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湖南省衡阳市华新实验中学2023-2024学年八年级下学期期末考试数学试题
1．（2024八下·衡阳期末）下列分式中，属于最简分式的是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简分式的概念
【解析】【解答】A. ，该选项不符合题意；
B. ，该选项不符合题意；
C. ，该选项不符合题意；
D. ，分子、分母中没有公因式，是最简分式；
故答案为：D
【分析】根据题意，由最简分式的含义，判断得到答案即可。
2．（2024八下·衡阳期末）若，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：由题意得，
∴，
故答案为：D
【分析】先根据比例得到，进而代入即可求解。
3．（2024八下·衡阳期末）如果实数a，b满足，那么等于（　　）
A． B． C． D．3
【答案】A
【知识点】偶次方的非负性；绝对值的非负性；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵实数a，b满足，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
故选：A．
【分析】根据绝对值，偶次方的非负性可得a，b值，再代入代数式即可求出答案.
4．（2024八下·衡阳期末）下列式子：①②③④⑤．其中y是x的函数的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】函数的概念
【解析】【解答】解：①，y是x的函数；
②，y不是x的函数；
③，y是x的函数；
④，当x取一个值时，有两个y值与之对应，故y不是x的函数；
⑤．y是x的函数；
所以其中y是x的函数的个数是3，
故选：B
【分析】根据函数的定义逐项进行判断即可求出答案.
5．（2024八下·衡阳期末）如图，直线与交于点，则关于的二元一次方程组的解为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：∵直线与交于点，
∴关于的二元一次方程组的解为，
故选：A．
【分析】直接根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解即可求出答案.
6．（2024八下·衡阳期末）在平行四边形中，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图：
∵四边形为平行四边形，
∴.
∵，
∴，
∴.
故选D．
【分析】根据平行四边形性质即可求出答案.
7．（2024八下·衡阳期末）如图，在菱形中，点分别是边的中点，连接．若菱形的面积为16，则的面积为（　　）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】C
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解 ：连接和，
∵四边形ABCD是菱形，
∴，，
∴
∵点分别是边的中点，
∴EF是△ADC的中位线，
∴，，
∴，
∵点分别是边的中点，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】先根据菱形的性质求得，再根据三角形的中位线定理，可得，，从而求得，再利用求解．
8．（2024八下·衡阳期末）如图，矩形中，对角线、交于点O．若，，则的长为（　　）
A．3 B．4 C． D．5
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：四边形是矩形，且，
，
，
是等边三角形，，
故答案为：B．
【分析】先利用矩形的性质可得，再证出是等边三角形，最后利用等边三角形的性质可得.
9．（2024八下·衡阳期末）某排球队12名队员的年龄如表：该队队员年龄的众数和中位数分别是（　　）
年龄（岁） 18 19 20 21 22
人数（人） 2 4 3 2 1
A．19岁，19岁 B．19岁，19.5岁
C．19岁，20岁 D．20岁，21岁
【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：这组数据中19出现4次，次数最多，
众数为19岁，
中位数是第6、7个数据的平均数，
中位数为岁，
故选：B．
【分析】根据众数，中位数的定义即可求出答案.
10．（2024八下·衡阳期末）如图，在边长为6的正方形内作，交于点E，交于点F，连接，将绕点A顺时针旋转得到．若，则的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解；∵绕点A顺时针旋转得到，
，
，，
三点共线，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
设，
，
， 则，
，
，
，
解得：，
的长为2．
故选：B．
【分析】根据旋转性质可得，则，，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，设，则， 则，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
11．（2024八下·衡阳期末）世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有0.000000076克，用科学记数法表示是　 　克．
【答案】7.6×10﹣8
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.000000076=7.6×10﹣8．
故答案为：7.6×10﹣8．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
12．（2024八下·衡阳期末）若分式的值为零，则x的取值为　 　．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式的值为零
∴
∴．
故答案为：．
【分析】根据分式值为0，有意义的条件即可求出答案.
