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(共40张PPT)
微专题培优提升二　平抛运动的两个推论及与斜面、
曲面相结合的平抛运动
核 心 素 养 学 习 目 标
物理观念 (1)进一步掌握平抛运动规律．
(2)了解平抛运动与斜面、曲面相结合问题的特点．
科学思维 (1)熟练运用平抛运动规律解决相关问题．
(2)能熟练运用平抛运动的推论解决问题．
(3)会分析平抛运动与斜面、曲面相结合的问题．
科学态度
与责任 通过自然界中有关平抛运动的例子，认识平抛运动的普遍性，体会物理学的应用价值．
探究点一　平抛运动的两个推论
【思维提升】
推论1：从抛出点开始，任意时刻速度偏向角的正切值等于位移偏向角的正切值的2倍．
证明：
推论2：从抛出点开始，任意时刻速度的反向延长线过水平位移的中点．
证明：
例1 [2024·山西太原高一期中]如图所示，一小球在竖直墙壁MN的左侧O点，以不同的初速度将小球水平抛出，A点为O点在墙面上的水平投影点，忽略空气阻力，那么当小球与墙壁碰撞时，其速度所在直线与直线OA的交点(　　)
A．为OA的中点
B．在AO的延长线上
C．在线段OA上，且初速度越小交点离O点越近
D．在线段OA上，且初速度越大交点离O点越近
答案：A
解析：根据平抛运动的推论，任意时刻速度的反向延长线过水平位移的中点，故小球与墙壁碰撞时，速度的反向延长线交于OA的中点，A项正确．
例2 [2024·廊坊市高一期末]如图所示，从倾角为θ且足够长的斜面的顶点A，先后将同一小球以不同的初速度水平向右抛出，第一次初速度为v1，小球落到斜面上前一瞬间的速度方向与斜面的夹角为φ1，第二次初速度为v2，小球落在斜面上前一瞬间的速度方向与斜面的夹角为φ2，若v2>v1，不计空气阻力，则φ1和φ2的大小关系是(　　)
A．φ1>φ2 B．φ1<φ2
C．φ1＝φ2 D．无法确定
答案：C
解析：根据平抛运动的推论，做平抛运动的物体在任一时刻或任一位置时，设其速度方向与水平方向的夹角为α，位移方向与水平方向的夹角为β，则tan α＝2tan β，由上述关系式结合题图中的几何关系可得tan (φ＋θ)＝2tan θ，此式表明小球的速度方向与斜面间的夹角φ仅与θ有关，而与初速度无关，因此φ1＝φ2，即以不同初速度做平抛运动，落在斜面上各点的速度方向是互相平行的．故选C.
答案：C
探究点二　与斜面有关的平抛运动
【思维提升】
与斜面相关的平抛运动问题的解题步骤
(1)定性地画出物体的平抛运动轨迹；
(2)判断斜面倾角与平抛位移或速度间的关系；
(3)利用斜面倾角表示出平抛运动的位移关系或速度关系；
(4)根据平抛运动的规律进行求解．
角度1　从斜面外抛出的平抛运动(落点速度与斜面垂直)
例3 小球以15 m/s的水平初速度向一倾角为37°的斜面抛出，飞行一段时间后，恰好垂直撞在斜面上．求：
(1)小球在空中的飞行时间．
(2)抛出点距落球点的高度．(g取10 m/s2)
答案：(1)2 s　(2)20 m

角度2　在斜面上抛出的平抛运动
例4如图所示，两个相对的斜面，倾角分别为37°和53°.在顶点将两个小球以同样大小的初速度分别向左、向右水平抛出，小球都落在斜面上．若不计空气阻力，则A、B两个小球在空中的运动时间之比为多少？(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)

拓展　
(1)两小球水平位移之比是多少？
(2)两小球竖直下落的高度之比是多少？

练2　如图，斜面上有a、b、c、d四个点，ab＝bc＝cd.从a点正上方的O点以速度v0水平抛出一个小球，它落到斜面上b点．若小球从O点以速度2v0水平抛出，则它落在斜面上的(不计空气阻力)(　　)
A．b与c之间某一点 B．c点
C．c与d之间某一点 D．d点
答案：A
解析：当水平初速度变为2v0时，如果去掉斜面，作过b点垂直于Oa的直线be，小球将落在c点正下方的直线上的e点，则小球以速度2v0水平抛出时在斜面上的落点在b与c之间的某一点．故选A.
