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浙江省舟山市定海区定海二中教育集团2025年初中毕业生学业水平质量检测数学试题卷
一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分）
1．（2025·定海模拟）下列说法正确的是（　　）
A．2025的相反数是
B．2025的倒数是
C．算术平方根等于它本身的数是0和1
D．绝对值等于相反数的数是0
【答案】C
【知识点】有理数的倒数；相反数的意义与性质；绝对值的概念与意义；算术平方根的概念与表示
【解析】【解答】解：A、2025的相反数是-2025，原选项错误，不符合题意；
B、2025的倒数是，原选项错误，不符合题意；
C、算术平方根等于它本身的数是0和1，正确，符合题意；
D、绝对值等于相反数的数是非正数，选项错误，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据相反数，倒数，平方根的相关概念及计算判定即可.
2．（2025·定海模拟）如图是由两个圆柱组成的几何体，其主视图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：根据主视图是从正面看到的可得：
故答案为：A.
【分析】根据主视图是从正面看到的图形，可得答案.
3．（2025·定海模拟）2025年全国两会顺利召开，在政府工作报告中提到，2024年粮食产量首次跃上1.4万亿斤新台阶、亩产提升10.1斤．将1400000000000用科学记数法表示应为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：1400000000000=1.4×1012，
故答案为：B.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.
4．（2025·定海模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方式；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、x3与x4不是同类项，不能合并，计算错误，不符合题意；
B、(x-2)2=x2-4x+4，选项计算错误，不符合题意；
C、(-3x2)3 =-27x6，选项计算错误，不符合题意；
D、2x2·x5=2x7，计算正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用合并同类项法则、完全平方公式、单项式乘单项式积的乘方运算法则逐项判断即可.
5．（2025·定海模拟）已知不等式组有解，则a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
6．（2025·定海模拟）据网络平台数据，截至2025年5月5日，电影《哪吒之魔童闹海》总票房突破158亿元，排名全球电影票房榜第五，则（　　）．
A．想要调查全校师生有多少人看过《哪吒》，选择全面调查
B．想要调查全校师生有多少人看过《哪吒》，选择抽样调查
C．随机抽一个学生，看过《哪吒》是必然事件
D．随机抽一个学生，看过《哪吒》是不可能事件
【答案】B
【知识点】全面调查与抽样调查；事件的分类
【解析】【解答】解：A.想要调查全校师生有多少人看过《哪吒》，选择抽样调查，则不符合题意，
B.想要调查全校师生有多少人看过《哪吒》，选择抽样调查，则符合题意，
C.随机抽一个学生，看过《哪吒》是随机事件，则不符合题意，
D.随机抽一个学生，看过《哪吒》是随机事件，则不符合题意，
故答案为：B.
【分析】事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的；在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件.
7．（2025·定海模拟）如图，在平面直角坐标系中，如果点的位置用表示，点的位置用表示，那么表示的位置是（　　）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】A
【知识点】点的坐标；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解：根据题意，建立坐标系如图：
∴(2，-1)表示的位置是点A.
故答案为：A.
【分析】根据点M和点N的位置坐标确定直角坐标系和单位长度，即可找出(2，-1)对应的点.
8．（2025·定海模拟）月球车工作时所需的电能都是由太阳能电池板提供的．当太阳光线垂直照射在太阳光板上时，接收的太阳光能最多，某一时刻太阳光的照射角度如图所示，如果要使此时接收的太阳光能最多，那么应将太阳光板绕支点顺时针旋转的最小角度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直角三角形的性质；两直线平行，同位角相等
9．（2025·定海模拟）如图，已知P，Q分别是反比例函数与，且轴，点P的坐标为，分别过点P，Q作轴于点M，轴于点N．若四边形的面积为2，则的值为（　　）．
A．5 B． C．1 D．
【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵点P是反比例函数上的点
∴过点P与坐标轴围成的矩形的面积为，
∴过点Q与坐标轴围成的矩形的面积为，
∵反比例函数在第二象限，
∴．
故答案为：D．
【分析】先求出过点P与坐标轴围成的矩形的面积为，再求出过点Q与坐标轴围成的矩形的面积为，最后利用反比例函数k的几何意义可得．
10．（2025·定海模拟）如图，正方形的对角线、相交于点，且，正方形的顶点与点重合，边与重合，将正方形绕点顺时针旋转，与边交于点与边交于点，连接交于点，在整个运动过程中，则点经过的路径长是（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，取中点，
在正方形中，，，
又∵，
∴，
∴，
，
当时，
则，
，
四边形是正方形，
，即点G与点H重合，
，
；
点是与的交点，是定线段，，
点G在线段上运动，
在整个运动过程中，
当边与重合，点G，点E与点C重合，有最大值，
当时，点G与点H重合，有最小值，
当边与重合，点G，点F与点C重合，有最大值，
点G在整个运动过程中，由点C运动到点H，再由点H运动到点C，
点经过的路径长是，
点经过的路径长是，
故答案为：A．
【分析】取中点，先利用“ASA”证出，利用全等三角形的性质可得，再证出四边形是正方形，证出 点G在线段上运动， 再求出 点经过的路径长是， 最后求解即可.
