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湖南省长沙市湖南师大附中博才实验中学2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
1．（2024七下·长沙期末）下列各数中，是无理数的是（　　）
A． B． C． D．0.13133
2．（2024七下·长沙期末）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（　　）
A．杯 B．立
C． 比 D．曲
3．（2024七下·长沙期末）若，则下列各式一定成立的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024七下·长沙期末）下列采用的调查方式中，不合适的是（　　）
A．调查全省中学生视力和用眼卫生情况，采用抽样调查
B．检查神舟飞船十七号的零部件，采用全面调查
C．企业招聘时对应聘人员进行面试，采用抽样调查
D．了解某班学生的身高，采用全面调查
5．（2024七下·长沙期末）为估计池塘两岸A、B间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点O，测得OA＝16m，OB＝12m，那么AB的距离不可能是 （　　）
A．5m B．15m C．20m D．30m
6．（2024七下·长沙期末）如图所示，点在的延长线上，下列条件中能判断的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2024七下·长沙期末）如图，若数轴上点表示的数为无理数，则该无理数可能是（　　）
A．2.7 B． C． D．
8．（2024七下·长沙期末）下面四个图形中，线段是的高的是（　　）
A．
B．
C．
D．
9．（2024七下·长沙期末）下列命题中，是真命题的是（　　）
A．9的算术平方根是
B．直角三角形的两个锐角互余
C．三角形的一个外角大于任何一个内角
D．在平面直角坐标系中，点在第四象限
10．（2024七下·长沙期末）如图，已知和分别是和的中线，若的面积是8，则的面积是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
11．（2024七下·长沙期末）如图，已知，，则的度数是　 　．
12．（2024七下·长沙期末）若点在y轴上，则　 　．
13．（2024七下·长沙期末）若，为实数，且，则的值为　 　．
14．（2024七下·长沙期末）不等式的最小整数解为　 　．
15．（2024七下·长沙期末）将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，则图中的度数是　 　．
16．（2024七下·长沙期末）若关于，的方程组的解满足，则的值为　 　．
17．（2024七下·长沙期末）计算：．
18．（2024七下·长沙期末）解方程组：．
19．（2024七下·长沙期末）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
20．（2024七下·长沙期末）如图，将向左、向下分别平移5个单位，得到．
（1）画出；
（2）求出的面积；
（3）若点是内一点，直接写出点P平移后对应点的坐标．
21．（2024七下·长沙期末）我区某学校组织开展了健康知识的培训．为了解学生们对健康知识的学习情况，学校准备采用以下调查方式中的一种进行调查：
①从七年级一班随机选取20名学生作为调查对象进行调查；
②从八年级中随机选取200名学生作为调查对象进行调查；
③从全校学生学籍档案中随机抽取200名学生作为调查对象进行调查．
按照一种比较合理的调查方式所得到的数据后，学校按成绩分成五个等级，并绘制了如下不完整的统计图．
等级 A B C D E
成绩
（1）在上述调查方式中，你认为比较合理的一个是___________（填序号）；
（2）补全频数分布直方图，并求出在学生成绩频数分布直方图中m的值为___________；
（3）在学生成绩扇形统计图中，D项所在的圆心角的度数为___________°；
（4）若成绩在80分及以上为优秀，全校共有1800名学生，估计成绩优秀的学生约有多少人？
22．（2024七下·长沙期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E，点F为AC延长线上的一点，连接DF．
（1）求∠CBE的度数；
（2）若∠F＝25°，求证：．
23．（2024七下·长沙期末）下面是某数学兴趣小组探究用方程解决实际问题的讨论片段，请仔细阅读，并解决相应的问题．如图是练习册上的一道例题，墨水覆盖了条件的一部分．