探究点三　与曲面有关的平抛运动
【思维提升】
答案：B
答案：B
1.(4分)[2024·海林市高级中学高一开学考试]如图所示，将一小球从坐标原点O沿着水平轴Ox以v0＝2 m/s的速度抛出，经过一段时间小球到达P点，M为P点在Ox轴上的投影，作小球轨迹在P点的切线并反向延长，与Ox轴相交于Q点，已知QM＝3 m，不计空气阻力，则小球运动的时间为(　　)
A．1 s B．2 s
C．3 s D．4 s
答案：C
2．(4分)滑雪运动员在训练过程中，从斜坡顶端以5.0 m/s的速度水平飞出，落在斜坡上，然后继续沿斜坡下滑．已知斜坡倾角为45°，空气阻力忽略不计，g取10 m/s2，则他在该斜坡上方运动的时间为(　　)
A．0.5 s B．1.0 s
C．1.5 s D．5.0 s
答案：B
答案：C
答案：B
答案：B
6.(4分)如图所示，a、b两小球分别从半圆轨道顶端和斜面顶端以大小相等的初速度v0同时水平抛出，已知半圆轨道的半径与斜面竖直高度相等，斜面底边长是其竖直高度的2倍，若小球a能落到半圆轨道上，小球b能落到斜面上，a、b均可视为质点，则(　　)
A．小球a一定先落在半圆轨道上
B．小球b一定先落在斜面上
C．a、b两球可能同时落在半圆轨道和斜面上
D．小球a可能垂直落在半圆轨道上
答案：C
解析：将半圆轨道和斜面轨道重叠一起，如图所示，可知若小球初速度合适，两小球可同时落在距离出发点高度相同的交点A的等高位置，改变初速度，可以先落在半圆轨道，也可以先落在斜面上，故A、B错误，C正确；若小球A垂直落在半圆轨道上，速度反向延长线必过水平位移中点，即圆心，那么水平位移就是直径，小球的水平位移一定小于直径，所以小球不可能垂直落在半圆轨道上，故D错误．
7．(4分)一半径为R的四分之一圆弧轨道固定于竖直平面内，圆心为O，最高点A与O等高，如图所示，其中P为OB的中点，M、N是OB的3等分点，现在OB竖直线上各点水平抛出小球，重力加速度为g，不计空气阻力．下列说法中正确的是(　　)
答案：C微专题培优提升二　平抛运动的两个推论及与斜面、曲面相结合的平抛运动
探究点一　平抛运动的两个推论
【思维提升】
推论1：从抛出点开始，任意时刻速度偏向角的正切值等于位移偏向角的正切值的2倍．
证明：
推论2：从抛出点开始，任意时刻速度的反向延长线过水平位移的中点．
证明：
例1 [2024·山西太原高一期中]如图所示，一小球在竖直墙壁MN的左侧O点，以不同的初速度将小球水平抛出，A点为O点在墙面上的水平投影点，忽略空气阻力，那么当小球与墙壁碰撞时，其速度所在直线与直线OA的交点(　　)
A．为OA的中点
B．在AO的延长线上
C．在线段OA上，且初速度越小交点离O点越近
D．在线段OA上，且初速度越大交点离O点越近
[解题心得]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例2 [2024·廊坊市高一期末]如图所示，从倾角为θ且足够长的斜面的顶点A，先后将同一小球以不同的初速度水平向右抛出，第一次初速度为v1，小球落到斜面上前一瞬间的速度方向与斜面的夹角为φ1，第二次初速度为v2，小球落在斜面上前一瞬间的速度方向与斜面的夹角为φ2，若v2>v1，不计空气阻力，则φ1和φ2的大小关系是(　　)
A．φ1>φ2 B．φ1<φ2
C．φ1＝φ2 D．无法确定
[解题心得]
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
练1　在电视剧里，我们经常看到这样的画面：屋外刺客向屋里投来两支飞镖，落在墙上，如图所示．现设飞镖是从同一位置做平抛运动射出来的，飞镖A与竖直墙壁成53°角，飞镖B与竖直墙壁成37°角，两落点相距为d，那么刺客离墙壁有多远(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)(　　)
A．d B．2d
C．d D．d
探究点二　与斜面有关的平抛运动
【思维提升】
与斜面相关的平抛运动问题的解题步骤
(1)定性地画出物体的平抛运动轨迹；
(2)判断斜面倾角与平抛位移或速度间的关系；
(3)利用斜面倾角表示出平抛运动的位移关系或速度关系；
(4)根据平抛运动的规律进行求解．
角度1　从斜面外抛出的平抛运动(落点速度与斜面垂直)
例3 小球以15 m/s的水平初速度向一倾角为37°的斜面抛出，飞行一段时间后，恰好垂直撞在斜面上．求：
(1)小球在空中的飞行时间．
(2)抛出点距落球点的高度．(g取10 m/s2)
[试答]
角度2　在斜面上抛出的平抛运动
