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2024年广西柳州市第十三中学九年级中考四模数学试题
1．（2024九下·柳州模拟）下列各数中，最小的数是（　　）
A． B． C．0 D．1
2．（2024九下·柳州模拟）对称常被用在建筑、器物、徽标等作品的设计中． 下列四个图形分别是中国卫生、中国卫生应急、社区卫生、中国红十字的标志图案，属于是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024九下·柳州模拟）如图，若数轴上点表示的数为无理数，则该无理数可能是（　　）
A．2.7 B． C． D．
4．（2024九下·柳州模拟）已知点的坐标为，则点关于轴对称的点的坐标为
A． B． C． D．
5．（2024九下·柳州模拟）笔、墨、纸、砚是中国传统的文房四宝．如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，其俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2024九下·柳州模拟）折射现象指的是当光线从空气射入水中时，光线的传播方向会发生改变．如图，表示水面，它与底面平行，光线从空气射入水里时发生折射，变成光线射到水底C处，射线是光线的延长线．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．（2024九下·柳州模拟）将抛物线向左平移3个单位长度得到抛物线（　　）
A． B． C． D．
8．（2024九下·柳州模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
9．（2024九下·柳州模拟）在古代数学名著《九章算术》中记载了利用算筹实施“正负术”的方法．图1 表示的是计算的过程．按照这种方法，图2表示的过程应是在计算（　　）
A． B． C． D．
10．（2024九下·柳州模拟）在一个不透明的口袋中，装有红色、黑色、白色的小球共个，除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后，摸到红色、黑色小球的频率分别稳定在和，则口袋中白球的个数可能是（　　）
A．8 B．16 C．24 D．32
11．（2024九下·柳州模拟）对于三个实数a，b，c，用表示这两个数的平方差，用表示这三个数中最大的数，例如：，．若．则负整数a的值是（　　）
A． B． C． D．0
12．（2024九下·柳州模拟）我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋形”，如图，点A，B，C，D 分别是“蛋形”与坐标轴的交点，已知点 D 的坐标为，为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为，半圆半径为4．如果一条直线与“蛋形”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋形”的切线，则经过点 D 的“蛋形”切线的解析式为（　　）
A． B． C． D．
13．（2024九下·柳州模拟）若，则的补角为　 　．
14．（2024九下·柳州模拟）二次根式 有意义，则x的取值范围是　 　．
15．（2024九下·柳州模拟）将数四舍五入取近似值，精确到个位为　 　．
16．（2024九下·柳州模拟）如图是两个形状相同的飞机图案，则的值是　 　．
17．（2024九下·柳州模拟）如图，已知线段，分别以点A，B为圆心，以5cm为半径画弧，两弧相交于点C，D，连接，，，，则四边形的面积为　 　．
18．（2024九下·柳州模拟）如图，反比例函数和一次函数交于点A，点A的纵坐标为3，则不等式的解集为　 　．
19．（2024九下·柳州模拟）计算：.
20．（2024九下·柳州模拟）先化简，再求值：，其中．
21．（2024九下·柳州模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点分别是，．
（1）请画出将绕点O顺时针旋转后得到的．
（2）在（1）的条件下，求扇形的面积（结果保留π）．
22．（2024九下·柳州模拟）某学校校园电视台招新，有20名学生报名．报名的学生需参加摄影、演讲、写作三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将演讲、写作、摄影这三项的测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩．小广、小西的三项测试成绩和总评成绩如下表：
选手 测试成绩/分 总评成绩/分
摄影 演讲 写作
小广 80 75 82 78.8
小西 85 82
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在写作测试中，七位评委给小西打出的分数如下：77，78，82，80，75，83，85，这组数据的中位数是 ，平均数是 ；
（2）请你计算小西的总评成绩；
（3）这20名学生的总评成绩频数分布直方图（每组含最小值，不含最大值）如图，学校决定根据总评成绩择优选拔12名学生进入校电视台，问小广和小西能否入选？并说明理由．
23．（2024九下·柳州模拟）某中学准备把一块四边形的空地整理出来作为学生劳动基地．如图，点C在点D的南偏东方向上，点A在点D的北偏东方向上，点B在点A的正东方向，点C在点B的正南方向．已知米，米．（参考数据：）
（1）求四边形空地边的长（精确到0.1米）；