排球是体育中考的一个重要项目，某中学为此专门开设了“排球大课间活动”，学校现决定购买种品牌的排球25个，种品牌的排球50个，共花费4500元，已知，求、两种品牌排球的单价．
[情境引入]
小明通过查看例题的解析发现：“设种品牌排球的单价为元，则列出一元一次方程： ”．
（1）根据题意，例题中被覆盖的条件是___________（填序号）．
①种品牌排球的单价比种品牌排球的单价低30元；
②种品牌排球的单价比种品牌排球的单价高30元．
[迁移类比]
（2）小军看了解析后，认为用二元一次方程组求解也非常方便，请你列出方程组并求、两种品牌排球的单价．
[拓展探究]
（3）老师在例题的条件下，增设了一个问题：根据需要，学校决定再次购进、两种品牌的排球共50个，总费用不超过3250元，且购买种品牌的排球不少于23个，学校共有哪几种购买方案？
24．（2024七下·长沙期末）定义一种新运算“”：当时，；当时，．
（1）计算：__________；___________．
（2）解方程组：．
（3）当整数，满足和时，有序数对恰好有对，求的值．
25．（2024七下·长沙期末）如图，在四边形中，和相交于点．
（1）如图，若，平分，，求的度数；
（2）如图，若，平分，平分，求证：；
（3）如图，若平分，平分，和分别是和外角平分线，试探究，，之间的数量关系．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、是无理数，故此选项符合题意；
B、是分数，不是无理数，故此选项不符合题意；
C、是整数，不是无理数，故此选项不符合题意；
D、0.13133是有限小数，是有理数，不是无理数，故此选项不符合题意；
故选：A．
【分析】 根据无理数的定义即可求出答案.
2．【答案】C
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：观察可得，A下面部分是对称的，故不能通过平移得到，不符合题意；
B和D可以近似看作轴对称图形，不能通过平移得到，故不不会题意；
C可以看做是利用图形的平移得到．
故答案为：C．
【分析】根据图形平移的性质解答即可．平移前后对应点连线平行且相等.
3．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A．∵，∴，故不正确；
B．∵，∴，故不正确；
C．∵，∴，∴，故不正确；
D．∵，∴，∴，正确；
故选D．
【分析】根据不等式的性质逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、调查全省中学生视力和用眼卫生情况，采用抽样调查，说法正确，不符合要求；
B、检查神舟飞船十七号的零部件，采用全面调查说法正确，不符合要求；
C、企业招聘时对应聘人员进行面试，采用全面调查，原说法错误，符合要求；
D、了解某班学生的身高，采用全面调查，说法正确，不符合要求；
故选C．
【分析】根据抽样调查与全面调查的意义即可求出答案.
5．【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据三角形三边关系得16-12＜AB＜16+12，
即4＜AB＜28，
所以AB的距离不能是30m．
故选：D．
【分析】根据三角形三边关系即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、根据，可以得到，故选项错误；
B、根据，可以得到，故选项正确；
C、根据，可以得到，故选项错误；
D、根据，可以得到，故选项错误；
故选：B
【分析】根据直线平行的判定定理逐项进行判断即可求出答案.
7．【答案】D
【知识点】无理数在数轴上表示；无理数的估值
【解析】【解答】解：解：∵2.7是有理数，，，，
由图可知，点表示的数为无理数，且点表示的数在和之间，
∴点表示的无理数为，
故选：D．
【分析】估算出，，的范围，结合数轴上点的位置关系即可求出答案.
8．【答案】C
【知识点】三角形的高
【解析】【解答】解：线段是的高的是
．
故选：C
【分析】根据三角形高的定义即可求出答案.
9．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；点的坐标与象限的关系；真命题与假命题；求算术平方根；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：A、9的算术平方根是，故选项不符合题意；
B、直角三角形的两个锐角互余，是真命题，故选项符合题意；
C、三角形的一个外角大于任何不相邻的一个内角，原命题错误，是假命题，故选项不符合题意；
D、在平面直角坐标系中，点在第二象限，故选项不符合题意；
故选：B．
【分析】根据算术平方根定义，直角三角形性质，三角形外角性质，各象限内点的坐标特征逐项进行判断即可求出答案.
