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2025-2026学年人教版数学七年级第一学期
期末检测卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）
1．在，，0，，中，有理数有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2．在标准大气压下，钨、萘、冰、固态氢四种晶体的熔点如下表：
晶体 钨 萘 冰 固态氢
熔点/ 3 410 80.5 0
其中熔点最低的晶体为（ ）
A. 钨 B. 萘 C. 冰 D. 固态氢
3．下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4．我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是.将数据21 500 000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
5．下列语言描述与相应几何图形相符的是（ ）
A. 如图①所示，延长线段到点
B. 如图②所示，射线经过点
C. 如图③所示，直线和直线相交于点
D. 如图④所示，射线和线段没有交点
6．下列各式，，8，，，，，中，整式有（ ）
A. 3个 B. 4个 C. 6个 D. 7个
7．如图，将数轴分为①，②，③，④四段，数轴上的三个点分别表示数，，，且，，则原点落在（ ）
（第7题）
A. 段① B. 段② C. 段③ D. 段④
8．如图，点，，在线段上，若，，则图中所有线段长度之和为（ ）
（第8题）
A. B. C. D.
9．如图，是一个平角，平分.根据量角器的读数，可知的大小是（ ）
（第9题）
A. B. C. D.
10．我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹.每人六竿多十四，每人八竿少二竿.”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿.每人6竿，多14竿：每人8竿，少2竿.”问有多少牧童多少竹？下列说法正确的是（ ）
A. 若设牧童有人，则列方程为
B. 若设竹有竿，则列方程为
C. 有8个牧童
D. 有64根竹竿
11．从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫作从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示.已知“!”是一种数学运算符号，且，，，， ，若（，，为正整数），则为（ ）
A. 21 B. 35 C. 42 D. 70
12．如图，射线的方向是北偏东 ，射线的方向是北偏西 ，已知射线平分，则射线的方向是（ ）
（第12题）
A. 北偏西 B. 西偏北 C. 北偏西 D. 西偏北
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．如果单项式与的和仍是单项式，那么关于的方程的解是_ _ _ _ _ _ _ _ .
14．如图，有一根木棒放置在数轴上，它的两端，分别落在点，处.将木棒在数轴上水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为17，当点移动到点时，点所对应的数为5，则点在数轴上表示的数为_ _ _ _ .
（第14题）
15．我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中有这样的记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之”.其大意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可追上慢马？答案为快马天可以追上慢马.
16．如图，将一张长方形纸片沿对角线折叠后，点落在点处，交于点，再将三角形沿折叠后，点落在点处，若刚好平分，则的度数是_ _ _ _ _ _ .
（第16题）
三、解答题（本大题共8小题，共72分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（7分）已知：，.
（1） 化简：；
（2） 若，求的值.
18．（8分）小明在解如下的有理数混合运算时，一个有理数被污染了.
计算：.
（1） 若，计算；
（2） 若，求的值；
（3） 若要使的结果为最小正整数，求的值.
19．（8分）如图，已知：点在线段上，是线段的中点.
（1） 若，，求线段的长；
（2） 若是线段的中点，直线上一点满足，且，试说明是的中点.
20．（9分）已知关于的方程.
（1） 若该方程与方程同解，试求的值；
（2） 当为何值时，该方程的解比关于的方程的解大2？
21．（9分）如图是2025年5月份的日历，其中“型”和“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字（“型”和“十字型”两个阴影图形也可以上下左右移动，可以重叠覆盖），设“型”覆盖的五个数字左上角的数为，数字之和为，“十字型”覆盖的五个数字中间数字为，数字之和为.
（1） 分别用含，的代数式表示和；
（2） 结合日历，若，则的最大值为多少？
22．（9分）市“第 届中学生运动会”期间，甲校租用两辆小汽车（设每辆车的速度相同）同时出发送8名学生到比赛场地参加运动会，每辆小汽车限坐4人（不包括司机），其中一辆小汽车在距离比赛场地15千米的地方出现故障，此时离截止进场的时刻还有42分钟，且唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车.已知这辆小汽车的平均速度是每小时60千米，人步行的平均速度是每小时5千米（上、下车时间忽略不计）.
（1） 如果该小汽车先送4名学生到达比赛场地，然后再回到出故障处接其他学生，请你判断他们能否在截止进场的时刻前到达比赛场地，并说明理由；
（2） 试设计一种运送方案，使所有参赛学生能在截止进场的时刻前到达比赛场地，并说明此方案可行的理由.
23．（10分）如图，直线与相交于点， ，将一直角三角尺的直角顶点与点重合，平分.
（1） 求的度数；
（2） 将三角尺以每秒 的速度绕点顺时针旋转，同时直线也以每秒 的速度绕点顺时针旋转，设运动时间为秒.
① 当为何值时，直线平分？
② 若直线平分，直接写出的值.