（2）学校计划用1.5万元在空地四周建立防护栏，每米防护栏的改造费用为30元，请判断费用是否充足？
24．（2024九下·柳州模拟）“好一朵茉莉花”，广西横州生产的茉莉花茶香飘海内外．某网店销售两种不同包装的横州茉莉花茶礼盒，已知甲种礼盒的单价比乙种礼盒的单价少30元，花1480元购进甲种礼盒的数量是花890元购进乙种礼盒数量的2倍．
（1）求甲、乙两种茉莉花茶礼盒的单价；
（2）某学校茶艺社团从该网店购进甲、乙两种茉莉花茶礼盒共花了2252元，甲种礼盒比乙种礼盒多2套，则学校购进甲、乙两种茉莉花茶礼盒的数量各为多少？
25．（2024九下·柳州模拟）【动手操作】数学活动课上，老师让同学们以“矩形、正方形的折叠”为主题开展数学活动．
【折一折、猜想计算】如图1，把长为5，宽为4的矩形纸片对折，使边与边重合，展开后得到折痕．
如图2，将矩形纸片沿经过点A的直线折叠，使点D落在上的点N处，连接．
（1）①如图2，判断的形状，并说明理由；②求线段的长；
【折一折、探究证明】如图3，将矩形纸片换成边长为4的正方形纸片，沿经过点A的直线折叠，使点D落在正方形纸片内部的点N处，延长交于点G．
（2）猜想与之间的数量关系并证明；若，求的面积．
26．（2024九下·柳州模拟）【综合与实践】
【问题情境】数学课上，老师给出：某广场计划用透明钢化玻璃制作一种半球形展览装置，其截面是以为直径的半圆O，放置于地面上，装置中盛有一些彩色液体（图中阴影部分），其中液面截线，已知液面截线宽，彩色液体的最大深度为．
【数学思考】（1）求直径的长；
【拓展再探】（2）如图1，“智慧小组”突发奇想，在同一截面内，当装置（半圆O）在地面上向右缓慢摆动，始终保持半圆O与相切，使一部分液体流出．如图2，当时停止摆动，其中半圆的中点为点Q，与半圆的切点为点E，连接交于点 D．
①在摆动中圆心O到地面的距离 （填“改变”或“不变”）；
②求此时的长及操作后液面高度下降了多少；
③为保证安全，需要在点E处加装制动装置，此时点E 离点F有多远？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：，
∴最小的数是：．
故答案为：B．
【分析】直接比较大小即可求出答案.
2．【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：选项B、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故答案为：A．
【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
3．【答案】D
【知识点】无理数在数轴上表示；无理数的估值
【解析】【解答】解：解：∵2.7是有理数，，，，
由图可知，点表示的数为无理数，且点表示的数在和之间，
∴点表示的无理数为，
故选：D．
【分析】估算出，，的范围，结合数轴上点的位置关系即可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点的坐标为，
点关于轴对称的点的横坐标为3，纵坐标为，
点关于轴对称的点的坐标为．
故答案为：B．
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特征即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从上面看到的是一个正方形及正方形的一个圆，故选项C符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据几何体的三视图即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵，
∴．
∵，
∴．
故答案为：B．
【分析】根据直线平行性质可得，根据对顶角相等可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
7．【答案】A
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将抛物线向左平移3个单位长度得到抛物线是，
故答案为：A．
【分析】根据函数图象平移规则“左加右减，上加下减”即可求出答案.
8．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、因为a2.a3=a5，所以A不正确；
B、因为（3a）2=9a2，所以B不正确；
C、因为a6÷a3=a3，所以C不正确；
D、因为3a2-a2=2a2，所以D正确.
故答案为：D。
【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方以及合并同类项的法则，分别正确运算，即可得出答案。
9．【答案】B
【知识点】有理数的加法法则；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：由图1知：白色表示负数，黑色表示正数，
∴图2表示的过程是在计算．
故答案为：B．
【分析】先由图1可得白色表示负数，黑色表示正数，然后观察图2列式即可求出答案.
10．【答案】C
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：由题意知：摸到白色小球的频率为，
则口袋中白球的个数为：；
故答案为：．
【分析】由题意求出白色小球的频率即可得出答案.
11．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题意，，
又，
且，
又a是负整数，
∴.
故答案为：C．
【分析】根据新定义计算即可求出答案.