13．（2024八下·衡阳期末）一组数据的中位数和平均数相等，则的值是　 　．
【答案】或或
【知识点】平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：由于数据1，2，4，6，x的中位数和平均数相等，
当x≥6时，该组数据的中位数是4，
∴，
解得：x=7；
当4≤x＜6时，该组数据的中位数是4，
∴，
解得：x=7，∵4≤x＜6舍去；
当2≤x＜4时，该组数据的中位数是x，
∴，
解得：x=；
当1≤x<2时，该组数据的中位数是2，
∴，
解得：x=-3；
当x<1时，该组数据的中位数是2，
∴，
解得：x=-3，∵x<1舍去；
故答案为：-3或7或.
【分析】据平均数与中位数的定义分五种情况x≥6，4≤x＜6，2≤x＜4，1≤x<2，x<1时，分别列出方程，进行计算即可求出答案.
14．（2024八下·衡阳期末）如图，在平行四边形中，于点，于点．若，，且平行四边形的周长为40，则平行四边形的面积为　 　．
【答案】48
【知识点】平行四边形的性质；面积及等积变换
【解析】【解答】解：∵平行四边形的周长为40，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为；48．
【分析】根据平行四边形周长可得，再根据平行四边形面积可得，建立方程，解方程可得CD，再根据面积即可求出答案.
15．（2024八下·衡阳期末）函数和的图像如图所示，则关于的不等式的解集是　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图像可得两函数图象的交点坐标为，
所以关于x的不等式的解集是．
故答案为：．
【分析】当函数图象在函数图象下方时，有，结合函数图象即可求出答案.
16．（2024八下·衡阳期末）已知菱形的周长是20，且较短的对角线长是6，则此菱形的面积为　 　．
【答案】24
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，
四边形是菱形，
，，，，
，
∴BD=8，
，
故答案：．
【分析】先利用菱形的性质求出，，，，再利用勾股定理求出OB的长，再求出BD=8，最后利用菱形的面积等于对角线乘积的一半列出算式求解即可.
17．（2024八下·衡阳期末）菱形中，，，，垂足为，点在菱形的边上，若，则的长为 　 　．
【答案】或或
【知识点】勾股定理；菱形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：在中，，
为等腰直角三角形，
，
，
当点在上，，
当点在上，过点作于点，如图1，
四边形是菱形，
，，
为等腰直角三角形，
，，
，
在 中，，
，
解得，
．
当点在上，过点于点，连接，如图2，
，，
，
，
，
综上所述，的长为或或．
故答案为：或或．
【分析】根据等腰直角三角形性质可得DE，则，分情况讨论：当点在上，，当点在上，过点作于点，根据菱形性质可得，，再根据等腰直角三角形判定定理可得为等腰直角三角形，则，，再根据边之间的关系可得DH，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案；当点在上，过点于点，连接，根据等腰直角三角形性质可得，根据边之间的关系可得CH，再根据勾股定理即可求出答案.
18．（2024八下·衡阳期末）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按HUI图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2）…根据这个规律，第2018个点的坐标为　 　．
【答案】（45，7）
【知识点】点的坐标；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：观察图形可知，到每一横坐标结束，经过整数点的点的总个数等于最后点的横坐标的平方，并且横坐标是奇数时最后以横坐标为该数，纵坐标为0结束，当横坐标是偶数时，以横坐标为1，纵坐标为横坐标减1的点结束，
横坐标为1的点结束，共有1个，1=12，横坐标为2的点结束，共有2个，4=22，横坐标为3的点结束，共有9个，9=32，横坐标为4的点结束，共有16个，16=42，…横坐标为n的点结束，共有n2个．
∵452=2025，
∴第2025个点是（45，0）
∴第2018个点是（45，7）
【分析】根据图形，求出与2018最接近的完全平方数，再根据这个完全平方数个点的位置确定出与第2018个点关系，然后求解即可．
19．（2024八下·衡阳期末）计算：．
【答案】解：
【知识点】零指数幂；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】先化简算术平方根、立方根、零次幂，再运算加减法，即可求出答案.
20．（2024八下·衡阳期末）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式
当时，原式．
【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合完全平方公式化简，再将a值代入即可求出答案.