10．【答案】A
【知识点】三角形的面积；三角形的中线
【解析】【解答】解：∵是的中线，，
∴，
∵是的中线，
∴，
故选：A．
【分析】根据三角形中线性质即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为．
【分析】根据对顶角相等可得，再根据直线平行性质即可求出答案.
12．【答案】2
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点在y轴上，
∴，
解得，，
故答案为：2．
【分析】根据y轴上点的坐标特征建立方程，解方程即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：
，
，
故答案为：．
【分析】根据绝对值与二次根式的非负性可得m，n值，再代入代数式即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：
去括号得：，
移项、合并同类项得：，
解得：，
∴不等式的最小整数解为，
故答案为：
【分析】先求出不等式的解集，再结合题意求出最小整数解即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】角的运算；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，
，，
，
．
故答案为：．
【分析】根据角之间的关系可得∠BCD，再根据三角形外角性质即可求出答案.
16．【答案】3
【知识点】解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：，
，得，
∴，
∵，
∴，
即，
故答案为：3．
【分析】将两式子相加化简可得，再代入方程，解方程即可求出答案.
17．【答案】解：原式
．
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；实数的绝对值；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】根据立方根，绝对值，二次根式，有理数的乘方性质化简，再计算加减即可求出答案.
18．【答案】解：，
得：，
解得：，
把代入②得：，
解得：，
则方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】根据加减消元法解方程组即可求出答案.
19．【答案】解：，
解：解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为：，
该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，用“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小是无解”进行判断，再在数轴上表示出解集，即可求解.
20．【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：由题意知，，
∴的面积为；
（3）解：由题意知，点平移后对应点的坐标为 ．
【知识点】坐标与图形性质；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）根据平移的性质作图即可.
（2）根据割补法求三角形面积即可求出答案.
（3）根据点的平移性质即可求出答案.
21．【答案】（1）③
（2）补全频数分布直方图如下所示：
，18
（3）144
（4）解：（人），
答：估计成绩优秀的学生有人．
【知识点】抽样调查的可靠性；扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由题意可知，从全校学生学籍档案中随机抽取200名学生作为调查对象进行调查，比较合适．
故答案为：③．
（2）解：（人），
（人），
故答案为：人．
（3）解：，
故答案为：．
【分析】（1）根据抽样调查的意义进行判断即可求出答案.
（2）根据B等级的人数与所占比求出总人数，根据总人数减去其他等级的人数即可求出m值.
（3）根据360°×乘以其占比即可求出答案.
（4）根据1800乘以优秀人数的占比即可求出答案.
22．【答案】（1）解：∵∠ACB＝90°，∠A＝40°，
∴∠CBD=∠A+∠ACB=130°，
∵BE平分∠CBD，
∴；
（2）证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠BCE=90°，
∵∠CBE=65°，
∴∠BEC=90°－65°=25°，
∵∠F＝25°，
∴∠F=∠BEC，
∴．
【知识点】平行线的判定；三角形的外角性质；角平分线的概念；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）根据三角形外角性质可得∠CBD，再根据角平分线定义即可求出答案.
（2）根据直角三角形两锐角互余可得∠BEC，再根据直线平行判定定理即可求出答案.
23．【答案】（1）②
（2）解：根据题意得
解得
答：种品牌排球的单价为80元．种品牌排球的单价为50元；
（3）解：设购买种品牌的排球个，则购买种品牌的排球个，
依题意得：
解得：，
又为正整数，
可以为23，24，25，
共有3种购买方案，
方案1：购买种品牌的排球23个，种品牌的排球27个；
方案2：购买种品牌的排球24个，种品牌的排球26个；
方案3：购买种品牌的排球25个，种品牌的排球25个．
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【解答】解：（1）根据方程可知，表示的是品牌足球的单价，
∵种品牌足球的单价比种品牌足球的单价高元，
∴例题中被覆盖的条件是②，
故答案为：②；
【分析】（1）根据题意即可求出答案.
