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湖南省长沙市师大附中梅溪湖中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
一、选择题（共10小题，每题3分）
1．（2024八下·长沙期末）下列选项中，是的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：对于选项A，给定一个的值，都只有唯一的与之对应，故能表示是的函数．
对于选项B、C、D，给定的的值，会出现多个的值与之对应，故不能表示是的函数．
故选A．
【分析】根据函数的定义逐项进行判断即可求出答案.
2．（2024八下·长沙期末）一次函数的图象不经过的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵，k=-1，b=-2，∴该函数的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限，
故选：A．
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系即可求出答案.
3．（2024八下·长沙期末）已知直线与两坐标轴的交点分别为、，则的周长为 (　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：当时，，
当时，，，
则的周长为．
故答案为：A．
【分析】先利用一次函数解析式求出与坐标的交点坐标，再利用勾股定理求出AB的长，最后利用三角形的周长公式求解即可.
4．（2024八下·长沙期末）如图，一次函数的图象与轴交于点，则不等式的解为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：一次函数的图象与轴交于点，
，
令中，则，
解得：，
的图象交轴于点．
观察函数图象，发现：
当时，一次函数图象在轴上方，
不等式的解集为．
故答案为：A．
【分析】结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可.
5．（2024八下·长沙期末）如图，在菱形中，连接、，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】菱形的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：设、相交于点O，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【分析】设、相交于点O，根据菱形性质可得，再根据直角三角形两锐角互余即可求出答案.
6．（2024八下·长沙期末）如图，四边形是菱形，，，于点，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：四边形是菱形，
，，，
，
，
，
故答案为：C
【分析】根据菱形的性质得出、的长，再根据勾股定理可得BC=5，再根据菱形面积即可求出答案.
7．（2024八下·长沙期末）菱形具有而矩形不具有的性质是（　　）
A．两组对边分别平行 B．对角线互相垂直
C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等
【答案】B
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：A、两组对边分别平行是平行四边形的基本性质，两者都具有，故A不符合题意；
B、菱形的对角线互相垂直，而矩形的对角线不一定互相垂直；故B符合题意；
C、对角线互相平分是平行四边形的基本性质，两者都具有，故C不符合题意；
D、两组对角分别相等是平行四边形的基本性质，两者都具有，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】菱形与矩形都是平行四边i形，故平行四边形的性质二者都具有，菱形的对角线互相垂直 ，矩形的对角线相等，逐项进行判断，即可求解.
8．（2024八下·长沙期末）某校规定学生的学期数学总成绩满分为100，其中平时的成绩占，期中成绩占，期末成绩占．如果小明三项成绩(百分制）依次为92，90，96．那么小明的学期数学总成绩是（　　）
A．92 B．92.7 C．93 D．96
【答案】C
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：，
故选：C．
【分析】根据加权平均数的计算即可求出答案.
9．（2024八下·长沙期末）某班在开展劳动教育课程调查中发现，第一小组7名同学每周做家务的天数依次为3，7，5，6，5，4，5（单位：天），则这组数据的众数和中位数分别为（　　）
A．5和5 B．5和4 C．4和5 D．5和6
【答案】A
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：将数据重新排列为3，4，5，5，5，6，7，
所以这组数据的众数为5，中位数5，
故选：A．
【分析】根据众数，中位数的定义即可求出答案.
10．（2024八下·长沙期末）已知抛物线的图象．如图所示，则下列结论中，正确的有（　　）
①；②； ③；④；⑤．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】点的坐标；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：观察图象得：抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴位于x轴负半轴，与x轴有2个交点，
∴，，
∴，，故②正确；
∴，故①错误；
当时，，故③正确；
∵，
∴，即，故④正确；
当时，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，故⑤正确；
故选：D．
【分析】根据二次函数图象，性质与系数的关系逐项进行判断即可求出答案.
二、填空题（共6小题,每题3分）
11．（2024八下·长沙期末）若关于x的方程的一个根是，则m的值为　 　．
【答案】15
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵关于x的方程的一个根是，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】将x=3代入方程可得关于m的方程，再解方程即可求出答案.