例4如图所示，两个相对的斜面，倾角分别为37°和53°.在顶点将两个小球以同样大小的初速度分别向左、向右水平抛出，小球都落在斜面上．若不计空气阻力，则A、B两个小球在空中的运动时间之比为多少？(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
[试答]
拓展　(1)两小球水平位移之比是多少？
(2)两小球竖直下落的高度之比是多少？
练2　如图，斜面上有a、b、c、d四个点，ab＝bc＝cd.从a点正上方的O点以速度v0水平抛出一个小球，它落到斜面上b点．若小球从O点以速度2v0水平抛出，则它落在斜面上的(不计空气阻力)(　　)
A．b与c之间某一点 B．c点
C．c与d之间某一点 D．d点
探究点三　与曲面有关的平抛运动
【思维提升】
例5 如图所示，斜面ABC与圆弧轨道相接于C点，从A点水平向右飞出的小球恰能从C点沿圆弧切线方向进入轨道．OC与竖直方向的夹角为θ＝60°，若AB的高度为h，忽略空气阻力，则BC的长度为(　　)
A．h B．h
C．h D．2h
[解题心得]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
练3　如图所示，一小球从一半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动(小球可视为质点)，运动过程中恰好与半圆轨道相切于B点．O为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为R，OB与水平方向的夹角为60°，重力加速度为g.忽略空气阻力，则小球抛出时的初速度为(　　)
A. B.
C. D.
温馨提示：请完成分层训练素养提升(六)
微专题培优提升二　平抛运动的两个推论
及与斜面、曲面相结合的平抛运动
导学　掌握必备知识　强化关键能力
探究点一
[例1]　解析：根据平抛运动的推论，任意时刻速度的反向延长线过水平位移的中点，故小球与墙壁碰撞时，速度的反向延长线交于OA的中点，A项正确．
答案：A
[例2]　解析：根据平抛运动的推论，做平抛运动的物体在任一时刻或任一位置时，设其速度方向与水平方向的夹角为α，位移方向与水平方向的夹角为β，则tan α＝2tan β，由上述关系式结合题图中的几何关系可得tan (φ＋θ)＝2tan θ，此式表明小球的速度方向与斜面间的夹角φ仅与θ有关，而与初速度无关，因此φ1＝φ2，即以不同初速度做平抛运动，落在斜面上各点的速度方向是互相平行的．故选C.
答案：C
练1　解析：把两支飞镖速度反向延长，交点为水平位移中点，如图所示，设水平位移为x，
＝d，解得x＝d，故选C.
答案：C
探究点二
[例3]　解析：
(1)将球垂直撞在斜面上的速度分解，如图所示
tan θ＝，则t＝＝2 s.
(2)设抛出点距落球点的高度为h，
则有h＝gt2＝20 m.
答案：(1)2 s　(2)20 m
[例4]　解析：
方法一　分解位移
如图所示，分解位移
根据tan θ＝可得t＝，
可知t∝tan θ，所以＝＝.
方法二　利用推论
设落到斜面上时，位移、速度与水平方向夹角分别为θ、α，则
tan α＝2tan θ，又tan α＝，
得t＝，则＝＝.
答案：
拓展　解析：(1)由于两小球水平方向均做匀速运动，即x＝v0t＝n θ，所以xA∶xB＝9∶16.
(2)竖直方向两小球做自由落体运动，即h＝gt2＝g()2∝tan2θ，所以＝＝.
答案：(1)9∶16　(2)
练2　解析：当水平初速度变为2v0时，如果去掉斜面，作过b点垂直于Oa的直线be，小球将落在c点正下方的直线上的e点，则小球以速度2v0水平抛出时在斜面上的落点在b与c之间的某一点．故选A.
答案：A
探究点三
[例5]　解析：小球飞出后做平抛运动，到C点时的速度方向与初速度方向夹角为θ，设此时位移方向与初速度方向夹角为α.根据平抛运动规律得tanθ＝2tan α＝，解得x＝h，所以A、C、D错误，B正确．
答案：B
练3　解析：小球运动过程中恰好与半圆轨道相切于B点，则小球在B点的速度方向与水平方向的夹角为30°，故vy＝v0tan 30°，
又vy＝gt，联立解得t＝，
小球在水平方向上做匀速直线运动，则有R＋R cos 60°＝v0t，
联立解得v0＝ ，故选B.
答案：B
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

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