（2）设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元，根据“购买A种品牌的足球个，B种品牌的足球个，共花费元；A种品牌足球的单价比B种品牌足球的单价高元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可求出答案.
（3）设购买种品牌的排球个，则购买种品牌的排球个，根据“购买、两种品牌足球的总费用不超过元，且购买种品牌的足球不少于个”，即可得出关于的一元一次不等式组，解不等式组即可求出答案.
24．【答案】（1）；
（2）①当时，原方程组化为：，
解得：满足，符合题意．
②当时，原方程组化为：，
解得：，不满足时，舍去．
综上所述：原方程组的解为．
（3）解：①当时，由可得：，
又由知：，
，
解得：有无数整数解，不符合题意．
②当时，由可得：，
又由知：，
，
解得：，
整数对有对，
有个整数值，为，，，
，解得，
，都是整数，且，
也是整数，
．
故当时，符合题意；
但当时，若，则由①可知：，
得，且，整数对
有无数对，故不符合题意．
综上所述：满足题意的不存在．
【知识点】解二元一次方程组；解一元一次不等式
【解析】【解答】（1）解：∵，当时，，
∴，
∵，当时，，
∴，
故答案为，．
【分析】（1）根据新定义运算将式子化为加减运算，即可求出答案.
（2）分和两种情况，再根据新定义运算将式子化为普通的二元一次方程组，解方程组即可求出答案.
（3）分和两种情况，再根据新定义运算和可分别得到二元一次方程不等式组，解方程组即可求出答案.
25．【答案】（1）解：，
，
又，
，
平分，
，

（2）解：平分，平分，
，，
设，，
，
，
．
过点作，则，
，
，
，
，
．
（3）解：平分，平分，和分别是和外角平分线，
，，，，
设，，
，，
则①，
，
，
②，
③，
由①②+③得：．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据直线平行性质可得，再根据角平分线定义即可求出答案.
（2）根据角平分线定义可得，，设，，根据直线平行性质可得，过点作，则，根据直线平行性质可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
（3）根据角平分线定义可得，，，，设，，，，再根据角之间的关系即可求出答案.
1 / 1湖南省长沙市湖南师大附中博才实验中学2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
1．（2024七下·长沙期末）下列各数中，是无理数的是（　　）
A． B． C． D．0.13133
【答案】A
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、是无理数，故此选项符合题意；
B、是分数，不是无理数，故此选项不符合题意；
C、是整数，不是无理数，故此选项不符合题意；
D、0.13133是有限小数，是有理数，不是无理数，故此选项不符合题意；
故选：A．
【分析】 根据无理数的定义即可求出答案.
2．（2024七下·长沙期末）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（　　）
A．杯 B．立
C． 比 D．曲
【答案】C
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：观察可得，A下面部分是对称的，故不能通过平移得到，不符合题意；
B和D可以近似看作轴对称图形，不能通过平移得到，故不不会题意；
C可以看做是利用图形的平移得到．
故答案为：C．
【分析】根据图形平移的性质解答即可．平移前后对应点连线平行且相等.
3．（2024七下·长沙期末）若，则下列各式一定成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A．∵，∴，故不正确；
B．∵，∴，故不正确；
C．∵，∴，∴，故不正确；
D．∵，∴，∴，正确；
故选D．
【分析】根据不等式的性质逐项进行判断即可求出答案.
4．（2024七下·长沙期末）下列采用的调查方式中，不合适的是（　　）
A．调查全省中学生视力和用眼卫生情况，采用抽样调查
B．检查神舟飞船十七号的零部件，采用全面调查
C．企业招聘时对应聘人员进行面试，采用抽样调查
D．了解某班学生的身高，采用全面调查
【答案】C
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、调查全省中学生视力和用眼卫生情况，采用抽样调查，说法正确，不符合要求；
B、检查神舟飞船十七号的零部件，采用全面调查说法正确，不符合要求；
C、企业招聘时对应聘人员进行面试，采用全面调查，原说法错误，符合要求；
D、了解某班学生的身高，采用全面调查，说法正确，不符合要求；
故选C．
【分析】根据抽样调查与全面调查的意义即可求出答案.