12．（2024八下·长沙期末）函数的最小值是　 　.
【答案】-2
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：
=
=-2
∴顶点坐标为（-2，2），且开口向上；
∴函数的最小值是-2.
故答案为-2.
【分析】根据二次函数的性质即可求出答案.
13．（2024八下·长沙期末）如图，平地上A、B两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到和的中点D、E，测量得米，则A、B两点间的距离为　 　米．
【答案】24
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、E分别是、中点，
∴是的中位线，
∴，
∵米，
∴米，
∴A、B两点间的距离为24米．
故答案为：24．
【分析】根据三角形中位线定理即可求出答案.
14．（2024八下·长沙期末）将直线向上平移2个单位后的函数解析式是　 　．
【答案】
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：根据“上加下减”，
故直线向上平移2个单位后的函数解析式是，
故答案为：．
【分析】根据函数图象的平移规律：上加下减，左加右减即可求出答案.
15．（2024八下·长沙期末）若点，都在一次函数图象上，则与的大小关系是　 　．
【答案】
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵一次函数，
∴y随x增大而减小，
∵
∴，
故答案为：，
【分析】根据一次函数的性质得到：y随x增大而减小，进而即可求解.
16．（2024八下·长沙期末）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都是9.2环，方差分别为s甲2=0.56，s乙2=0.60，s丙2=0.50，s丁2=0.45，则成绩最稳定的是　 　．
【答案】丁
【知识点】方差
【解析】【解答】解：因为s甲2=0.56，s乙2=0.60，s丙2=0.50，s丁2=0.45
所以s丁2＜s丙2＜s甲2＜s乙2，由此可得成绩最稳定的为丁．
故填丁．
【分析】方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
三、解答题(共7小题,其中17,18,19题6分,20,21题8分,22,23题9分,24,25题10分)
17．（2024八下·长沙期末）（1）解不等式：；
（2）解方程： ．
【答案】（1）解：，
，
；
（2）解：
．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；解一元一次不等式
【解析】【分析】（1）去分母，移项，合并同类项，再将系数化为1即可求出答案.
（2）根据十字相乘法进行因式分解，再解方程即可求出答案.
18．（2024八下·长沙期末）跳绳是某校体育活动的特色项目．体育组为了了解七年级学生1分钟跳绳次数情况，随机抽取20名七年级学生进行1分钟跳绳测试（单位：次），数据如下：
110，112，136，137，140，142，142，151，164，168，172，174，175，175，175，175，180，186，188，198
对这组数据进行整理和分析，结果如下：
平均数 众数 中位数
160 a
请根据以上信息解答下列问题：
（1）填空：__________，__________；
（2）学校规定1分钟跳绳175次及以上为优秀，请你估计七年级360名学生中，约有多少名学生能达到优秀
【答案】（1），；
（2）解：抽取20名七年级学生进行1分钟跳绳测试成绩中，优秀的人数有8人，占比为，
七年级360名学生中，能达到优秀的约有（名）．
答：七年级360名学生中，约有144名学生能达到优秀．
【知识点】中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解： 在这组数据110，112，136，137，140，142，142，151，164，168，172，174，175，175，175，175，180，186，188，198中，出现次数最多的是175，
众数，
这组数据由小到大排列为：110，112，136，137，140，142，142，151，164，168，172，174，175，175，175，175，180，186，188，198，一共20个数据，中位数为第10和11个数据的平均数，
．
【分析】（1）根据众数和中位数的概念求解即可；
（2）先求出样本中优秀人数的占比，然后乘以七年级总学生数，即可估计有多少名学生能达到优秀；
（1）解： 在这组数据110，112，136，137，140，142，142，151，164，168，172，174，175，175，175，175，180，186，188，198中，出现次数最多的是175，
众数，
这组数据由小到大排列为：110，112，136，137，140，142，142，151，164，168，172，174，175，175，175，175，180，186，188，198，一共20个数据，中位数为第10和11个数据的平均数，
．
（2）解：抽取20名七年级学生进行1分钟跳绳测试成绩中，优秀的人数有8人，占比为，
七年级360名学生中，能达到优秀的约有（名）．
答：七年级360名学生中，约有144名学生能达到优秀．
19．（2024八下·长沙期末）已知关于的二次函数的图象过点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求当时，的最大值与最小值．
【答案】（1）解：将代入
，解得
；
（2）解：对称轴，
时，
，
，故时，随的增大而减小，时，随的增大而增大，
当时，
．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点代入解析式即可求出答案.