21．（2024八下·衡阳期末）如图，平行四边形，E、F两点在对角线上，且，连接．求证：四边形是平行四边形．
【答案】证明：如图所示，连接与交于O，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】连接与交于O，利用平行四边形的性质可得，利用线段的和差及等量代换可得，从而可证出四边形是平行四边形．
22．（2024八下·衡阳期末）某校七年级和八年级的学生参加科普知识竞赛，成绩得分用x表示，共分为四组：，，，，下面给出了部分信息：
七年级20名学生的成绩是：
69，76，78，79，82，84，85，86，86，86，86，88，88，90，92，92，95，98，100，100．
八年级20名学生的成绩在C组中的数据是：83，85，85，86，87，89，89，89，89．
七、八两年级抽取的学生成绩数据统计表
班级 平均数 中位数 众数 满分率
七年级 87 86
八年级 87 89
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出图表中a、b的值：　 　，　　．
（2）根据以上数据，你认为七年级和八年级中哪个年级的学生掌握科普知识较好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）该校七年级有400名学生和八年级有500名学生参加了此次科普知识竞赛，请估计两个年级成绩达到90分及以上的学生共有多少人？
【答案】（1）86；89
（2）解：八年级的学生掌握科普知识较好．
理由：七年级和八年级抽取的学生成绩的平均数相同，但八年级的中位数比七年级的中位数大，
所以八年级的学生掌握科普知识较好．
（3）解：（人．
两个年级成绩达到90分及以上的学生一共约有315人．
【知识点】扇形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由七年级20名学生的成绩可知，出现次数最多的为86，
．
八年级20名学生的成绩在组中的人数为（人，
将八年级20名学生的成绩按照从小到大的顺序排列，排在第10和11位的为89，89，
．
故答案为：86；89．
【分析】（1）根据中位数、众数的定义可得答案．
（2）根据平均数、中位数的意义可得结论．
（3）根据用样本估计总体，用400乘以七年级成绩达到90分及以上的百分比加上500乘以八年级成绩达到90分及以上的百分比即可得出答案．
（1）由七年级20名学生的成绩可知，出现次数最多的为86，
．
八年级20名学生的成绩在组中的人数为（人，
将八年级20名学生的成绩按照从小到大的顺序排列，排在第10和11位的为89，89，
．
故答案为：86；89．
（2）八年级的学生掌握科普知识较好．
理由：七年级和八年级抽取的学生成绩的平均数相同，但八年级的中位数比七年级的中位数大，
所以八年级的学生掌握科普知识较好．
（3）（人．
两个年级成绩达到90分及以上的学生一共约有315人．
23．（2024八下·衡阳期末）如图，在中，，点是边的中点，过点，分别作与的平行线，相交于点，连接，，与交于点．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）当时，求证：四边形是正方形．
【答案】（1）证明：∵，点是边的中点，
∴，，
∴，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形；
（2）证明：∵，，
∴，即，
由（）知四边形是矩形，
∴四边形是正方形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形性质可得，，再根据平行四边形判定定理可得四边形为平行四边形，则，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（2）根据直线平行性质可得，即，再根据正方形判定定理即可求出答案.
（1）证明：∵，点是边的中点，
∴，，
∴，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形；
（2）证明：∵，，
∴，即，
由（）知四边形是矩形，
∴四边形是正方形．
24．（2024八下·衡阳期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的，B两点．
（1）求反比例函数的解析式和B的坐标；
（2）当时，请直接写出x的取值范围．
【答案】（1）解：一次函数经过点，
，
解得：，
，
把点代入反比例函数，
得，
解得：，
反比例函数的解析式为，
联立方程组得，
解得：，，
点B的坐标为；
（2）或
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：（2）由图像可知：当时，x的取值范围为或．
【分析】（1）将点A坐标代入一次函数解析式可得，再根据待定系数法将点A坐标代入反比例函数解析式可得反比例函数的解析式为，联立两函数解析式，解方程组即可求出答案.
（2）当一次函数图象在反比例函数图象上方时，有，结合函数图象即可求出答案.
