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湖南省邵阳市邵东市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·邵东期末）下列几何图案中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024八下·邵东期末）调查50名学生的年龄，列频数分布表时，这些学生的年龄落在5个小组中，第一、二、三、五组数据个数分别是2，8，15，5，则第四组的频数是（　　）
A．20 B．30 C．0.4 D．0.6
3．（2024八下·邵东期末）常值函数并不是没有自变量，而是可以看作一次函数中自变量的系数为0，比如常值数即是，那么在这个函数中，当时，（　　）
A．10 B．0 C．2 D．任意数
4．（2024八下·邵东期末）在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024八下·邵东期末）一次函数的草图是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2024八下·邵东期末）四边形在进化的过程中，正方形可以由矩形进化而来，下列选项中正方形具有，而矩形不具有的性质是（　　）
A．对角线互相垂直 B．对角线相等
C．中心对称图形 D．对角线互相平分
7．（2024八下·邵东期末） 若一个多边形的内角和是外角和的3倍，则该多边形的边数为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．（2024八下·邵东期末）如图，菱形中，对角线、相交于点O，H为边中点，菱形的周长为20，则的长等于（　　）
A．2.5 B．3 C．4 D．3.5
9．（2024八下·邵东期末）如图，在中，，，点D为的中点，则（　　）
A． B． C． D．
10．（2024八下·邵东期末）在平面直角坐标系中有点和点，若是等腰三角形，是其中一条腰，且B是x轴上一点，则符合题意的B点有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
11．（2024八下·邵东期末）在平面直角坐标系中，将点向下平移6个单位得点B，则点B的坐标为　 　．
12．（2024八下·邵东期末）函数 中自变量x的取值范围是　 　．
13．（2024八下·邵东期末）已知一次函数的图象上有两点、，若，则　 　（填“>”“<”或“=”）．
14．（2024八下·邵东期末）把直线向下平移2个单位长度得直线　 　．
15．（2024八下·邵东期末）如图，已知，，，则的长等于　 　．
16．（2024八下·邵东期末）如图，，，，．若，则AD的长为　 　．
17．（2024八下·邵东期末）如图，已知长方形中，，在边上取一点E，将折叠使点D恰好落在边上的点F，则的长为　 　．
18．（2024八下·邵东期末）丁俊晖年少时立志在斯洛克界闯出一番天地，为了圆梦，父母卖店卖房凑学费，凭借自己的勤奋和热爱以及天赋终成斯洛克中国第一人．斯洛克的目标球P撞击边的运动轨迹类似于光的镜面反射．如图一在矩形中，撞击点为O，则有．在图二中，目标球P到边的距离是，到边的距离是，边长为，现在，要使目标球P撞击边（只撞击边一次，不撞击其它的边）随即反弹进入C袋口，则目标球P从开始运动到落入C袋口移动的距离为　 　m．
19．（2024八下·邵东期末）已知一个一次函数的图象过点和．
（1）求这个函数的解析式；
（2）当时，求y的值．
20．（2024八下·邵东期末）如图，已知是等边三角形，点、分别在线段、上，，．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）连结，若，，求的长度．
21．（2024八下·邵东期末）某校以“我最喜爱的体育运动”为主题对全校学生进行随机抽样调查，调查的运动项目有：篮球、羽毛球、乒乓球、跳绳及其他项目（每位同学仅选一项）．根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图：
运动项目 频数（人数） 频率
篮球 30 0.25
羽毛球 m 0.20
乒乓球 36 n
跳绳 18 0.15
其他 12 0.10
请根据以上图表信息解答下列问题：
（1）频数分布表中的__________，__________；
（2）在扇形统计图中，“乒乓球”所在的扇形的圆心角的度数为__________；
（3）根据统计数据估计该校1200名中学生中，最喜爱乒乓球这项运动的约多少人．
22．（2024八下·邵东期末）某城市为了让居民节约用电，决定实行阶梯收费标准：每户居民每月用电量在100度以内，每度电0.8元；每月用电量超过100度，则超出部分每度电加0.7元．电力公司为了建立收费系统，必须创建两个收费公式．
（1）请你用所学的函数知识为电力公司创建两个收费公式．
（2）某户居民6月份电费为110元，请用创建的公式计算这户居民6月份的用电量．
23．（2024八下·邵东期末）在上学期学习全等三角形的知识时小美碰到一个这样的怪题：“如图，在中，平分，D是的中点，求证：”，当时，小美用的论证方法是倍长中线，今天，小美又研究了一种全新的方法：过点D分别作和的垂线，再证三角形全等即可．请你也用这种全新的方法完成论证．