（2）根据二次函数的性质即可求出答案.
（1）解：将代入
，解得
；
（2）解：对称轴，
时，
，
，故时，随的增大而减小，时，随的增大而增大，
当时，
．
20．（2024八下·长沙期末）如图，在平行四边形中，过点D作于点E，，连接
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若平分，，，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
又∵，
∴ AB-AE=CD-CF，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形．
（2）解：由（1）得：，
∴∠DFA=∠FAB，
∵平分，
∴∠FAB=∠DAF，
∴∠DFA=∠DAF，
∴AD=DF，
∵，
∴，
∵，
∴在Rt△ADE中，由勾股定理得：
，
∴矩形的面积是：．
答： 四边形的面积为20.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，则，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，结合，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”即可求解；
（2）根据角平分线的定义和平行线的性质可得，由等角对等边可得，在Rt△ADE中，根据勾股定理可求得DE的值，然后根据矩形的面积等于底×高计算即可求解．
21．（2024八下·长沙期末）已知关于的一元二次方程．
（1）若方程有实数根，求实数的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为，，且满足，求实数的值．
【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
∴，
∴实数m的取值范围为：；
（2）解：∵关于x的一元二次方程两实数根分别为，，
∴，，
∵，且，
∴，
解得：，，
由（1）得，
∴实数m的值为2.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）由一元二次方程根的判别式：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程没有实数根，即可得关于m的不等式，解不等式求出m的取值范围；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系、，得，，然后利用完全平方公式得关于m的方程，解方程求出m的值，最后m最后的值要在（1）中的取值范围内.
22．（2024八下·长沙期末）如图直线：经过点，．
（1）求直线的表达式；
（2）若直线与直线相交于点M，求点M的坐标；
（3）根据图象，直接写出关于x的不等式的解集．
【答案】（1）解：将点，代入得：，
解得：，
∴直线的表达式为；
（2）解：联立，解得，
∴点的坐标为；
（3）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】（3）解：把代入得，，解得，
观察图象，关于的不等式的解集为．
【分析】（1）根据待定系数法将点A，B坐标代入解析式即可求出答案.
（2）联立两直线解析式，解方程组即可求出答案.
（3）当直线图象在直线图象上方，且都在x轴上方时，有，结合函数图象即可求出答案.
23．（2024八下·长沙期末）某商店销售十台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和十台B型的电脑利润为3500元．
（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中，B型电脑的进货量不超过A型电脑的两倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售利润为y元，
①求y关于x的函数关系式；
②该商店购进A型，B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）解：设每台型电脑销售利润为元，每台型电脑的销售利润为元；
根据题意得，
解得：．
答：每台型电脑销售利润为100元，每台型电脑的销售利润为150元.
（2）解：①根据题意得，，
即；
②根据题意得，，
解得，
，
随的增大而减小，
为正整数，
当时，取最大值，则，
此时最大利润是．
即商店购进34台型电脑和66台型电脑的销售利润最大，最大利润是13300元．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每台型电脑销售利润为元，每台型电脑的销售利润为元，根据“ 销售十台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和十台B型的电脑利润为3500元 ”列方程，再求解即可；
（2）①利用“总利润=每件利润×数量”列出函数解析式即可；
②先求出x的取值范围，再利用一次函数的性质分析求解即可.