（1）解：一次函数经过点，
，
解得：，
，
把点代入反比例函数，
得，
解得：，
反比例函数的解析式为，
联立方程组得，
解得：，，
点B的坐标为；
（2）由图像可知：当时，x的取值范围为或．
25．（2024八下·衡阳期末）某商场购进A，B两种商品共件进行销售，其中A商品的件数不超过B商品件数的2倍，不少于B商品件数的一半，A，B两种商品的进价、售价如表：
A B
进价（元/件）
售价（元/件）
请利用所学知识解决下列问题：
（1）设商场购进A商品的件数为x件，购进A，B两种商品全部售出后获得利润为y元，求y与x之间的函数关系式及x的取值范围：
（2）在（1）的条件下，商场购进A商品多少件时，商场获得利润最大？最大利润是多少元？
（3）在（1）的条件下，商场决定在销售活动中每售出一件A商品，就从一件A商品的利润中拿出m元捐给慈善基金，则商场购进A商品多少件时，可获得最大利润？
【答案】（1）解：依题意得，，
∴y与x之间的函数关系式是；
依题意得，，
解得，，
∴x的取值范围；
（2）解：，
∵，
∴当时，y取最大值，为，
∴商场购进A商品件时，商场获得利润最大，最大利润是元；
（3）解：设A，B商品全部售出后获得利润为w元，则，
∵，
∴，
∴w随x的增大而减小，
∴当时，w取最大值，
∴商场购进A商品件时，可获得最大利润．
【知识点】一元一次不等式组的应用；一次函数的实际应用-销售问题；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据利润=单件利润×总销售量，列式函数关系式，再根据列出关于x的不等式组，解不等式组即可求出答案.
（2）根据一次函数的性质即可求出答案.
（3）设A，B商品全部售出后获得利润为w元，根据题意建立函数关系式，结合一次函数性质即可求出答案.
（1）解：依题意得，，
∴y与x之间的函数关系式是；
依题意得，，
解得，，
∴x的取值范围；
（2）解：，
∵，
∴当时，y取最大值，为，
∴商场购进A商品件时，商场获得利润最大，最大利润是元；
（3）解：设A，B商品全部售出后获得利润为w元，则，
∵，
∴，
∴w随x的增大而减小，
∴当时，w取最大值，
∴商场购进A商品件时，可获得最大利润．
26．（2024八下·衡阳期末）在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，，且与直线交于点．
（1）分别求出，，三点的坐标；
（2）若是射线上的点，且的面积为12，求直线的函数解析式；
（3）在（2）的条件下，在平面内是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：直线，当时，，当 时，，
，，
联立方程组，解得，
，
综上所述，，，；
（2）解：设，
的面积为12，
，解得：，
，
设直线的函数表达式是，把，代入得，
解得，
，即直线的函数表达式是；
（3）存在，或或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；三角形的面积；平行四边形的性质；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】（3）解：存在点，分以下三种情况：
①以为对角线时，
，，
点即为点向上平移6个单位，
；
②以为对角线时，
，，
点即为点向下平移6个单位，
；
③以为对角线时，
，，，四边形是平行四边形，
的中点坐标为的中点坐标，
；
综上所述，符合条件的点坐标有或或．
【分析】根据坐标轴上点的坐标特征可得，，再联立两直线解析式，解方程组即可求出点C坐标.
（2）设，根据三角形面积建立方程，解方程可得，设直线的函数表达式是，再根据待定系数法将点C，D坐标代入解析式即可求出答案.
（3）分情况讨论：①以为对角线时，②以为对角线时，③以为对角线时，作出图形，再根据点的平移性质即可求出答案.