24．（2024八下·邵东期末）如图，已知直线分别与x轴、y轴交于D、A两点；直线与y轴交于B点，与直线交于C点．
（1）求点B的坐标；
（2）求三角形的面积．
25．（2024八下·邵东期末）我们知道在任意直角三角形中有一个重量级定理——勾股定理！即如图一，在直角三角形中，，，，则有：．为了论证这个定理，数学家脑洞大开，用四个这样全等的直角三角形拼成图二，请同学们完成下列提问．
（1）求证：四边形和四边形都是正方形；
（2）利用图二，求证：．
26．（2024八下·邵东期末）探索发现一：法国近代数学家笛卡尔是一位勇于探索的人，他石破天惊的创建了代数与几何结合，即数形结合！他的这一天才创举，为微积分的创立奠定了基础，从而推动数学往前进了一大步！在他创建的平面直角坐标系中，我们学到一次函数的图象是一条直线，书本上的描述是：数学上已经证明了正比例函数的图象是一条直线．勇于探索和挑战的小聪一心想证明出函数的图像是一条直线！于是他找了图像上的三个点，，，并且巧妙的论证出这三点在同一条直线上，聪明的你也来论证一下吧！
探索发现二：小慧碰到一道题：在平面直角坐标系中，线段的两个端点坐标分别为，，将线段绕点O逆时针旋转90°到位置，则点的坐标是什么？
（1）请写出点的坐标______．
（2）小慧通过计算发现所在直线的函数表达式为，所在直线的函数表达式为，而且有．于是她大胆猜想：两个一次函数图象如果互相垂直，则他们的k乘积为，请敢于探索发现的你来完成下面的论证：
如图，已知直线与直线互相垂直，求证：．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形；
B.不是轴对称图形，是中心对称图形；
C.是轴对称图形，不是中心对称图形；
D.是轴对称图形，也是中心对称图形；
故选：D．
【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
2．【答案】A
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：第四组的人数为：50-（2+8+15+5）=20，
即第四组的频数为20；
故答案为：20.
【分析】先根据抽查的人数减去四组已知的人数计算得出第五组的人数，即可得出第四组的频率。
3．【答案】C
【知识点】函数值
【解析】【解答】解：当时，，
故选C．
【分析】把代入函数解析式即可求出答案.
4．【答案】A
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于x轴的对称点的坐标是，
故选A．
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特征即可求出答案.
5．【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：一次函数的图象经过二、三、四象限，
故选D．
【分析】根据一次函数图象与系数的关系即可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：A、对角线互相垂直是正方形都具有的性质，矩形不一定有，符合题意；
B、对角线相等是正方形与矩形都具有的性质，不符合题意；
C、矩形和正方形都是中心对称图形，不符合题意；
D、对角线互相平分是矩形和正方形都具有的性质，不符合题意；
故选：A．
【分析】根据正方形，矩形性质即可求出答案.
7．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解： 该多边形的边数为n，
根据题意得：（n-2）×180°=3×360°，
解得：n=8，
∴该多边形的边数为8.
故答案为：D.
【分析】多边形内角和公式为（n-2）×180°，外角和为360°，根据题意列方程并解之即可.
8．【答案】A
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵是菱形，
∴，，
又∵为边中点，
∴，
故选A．
【分析】根据菱形性质可得，，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出答案.
9．【答案】A
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，点D为的中点，
∴，
故选A．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出答案.
10．【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，
由图可知，①以为圆心，长为半径的圆交轴于，，则可与构成等腰三角形；
②以为圆心，长为半径的圆交轴于，可与构成等腰三角形；
③作线段的垂直平分线，交轴于，则可与构成等腰三角形，但是此时为底边，不符合题意；
综上所述，构成以为腰的等腰三角形的点，共有3种可能情况，
∴符合题意的B点有3个；
故选B
【分析】根据等腰三角形性质分类讨论即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵将点向下平移6个单位长度得点，
∴点的坐标是，即．
故答案为：．
【分析】根据点的坐标平移性质即可求出答案.