24．（2024八下·长沙期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点两点，点是直线上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点、交轴于点．设点的横坐标为t；
（1）分别求直线和这条抛物线的解析式；
（2）若点在第四象限，若，求此时点的坐标；
（3）点是平面直角坐标系中的一点，当点在第四象限时，是否存在这样的点，使得以A、C、B、为顶点组成的以为边的矩形 若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：设，
将代入，
，
解得，
故，
，
将代入，
，
解得，
；
（2）解：设，
则，
，整理得，，
，，
，
∴；
（3）解：，
，
，
①当时．
，
，
.
，
.
或（舍），
(没在第四象限，舍去)，
②时．
，
，
，
，
而，
，
，
，
时，
，
，
，
而，
，
矩形时，，
综合得．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）设，根据待定系数法将点A，B坐标代入解析式可得，再代入抛物线解析式即可求出答案.
（2）设，，则，根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案.
（3）根据两点间距离可得，，，分情况讨论：①当时．②时，时，建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：设，
将代入，
，
解得，
故，
，
将代入，
，
解得，
；
（2）解：设，
则，
，整理得，，
，，
，
∴；
（3）解：，
，
，
①当时．
，
，
.
，
.
或（舍），
(没在第四象限，舍去)，
②时．
，
，
，
，
而，
，
，
，
时，
，
，
，
而，
，
矩形时，，
综合得．
25．（2024八下·长沙期末）如图，在直角坐标系中，点的坐标为，连结，将线段绕原点顺时针旋转，得到线段．
（1）求点的坐标；
（2）求经过三点的抛物线的解析式；
（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点，使周长最小 若存在，求点出的坐标和的周长；若不存在，请说明理由；
（4）如果点是（2）中的抛物线上的动点，那么是否存在点使得的面积为：；若有，求出此时点的横坐标；若没有，请说明理由．
【答案】（1）解：过点作轴的垂线，垂足为，如图：
∵将线段绕原点顺时针旋转，得到线段，点的坐标为
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：所求抛物线的解析式为，
将，，代入上式，
可得
解得，，，
即抛物线：．
（3）解：如图，连接交对称轴于点，点即为所求，
设直线的解析式为：，
将，代入上式，
可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵，为抛线与轴的交点
∴为抛物线的对称轴，
∴当时，，
即，
∵，
∴
则．
（4）解：过点作轴的平行线，交直线于点设点，
设，则点坐标为，
则，
，
则，
①当点在下方时，即时，
，
即，
则，无解，
②当在上方时，即或时，
，
即，
，即，
∴的横坐标为或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；旋转的性质；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）过点作轴的垂线，垂足为，根据旋转性质可得，，根据补角可得，根据直角三角形两锐角互余可得，再根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据勾股定理即可求出答案.
（2）设抛物线的解析式为，根据待定系数法将点A，B，O坐标代入解析式即可求出答案.
（3）连接交对称轴于点，设直线的解析式为：，根据待定系数法将点A，B坐标代入解析式可得直线的解析式为，根据二次函数对称性可得为抛物线的对称轴，代入解析式可得，根据边之间的关系可得AG，再根据勾股定理可得AB，再根据三角形周长即可求出答案.