12．【答案】A
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系；待定系数法求二次函数解析式；切线的性质
【解析】【解答】解：∵为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为，半圆半径为4，
∴点A坐标为，点B坐标为，
∵抛物线过点A、B、D，
∴设抛物线的解析式为，
又∵抛物线过点D，
∴，即，
∴，
∵经过点D的“蛋圆”切线过D点，
∴设它的解析式为，
又∵抛物线与直线相切，
∴，即只有一个解，
∴，解得：，
即经过点D的“蛋圆”切线的解析式为.
故答案为：A.
【分析】由为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为，半圆半径为4，可得点A坐标为，点B坐标为，再结合点的坐标为利用待定系数法确定抛物线解析式，过点D的“蛋圆”切线过D点，所以本题可设它的解析式为，因为相切，所以它们的交点只有一个，最后根据一元二次方程根的判别式列方程计算即可．
13．【答案】
【知识点】补角
【解析】【解答】解：的补角为；
故答案为：．
【分析】根据补角即可求出答案.
14．【答案】x≥5
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得：x﹣5≥0，
解得x≥5．
故答案为：x≥5．
【分析】根据二次根式的意义，被开方数是非负数列出方程，解方程即可．
15．【答案】2025
【知识点】近似数与准确数
【解析】【解答】解：．
故答案为：2025．
【分析】将数的十分位上的数字6舍去后进一．
16．【答案】
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：由题意得两个图形相似，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据相似图象的性质即可求出答案.
17．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：连接交于点，如图，
由作法，
四边形为菱形，
，，，
在中，，
，
四边形的面积．
故答案为：．
【分析】连接交于点，由作法，根据矩形性质可得，，，再根据勾股定理可得OC，再根据菱形面积即可求出答案.
18．【答案】
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：观察图象可知，当时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方，
∴关于x的不等式的解集为：．
故答案是：．
【分析】当一次函数的图象在反比例函数图象的下方，有，结合函数图象即可求出答案.
19．【答案】解：

【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】根据有理数混合运算的运算顺序，先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号，计算求解即可．
20．【答案】解：
当时，原式
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先根据分式的混合运算进行化简，再代入求值即可求解。
21．【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：由题意可得，，，
∵，
∴．
【知识点】勾股定理；扇形面积的计算；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据旋转变换的性质分别作出A、B、C的对应点、、，再连接即可；
（2）根据旋转的性质可得，利用勾股定理求得，再利用扇形的面积公式求解即可．
（1）解：如图，即为所求；
（2）解：由题意可得，，，
∵，
∴．
22．【答案】（1）80，80
（2）解：（分）．
答：小西的总评成绩为分．
（3）解：不能判断小广能否入选，但是小西能入选．
理由如下：由20名学生的总评成绩频数分布直方图可知，大于80分的有10人，小西的分数为81.8分位于前10名，所以小西能入选，但是小广的分数是分，虽然位于后10名，但是要看其具体的排名情况，才能确定．所以不能判断小广能否入选，但是小西能入选．
【知识点】平均数及其计算；加权平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】（1）解：七位评委给小西打出的分数按从小到大排列为75，77，78，80，82，83，85，所以这组数据的中位数是80，
平均数是（分）．
故答案为：80，80
【分析】（1）根据中位数和平均数的定义进行解答即可；
（2）计算加权平均数即可；
（3）根据两人的总评成绩和中位数进行分析即可．
（1）解：七位评委给小西打出的分数按从小到大排列为75，77，78，80，82，83，85，所以这组数据的中位数是80，
平均数是（分）．
故答案为：80，80
（2）解：（分）．
答：小西的总评成绩为分．
（3）解：不能判断小广能否入选，但是小西能入选．
理由如下：由20名学生的总评成绩频数分布直方图可知，大于80分的有10人，小西的分数为81.8分位于前10名，所以小西能入选，但是小广的分数是分，虽然位于后10名，但是要看其具体的排名情况，才能确定．所以不能判断小广能否入选，但是小西能入选．
23．【答案】（1）解：延长 交 于点E，过点C作 于点 F．如图，
由题意知，四边形 是矩形，
∵米，米，，，
∴．
在中，（米），
（米），
∴米，（米）．
在中，（米）．
答：四边形空地边的长约为57.7米．
（2）解：（米），米，
米，米，米，
（米），
需要改造费用：（元）．
∵，
∴改造费用充足．
【知识点】矩形的性质；解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1）延长 交 于点E，过点C作 于点 F，根据矩形性质可得米，米，，，则，解直角三角形可得CF，BE，再根据边之间的关系可得米，（米），再根据正弦定义即可求出答案.