5．（2024七下·长沙期末）为估计池塘两岸A、B间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点O，测得OA＝16m，OB＝12m，那么AB的距离不可能是 （　　）
A．5m B．15m C．20m D．30m
【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据三角形三边关系得16-12＜AB＜16+12，
即4＜AB＜28，
所以AB的距离不能是30m．
故选：D．
【分析】根据三角形三边关系即可求出答案.
6．（2024七下·长沙期末）如图所示，点在的延长线上，下列条件中能判断的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、根据，可以得到，故选项错误；
B、根据，可以得到，故选项正确；
C、根据，可以得到，故选项错误；
D、根据，可以得到，故选项错误；
故选：B
【分析】根据直线平行的判定定理逐项进行判断即可求出答案.
7．（2024七下·长沙期末）如图，若数轴上点表示的数为无理数，则该无理数可能是（　　）
A．2.7 B． C． D．
【答案】D
【知识点】无理数在数轴上表示；无理数的估值
【解析】【解答】解：解：∵2.7是有理数，，，，
由图可知，点表示的数为无理数，且点表示的数在和之间，
∴点表示的无理数为，
故选：D．
【分析】估算出，，的范围，结合数轴上点的位置关系即可求出答案.
8．（2024七下·长沙期末）下面四个图形中，线段是的高的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】三角形的高
【解析】【解答】解：线段是的高的是
．
故选：C
【分析】根据三角形高的定义即可求出答案.
9．（2024七下·长沙期末）下列命题中，是真命题的是（　　）
A．9的算术平方根是
B．直角三角形的两个锐角互余
C．三角形的一个外角大于任何一个内角
D．在平面直角坐标系中，点在第四象限
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；点的坐标与象限的关系；真命题与假命题；求算术平方根；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：A、9的算术平方根是，故选项不符合题意；
B、直角三角形的两个锐角互余，是真命题，故选项符合题意；
C、三角形的一个外角大于任何不相邻的一个内角，原命题错误，是假命题，故选项不符合题意；
D、在平面直角坐标系中，点在第二象限，故选项不符合题意；
故选：B．
【分析】根据算术平方根定义，直角三角形性质，三角形外角性质，各象限内点的坐标特征逐项进行判断即可求出答案.
10．（2024七下·长沙期末）如图，已知和分别是和的中线，若的面积是8，则的面积是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】三角形的面积；三角形的中线
【解析】【解答】解：∵是的中线，，
∴，
∵是的中线，
∴，
故选：A．
【分析】根据三角形中线性质即可求出答案.
11．（2024七下·长沙期末）如图，已知，，则的度数是　 　．
【答案】
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为．
【分析】根据对顶角相等可得，再根据直线平行性质即可求出答案.
12．（2024七下·长沙期末）若点在y轴上，则　 　．
【答案】2
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点在y轴上，
∴，
解得，，
故答案为：2．
【分析】根据y轴上点的坐标特征建立方程，解方程即可求出答案.
13．（2024七下·长沙期末）若，为实数，且，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：
，
，
故答案为：．
【分析】根据绝对值与二次根式的非负性可得m，n值，再代入代数式即可求出答案.
14．（2024七下·长沙期末）不等式的最小整数解为　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：
去括号得：，
移项、合并同类项得：，
解得：，
∴不等式的最小整数解为，
故答案为：
【分析】先求出不等式的解集，再结合题意求出最小整数解即可求出答案.
15．（2024七下·长沙期末）将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，则图中的度数是　 　．
【答案】
【知识点】角的运算；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，
，，
，
．
故答案为：．
【分析】根据角之间的关系可得∠BCD，再根据三角形外角性质即可求出答案.
16．（2024七下·长沙期末）若关于，的方程组的解满足，则的值为　 　．
【答案】3
【知识点】解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：，
，得，
∴，
∵，
∴，
即，
故答案为：3．
【分析】将两式子相加化简可得，再代入方程，解方程即可求出答案.