（4）过点作轴的平行线，交直线于点设点，设，则点坐标为，根据三角形面积可得PD，分情况讨论：①当点在下方时，即时，②当在上方时，即或时，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：过点作轴的垂线，垂足为，如图：
∵将线段绕原点顺时针旋转，得到线段，点的坐标为
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：所求抛物线的解析式为，
将，，代入上式，
可得
解得，，，
即抛物线：．
（3）解：如图，连接交对称轴于点，点即为所求，
设直线的解析式为：，
将，代入上式，
可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵，为抛线与轴的交点
∴为抛物线的对称轴，
∴当时，，
即，
∵，
∴
则．
（4）解：过点作轴的平行线，交直线于点设点，
设，则点坐标为，
则，
，
则，
①当点在下方时，即时，
，
即，
则，无解，
②当在上方时，即或时，
，
即，
，即，
∴的横坐标为或．
1 / 1湖南省长沙市师大附中梅溪湖中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
一、选择题（共10小题，每题3分）
1．（2024八下·长沙期末）下列选项中，是的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024八下·长沙期末）一次函数的图象不经过的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2024八下·长沙期末）已知直线与两坐标轴的交点分别为、，则的周长为 (　　)
A． B． C． D．
4．（2024八下·长沙期末）如图，一次函数的图象与轴交于点，则不等式的解为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024八下·长沙期末）如图，在菱形中，连接、，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．（2024八下·长沙期末）如图，四边形是菱形，，，于点，则的长为（　　）
A． B． C． D．
7．（2024八下·长沙期末）菱形具有而矩形不具有的性质是（　　）
A．两组对边分别平行 B．对角线互相垂直
C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等
8．（2024八下·长沙期末）某校规定学生的学期数学总成绩满分为100，其中平时的成绩占，期中成绩占，期末成绩占．如果小明三项成绩(百分制）依次为92，90，96．那么小明的学期数学总成绩是（　　）
A．92 B．92.7 C．93 D．96
9．（2024八下·长沙期末）某班在开展劳动教育课程调查中发现，第一小组7名同学每周做家务的天数依次为3，7，5，6，5，4，5（单位：天），则这组数据的众数和中位数分别为（　　）
A．5和5 B．5和4 C．4和5 D．5和6
10．（2024八下·长沙期末）已知抛物线的图象．如图所示，则下列结论中，正确的有（　　）
①；②； ③；④；⑤．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（共6小题,每题3分）
11．（2024八下·长沙期末）若关于x的方程的一个根是，则m的值为　 　．
12．（2024八下·长沙期末）函数的最小值是　 　.
13．（2024八下·长沙期末）如图，平地上A、B两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到和的中点D、E，测量得米，则A、B两点间的距离为　 　米．
14．（2024八下·长沙期末）将直线向上平移2个单位后的函数解析式是　 　．
15．（2024八下·长沙期末）若点，都在一次函数图象上，则与的大小关系是　 　．
16．（2024八下·长沙期末）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都是9.2环，方差分别为s甲2=0.56，s乙2=0.60，s丙2=0.50，s丁2=0.45，则成绩最稳定的是　 　．
三、解答题(共7小题,其中17,18,19题6分,20,21题8分,22,23题9分,24,25题10分)
17．（2024八下·长沙期末）（1）解不等式：；
（2）解方程： ．
18．（2024八下·长沙期末）跳绳是某校体育活动的特色项目．体育组为了了解七年级学生1分钟跳绳次数情况，随机抽取20名七年级学生进行1分钟跳绳测试（单位：次），数据如下：
110，112，136，137，140，142，142，151，164，168，172，174，175，175，175，175，180，186，188，198
对这组数据进行整理和分析，结果如下：
平均数 众数 中位数
160 a
请根据以上信息解答下列问题：
（1）填空：__________，__________；
（2）学校规定1分钟跳绳175次及以上为优秀，请你估计七年级360名学生中，约有多少名学生能达到优秀
19．（2024八下·长沙期末）已知关于的二次函数的图象过点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求当时，的最大值与最小值．
20．（2024八下·长沙期末）如图，在平行四边形中，过点D作于点E，，连接
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若平分，，，求四边形的面积．
21．（2024八下·长沙期末）已知关于的一元二次方程．
（1）若方程有实数根，求实数的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为，，且满足，求实数的值．
22．（2024八下·长沙期末）如图直线：经过点，．
（1）求直线的表达式；
（2）若直线与直线相交于点M，求点M的坐标；
（3）根据图象，直接写出关于x的不等式的解集．
23．（2024八下·长沙期末）某商店销售十台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和十台B型的电脑利润为3500元．
（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中，B型电脑的进货量不超过A型电脑的两倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售利润为y元，
①求y关于x的函数关系式；
②该商店购进A型，B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？
24．（2024八下·长沙期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点两点，点是直线上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点、交轴于点．设点的横坐标为t；
（1）分别求直线和这条抛物线的解析式；
（2）若点在第四象限，若，求此时点的坐标；
（3）点是平面直角坐标系中的一点，当点在第四象限时，是否存在这样的点，使得以A、C、B、为顶点组成的以为边的矩形 若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（2024八下·长沙期末）如图，在直角坐标系中，点的坐标为，连结，将线段绕原点顺时针旋转，得到线段．
（1）求点的坐标；
（2）求经过三点的抛物线的解析式；
（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点，使周长最小 若存在，求点出的坐标和的周长；若不存在，请说明理由；
（4）如果点是（2）中的抛物线上的动点，那么是否存在点使得的面积为：；若有，求出此时点的横坐标；若没有，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：对于选项A，给定一个的值，都只有唯一的与之对应，故能表示是的函数．
对于选项B、C、D，给定的的值，会出现多个的值与之对应，故不能表示是的函数．
故选A．
【分析】根据函数的定义逐项进行判断即可求出答案.