（2）根据正弦定义可得ED，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：延长 交 于点E，过点C作 于点 F．如图，
由题意知，四边形 是矩形，
∵米，米，，，
∴．
在中，（米），
（米），
∴米，（米）．
在中，（米）．
答：四边形空地边的长约为57.7米．
（2）（米），米，
米，米，米，
（米），
需要改造费用：（元）．
∵，
∴改造费用充足．
24．【答案】（1）解：设甲种茉莉花茶礼盒的单价为x元，则乙种茉莉花茶礼盒的单价为元
解得
检验：当时，，
∴是原方程的解，
∴（元）．
答：甲种茉莉花茶礼盒的单价为148元，则乙种茉莉花茶礼盒的单价为178元．
（2）解：设甲种茉莉花茶礼盒为a套，乙种茉莉花茶礼盒套，
由题意可得，
解得，
∴（套）．
答：甲种茉莉花茶礼盒为8套，乙种茉莉花茶礼盒为6套．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次方程的实际应用-盈亏问题
【解析】【分析】（1）设甲种茉莉花茶礼盒的单价为x元，则乙种茉莉花茶礼盒的单价为元，根据题意列出分式方程，解方程即可求出答案.
（2）设甲种茉莉花茶礼盒为a套，乙种茉莉花茶礼盒套，根据题意列出一元一次方程并求解，即可获得答案．
（1）解：设甲种茉莉花茶礼盒的单价为x元，则乙种茉莉花茶礼盒的单价为元
解得
检验：当时，，
∴是原方程的解，
∴（元）．
答：甲种茉莉花茶礼盒的单价为148元，则乙种茉莉花茶礼盒的单价为178元．
（2）设甲种茉莉花茶礼盒为a套，乙种茉莉花茶礼盒套，
由题意可得，
解得，
∴（套）．
答：甲种茉莉花茶礼盒为8套，乙种茉莉花茶礼盒为6套．
25．【答案】（1）解：①是等边三角形．理由如下：
由折叠性质可得：，
∴，
∴，
∴是等边三角形．
②如图，过点 N 作于点G，
则
由①知，
由勾股定理得：，
．
（2）解：．证明如下：
如图，连接AG．由折叠性质可得：，
∴．
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴．
∵，
∴.
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得，
，
．
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；等边三角形的判定与性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）①根据折叠性质可得，则，再根据等边三角形判定定理即可求出答案.
②过点 N 作于点G，则，由①知，根据勾股定理可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）连接AG．由折叠性质可得：，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系可得，设，则，再根据勾股定理建立方程，解方程可得，则，再根据三角形面积即可求出答案.
（1）解：①是等边三角形．理由如下：
由折叠性质可得：，
∴，
∴，
∴是等边三角形．
②如图，过点 N 作于点G，
则
由①知，
由勾股定理得：，
．
（2）解：．证明如下：
如图，连接AG．由折叠性质可得：，
∴．
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴．
∵，
∴.
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得，
，
．
26．【答案】解：（1）设半圆O与地面相切于点F，交于点P，连接，
∴．
∵，
∴，
∴．
设半圆O的半径为r，
由题意得，
∴.
在中，
，解得，
∴半圆O的直径的长为．
（2）①不变；
②如图2，连接．
∴的长为
∵与半圆的切点为点 E，
∴．
∵，
∴于点 D．
∵，
．
∴操作后液面高度下降了．
答：此时的长为操作后液面高度下降了．
③如图3，可得圆心O 向右移动的距离为，
∴，
∴是矩形．
由旋转得．
∵于点 D，，
∴，
∴．
∵，
．
∴制动装置安装点 E 离点 F 的距离为．
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理；切线的性质；弧长的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：（2）①由图1得，圆心O 到地面的距离为半圆O的半径，由图2得，圆心O到地面的距离为半圆O的半径，
∴在摆动中圆心O到地面的距离不变．
故答案为：不变．
【分析】（1）设半圆O与地面相切于点F，交于点P，连接，根据切线性质可得，再根据直线性质可得，则，设半圆O的半径为r，根据边之间的关系可得，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（2）①由图1得，圆心O 到地面的距离为半圆O的半径，由图2得，圆心O到地面的距离为半圆O的半径，则在摆动中圆心O到地面的距离不变，即可求出答案.