12．【答案】x＞4
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：∵x-4≠0，x-4≥0
解得x＞4.
故答案为x＞4.
【分析】根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，列不等式组求出函数自变量的取值范围即可.
13．【答案】>
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵k=2＞0，
∴y随x的增大而增大，
∵，
∴＞，
故答案为：＞
【分析】根据一次函数的性质结合题意即可求解。
14．【答案】
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：把直线向下平移2个单位长度得直线，
故答案为：．
【分析】根据函数图象的平移规律：“左加右减，上加下减”，即可求出答案.
15．【答案】4
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵，
，
故答案为：4．
【分析】根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
16．【答案】13
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：在Rt△BCD中，
∵∠C=90°
∴△BCD是直角三角形
在Rt△BCD中
∵BC=3，CD=4
由勾股定理可得：
∵∠ABD=90°
∴△ABD是直角三角形
在Rt△ABD中
∵BA=12，BD=5
由勾股定理可得：
故答案为：13．
【分析】根据勾股定理即可求出答案.
17．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形是长方形，
，
根据折叠性质得：，
在中，由勾股定理得：，
即，
，
，
故答案为：．
【分析】根据长方形性质可得，再根据折叠性质可得，再根据勾股定理可得BF，再根据边之间的关系即可求出答案.
18．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；轴对称的性质
【解析】【解答】过点作交于点，交于点，作点关于的对称点，
则，四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴三点共线，
∴则目标球P从开始运动到落入C袋口移动的距离为．
故答案为：．
【分析】过点作交于点，交于点，作点关于的对称点，则，四边形是矩形，再根据矩形性质可得，，根据边之间的关系可得P'E，再根据勾股定理可得P'C，根据角之间的关系可得，即三点共线，再根据边之间的关系即可求出答案.
19．【答案】（1）解：设这个一次函数的解析式为，
∵的图象过点和，
，
解方程组得，
∴这个一次函数的解析式为；
（2）解：当时，．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）设这个一次函数的解析式为，根据待定系数法将点A，B坐标代入解析式即可求出答案.
（2）将x=3代入解析式即可求出答案.
（1）解：设这个一次函数的解析式为，
∵的图象过点和，
，
解方程组得，
∴这个一次函数的解析式为；
（2）解：当时，．
20．【答案】（1）证明：是等边三角形，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：连接，如图所示：
，，
是等边三角形，
，，
，
，
是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
，
．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据等边三角形性质可得，再根据直线平行判定定理可得，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
（2）连接，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，，再根据等边三角形性质可得，，则，根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（1）证明：是等边三角形，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：连接，如图所示：
，，
是等边三角形，
，，
，
，
是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
，
．
21．【答案】（1）24，0.3
（2）
（3）解：根据统计数据估计该校1200名中学生中，最喜爱乒乓球这项运动的大约有：（人．
答：估计该校1200名中学生中，最喜爱乒乓球这项运动的大约有330人．
【知识点】统计表；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：（人，
，
，
故答案为：24，0.3；
（2）解：．
即在扇形统计图中，“乒乓球”所在的扇形的圆心角的度数为．
故答案为：；
【分析】（1）根据篮球的人数和所占的百分比求出总人数，再用总人数乘以羽毛球所占的百分比，求出的值；再用乒乓球的人数除以总人数，求出的值；
（2）用乘以最喜爱乒乓球所占的百分比，即可求出对应的扇形圆心角的度数；
（3）用1200乘以样本中最喜爱乒乓球所占的百分比，即可得出答案．
22．【答案】（1）解：设用电量为x度，收费为y元，
当时，收费为元；
当时，收费为元；
（2）解：∵，
∴用电量超过100度，
则，
解得，
答：这户居民6月份的用电量为度．
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据题意分情况讨论即可求出答案.
（2）由题意可知用电量超过100度，列出方程，解方程即可求出答案.
（1）设用电量为x度，收费为y元，
当时，收费为元；
当时，收费为元；
（2）解：∵，
∴用电量超过100度，
则，
解得，
答：这户居民6月份的用电量为度．
23．【答案】解：过点D作于点E，于点F，
则，
又∵平分，
∴，
又∵D是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；等腰三角形的判定
【解析】【分析】过点D作于点E，于点F，则，根据角平分线性质可得，再根据线段中点可得，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据等角对等边即可求出答案.