2．【答案】A
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵，k=-1，b=-2，∴该函数的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限，
故选：A．
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系即可求出答案.
3．【答案】A
【知识点】勾股定理；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：当时，，
当时，，，
则的周长为．
故答案为：A．
【分析】先利用一次函数解析式求出与坐标的交点坐标，再利用勾股定理求出AB的长，最后利用三角形的周长公式求解即可.
4．【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：一次函数的图象与轴交于点，
，
令中，则，
解得：，
的图象交轴于点．
观察函数图象，发现：
当时，一次函数图象在轴上方，
不等式的解集为．
故答案为：A．
【分析】结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可.
5．【答案】C
【知识点】菱形的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：设、相交于点O，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【分析】设、相交于点O，根据菱形性质可得，再根据直角三角形两锐角互余即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：四边形是菱形，
，，，
，
，
，
故答案为：C
【分析】根据菱形的性质得出、的长，再根据勾股定理可得BC=5，再根据菱形面积即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：A、两组对边分别平行是平行四边形的基本性质，两者都具有，故A不符合题意；
B、菱形的对角线互相垂直，而矩形的对角线不一定互相垂直；故B符合题意；
C、对角线互相平分是平行四边形的基本性质，两者都具有，故C不符合题意；
D、两组对角分别相等是平行四边形的基本性质，两者都具有，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】菱形与矩形都是平行四边i形，故平行四边形的性质二者都具有，菱形的对角线互相垂直 ，矩形的对角线相等，逐项进行判断，即可求解.
8．【答案】C
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：，
故选：C．
【分析】根据加权平均数的计算即可求出答案.
9．【答案】A
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：将数据重新排列为3，4，5，5，5，6，7，
所以这组数据的众数为5，中位数5，
故选：A．
【分析】根据众数，中位数的定义即可求出答案.
10．【答案】D
【知识点】点的坐标；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：观察图象得：抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴位于x轴负半轴，与x轴有2个交点，
∴，，
∴，，故②正确；
∴，故①错误；
当时，，故③正确；
∵，
∴，即，故④正确；
当时，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，故⑤正确；
故选：D．
【分析】根据二次函数图象，性质与系数的关系逐项进行判断即可求出答案.
11．【答案】15
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵关于x的方程的一个根是，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】将x=3代入方程可得关于m的方程，再解方程即可求出答案.
12．【答案】-2
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：
=
=-2
∴顶点坐标为（-2，2），且开口向上；
∴函数的最小值是-2.
故答案为-2.
【分析】根据二次函数的性质即可求出答案.
13．【答案】24
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、E分别是、中点，
∴是的中位线，
∴，
∵米，
∴米，
∴A、B两点间的距离为24米．
故答案为：24．
【分析】根据三角形中位线定理即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：根据“上加下减”，
故直线向上平移2个单位后的函数解析式是，
故答案为：．
【分析】根据函数图象的平移规律：上加下减，左加右减即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵一次函数，
∴y随x增大而减小，
∵
∴，
故答案为：，
【分析】根据一次函数的性质得到：y随x增大而减小，进而即可求解.