24．（12分）【背景知识】
数轴是重要的数学学习工具，利用数轴可以将数与形完美结合.已知结论：数轴上点，表示的数分别为，，则，两点之间的距离；线段的中点表示的数为.
【知识运用】
（1） 点，表示的数分别为，，若与互为倒数，与互为相反数.则，两点之间的距离为_ _ _ _ ；线段的中点表示的数为_ _ _ _ ；
【拓展迁移】
（2） 在（1）的条件下，动点从点出发以每秒3个单位的速度沿数轴向左运动，同时动点从点出发以每秒5个单位的速度沿数轴向左运动，设点运动时间为秒，点是线段的中点.
① 点表示的数是_ _ _ _ _ _ _ _ （用含 的代数式表示）；
② 在运动过程中，点，，中恰有一点是另外两点连接所得线段的中点，求此时的值；
③ 线段，的长度随时间的变化而变化，当点在点左侧时，是否存在常数，使为定值？若存在，求常数及该定值；若不存在，请说明理由.
2025-2026学年人教版数学七年级第一学期
期末检测卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）
1．在，，0，，中，有理数有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】D
2．在标准大气压下，钨、萘、冰、固态氢四种晶体的熔点如下表：
晶体 钨 萘 冰 固态氢
熔点/ 3 410 80.5 0
其中熔点最低的晶体为（ ）
A. 钨 B. 萘 C. 冰 D. 固态氢
【答案】D
3．下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
4．我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是.将数据21 500 000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
5．下列语言描述与相应几何图形相符的是（ ）
A. 如图①所示，延长线段到点
B. 如图②所示，射线经过点
C. 如图③所示，直线和直线相交于点
D. 如图④所示，射线和线段没有交点
【答案】C
6．下列各式，，8，，，，，中，整式有（ ）
A. 3个 B. 4个 C. 6个 D. 7个
【答案】C
7．如图，将数轴分为①，②，③，④四段，数轴上的三个点分别表示数，，，且，，则原点落在（ ）
（第7题）
A. 段① B. 段② C. 段③ D. 段④
【答案】C
8．如图，点，，在线段上，若，，则图中所有线段长度之和为（ ）
（第8题）
A. B. C. D.
【答案】D
9．如图，是一个平角，平分.根据量角器的读数，可知的大小是（ ）
（第9题）
A. B. C. D.
【答案】A
10．我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹.每人六竿多十四，每人八竿少二竿.”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿.每人6竿，多14竿：每人8竿，少2竿.”问有多少牧童多少竹？下列说法正确的是（ ）
A. 若设牧童有人，则列方程为
B. 若设竹有竿，则列方程为
C. 有8个牧童
D. 有64根竹竿
【答案】C
11．从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫作从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示.已知“!”是一种数学运算符号，且，，，， ，若（，，为正整数），则为（ ）
A. 21 B. 35 C. 42 D. 70
【答案】A
12．如图，射线的方向是北偏东 ，射线的方向是北偏西 ，已知射线平分，则射线的方向是（ ）
（第12题）
A. 北偏西 B. 西偏北 C. 北偏西 D. 西偏北
【答案】A
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．如果单项式与的和仍是单项式，那么关于的方程的解是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
14．如图，有一根木棒放置在数轴上，它的两端，分别落在点，处.将木棒在数轴上水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为17，当点移动到点时，点所对应的数为5，则点在数轴上表示的数为_ _ _ _ .
（第14题）
【答案】9
15．我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中有这样的记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之”.其大意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可追上慢马？答案为快马天可以追上慢马.
【答案】20
16．如图，将一张长方形纸片沿对角线折叠后，点落在点处，交于点，再将三角形沿折叠后，点落在点处，若刚好平分，则的度数是_ _ _ _ _ _ .
（第16题）
【答案】
三、解答题（本大题共8小题，共72分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（7分）已知：，.
（1） 化简：；
（2） 若，求的值.
【答案】
（1） 解：因为，，
所以.
（2） 因为，
所以，，
解得，，
所以.
18．（8分）小明在解如下的有理数混合运算时，一个有理数被污染了.
计算：.
（1） 若，计算；
（2） 若，求的值；
（3） 若要使的结果为最小正整数，求的值.
【答案】
（1） 解：当时，
原式.
（2） 原式整理，得，
即，
解得.
（3） 根据题意，
得，
整理，得，解得.
19．（8分）如图，已知：点在线段上，是线段的中点.
（1） 若，，求线段的长；
（2） 若是线段的中点，直线上一点满足，且，试说明是的中点.
【答案】
（1） 解：因为是线段的中点，
所以.
因为，所以.
（2） 因为是线段的中点，
所以.
当点在点右侧时，
因为，所以，
所以，不符合题意.
当点在点左侧时，
因为，
所以，
所以，易知此时点符合题意，所以，
所以，所以是的中点.