17．（2024七下·长沙期末）计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；实数的绝对值；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】根据立方根，绝对值，二次根式，有理数的乘方性质化简，再计算加减即可求出答案.
18．（2024七下·长沙期末）解方程组：．
【答案】解：，
得：，
解得：，
把代入②得：，
解得：，
则方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】根据加减消元法解方程组即可求出答案.
19．（2024七下·长沙期末）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】解：，
解：解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为：，
该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，用“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小是无解”进行判断，再在数轴上表示出解集，即可求解.
20．（2024七下·长沙期末）如图，将向左、向下分别平移5个单位，得到．
（1）画出；
（2）求出的面积；
（3）若点是内一点，直接写出点P平移后对应点的坐标．
【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：由题意知，，
∴的面积为；
（3）解：由题意知，点平移后对应点的坐标为 ．
【知识点】坐标与图形性质；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）根据平移的性质作图即可.
（2）根据割补法求三角形面积即可求出答案.
（3）根据点的平移性质即可求出答案.
21．（2024七下·长沙期末）我区某学校组织开展了健康知识的培训．为了解学生们对健康知识的学习情况，学校准备采用以下调查方式中的一种进行调查：
①从七年级一班随机选取20名学生作为调查对象进行调查；
②从八年级中随机选取200名学生作为调查对象进行调查；
③从全校学生学籍档案中随机抽取200名学生作为调查对象进行调查．
按照一种比较合理的调查方式所得到的数据后，学校按成绩分成五个等级，并绘制了如下不完整的统计图．
等级 A B C D E
成绩
（1）在上述调查方式中，你认为比较合理的一个是___________（填序号）；
（2）补全频数分布直方图，并求出在学生成绩频数分布直方图中m的值为___________；
（3）在学生成绩扇形统计图中，D项所在的圆心角的度数为___________°；
（4）若成绩在80分及以上为优秀，全校共有1800名学生，估计成绩优秀的学生约有多少人？
【答案】（1）③
（2）补全频数分布直方图如下所示：
，18
（3）144
（4）解：（人），
答：估计成绩优秀的学生有人．
【知识点】抽样调查的可靠性；扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由题意可知，从全校学生学籍档案中随机抽取200名学生作为调查对象进行调查，比较合适．
故答案为：③．
（2）解：（人），
（人），
故答案为：人．
（3）解：，
故答案为：．
【分析】（1）根据抽样调查的意义进行判断即可求出答案.
（2）根据B等级的人数与所占比求出总人数，根据总人数减去其他等级的人数即可求出m值.
（3）根据360°×乘以其占比即可求出答案.
（4）根据1800乘以优秀人数的占比即可求出答案.
22．（2024七下·长沙期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E，点F为AC延长线上的一点，连接DF．
（1）求∠CBE的度数；
（2）若∠F＝25°，求证：．
【答案】（1）解：∵∠ACB＝90°，∠A＝40°，
∴∠CBD=∠A+∠ACB=130°，
∵BE平分∠CBD，
∴；
（2）证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠BCE=90°，
∵∠CBE=65°，
∴∠BEC=90°－65°=25°，
∵∠F＝25°，
∴∠F=∠BEC，
∴．
【知识点】平行线的判定；三角形的外角性质；角平分线的概念；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）根据三角形外角性质可得∠CBD，再根据角平分线定义即可求出答案.
（2）根据直角三角形两锐角互余可得∠BEC，再根据直线平行判定定理即可求出答案.