二、填空题（本题有6小题，每题3分，共18分）
11．（2025·定海模拟）因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：原式=x(x-2025)，
故答案为：x(x-2025).
【分析】提取公因式x进行因式分解即可.
12．（2025·定海模拟）已知是关于，的二元一次方程组的一组解，则的值为　 　．
【答案】3
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：∵是关于x，y的二元一次方程组的一组解，
∴2×(-2)+3×1=m，-2n-1=3，
解得：m=-1，n=-2，
∴m-2n=-1-2×(-2)=-1+4=3.
故答案为：3.
【分析】根据题意，把x=-2，y=1分别代入方程组中，求出m，n的值，然后把m，n的值分别代入m-2n进行计算即可得到答案.
13．（2025·定海模拟）如图，内接于，，点在上，平分．若，则　 　．
【答案】55
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接OB，
∵AB=AC，∠B=70°，
∴∠C=∠B=70°，
由圆周角定理得：
∠AOB=2∠C=140°，
∵OD平分AB
∴
∴，
∵OA=OD，
∴，
故答案为：55.
【分析】连接OB，根据等腰三角形的性质求出∠C，根据圆周角定理求出∠AOB，根据垂径定理、圆周角定理求出∠AOD，再根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可.
14．（2025·定海模拟）骑自行车可以放松心情，是一种非常好的“黄金有氧运动”．骑行过程中，如果车座高度不合适，会使骑行者踩踏费力，甚至造成膝盖磨损．有一种测量方法：双腿（不穿鞋）站立，测量档部离地面的距离（单位：），得出的数据乘0.883就是相应的骑行时最合适的长度（由长度为的立管和可调节的坐杆组成，如图所示）．若设长度最合适时坐杆的长度为，则与之间的关系式为　 　．
【答案】
【知识点】列一次函数关系式
【解析】【解答】解：由条件可知y+48=0.883x，
即y=0.883x-48，
故答案为：y=0.883x-48.
【分析】由BC+AB=AC即可得到答案.
15．（2025·定海模拟）已知，，满足，则的值为　 　．
【答案】-1
【知识点】二次根式有意义的条件；有理数的乘方法则；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵，
∴8-a≥0，a-8≥0，
∴a=8，
∴|b+9|=0，
∴b=-9
∴(a+b)2025=(8-9)2025=-1
故答案为：-1.
【分析】根据平方根的被开方数必须非负，确定a的取值范围，结合平方根和绝对值的非负性，得出a和b的具体值，将a和b代入表达式(a+b)2025计算即可.
16．（2025·定海模拟）数学兴趣小组模仿七巧板制作了一副如图所示的五巧板，①和②分别是等腰和等腰，③和④分别是和，⑤是正方形．这副五巧板恰好拼成互不重叠也无缝隙，且对角互补的四边形．若，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设AH=x，
∵，
∴可设DG=5k，GH=4k，
∵四边形EFGH是正方形，
∴HE=EF=FG=CH=4k，
∵Rt△ABE和Rt△BCF都是等腰直角三角形，
∴AE=BE，BF=CF，∠ABE=∠CBF=45°，
∴CG=CF+GF=BF+4k=BE+8k=AH+12k=x+12k，
∵△AHD∽△DGC，
∴
∴
解得：x=3k(负值舍去)，
∴
故答案为： .