②连接，根据弧长公式可得，再根据切线性质可得，再根据直线平行性质可得于点 D，再根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
③由题意可得圆心O 向右移动的距离为，根据矩形判定定理可得是矩形，由旋转得，再根据角之间的关系可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
1 / 12024年广西柳州市第十三中学九年级中考四模数学试题
1．（2024九下·柳州模拟）下列各数中，最小的数是（　　）
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：，
∴最小的数是：．
故答案为：B．
【分析】直接比较大小即可求出答案.
2．（2024九下·柳州模拟）对称常被用在建筑、器物、徽标等作品的设计中． 下列四个图形分别是中国卫生、中国卫生应急、社区卫生、中国红十字的标志图案，属于是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：选项B、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故答案为：A．
【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
3．（2024九下·柳州模拟）如图，若数轴上点表示的数为无理数，则该无理数可能是（　　）
A．2.7 B． C． D．
【答案】D
【知识点】无理数在数轴上表示；无理数的估值
【解析】【解答】解：解：∵2.7是有理数，，，，
由图可知，点表示的数为无理数，且点表示的数在和之间，
∴点表示的无理数为，
故选：D．
【分析】估算出，，的范围，结合数轴上点的位置关系即可求出答案.
4．（2024九下·柳州模拟）已知点的坐标为，则点关于轴对称的点的坐标为
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点的坐标为，
点关于轴对称的点的横坐标为3，纵坐标为，
点关于轴对称的点的坐标为．
故答案为：B．
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特征即可求出答案.
5．（2024九下·柳州模拟）笔、墨、纸、砚是中国传统的文房四宝．如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，其俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从上面看到的是一个正方形及正方形的一个圆，故选项C符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据几何体的三视图即可求出答案.
6．（2024九下·柳州模拟）折射现象指的是当光线从空气射入水中时，光线的传播方向会发生改变．如图，表示水面，它与底面平行，光线从空气射入水里时发生折射，变成光线射到水底C处，射线是光线的延长线．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵，
∴．
∵，
∴．
故答案为：B．
【分析】根据直线平行性质可得，根据对顶角相等可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
7．（2024九下·柳州模拟）将抛物线向左平移3个单位长度得到抛物线（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将抛物线向左平移3个单位长度得到抛物线是，
故答案为：A．
【分析】根据函数图象平移规则“左加右减，上加下减”即可求出答案.
8．（2024九下·柳州模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、因为a2.a3=a5，所以A不正确；
B、因为（3a）2=9a2，所以B不正确；
C、因为a6÷a3=a3，所以C不正确；
D、因为3a2-a2=2a2，所以D正确.
故答案为：D。
【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方以及合并同类项的法则，分别正确运算，即可得出答案。
9．（2024九下·柳州模拟）在古代数学名著《九章算术》中记载了利用算筹实施“正负术”的方法．图1 表示的是计算的过程．按照这种方法，图2表示的过程应是在计算（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】有理数的加法法则；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：由图1知：白色表示负数，黑色表示正数，
∴图2表示的过程是在计算．
故答案为：B．
【分析】先由图1可得白色表示负数，黑色表示正数，然后观察图2列式即可求出答案.
10．（2024九下·柳州模拟）在一个不透明的口袋中，装有红色、黑色、白色的小球共个，除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后，摸到红色、黑色小球的频率分别稳定在和，则口袋中白球的个数可能是（　　）
A．8 B．16 C．24 D．32
【答案】C
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：由题意知：摸到白色小球的频率为，
则口袋中白球的个数为：；
故答案为：．
【分析】由题意求出白色小球的频率即可得出答案.
11．（2024九下·柳州模拟）对于三个实数a，b，c，用表示这两个数的平方差，用表示这三个数中最大的数，例如：，．若．则负整数a的值是（　　）
A． B． C． D．0
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题意，，
又，
且，
又a是负整数，
∴.
故答案为：C．
【分析】根据新定义计算即可求出答案.
12．（2024九下·柳州模拟）我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋形”，如图，点A，B，C，D 分别是“蛋形”与坐标轴的交点，已知点 D 的坐标为，为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为，半圆半径为4．如果一条直线与“蛋形”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋形”的切线，则经过点 D 的“蛋形”切线的解析式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系；待定系数法求二次函数解析式；切线的性质
【解析】【解答】解：∵为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为，半圆半径为4，
∴点A坐标为，点B坐标为，
∵抛物线过点A、B、D，
∴设抛物线的解析式为，
又∵抛物线过点D，
∴，即，
∴，
∵经过点D的“蛋圆”切线过D点，
∴设它的解析式为，
又∵抛物线与直线相切，
∴，即只有一个解，
∴，解得：，
即经过点D的“蛋圆”切线的解析式为.