24．【答案】（1）解：在直线中，
当时，，则；
（2）解：在直线中，
当时，，则；
联立解方程组，
解得：，
则点坐标为；
则的面积．
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据y轴上点的坐标特征令，代入解析式即可求出答案.
（2）根据y轴上点的坐标特征可得，联立两直线解析式，解方程组可得点坐标为，再根据三角形面积即可求出答案.
（1）解：在直线中，
当时，，则；
（2）解：在直线中，
当时，，则；
联立解方程组，
解得：，
则点坐标为；
则的面积．
25．【答案】（1）证明：∵，
∴，，，
∴四边形是菱形，
∵，
∴，
∴四边形是正方形；
∵，
∴，，
∴，
∴四边形是菱形，
∵，
∴四边形是正方形；
（2）解：∵，
∴，
∴.
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理的证明；正方形的判定；“赵爽弦图”模型；面积及等积变换
【解析】【分析】（1）根据全等三角形性质可得，，，再根据菱形判定定理可得四边形是菱形，根据角之间的关系可得，则四边形是正方形；根据全等三角形判定定理可得，，则，再根据菱形判定定理可得四边形是菱形，根据角之间的关系可得，则四边形是正方形.
（2）根据等面积法即可求出答案.
（1）证明：∵，
∴，，，
∴四边形是菱形，
∵，
∴，
∴四边形是正方形；
∵，
∴，，
∴，
∴四边形是菱形，
∵，
∴四边形是正方形；
（2）解：∵，
∴，
∴.
26．【答案】（1）
（2）解：在直线上取一点P，把绕点O逆时针旋转90°到位置，则点在直线上，
设点P的坐标为，根据（1）可得点的坐标为，
∴，，
解得，，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；旋转的性质；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】（1）如图，过点P作轴于点A，过点作轴于点B，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
又∵点在第二象限，
∴点的坐标为；
【分析】（1）过点P作轴于点A，过点作轴于点B，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据第二象限点的坐标特征即可求出答案.
（2）在直线上取一点P，把绕点O逆时针旋转90°到位置，则点在直线上，设点P的坐标为，根据（1）可得点的坐标为，分别代入解析式可得，，结合分式乘法即可求出答案.
1 / 1湖南省邵阳市邵东市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·邵东期末）下列几何图案中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形；
B.不是轴对称图形，是中心对称图形；
C.是轴对称图形，不是中心对称图形；
D.是轴对称图形，也是中心对称图形；
故选：D．
【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
2．（2024八下·邵东期末）调查50名学生的年龄，列频数分布表时，这些学生的年龄落在5个小组中，第一、二、三、五组数据个数分别是2，8，15，5，则第四组的频数是（　　）
A．20 B．30 C．0.4 D．0.6
【答案】A
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：第四组的人数为：50-（2+8+15+5）=20，
即第四组的频数为20；
故答案为：20.
【分析】先根据抽查的人数减去四组已知的人数计算得出第五组的人数，即可得出第四组的频率。
3．（2024八下·邵东期末）常值函数并不是没有自变量，而是可以看作一次函数中自变量的系数为0，比如常值数即是，那么在这个函数中，当时，（　　）
A．10 B．0 C．2 D．任意数
【答案】C
【知识点】函数值
【解析】【解答】解：当时，，
故选C．
【分析】把代入函数解析式即可求出答案.
4．（2024八下·邵东期末）在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于x轴的对称点的坐标是，
故选A．
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特征即可求出答案.
5．（2024八下·邵东期末）一次函数的草图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：一次函数的图象经过二、三、四象限，
故选D．
【分析】根据一次函数图象与系数的关系即可求出答案.
6．（2024八下·邵东期末）四边形在进化的过程中，正方形可以由矩形进化而来，下列选项中正方形具有，而矩形不具有的性质是（　　）
A．对角线互相垂直 B．对角线相等
C．中心对称图形 D．对角线互相平分
【答案】A
【知识点】矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：A、对角线互相垂直是正方形都具有的性质，矩形不一定有，符合题意；
B、对角线相等是正方形与矩形都具有的性质，不符合题意；
C、矩形和正方形都是中心对称图形，不符合题意；
D、对角线互相平分是矩形和正方形都具有的性质，不符合题意；
故选：A．
【分析】根据正方形，矩形性质即可求出答案.