【分析】通过证明△AHD∽△DGC，可得，即可求解.
三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分）
17．（2025·定海模拟）计算：．
【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先根据零指数幂、负整数指数幂的意义、特殊角三角函数值进行计算，再根据二次根式的乘法法则运算，然后合并即可.
18．（2025·定海模拟）已知，求代数式的值．
【答案】解：
．
∵，
∴．
∴原式
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】由x-2y-3=0可得x-2y=3，再把所求分式化简后代入计算即可.
19．（2025·定海模拟）如图，在中，交的延长线于点E，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）F为的中点，连接，．已知，，求的长．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
∴四边形是平行四边形，
又，
，
∴四边形是矩形．
（2）解：由（1）得四边形是矩形，，
，
为的中点，
，
∵
，
由勾股定理得．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）先证出四边形是平行四边形，再结合∠AEB=90°，证出四边形是矩形；
（2）先求出，再利用勾股定理求出BF的长即可.
（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
∴四边形是平行四边形，
又，
，
∴四边形是矩形．
（2）解：由（1）得四边形是矩形，，
，
为的中点，
，
∵
，
由勾股定理得．
20．（2025·定海模拟）某校举办了数学知识竞赛，从七、八年级各随机抽取了10名学生的竞赛成绩（百分制），进行整理，描述和分析如下：成绩得分用表示（为整数）共分成四组：．；．；．；．．
七年级10名学生的成绩是：82，86，86，88，90，96，96，96，100，100．
八年级10名学生的成绩在组中的数据是：90，94，94．
抽取的七、八年级学生成绩统计表：
年级 平均数 中位数 众数
七年级
八年级 92 94 100
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出图表中，的值：　 　，　 　，　 　．
（2）由表格中数据可推出，八年级这10名同学中，成绩在组（）的人数有　 　人．
（3）若八年级参加竞赛的学生共100人，估计八年级参加竞赛成绩在组（）的学生人数．
【答案】（1）92；93；96
（2）4
（3）解：（人）；
答：估计八年级参加竞赛成绩在组（）的学生人数为人．
【知识点】用样本估计总体；平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：(1)
；
出现次数最多的为96，
∴c=96，
故答案为：92，93，96.
(2)八年级学生成绩的中位数为94，
得到第5个和第6个均为94，
而八年级10名学生的成绩在C组中的数据为90，94，94，
故八年级这10名同学中，成绩在D组(95故答案为：4.
【分析】(1)根据中位数，众数和平均数的定义进行求解即可；
(2)根据中位数进行判断即可；
(3)利用样本估算总体的思想进行求解即可.
21．（2025·定海模拟）如图1所示是一种简易手机支架，由底座、支撑板和托架组成，将手机放置在托架上，图2是其简易结构图．现测量托架长长，支撑板长，可绕点转动，可绕点转动．
（1）若水平视线与的夹角，，求的度数；
（2）当，时，求点到底座的距离．（结果精确到0.1，参考：）
【答案】（1）解：过作，
，
，
，
，
，
；
（2）解：过点作，过点作于，交于，作于，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
在中．，
，
．
答：点到底座的距离为．

【知识点】平行线的性质；平行线之间的距离；含30°角的直角三角形；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】
（1）过作，根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可得∠FDP=∠MFD，∠PDC=∠C，由角的和差=∠FDP+∠CDP求出∠FDC的度数，然后由平角的构成即可求解；
（2）过点作，过点作于，交于，作于，由30度角所对的直角边等于斜边的一半可得，由角的和差可求得∠BDK、∠ADH的度数，在Rt△ADH 中，根据锐角三角函数cos∠ADH=求出HD的值，由线段的和差HK=HD+DK可求解.
（1）解：过作，
，
，
，
，
，
；
（2）解：过点作，过点作于，交于，作于，，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
在中．，
，
．
答：点到底座的距离为．
22．（2025·定海模拟）阅读理解：
定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“差分式”．
例如： 我们称 是 的“差分式”，
解答下列问题：
（1）分式 是分式 的“　 　差分式”．
（2）分式 是分式 的“差分式”．
① ▲ （含的代数式表示）；
②若 的值为正整数，为正整数，求的值．
（3）已知，分式 是 的“差分式”（其中为正数），求的值．
【答案】（1）1
（2）解：①18+6x；
②，为正整数，
∴当时，，则；
当时，，则；
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，不符合题意，舍去；
∴的值为或；
（3）解：，
，且，
∴，
∵为正数，
∴，
∴的值为．
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：(1)，
故答案为：1.