故答案为：A.
【分析】由为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为，半圆半径为4，可得点A坐标为，点B坐标为，再结合点的坐标为利用待定系数法确定抛物线解析式，过点D的“蛋圆”切线过D点，所以本题可设它的解析式为，因为相切，所以它们的交点只有一个，最后根据一元二次方程根的判别式列方程计算即可．
13．（2024九下·柳州模拟）若，则的补角为　 　．
【答案】
【知识点】补角
【解析】【解答】解：的补角为；
故答案为：．
【分析】根据补角即可求出答案.
14．（2024九下·柳州模拟）二次根式 有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】x≥5
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得：x﹣5≥0，
解得x≥5．
故答案为：x≥5．
【分析】根据二次根式的意义，被开方数是非负数列出方程，解方程即可．
15．（2024九下·柳州模拟）将数四舍五入取近似值，精确到个位为　 　．
【答案】2025
【知识点】近似数与准确数
【解析】【解答】解：．
故答案为：2025．
【分析】将数的十分位上的数字6舍去后进一．
16．（2024九下·柳州模拟）如图是两个形状相同的飞机图案，则的值是　 　．
【答案】
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：由题意得两个图形相似，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据相似图象的性质即可求出答案.
17．（2024九下·柳州模拟）如图，已知线段，分别以点A，B为圆心，以5cm为半径画弧，两弧相交于点C，D，连接，，，，则四边形的面积为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：连接交于点，如图，
由作法，
四边形为菱形，
，，，
在中，，
，
四边形的面积．
故答案为：．
【分析】连接交于点，由作法，根据矩形性质可得，，，再根据勾股定理可得OC，再根据菱形面积即可求出答案.
18．（2024九下·柳州模拟）如图，反比例函数和一次函数交于点A，点A的纵坐标为3，则不等式的解集为　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：观察图象可知，当时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方，
∴关于x的不等式的解集为：．
故答案是：．
【分析】当一次函数的图象在反比例函数图象的下方，有，结合函数图象即可求出答案.
19．（2024九下·柳州模拟）计算：.
【答案】解：

【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】根据有理数混合运算的运算顺序，先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号，计算求解即可．
20．（2024九下·柳州模拟）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
当时，原式
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先根据分式的混合运算进行化简，再代入求值即可求解。
21．（2024九下·柳州模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点分别是，．
（1）请画出将绕点O顺时针旋转后得到的．
（2）在（1）的条件下，求扇形的面积（结果保留π）．
【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：由题意可得，，，
∵，
∴．
【知识点】勾股定理；扇形面积的计算；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据旋转变换的性质分别作出A、B、C的对应点、、，再连接即可；
（2）根据旋转的性质可得，利用勾股定理求得，再利用扇形的面积公式求解即可．
（1）解：如图，即为所求；
（2）解：由题意可得，，，
∵，
∴．
22．（2024九下·柳州模拟）某学校校园电视台招新，有20名学生报名．报名的学生需参加摄影、演讲、写作三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将演讲、写作、摄影这三项的测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩．小广、小西的三项测试成绩和总评成绩如下表：
选手 测试成绩/分 总评成绩/分
摄影 演讲 写作