7．（2024八下·邵东期末） 若一个多边形的内角和是外角和的3倍，则该多边形的边数为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解： 该多边形的边数为n，
根据题意得：（n-2）×180°=3×360°，
解得：n=8，
∴该多边形的边数为8.
故答案为：D.
【分析】多边形内角和公式为（n-2）×180°，外角和为360°，根据题意列方程并解之即可.
8．（2024八下·邵东期末）如图，菱形中，对角线、相交于点O，H为边中点，菱形的周长为20，则的长等于（　　）
A．2.5 B．3 C．4 D．3.5
【答案】A
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵是菱形，
∴，，
又∵为边中点，
∴，
故选A．
【分析】根据菱形性质可得，，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出答案.
9．（2024八下·邵东期末）如图，在中，，，点D为的中点，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，点D为的中点，
∴，
故选A．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出答案.
10．（2024八下·邵东期末）在平面直角坐标系中有点和点，若是等腰三角形，是其中一条腰，且B是x轴上一点，则符合题意的B点有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，
由图可知，①以为圆心，长为半径的圆交轴于，，则可与构成等腰三角形；
②以为圆心，长为半径的圆交轴于，可与构成等腰三角形；
③作线段的垂直平分线，交轴于，则可与构成等腰三角形，但是此时为底边，不符合题意；
综上所述，构成以为腰的等腰三角形的点，共有3种可能情况，
∴符合题意的B点有3个；
故选B
【分析】根据等腰三角形性质分类讨论即可求出答案.
11．（2024八下·邵东期末）在平面直角坐标系中，将点向下平移6个单位得点B，则点B的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵将点向下平移6个单位长度得点，
∴点的坐标是，即．
故答案为：．
【分析】根据点的坐标平移性质即可求出答案.
12．（2024八下·邵东期末）函数 中自变量x的取值范围是　 　．
【答案】x＞4
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：∵x-4≠0，x-4≥0
解得x＞4.
故答案为x＞4.
【分析】根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，列不等式组求出函数自变量的取值范围即可.
13．（2024八下·邵东期末）已知一次函数的图象上有两点、，若，则　 　（填“>”“<”或“=”）．
【答案】>
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵k=2＞0，
∴y随x的增大而增大，
∵，
∴＞，
故答案为：＞
【分析】根据一次函数的性质结合题意即可求解。
14．（2024八下·邵东期末）把直线向下平移2个单位长度得直线　 　．
【答案】
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：把直线向下平移2个单位长度得直线，
故答案为：．
【分析】根据函数图象的平移规律：“左加右减，上加下减”，即可求出答案.
15．（2024八下·邵东期末）如图，已知，，，则的长等于　 　．
【答案】4
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵，
，
故答案为：4．
【分析】根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
16．（2024八下·邵东期末）如图，，，，．若，则AD的长为　 　．
【答案】13
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：在Rt△BCD中，
∵∠C=90°
∴△BCD是直角三角形
在Rt△BCD中
∵BC=3，CD=4
由勾股定理可得：
∵∠ABD=90°
∴△ABD是直角三角形
在Rt△ABD中
∵BA=12，BD=5
由勾股定理可得：
故答案为：13．
【分析】根据勾股定理即可求出答案.
17．（2024八下·邵东期末）如图，已知长方形中，，在边上取一点E，将折叠使点D恰好落在边上的点F，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形是长方形，
，
根据折叠性质得：，
在中，由勾股定理得：，
即，
，
，
故答案为：．
【分析】根据长方形性质可得，再根据折叠性质可得，再根据勾股定理可得BF，再根据边之间的关系即可求出答案.
18．（2024八下·邵东期末）丁俊晖年少时立志在斯洛克界闯出一番天地，为了圆梦，父母卖店卖房凑学费，凭借自己的勤奋和热爱以及天赋终成斯洛克中国第一人．斯洛克的目标球P撞击边的运动轨迹类似于光的镜面反射．如图一在矩形中，撞击点为O，则有．在图二中，目标球P到边的距离是，到边的距离是，边长为，现在，要使目标球P撞击边（只撞击边一次，不撞击其它的边）随即反弹进入C袋口，则目标球P从开始运动到落入C袋口移动的距离为　 　m．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；轴对称的性质
【解析】【解答】过点作交于点，交于点，作点关于的对称点，
则，四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴三点共线，
∴则目标球P从开始运动到落入C袋口移动的距离为．
故答案为：．
【分析】过点作交于点，交于点，作点关于的对称点，则，四边形是矩形，再根据矩形性质可得，，根据边之间的关系可得P'E，再根据勾股定理可得P'C，根据角之间的关系可得，即三点共线，再根据边之间的关系即可求出答案.