(2)①∵，，
∴
∴C-2x2-6x=18-2x2，
解得，C=18+6x，
故答案为：18+6x.
【分析】(1)根据材料提示进行计算即可求解；
(2)根据“2差分式”的计算方法可得A-B=2，结合分式的混合运算即可求解；
(3)根据“4差分式”的计算方法可得 ，根据分式的混合运算，乘法公式的运算可得 ，结合xy=1，由此即可求解.
23．（2025·定海模拟）项目式学习
背景 我国是水资源最为紧缺的国家之一，然而在日常生活中，水龙头漏水造成水资源浪费现象仍较为突出．某校园内有一个漏水的水龙头，数学活动小组要探究其漏水造成的浪费情况．同学们用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面接水，探究量筒中的总水量（毫升）是否为时间（分钟）的函数？
素材 每隔1分钟记录量筒中的总水量，但因操作延误，开始计时时量筒中已有少量水，因而得到如下表的一组数据： 时间（分钟）12345…总水量（毫升）1015202530…
问题探究和问题解决
任务1 请在下图的平面直角坐标系内描出上表每对数据所对应的点．
任务2 请根据上表中的数据和所描的点，判断和（、为常数）哪一个能正确反映总水量与时间的函数关系？请求出这个关系式．
任务3 ①同学们继续观察，当量筒中的水刚好有65毫升时，所需时间是多少分钟？ ②照这个漏水速度，请预测此水龙头1小时会浪费多少毫升水？ ③请你根据以上的探索和结论，提一条关于水龙头节水管理方面的建议．
【答案】解：任务1：如图，描点如下：
任务2：由数据和画图可知（k，b为常数）才能正确反映总水量y与时间t的函数关系；
点和都在此函数的图象上
，
解得：，
；
任务3：①当时，则，
解得：，
当量筒中的水刚好有65毫升时，所需时间为12分钟；
②当时，，
照此漏水速度，此水龙头1小时会浪费305毫升水；
③建议水龙头要定期检查，对漏水的水龙头要及时更换．
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用
【解析】【分析】任务1：根据表格数据描点即可；
任务2：由所描点在同一条直线可知，y=kt+b能正确反映总水量y与时间t的函数关系，再用待定系数法可得y=5t+5；
任务3：①在y=5t+5中，令y=65得t=12，故所需时间是12分钟；
②在y=5t+5中，令t=60得y=5×60+5=305，可知此水龙头1小时(60分钟)会浪费305毫升水；
③建议水龙头要定期检查，对漏水的水龙头要及时更换(答案不唯一，合理即可).
24．（2025·定海模拟）如图1，点在正方形的边上．将线段绕点顺时针旋转得到线段．边分别与相交于点．
（1）证明：．
（2）如图2，连接，与线段分别相交于点．
①猜想与的数量关系，并说明理由；
②设正方形的边长为，求线段的长（用字母和表示）．
【答案】（1）证明：∵正方形，
∴，
∴，
∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①根据题意得： ，
∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，，
∴，
∵，均为所对角，
∴点A、B、E、P四点共圆，
∵，
∴，
∴；
②由①得，
∴，
∵正方形的边长为，
∴，
∴，
∴，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；正方形的性质；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)根据正方形的性质及各角之间的关系得出∠BAE=∠CEN，再由相似三角形的判定即可证明；
(2)①根据题意得：∠CBD=45°，再由旋转的性质及各角之间的关系得出∠EAF=∠EFA=45°，利用圆内接四边形的判定得出点A、B、E、P四点共圆，确定∠APE=90°，再由等腰直角三角形的性质即可得出结果；
②根据勾股定理得出 ，，
再由相似三角形的判定和性质得出DH=3λ， ，确定 ，，再由勾股定理及求解.
