满意度评分位列前，即满意度评分达到以上，
因为，
，
所以分位数在区间内，令其为，
则，解得：，
所以满意度评分位列前的游客将发纪念品，获得纪念品的分数至少为分；
（3）因为评分在的频率分别为，
则在中抽取人，设为；
在中抽取人，设为；
从这3人中随机抽取2人，则有：共有3个基本事件，
选取的2人评分分别在和内各1人有，2个基本事件，
所以.
即选取的2人评分分别在和内各1人的概率为.
16．（24-25高一下·云南玉溪·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
(1)求角A；
(2)若外接圆的半径为．
（ⅰ）求面积的最大值；
（ⅱ）已知，AD为的角平分线，求AD的长．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）；（ⅱ）
【解析】（1）由得，，
所以，
又，所以，
所以，因为，所以；
（2）因外接圆的半径为，由正弦定理，可得，
（ⅰ）由余弦定理，可得，即．
所以，解得，当且仅当时取等号，
所以，
故面积的最大值为．
（ⅱ）由，得，即，
由（ⅰ）可得：，联立解得：
因为，所以，
所以．
17．（24-25高一下·吉林·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，为等边三角形.平面平面PCD，，，.
(1)设G，H分别为PB，AC的中点，求证：平面PAD；
(2)求证：平面PCD；
(3)求直线BC与平面PAC所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【解析】（1）连接，如图所示，

因为底面为平行四边形，为的中点，
所以为的中点，
又为的中点，所以，
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）取棱的中点，连接，如图所示，
为等边三角形，得，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，故，
又，，平面，
所以平面.
（3）连接，如图所示，

因为，所以BC，AD与平面PAC所成的角相等，
由（2）中平面，可知为直线与平面所成的角.
因为为等边三角形，且为的中点，所以，
又，在中，，
所以，直线BC与平面所成角的正弦值为.
18．（山东省日照市2024-2025学年高一下学期期中校际联合考试数学试题）已知向量，，其中，函数，且．
(1)求函数的解析式；
(2)若对，关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）依题意，
．
由得，
即．
又，所以．
所以
（2）因在恒成立，
则，
而
，
所以，
即在恒成立，
记，
，
又；
设，则在上单调递增，
，
，即．
故的取值范围为
19．（24-25高一下·安徽滁州·阶段练习）已知函数.
(1)设函数，求在区间上的值域；
(2)设，证明：的图象是中心对称图形；
(3)若函数，且在区间上有零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【解析】（1）
，
当时，单调递增，
又，
故在区间上的值域为.
（2）因为，
所以
，
故的图象关于点对称.
（3）由题意得.
设，当时，.
则在区间上有零点，等价于函数在区间上有零点，
即在时有实数解，
即在时有实数解，
即在时有实数解.
设，则，
易知在时单调递增，
且当时，，
当时，，
所以，
故实数的取值范围是.

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