小广 80 75 82 78.8
小西 85 82
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在写作测试中，七位评委给小西打出的分数如下：77，78，82，80，75，83，85，这组数据的中位数是 ，平均数是 ；
（2）请你计算小西的总评成绩；
（3）这20名学生的总评成绩频数分布直方图（每组含最小值，不含最大值）如图，学校决定根据总评成绩择优选拔12名学生进入校电视台，问小广和小西能否入选？并说明理由．
【答案】（1）80，80
（2）解：（分）．
答：小西的总评成绩为分．
（3）解：不能判断小广能否入选，但是小西能入选．
理由如下：由20名学生的总评成绩频数分布直方图可知，大于80分的有10人，小西的分数为81.8分位于前10名，所以小西能入选，但是小广的分数是分，虽然位于后10名，但是要看其具体的排名情况，才能确定．所以不能判断小广能否入选，但是小西能入选．
【知识点】平均数及其计算；加权平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】（1）解：七位评委给小西打出的分数按从小到大排列为75，77，78，80，82，83，85，所以这组数据的中位数是80，
平均数是（分）．
故答案为：80，80
【分析】（1）根据中位数和平均数的定义进行解答即可；
（2）计算加权平均数即可；
（3）根据两人的总评成绩和中位数进行分析即可．
（1）解：七位评委给小西打出的分数按从小到大排列为75，77，78，80，82，83，85，所以这组数据的中位数是80，
平均数是（分）．
故答案为：80，80
（2）解：（分）．
答：小西的总评成绩为分．
（3）解：不能判断小广能否入选，但是小西能入选．
理由如下：由20名学生的总评成绩频数分布直方图可知，大于80分的有10人，小西的分数为81.8分位于前10名，所以小西能入选，但是小广的分数是分，虽然位于后10名，但是要看其具体的排名情况，才能确定．所以不能判断小广能否入选，但是小西能入选．
23．（2024九下·柳州模拟）某中学准备把一块四边形的空地整理出来作为学生劳动基地．如图，点C在点D的南偏东方向上，点A在点D的北偏东方向上，点B在点A的正东方向，点C在点B的正南方向．已知米，米．（参考数据：）
（1）求四边形空地边的长（精确到0.1米）；
（2）学校计划用1.5万元在空地四周建立防护栏，每米防护栏的改造费用为30元，请判断费用是否充足？
【答案】（1）解：延长 交 于点E，过点C作 于点 F．如图，
由题意知，四边形 是矩形，
∵米，米，，，
∴．
在中，（米），
（米），
∴米，（米）．
在中，（米）．
答：四边形空地边的长约为57.7米．
（2）解：（米），米，
米，米，米，
（米），
需要改造费用：（元）．
∵，
∴改造费用充足．
【知识点】矩形的性质；解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1）延长 交 于点E，过点C作 于点 F，根据矩形性质可得米，米，，，则，解直角三角形可得CF，BE，再根据边之间的关系可得米，（米），再根据正弦定义即可求出答案.
（2）根据正弦定义可得ED，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：延长 交 于点E，过点C作 于点 F．如图，
由题意知，四边形 是矩形，
∵米，米，，，
∴．
在中，（米），
（米），
∴米，（米）．
在中，（米）．
答：四边形空地边的长约为57.7米．
（2）（米），米，
米，米，米，
（米），
需要改造费用：（元）．
∵，
∴改造费用充足．
24．（2024九下·柳州模拟）“好一朵茉莉花”，广西横州生产的茉莉花茶香飘海内外．某网店销售两种不同包装的横州茉莉花茶礼盒，已知甲种礼盒的单价比乙种礼盒的单价少30元，花1480元购进甲种礼盒的数量是花890元购进乙种礼盒数量的2倍．
（1）求甲、乙两种茉莉花茶礼盒的单价；
（2）某学校茶艺社团从该网店购进甲、乙两种茉莉花茶礼盒共花了2252元，甲种礼盒比乙种礼盒多2套，则学校购进甲、乙两种茉莉花茶礼盒的数量各为多少？
【答案】（1）解：设甲种茉莉花茶礼盒的单价为x元，则乙种茉莉花茶礼盒的单价为元
解得
检验：当时，，
∴是原方程的解，
∴（元）．
答：甲种茉莉花茶礼盒的单价为148元，则乙种茉莉花茶礼盒的单价为178元．
（2）解：设甲种茉莉花茶礼盒为a套，乙种茉莉花茶礼盒套，
由题意可得，
解得，
∴（套）．
答：甲种茉莉花茶礼盒为8套，乙种茉莉花茶礼盒为6套．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次方程的实际应用-盈亏问题
【解析】【分析】（1）设甲种茉莉花茶礼盒的单价为x元，则乙种茉莉花茶礼盒的单价为元，根据题意列出分式方程，解方程即可求出答案.