20．（9分）已知关于的方程.
（1） 若该方程与方程同解，试求的值；
（2） 当为何值时，该方程的解比关于的方程的解大2？
【答案】
（1） 解：解方程，
得，
把代入方程，
得，解得.
（2） 解方程，
得，
解方程，得.
因为方程的解比关于的方程的解大2，
所以，解得.
21．（9分）如图是2025年5月份的日历，其中“型”和“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字（“型”和“十字型”两个阴影图形也可以上下左右移动，可以重叠覆盖），设“型”覆盖的五个数字左上角的数为，数字之和为，“十字型”覆盖的五个数字中间数字为，数字之和为.
（1） 分别用含，的代数式表示和；
（2） 结合日历，若，则的最大值为多少？
【答案】
（1） 解：，
.
（2） 因为，
所以，所以，
所以，
由日历可知，取最大值22时，有最大值，为239.
22．（9分）市“第 届中学生运动会”期间，甲校租用两辆小汽车（设每辆车的速度相同）同时出发送8名学生到比赛场地参加运动会，每辆小汽车限坐4人（不包括司机），其中一辆小汽车在距离比赛场地15千米的地方出现故障，此时离截止进场的时刻还有42分钟，且唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车.已知这辆小汽车的平均速度是每小时60千米，人步行的平均速度是每小时5千米（上、下车时间忽略不计）.
（1） 如果该小汽车先送4名学生到达比赛场地，然后再回到出故障处接其他学生，请你判断他们能否在截止进场的时刻前到达比赛场地，并说明理由；
（2） 试设计一种运送方案，使所有参赛学生能在截止进场的时刻前到达比赛场地，并说明此方案可行的理由.
【答案】
（1） 解：他们不能在截止进场的时刻前到达比赛场地.理由如下：
小汽车先送4名学生到达比赛场地，然后再回到出故障处接其他学生到比赛场地，总路程为（千米），
所以第二次到达比赛场地所需时间为（时），
0.75时分钟.
因为，
所以他们不能在截止进场的时刻前到达比赛场地.
（2） 方案：先将4名学生用小汽车送到比赛场地，同时另外4名学生步行前往比赛场地，小汽车到比赛场地后返回接步行的4名学生，再载他们前往比赛场地.理由如下：
因为先将4名学生用小汽车送到比赛场地所需时间为，
所以此时另外4名学生与比赛场地的距离为（千米）.
设小汽车返回时后与另外4名学生相遇，
则，解得，
所以此时小汽车与比赛场地的距离为（千米），
所以小汽车由相遇点再去比赛场地所需时间为（时），
综上，用这一方案送这8名学生到比赛场地共需约（分钟）.
因为，所以采取此方案能使8名学生在截止进场的时刻前到达比赛场地.
23．（10分）如图，直线与相交于点， ，将一直角三角尺的直角顶点与点重合，平分.
（1） 求的度数；
（2） 将三角尺以每秒 的速度绕点顺时针旋转，同时直线也以每秒 的速度绕点顺时针旋转，设运动时间为秒.
① 当为何值时，直线平分？
② 若直线平分，直接写出的值.
【答案】
（1） 解：因为 ，平分，
所以 ，
又因为 ，
所以 .
（2） ① 分两种情况：
Ⅰ.当平分时，如图①，则 ，
①
易列方程，
解得；
Ⅱ.当平分时，如图②，则 ，
②
易列方程，
解得.
综上所述，当或时，直线平分；
② 的值为12或36.
24．（12分）【背景知识】
数轴是重要的数学学习工具，利用数轴可以将数与形完美结合.已知结论：数轴上点，表示的数分别为，，则，两点之间的距离；线段的中点表示的数为.
【知识运用】
（1） 点，表示的数分别为，，若与互为倒数，与互为相反数.则，两点之间的距离为_ _ _ _ ；线段的中点表示的数为_ _ _ _ ；
【拓展迁移】
（2） 在（1）的条件下，动点从点出发以每秒3个单位的速度沿数轴向左运动，同时动点从点出发以每秒5个单位的速度沿数轴向左运动，设点运动时间为秒，点是线段的中点.
① 点表示的数是_ _ _ _ _ _ _ _ （用含 的代数式表示）；
② 在运动过程中，点，，中恰有一点是另外两点连接所得线段的中点，求此时的值；
③ 线段，的长度随时间的变化而变化，当点在点左侧时，是否存在常数，使为定值？若存在，求常数及该定值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1） 解：12；1
（2） ①
② 当为线段的中点时，
，
解得，不合题意，舍去；
当为线段的中点时，
，
解得；
当为线段的中点时，
，
解得.
所以此时的值为1.5或.
③ 存在.当点在点左侧时，，，
所以.
易知当，即时，为定值.
此时，定值为.
所以存在常数，且的值为，定值为18.
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