16．【答案】丁
【知识点】方差
【解析】【解答】解：因为s甲2=0.56，s乙2=0.60，s丙2=0.50，s丁2=0.45
所以s丁2＜s丙2＜s甲2＜s乙2，由此可得成绩最稳定的为丁．
故填丁．
【分析】方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
17．【答案】（1）解：，
，
；
（2）解：
．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；解一元一次不等式
【解析】【分析】（1）去分母，移项，合并同类项，再将系数化为1即可求出答案.
（2）根据十字相乘法进行因式分解，再解方程即可求出答案.
18．【答案】（1），；
（2）解：抽取20名七年级学生进行1分钟跳绳测试成绩中，优秀的人数有8人，占比为，
七年级360名学生中，能达到优秀的约有（名）．
答：七年级360名学生中，约有144名学生能达到优秀．
【知识点】中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解： 在这组数据110，112，136，137，140，142，142，151，164，168，172，174，175，175，175，175，180，186，188，198中，出现次数最多的是175，
众数，
这组数据由小到大排列为：110，112，136，137，140，142，142，151，164，168，172，174，175，175，175，175，180，186，188，198，一共20个数据，中位数为第10和11个数据的平均数，
．
【分析】（1）根据众数和中位数的概念求解即可；
（2）先求出样本中优秀人数的占比，然后乘以七年级总学生数，即可估计有多少名学生能达到优秀；
（1）解： 在这组数据110，112，136，137，140，142，142，151，164，168，172，174，175，175，175，175，180，186，188，198中，出现次数最多的是175，
众数，
这组数据由小到大排列为：110，112，136，137，140，142，142，151，164，168，172，174，175，175，175，175，180，186，188，198，一共20个数据，中位数为第10和11个数据的平均数，
．
（2）解：抽取20名七年级学生进行1分钟跳绳测试成绩中，优秀的人数有8人，占比为，
七年级360名学生中，能达到优秀的约有（名）．
答：七年级360名学生中，约有144名学生能达到优秀．
19．【答案】（1）解：将代入
，解得
；
（2）解：对称轴，
时，
，
，故时，随的增大而减小，时，随的增大而增大，
当时，
．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点代入解析式即可求出答案.
（2）根据二次函数的性质即可求出答案.
（1）解：将代入
，解得
；
（2）解：对称轴，
时，
，
，故时，随的增大而减小，时，随的增大而增大，
当时，
．
20．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
又∵，
∴ AB-AE=CD-CF，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形．
（2）解：由（1）得：，
∴∠DFA=∠FAB，
∵平分，
∴∠FAB=∠DAF，
∴∠DFA=∠DAF，
∴AD=DF，
∵，
∴，
∵，
∴在Rt△ADE中，由勾股定理得：
，
∴矩形的面积是：．
答： 四边形的面积为20.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，则，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，结合，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”即可求解；
（2）根据角平分线的定义和平行线的性质可得，由等角对等边可得，在Rt△ADE中，根据勾股定理可求得DE的值，然后根据矩形的面积等于底×高计算即可求解．
21．【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
∴，
∴实数m的取值范围为：；
（2）解：∵关于x的一元二次方程两实数根分别为，，
∴，，
∵，且，
∴，
解得：，，
由（1）得，
∴实数m的值为2.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）由一元二次方程根的判别式：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程没有实数根，即可得关于m的不等式，解不等式求出m的取值范围；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系、，得，，然后利用完全平方公式得关于m的方程，解方程求出m的值，最后m最后的值要在（1）中的取值范围内.
22．【答案】（1）解：将点，代入得：，
解得：，
∴直线的表达式为；
（2）解：联立，解得，
∴点的坐标为；
（3）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】（3）解：把代入得，，解得，
观察图象，关于的不等式的解集为．
【分析】（1）根据待定系数法将点A，B坐标代入解析式即可求出答案.
（2）联立两直线解析式，解方程组即可求出答案.
（3）当直线图象在直线图象上方，且都在x轴上方时，有，结合函数图象即可求出答案.