19．（2024八下·邵东期末）已知一个一次函数的图象过点和．
（1）求这个函数的解析式；
（2）当时，求y的值．
【答案】（1）解：设这个一次函数的解析式为，
∵的图象过点和，
，
解方程组得，
∴这个一次函数的解析式为；
（2）解：当时，．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）设这个一次函数的解析式为，根据待定系数法将点A，B坐标代入解析式即可求出答案.
（2）将x=3代入解析式即可求出答案.
（1）解：设这个一次函数的解析式为，
∵的图象过点和，
，
解方程组得，
∴这个一次函数的解析式为；
（2）解：当时，．
20．（2024八下·邵东期末）如图，已知是等边三角形，点、分别在线段、上，，．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）连结，若，，求的长度．
【答案】（1）证明：是等边三角形，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：连接，如图所示：
，，
是等边三角形，
，，
，
，
是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
，
．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据等边三角形性质可得，再根据直线平行判定定理可得，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
（2）连接，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，，再根据等边三角形性质可得，，则，根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（1）证明：是等边三角形，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：连接，如图所示：
，，
是等边三角形，
，，
，
，
是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
，
．
21．（2024八下·邵东期末）某校以“我最喜爱的体育运动”为主题对全校学生进行随机抽样调查，调查的运动项目有：篮球、羽毛球、乒乓球、跳绳及其他项目（每位同学仅选一项）．根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图：
运动项目 频数（人数） 频率
篮球 30 0.25
羽毛球 m 0.20
乒乓球 36 n
跳绳 18 0.15
其他 12 0.10
请根据以上图表信息解答下列问题：
（1）频数分布表中的__________，__________；
（2）在扇形统计图中，“乒乓球”所在的扇形的圆心角的度数为__________；
（3）根据统计数据估计该校1200名中学生中，最喜爱乒乓球这项运动的约多少人．
【答案】（1）24，0.3
（2）
（3）解：根据统计数据估计该校1200名中学生中，最喜爱乒乓球这项运动的大约有：（人．
答：估计该校1200名中学生中，最喜爱乒乓球这项运动的大约有330人．
【知识点】统计表；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：（人，
，
，
故答案为：24，0.3；
（2）解：．
即在扇形统计图中，“乒乓球”所在的扇形的圆心角的度数为．
故答案为：；
【分析】（1）根据篮球的人数和所占的百分比求出总人数，再用总人数乘以羽毛球所占的百分比，求出的值；再用乒乓球的人数除以总人数，求出的值；
（2）用乘以最喜爱乒乓球所占的百分比，即可求出对应的扇形圆心角的度数；
（3）用1200乘以样本中最喜爱乒乓球所占的百分比，即可得出答案．
22．（2024八下·邵东期末）某城市为了让居民节约用电，决定实行阶梯收费标准：每户居民每月用电量在100度以内，每度电0.8元；每月用电量超过100度，则超出部分每度电加0.7元．电力公司为了建立收费系统，必须创建两个收费公式．
（1）请你用所学的函数知识为电力公司创建两个收费公式．
（2）某户居民6月份电费为110元，请用创建的公式计算这户居民6月份的用电量．
【答案】（1）解：设用电量为x度，收费为y元，
当时，收费为元；
当时，收费为元；
（2）解：∵，
∴用电量超过100度，
则，
解得，
答：这户居民6月份的用电量为度．
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据题意分情况讨论即可求出答案.
（2）由题意可知用电量超过100度，列出方程，解方程即可求出答案.