（2）设甲种茉莉花茶礼盒为a套，乙种茉莉花茶礼盒套，根据题意列出一元一次方程并求解，即可获得答案．
（1）解：设甲种茉莉花茶礼盒的单价为x元，则乙种茉莉花茶礼盒的单价为元
解得
检验：当时，，
∴是原方程的解，
∴（元）．
答：甲种茉莉花茶礼盒的单价为148元，则乙种茉莉花茶礼盒的单价为178元．
（2）设甲种茉莉花茶礼盒为a套，乙种茉莉花茶礼盒套，
由题意可得，
解得，
∴（套）．
答：甲种茉莉花茶礼盒为8套，乙种茉莉花茶礼盒为6套．
25．（2024九下·柳州模拟）【动手操作】数学活动课上，老师让同学们以“矩形、正方形的折叠”为主题开展数学活动．
【折一折、猜想计算】如图1，把长为5，宽为4的矩形纸片对折，使边与边重合，展开后得到折痕．
如图2，将矩形纸片沿经过点A的直线折叠，使点D落在上的点N处，连接．
（1）①如图2，判断的形状，并说明理由；②求线段的长；
【折一折、探究证明】如图3，将矩形纸片换成边长为4的正方形纸片，沿经过点A的直线折叠，使点D落在正方形纸片内部的点N处，延长交于点G．
（2）猜想与之间的数量关系并证明；若，求的面积．
【答案】（1）解：①是等边三角形．理由如下：
由折叠性质可得：，
∴，
∴，
∴是等边三角形．
②如图，过点 N 作于点G，
则
由①知，
由勾股定理得：，
．
（2）解：．证明如下：
如图，连接AG．由折叠性质可得：，
∴．
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴．
∵，
∴.
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得，
，
．
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；等边三角形的判定与性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）①根据折叠性质可得，则，再根据等边三角形判定定理即可求出答案.
②过点 N 作于点G，则，由①知，根据勾股定理可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）连接AG．由折叠性质可得：，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系可得，设，则，再根据勾股定理建立方程，解方程可得，则，再根据三角形面积即可求出答案.
（1）解：①是等边三角形．理由如下：
由折叠性质可得：，
∴，
∴，
∴是等边三角形．
②如图，过点 N 作于点G，
则
由①知，
由勾股定理得：，
．
（2）解：．证明如下：
如图，连接AG．由折叠性质可得：，
∴．
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴．
∵，
∴.
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得，
，
．
26．（2024九下·柳州模拟）【综合与实践】
【问题情境】数学课上，老师给出：某广场计划用透明钢化玻璃制作一种半球形展览装置，其截面是以为直径的半圆O，放置于地面上，装置中盛有一些彩色液体（图中阴影部分），其中液面截线，已知液面截线宽，彩色液体的最大深度为．
【数学思考】（1）求直径的长；
【拓展再探】（2）如图1，“智慧小组”突发奇想，在同一截面内，当装置（半圆O）在地面上向右缓慢摆动，始终保持半圆O与相切，使一部分液体流出．如图2，当时停止摆动，其中半圆的中点为点Q，与半圆的切点为点E，连接交于点 D．
①在摆动中圆心O到地面的距离 （填“改变”或“不变”）；
②求此时的长及操作后液面高度下降了多少；
③为保证安全，需要在点E处加装制动装置，此时点E 离点F有多远？
【答案】解：（1）设半圆O与地面相切于点F，交于点P，连接，
∴．
∵，
∴，
∴．
设半圆O的半径为r，
由题意得，
∴.
在中，
，解得，
∴半圆O的直径的长为．
（2）①不变；
②如图2，连接．
∴的长为
∵与半圆的切点为点 E，
∴．
∵，
∴于点 D．
∵，
．
∴操作后液面高度下降了．
答：此时的长为操作后液面高度下降了．
③如图3，可得圆心O 向右移动的距离为，
∴，
∴是矩形．
由旋转得．
∵于点 D，，
∴，
∴．
∵，
．
∴制动装置安装点 E 离点 F 的距离为．
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理；切线的性质；弧长的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：（2）①由图1得，圆心O 到地面的距离为半圆O的半径，由图2得，圆心O到地面的距离为半圆O的半径，
∴在摆动中圆心O到地面的距离不变．
故答案为：不变．
【分析】（1）设半圆O与地面相切于点F，交于点P，连接，根据切线性质可得，再根据直线性质可得，则，设半圆O的半径为r，根据边之间的关系可得，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（2）①由图1得，圆心O 到地面的距离为半圆O的半径，由图2得，圆心O到地面的距离为半圆O的半径，则在摆动中圆心O到地面的距离不变，即可求出答案.
②连接，根据弧长公式可得，再根据切线性质可得，再根据直线平行性质可得于点 D，再根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
③由题意可得圆心O 向右移动的距离为，根据矩形判定定理可得是矩形，由旋转得，再根据角之间的关系可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
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