23．【答案】（1）解：设每台型电脑销售利润为元，每台型电脑的销售利润为元；
根据题意得，
解得：．
答：每台型电脑销售利润为100元，每台型电脑的销售利润为150元.
（2）解：①根据题意得，，
即；
②根据题意得，，
解得，
，
随的增大而减小，
为正整数，
当时，取最大值，则，
此时最大利润是．
即商店购进34台型电脑和66台型电脑的销售利润最大，最大利润是13300元．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每台型电脑销售利润为元，每台型电脑的销售利润为元，根据“ 销售十台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和十台B型的电脑利润为3500元 ”列方程，再求解即可；
（2）①利用“总利润=每件利润×数量”列出函数解析式即可；
②先求出x的取值范围，再利用一次函数的性质分析求解即可.
24．【答案】（1）解：设，
将代入，
，
解得，
故，
，
将代入，
，
解得，
；
（2）解：设，
则，
，整理得，，
，，
，
∴；
（3）解：，
，
，
①当时．
，
，
.
，
.
或（舍），
(没在第四象限，舍去)，
②时．
，
，
，
，
而，
，
，
，
时，
，
，
，
而，
，
矩形时，，
综合得．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）设，根据待定系数法将点A，B坐标代入解析式可得，再代入抛物线解析式即可求出答案.
（2）设，，则，根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案.
（3）根据两点间距离可得，，，分情况讨论：①当时．②时，时，建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：设，
将代入，
，
解得，
故，
，
将代入，
，
解得，
；
（2）解：设，
则，
，整理得，，
，，
，
∴；
（3）解：，
，
，
①当时．
，
，
.
，
.
或（舍），
(没在第四象限，舍去)，
②时．
，
，
，
，
而，
，
，
，
时，
，
，
，
而，
，
矩形时，，
综合得．
25．【答案】（1）解：过点作轴的垂线，垂足为，如图：
∵将线段绕原点顺时针旋转，得到线段，点的坐标为
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：所求抛物线的解析式为，
将，，代入上式，
可得
解得，，，
即抛物线：．
（3）解：如图，连接交对称轴于点，点即为所求，
设直线的解析式为：，
将，代入上式，
可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵，为抛线与轴的交点
∴为抛物线的对称轴，
∴当时，，
即，
∵，
∴
则．
（4）解：过点作轴的平行线，交直线于点设点，
设，则点坐标为，
则，
，
则，
①当点在下方时，即时，
，
即，
则，无解，
②当在上方时，即或时，
，
即，
，即，
∴的横坐标为或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；旋转的性质；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）过点作轴的垂线，垂足为，根据旋转性质可得，，根据补角可得，根据直角三角形两锐角互余可得，再根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据勾股定理即可求出答案.
（2）设抛物线的解析式为，根据待定系数法将点A，B，O坐标代入解析式即可求出答案.
（3）连接交对称轴于点，设直线的解析式为：，根据待定系数法将点A，B坐标代入解析式可得直线的解析式为，根据二次函数对称性可得为抛物线的对称轴，代入解析式可得，根据边之间的关系可得AG，再根据勾股定理可得AB，再根据三角形周长即可求出答案.
（4）过点作轴的平行线，交直线于点设点，设，则点坐标为，根据三角形面积可得PD，分情况讨论：①当点在下方时，即时，②当在上方时，即或时，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：过点作轴的垂线，垂足为，如图：
∵将线段绕原点顺时针旋转，得到线段，点的坐标为
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：所求抛物线的解析式为，
将，，代入上式，
可得
解得，，，
即抛物线：．
（3）解：如图，连接交对称轴于点，点即为所求，
设直线的解析式为：，
将，代入上式，
可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵，为抛线与轴的交点
∴为抛物线的对称轴，
∴当时，，
即，
∵，
∴
则．
（4）解：过点作轴的平行线，交直线于点设点，
设，则点坐标为，
则，
，
则，
①当点在下方时，即时，
，
即，
则，无解，
②当在上方时，即或时，
，
即，
，即，
∴的横坐标为或．
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