1 / 1浙江省舟山市定海区定海二中教育集团2025年初中毕业生学业水平质量检测数学试题卷
一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分）
1．（2025·定海模拟）下列说法正确的是（　　）
A．2025的相反数是
B．2025的倒数是
C．算术平方根等于它本身的数是0和1
D．绝对值等于相反数的数是0
2．（2025·定海模拟）如图是由两个圆柱组成的几何体，其主视图是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·定海模拟）2025年全国两会顺利召开，在政府工作报告中提到，2024年粮食产量首次跃上1.4万亿斤新台阶、亩产提升10.1斤．将1400000000000用科学记数法表示应为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·定海模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025·定海模拟）已知不等式组有解，则a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·定海模拟）据网络平台数据，截至2025年5月5日，电影《哪吒之魔童闹海》总票房突破158亿元，排名全球电影票房榜第五，则（　　）．
A．想要调查全校师生有多少人看过《哪吒》，选择全面调查
B．想要调查全校师生有多少人看过《哪吒》，选择抽样调查
C．随机抽一个学生，看过《哪吒》是必然事件
D．随机抽一个学生，看过《哪吒》是不可能事件
7．（2025·定海模拟）如图，在平面直角坐标系中，如果点的位置用表示，点的位置用表示，那么表示的位置是（　　）
A．点 B．点 C．点 D．点
8．（2025·定海模拟）月球车工作时所需的电能都是由太阳能电池板提供的．当太阳光线垂直照射在太阳光板上时，接收的太阳光能最多，某一时刻太阳光的照射角度如图所示，如果要使此时接收的太阳光能最多，那么应将太阳光板绕支点顺时针旋转的最小角度为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·定海模拟）如图，已知P，Q分别是反比例函数与，且轴，点P的坐标为，分别过点P，Q作轴于点M，轴于点N．若四边形的面积为2，则的值为（　　）．
A．5 B． C．1 D．
10．（2025·定海模拟）如图，正方形的对角线、相交于点，且，正方形的顶点与点重合，边与重合，将正方形绕点顺时针旋转，与边交于点与边交于点，连接交于点，在整个运动过程中，则点经过的路径长是（　　）
A．1 B． C． D．
二、填空题（本题有6小题，每题3分，共18分）
11．（2025·定海模拟）因式分解：　 　．
12．（2025·定海模拟）已知是关于，的二元一次方程组的一组解，则的值为　 　．
13．（2025·定海模拟）如图，内接于，，点在上，平分．若，则　 　．
14．（2025·定海模拟）骑自行车可以放松心情，是一种非常好的“黄金有氧运动”．骑行过程中，如果车座高度不合适，会使骑行者踩踏费力，甚至造成膝盖磨损．有一种测量方法：双腿（不穿鞋）站立，测量档部离地面的距离（单位：），得出的数据乘0.883就是相应的骑行时最合适的长度（由长度为的立管和可调节的坐杆组成，如图所示）．若设长度最合适时坐杆的长度为，则与之间的关系式为　 　．
15．（2025·定海模拟）已知，，满足，则的值为　 　．
16．（2025·定海模拟）数学兴趣小组模仿七巧板制作了一副如图所示的五巧板，①和②分别是等腰和等腰，③和④分别是和，⑤是正方形．这副五巧板恰好拼成互不重叠也无缝隙，且对角互补的四边形．若，则的值为　 　．
三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分）
17．（2025·定海模拟）计算：．
18．（2025·定海模拟）已知，求代数式的值．
19．（2025·定海模拟）如图，在中，交的延长线于点E，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）F为的中点，连接，．已知，，求的长．
20．（2025·定海模拟）某校举办了数学知识竞赛，从七、八年级各随机抽取了10名学生的竞赛成绩（百分制），进行整理，描述和分析如下：成绩得分用表示（为整数）共分成四组：．；．；．；．．
七年级10名学生的成绩是：82，86，86，88，90，96，96，96，100，100．
八年级10名学生的成绩在组中的数据是：90，94，94．
抽取的七、八年级学生成绩统计表：
年级 平均数 中位数 众数
七年级
八年级 92 94 100
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出图表中，的值：　 　，　 　，　 　．
（2）由表格中数据可推出，八年级这10名同学中，成绩在组（）的人数有　 　人．
（3）若八年级参加竞赛的学生共100人，估计八年级参加竞赛成绩在组（）的学生人数．