23．（2024七下·长沙期末）下面是某数学兴趣小组探究用方程解决实际问题的讨论片段，请仔细阅读，并解决相应的问题．如图是练习册上的一道例题，墨水覆盖了条件的一部分．
排球是体育中考的一个重要项目，某中学为此专门开设了“排球大课间活动”，学校现决定购买种品牌的排球25个，种品牌的排球50个，共花费4500元，已知，求、两种品牌排球的单价．
[情境引入]
小明通过查看例题的解析发现：“设种品牌排球的单价为元，则列出一元一次方程： ”．
（1）根据题意，例题中被覆盖的条件是___________（填序号）．
①种品牌排球的单价比种品牌排球的单价低30元；
②种品牌排球的单价比种品牌排球的单价高30元．
[迁移类比]
（2）小军看了解析后，认为用二元一次方程组求解也非常方便，请你列出方程组并求、两种品牌排球的单价．
[拓展探究]
（3）老师在例题的条件下，增设了一个问题：根据需要，学校决定再次购进、两种品牌的排球共50个，总费用不超过3250元，且购买种品牌的排球不少于23个，学校共有哪几种购买方案？
【答案】（1）②
（2）解：根据题意得
解得
答：种品牌排球的单价为80元．种品牌排球的单价为50元；
（3）解：设购买种品牌的排球个，则购买种品牌的排球个，
依题意得：
解得：，
又为正整数，
可以为23，24，25，
共有3种购买方案，
方案1：购买种品牌的排球23个，种品牌的排球27个；
方案2：购买种品牌的排球24个，种品牌的排球26个；
方案3：购买种品牌的排球25个，种品牌的排球25个．
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【解答】解：（1）根据方程可知，表示的是品牌足球的单价，
∵种品牌足球的单价比种品牌足球的单价高元，
∴例题中被覆盖的条件是②，
故答案为：②；
【分析】（1）根据题意即可求出答案.
（2）设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元，根据“购买A种品牌的足球个，B种品牌的足球个，共花费元；A种品牌足球的单价比B种品牌足球的单价高元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可求出答案.
（3）设购买种品牌的排球个，则购买种品牌的排球个，根据“购买、两种品牌足球的总费用不超过元，且购买种品牌的足球不少于个”，即可得出关于的一元一次不等式组，解不等式组即可求出答案.
24．（2024七下·长沙期末）定义一种新运算“”：当时，；当时，．
（1）计算：__________；___________．
（2）解方程组：．
（3）当整数，满足和时，有序数对恰好有对，求的值．
【答案】（1）；
（2）①当时，原方程组化为：，
解得：满足，符合题意．
②当时，原方程组化为：，
解得：，不满足时，舍去．
综上所述：原方程组的解为．
（3）解：①当时，由可得：，
又由知：，
，
解得：有无数整数解，不符合题意．
②当时，由可得：，
又由知：，
，
解得：，
整数对有对，
有个整数值，为，，，
，解得，
，都是整数，且，
也是整数，
．
故当时，符合题意；
但当时，若，则由①可知：，
得，且，整数对
有无数对，故不符合题意．
综上所述：满足题意的不存在．
【知识点】解二元一次方程组；解一元一次不等式
【解析】【解答】（1）解：∵，当时，，
∴，
∵，当时，，
∴，
故答案为，．
【分析】（1）根据新定义运算将式子化为加减运算，即可求出答案.
（2）分和两种情况，再根据新定义运算将式子化为普通的二元一次方程组，解方程组即可求出答案.
（3）分和两种情况，再根据新定义运算和可分别得到二元一次方程不等式组，解方程组即可求出答案.
25．（2024七下·长沙期末）如图，在四边形中，和相交于点．
（1）如图，若，平分，，求的度数；
（2）如图，若，平分，平分，求证：；
（3）如图，若平分，平分，和分别是和外角平分线，试探究，，之间的数量关系．
【答案】（1）解：，
，
又，
，
平分，
，

（2）解：平分，平分，
，，
设，，
，
，
．
过点作，则，
，
，
，
，
．
（3）解：平分，平分，和分别是和外角平分线，
，，，，
设，，
，，
则①，
，
，
②，
③，
由①②+③得：．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据直线平行性质可得，再根据角平分线定义即可求出答案.
（2）根据角平分线定义可得，，设，，根据直线平行性质可得，过点作，则，根据直线平行性质可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
（3）根据角平分线定义可得，，，，设，，，，再根据角之间的关系即可求出答案.
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