（1）设用电量为x度，收费为y元，
当时，收费为元；
当时，收费为元；
（2）解：∵，
∴用电量超过100度，
则，
解得，
答：这户居民6月份的用电量为度．
23．（2024八下·邵东期末）在上学期学习全等三角形的知识时小美碰到一个这样的怪题：“如图，在中，平分，D是的中点，求证：”，当时，小美用的论证方法是倍长中线，今天，小美又研究了一种全新的方法：过点D分别作和的垂线，再证三角形全等即可．请你也用这种全新的方法完成论证．
【答案】解：过点D作于点E，于点F，
则，
又∵平分，
∴，
又∵D是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；等腰三角形的判定
【解析】【分析】过点D作于点E，于点F，则，根据角平分线性质可得，再根据线段中点可得，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据等角对等边即可求出答案.
24．（2024八下·邵东期末）如图，已知直线分别与x轴、y轴交于D、A两点；直线与y轴交于B点，与直线交于C点．
（1）求点B的坐标；
（2）求三角形的面积．
【答案】（1）解：在直线中，
当时，，则；
（2）解：在直线中，
当时，，则；
联立解方程组，
解得：，
则点坐标为；
则的面积．
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据y轴上点的坐标特征令，代入解析式即可求出答案.
（2）根据y轴上点的坐标特征可得，联立两直线解析式，解方程组可得点坐标为，再根据三角形面积即可求出答案.
（1）解：在直线中，
当时，，则；
（2）解：在直线中，
当时，，则；
联立解方程组，
解得：，
则点坐标为；
则的面积．
25．（2024八下·邵东期末）我们知道在任意直角三角形中有一个重量级定理——勾股定理！即如图一，在直角三角形中，，，，则有：．为了论证这个定理，数学家脑洞大开，用四个这样全等的直角三角形拼成图二，请同学们完成下列提问．
（1）求证：四边形和四边形都是正方形；
（2）利用图二，求证：．
【答案】（1）证明：∵，
∴，，，
∴四边形是菱形，
∵，
∴，
∴四边形是正方形；
∵，
∴，，
∴，
∴四边形是菱形，
∵，
∴四边形是正方形；
（2）解：∵，
∴，
∴.
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理的证明；正方形的判定；“赵爽弦图”模型；面积及等积变换
【解析】【分析】（1）根据全等三角形性质可得，，，再根据菱形判定定理可得四边形是菱形，根据角之间的关系可得，则四边形是正方形；根据全等三角形判定定理可得，，则，再根据菱形判定定理可得四边形是菱形，根据角之间的关系可得，则四边形是正方形.
（2）根据等面积法即可求出答案.
（1）证明：∵，
∴，，，
∴四边形是菱形，
∵，
∴，
∴四边形是正方形；
∵，
∴，，
∴，
∴四边形是菱形，
∵，
∴四边形是正方形；
（2）解：∵，
∴，
∴.
26．（2024八下·邵东期末）探索发现一：法国近代数学家笛卡尔是一位勇于探索的人，他石破天惊的创建了代数与几何结合，即数形结合！他的这一天才创举，为微积分的创立奠定了基础，从而推动数学往前进了一大步！在他创建的平面直角坐标系中，我们学到一次函数的图象是一条直线，书本上的描述是：数学上已经证明了正比例函数的图象是一条直线．勇于探索和挑战的小聪一心想证明出函数的图像是一条直线！于是他找了图像上的三个点，，，并且巧妙的论证出这三点在同一条直线上，聪明的你也来论证一下吧！
探索发现二：小慧碰到一道题：在平面直角坐标系中，线段的两个端点坐标分别为，，将线段绕点O逆时针旋转90°到位置，则点的坐标是什么？
（1）请写出点的坐标______．
（2）小慧通过计算发现所在直线的函数表达式为，所在直线的函数表达式为，而且有．于是她大胆猜想：两个一次函数图象如果互相垂直，则他们的k乘积为，请敢于探索发现的你来完成下面的论证：
如图，已知直线与直线互相垂直，求证：．
【答案】（1）
（2）解：在直线上取一点P，把绕点O逆时针旋转90°到位置，则点在直线上，
设点P的坐标为，根据（1）可得点的坐标为，
∴，，
解得，，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；旋转的性质；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】（1）如图，过点P作轴于点A，过点作轴于点B，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
又∵点在第二象限，
∴点的坐标为；
【分析】（1）过点P作轴于点A，过点作轴于点B，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据第二象限点的坐标特征即可求出答案.
（2）在直线上取一点P，把绕点O逆时针旋转90°到位置，则点在直线上，设点P的坐标为，根据（1）可得点的坐标为，分别代入解析式可得，，结合分式乘法即可求出答案.
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