21．（2025·定海模拟）如图1所示是一种简易手机支架，由底座、支撑板和托架组成，将手机放置在托架上，图2是其简易结构图．现测量托架长长，支撑板长，可绕点转动，可绕点转动．
（1）若水平视线与的夹角，，求的度数；
（2）当，时，求点到底座的距离．（结果精确到0.1，参考：）
22．（2025·定海模拟）阅读理解：
定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“差分式”．
例如： 我们称 是 的“差分式”，
解答下列问题：
（1）分式 是分式 的“　 　差分式”．
（2）分式 是分式 的“差分式”．
① ▲ （含的代数式表示）；
②若 的值为正整数，为正整数，求的值．
（3）已知，分式 是 的“差分式”（其中为正数），求的值．
23．（2025·定海模拟）项目式学习
背景 我国是水资源最为紧缺的国家之一，然而在日常生活中，水龙头漏水造成水资源浪费现象仍较为突出．某校园内有一个漏水的水龙头，数学活动小组要探究其漏水造成的浪费情况．同学们用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面接水，探究量筒中的总水量（毫升）是否为时间（分钟）的函数？
素材 每隔1分钟记录量筒中的总水量，但因操作延误，开始计时时量筒中已有少量水，因而得到如下表的一组数据： 时间（分钟）12345…总水量（毫升）1015202530…
问题探究和问题解决
任务1 请在下图的平面直角坐标系内描出上表每对数据所对应的点．
任务2 请根据上表中的数据和所描的点，判断和（、为常数）哪一个能正确反映总水量与时间的函数关系？请求出这个关系式．
任务3 ①同学们继续观察，当量筒中的水刚好有65毫升时，所需时间是多少分钟？ ②照这个漏水速度，请预测此水龙头1小时会浪费多少毫升水？ ③请你根据以上的探索和结论，提一条关于水龙头节水管理方面的建议．
24．（2025·定海模拟）如图1，点在正方形的边上．将线段绕点顺时针旋转得到线段．边分别与相交于点．
（1）证明：．
（2）如图2，连接，与线段分别相交于点．
①猜想与的数量关系，并说明理由；
②设正方形的边长为，求线段的长（用字母和表示）．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数的倒数；相反数的意义与性质；绝对值的概念与意义；算术平方根的概念与表示
【解析】【解答】解：A、2025的相反数是-2025，原选项错误，不符合题意；
B、2025的倒数是，原选项错误，不符合题意；
C、算术平方根等于它本身的数是0和1，正确，符合题意；
D、绝对值等于相反数的数是非正数，选项错误，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据相反数，倒数，平方根的相关概念及计算判定即可.
2．【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：根据主视图是从正面看到的可得：
故答案为：A.
【分析】根据主视图是从正面看到的图形，可得答案.
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：1400000000000=1.4×1012，
故答案为：B.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方式；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、x3与x4不是同类项，不能合并，计算错误，不符合题意；
B、(x-2)2=x2-4x+4，选项计算错误，不符合题意；
C、(-3x2)3 =-27x6，选项计算错误，不符合题意；
D、2x2·x5=2x7，计算正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用合并同类项法则、完全平方公式、单项式乘单项式积的乘方运算法则逐项判断即可.
5．【答案】A
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
6．【答案】B
【知识点】全面调查与抽样调查；事件的分类
【解析】【解答】解：A.想要调查全校师生有多少人看过《哪吒》，选择抽样调查，则不符合题意，
B.想要调查全校师生有多少人看过《哪吒》，选择抽样调查，则符合题意，
C.随机抽一个学生，看过《哪吒》是随机事件，则不符合题意，
D.随机抽一个学生，看过《哪吒》是随机事件，则不符合题意，
故答案为：B.
【分析】事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的；在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件.
7．【答案】A
【知识点】点的坐标；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解：根据题意，建立坐标系如图：
∴(2，-1)表示的位置是点A.
故答案为：A.
【分析】根据点M和点N的位置坐标确定直角坐标系和单位长度，即可找出(2，-1)对应的点.
8．【答案】D
【知识点】直角三角形的性质；两直线平行，同位角相等
9．【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵点P是反比例函数上的点
∴过点P与坐标轴围成的矩形的面积为，
∴过点Q与坐标轴围成的矩形的面积为，
∵反比例函数在第二象限，
∴．
故答案为：D．
【分析】先求出过点P与坐标轴围成的矩形的面积为，再求出过点Q与坐标轴围成的矩形的面积为，最后利用反比例函数k的几何意义可得．
10．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，取中点，
在正方形中，，，
又∵，
∴，
∴，
，
当时，
则，
，
四边形是正方形，
，即点G与点H重合，
，
；
点是与的交点，是定线段，，
点G在线段上运动，
在整个运动过程中，
当边与重合，点G，点E与点C重合，有最大值，
当时，点G与点H重合，有最小值，
当边与重合，点G，点F与点C重合，有最大值，
点G在整个运动过程中，由点C运动到点H，再由点H运动到点C，
点经过的路径长是，
点经过的路径长是，
故答案为：A．
【分析】取中点，先利用“ASA”证出，利用全等三角形的性质可得，再证出四边形是正方形，证出 点G在线段上运动， 再求出 点经过的路径长是， 最后求解即可.
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：原式=x(x-2025)，
故答案为：x(x-2025).
【分析】提取公因式x进行因式分解即可.
12．【答案】3
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：∵是关于x，y的二元一次方程组的一组解，
∴2×(-2)+3×1=m，-2n-1=3，
解得：m=-1，n=-2，
∴m-2n=-1-2×(-2)=-1+4=3.
故答案为：3.
【分析】根据题意，把x=-2，y=1分别代入方程组中，求出m，n的值，然后把m，n的值分别代入m-2n进行计算即可得到答案.
13．【答案】55
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接OB，
∵AB=AC，∠B=70°，
∴∠C=∠B=70°，
由圆周角定理得：
∠AOB=2∠C=140°，
∵OD平分AB
∴
∴，
∵OA=OD，
∴，
故答案为：55.
【分析】连接OB，根据等腰三角形的性质求出∠C，根据圆周角定理求出∠AOB，根据垂径定理、圆周角定理求出∠AOD，再根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可.
14．【答案】
【知识点】列一次函数关系式
【解析】【解答】解：由条件可知y+48=0.883x，
即y=0.883x-48，
故答案为：y=0.883x-48.
【分析】由BC+AB=AC即可得到答案.
15．【答案】-1
【知识点】二次根式有意义的条件；有理数的乘方法则；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵，
∴8-a≥0，a-8≥0，
∴a=8，
∴|b+9|=0，
∴b=-9
∴(a+b)2025=(8-9)2025=-1
故答案为：-1.
【分析】根据平方根的被开方数必须非负，确定a的取值范围，结合平方根和绝对值的非负性，得出a和b的具体值，将a和b代入表达式(a+b)2025计算即可.
16．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设AH=x，
∵，
∴可设DG=5k，GH=4k，
∵四边形EFGH是正方形，
∴HE=EF=FG=CH=4k，
∵Rt△ABE和Rt△BCF都是等腰直角三角形，
∴AE=BE，BF=CF，∠ABE=∠CBF=45°，
∴CG=CF+GF=BF+4k=BE+8k=AH+12k=x+12k，
∵△AHD∽△DGC，
∴
∴
解得：x=3k(负值舍去)，
∴
故答案为： .
【分析】通过证明△AHD∽△DGC，可得，即可求解.
17．【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先根据零指数幂、负整数指数幂的意义、特殊角三角函数值进行计算，再根据二次根式的乘法法则运算，然后合并即可.
18．【答案】解：
．
∵，
∴．
∴原式
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】由x-2y-3=0可得x-2y=3，再把所求分式化简后代入计算即可.
19．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
∴四边形是平行四边形，
又，
，
∴四边形是矩形．
（2）解：由（1）得四边形是矩形，，
，
为的中点，
，
∵
，
由勾股定理得．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）先证出四边形是平行四边形，再结合∠AEB=90°，证出四边形是矩形；
（2）先求出，再利用勾股定理求出BF的长即可.
（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
∴四边形是平行四边形，
又，
，
∴四边形是矩形．
（2）解：由（1）得四边形是矩形，，
，
为的中点，
，
∵
，
由勾股定理得．
20．【答案】（1）92；93；96
（2）4
（3）解：（人）；
答：估计八年级参加竞赛成绩在组（）的学生人数为人．
【知识点】用样本估计总体；平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：(1)
；
出现次数最多的为96，
∴c=96，
故答案为：92，93，96.
(2)八年级学生成绩的中位数为94，
得到第5个和第6个均为94，
而八年级10名学生的成绩在C组中的数据为90，94，94，
故八年级这10名同学中，成绩在D组(95故答案为：4.
【分析】(1)根据中位数，众数和平均数的定义进行求解即可；
(2)根据中位数进行判断即可；
(3)利用样本估算总体的思想进行求解即可.
21．【答案】（1）解：过作，
，
，
，
，
，
；
（2）解：过点作，过点作于，交于，作于，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
在中．，
，
．
答：点到底座的距离为．

【知识点】平行线的性质；平行线之间的距离；含30°角的直角三角形；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】
（1）过作，根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可得∠FDP=∠MFD，∠PDC=∠C，由角的和差=∠FDP+∠CDP求出∠FDC的度数，然后由平角的构成即可求解；
（2）过点作，过点作于，交于，作于，由30度角所对的直角边等于斜边的一半可得，由角的和差可求得∠BDK、∠ADH的度数，在Rt△ADH 中，根据锐角三角函数cos∠ADH=求出HD的值，由线段的和差HK=HD+DK可求解.
（1）解：过作，
，
，
，
，
，
；
（2）解：过点作，过点作于，交于，作于，，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
在中．，
，
．
答：点到底座的距离为．
22．【答案】（1）1
（2）解：①18+6x；
②，为正整数，
∴当时，，则；
当时，，则；
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，不符合题意，舍去；
∴的值为或；
（3）解：，
，且，
∴，
∵为正数，
∴，
∴的值为．
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：(1)，
故答案为：1.
(2)①∵，，
∴
∴C-2x2-6x=18-2x2，
解得，C=18+6x，
故答案为：18+6x.
【分析】(1)根据材料提示进行计算即可求解；
(2)根据“2差分式”的计算方法可得A-B=2，结合分式的混合运算即可求解；
(3)根据“4差分式”的计算方法可得 ，根据分式的混合运算，乘法公式的运算可得 ，结合xy=1，由此即可求解.
23．【答案】解：任务1：如图，描点如下：
任务2：由数据和画图可知（k，b为常数）才能正确反映总水量y与时间t的函数关系；
点和都在此函数的图象上
，
解得：，
；
任务3：①当时，则，
解得：，
当量筒中的水刚好有65毫升时，所需时间为12分钟；
②当时，，
照此漏水速度，此水龙头1小时会浪费305毫升水；
③建议水龙头要定期检查，对漏水的水龙头要及时更换．
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用
【解析】【分析】任务1：根据表格数据描点即可；
任务2：由所描点在同一条直线可知，y=kt+b能正确反映总水量y与时间t的函数关系，再用待定系数法可得y=5t+5；
任务3：①在y=5t+5中，令y=65得t=12，故所需时间是12分钟；
②在y=5t+5中，令t=60得y=5×60+5=305，可知此水龙头1小时(60分钟)会浪费305毫升水；
③建议水龙头要定期检查，对漏水的水龙头要及时更换(答案不唯一，合理即可).
24．【答案】（1）证明：∵正方形，
∴，
∴，
∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①根据题意得： ，
∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，，
∴，
∵，均为所对角，
∴点A、B、E、P四点共圆，
∵，
∴，
∴；
②由①得，
∴，
∵正方形的边长为，
∴，
∴，
∴，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；正方形的性质；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)根据正方形的性质及各角之间的关系得出∠BAE=∠CEN，再由相似三角形的判定即可证明；
(2)①根据题意得：∠CBD=45°，再由旋转的性质及各角之间的关系得出∠EAF=∠EFA=45°，利用圆内接四边形的判定得出点A、B、E、P四点共圆，确定∠APE=90°，再由等腰直角三角形的性质即可得出结果；
②根据勾股定理得出 ，，
再由相似三角形的判定和性质得出DH=3λ， ，确定 ，，再由勾股定理及求解.
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