（1）解：直线，当时，，当 时，，
，，
联立方程组，解得，
，
综上所述，，，；
（2）解：设，
的面积为12，
，解得：，
，
设直线的函数表达式是，把，代入得，
解得，
，即直线的函数表达式是；
（3）解：存在点，分以下三种情况：
①以为对角线时，
，，
点即为点向上平移6个单位，
；
②以为对角线时，
，，
点即为点向下平移6个单位，
；
③以为对角线时，
，，，四边形是平行四边形，
的中点坐标为的中点坐标，
；
综上所述，符合条件的点坐标有或或．
1 / 1湖南省衡阳市华新实验中学2023-2024学年八年级下学期期末考试数学试题
1．（2024八下·衡阳期末）下列分式中，属于最简分式的是（　　）．
A． B． C． D．
2．（2024八下·衡阳期末）若，则的值是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024八下·衡阳期末）如果实数a，b满足，那么等于（　　）
A． B． C． D．3
4．（2024八下·衡阳期末）下列式子：①②③④⑤．其中y是x的函数的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．（2024八下·衡阳期末）如图，直线与交于点，则关于的二元一次方程组的解为（　　）
A． B． C． D．
6．（2024八下·衡阳期末）在平行四边形中，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．（2024八下·衡阳期末）如图，在菱形中，点分别是边的中点，连接．若菱形的面积为16，则的面积为（　　）
A．8 B．7 C．6 D．5
8．（2024八下·衡阳期末）如图，矩形中，对角线、交于点O．若，，则的长为（　　）
A．3 B．4 C． D．5
9．（2024八下·衡阳期末）某排球队12名队员的年龄如表：该队队员年龄的众数和中位数分别是（　　）
年龄（岁） 18 19 20 21 22
人数（人） 2 4 3 2 1
A．19岁，19岁 B．19岁，19.5岁
C．19岁，20岁 D．20岁，21岁
10．（2024八下·衡阳期末）如图，在边长为6的正方形内作，交于点E，交于点F，连接，将绕点A顺时针旋转得到．若，则的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．（2024八下·衡阳期末）世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有0.000000076克，用科学记数法表示是　 　克．
12．（2024八下·衡阳期末）若分式的值为零，则x的取值为　 　．
13．（2024八下·衡阳期末）一组数据的中位数和平均数相等，则的值是　 　．
14．（2024八下·衡阳期末）如图，在平行四边形中，于点，于点．若，，且平行四边形的周长为40，则平行四边形的面积为　 　．
15．（2024八下·衡阳期末）函数和的图像如图所示，则关于的不等式的解集是　 　．
16．（2024八下·衡阳期末）已知菱形的周长是20，且较短的对角线长是6，则此菱形的面积为　 　．
17．（2024八下·衡阳期末）菱形中，，，，垂足为，点在菱形的边上，若，则的长为 　 　．
18．（2024八下·衡阳期末）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按HUI图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2）…根据这个规律，第2018个点的坐标为　 　．
19．（2024八下·衡阳期末）计算：．
20．（2024八下·衡阳期末）先化简，再求值：，其中．
21．（2024八下·衡阳期末）如图，平行四边形，E、F两点在对角线上，且，连接．求证：四边形是平行四边形．
22．（2024八下·衡阳期末）某校七年级和八年级的学生参加科普知识竞赛，成绩得分用x表示，共分为四组：，，，，下面给出了部分信息：
七年级20名学生的成绩是：
69，76，78，79，82，84，85，86，86，86，86，88，88，90，92，92，95，98，100，100．
八年级20名学生的成绩在C组中的数据是：83，85，85，86，87，89，89，89，89．
七、八两年级抽取的学生成绩数据统计表
班级 平均数 中位数 众数 满分率
七年级 87 86
八年级 87 89
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出图表中a、b的值：　 　，　　．
（2）根据以上数据，你认为七年级和八年级中哪个年级的学生掌握科普知识较好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）该校七年级有400名学生和八年级有500名学生参加了此次科普知识竞赛，请估计两个年级成绩达到90分及以上的学生共有多少人？
23．（2024八下·衡阳期末）如图，在中，，点是边的中点，过点，分别作与的平行线，相交于点，连接，，与交于点．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）当时，求证：四边形是正方形．
24．（2024八下·衡阳期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的，B两点．
（1）求反比例函数的解析式和B的坐标；
（2）当时，请直接写出x的取值范围．
25．（2024八下·衡阳期末）某商场购进A，B两种商品共件进行销售，其中A商品的件数不超过B商品件数的2倍，不少于B商品件数的一半，A，B两种商品的进价、售价如表：
A B
进价（元/件）
售价（元/件）
请利用所学知识解决下列问题：
（1）设商场购进A商品的件数为x件，购进A，B两种商品全部售出后获得利润为y元，求y与x之间的函数关系式及x的取值范围：
（2）在（1）的条件下，商场购进A商品多少件时，商场获得利润最大？最大利润是多少元？
（3）在（1）的条件下，商场决定在销售活动中每售出一件A商品，就从一件A商品的利润中拿出m元捐给慈善基金，则商场购进A商品多少件时，可获得最大利润？
26．（2024八下·衡阳期末）在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，，且与直线交于点．
（1）分别求出，，三点的坐标；
（2）若是射线上的点，且的面积为12，求直线的函数解析式；
（3）在（2）的条件下，在平面内是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】最简分式的概念
【解析】【解答】A. ，该选项不符合题意；
B. ，该选项不符合题意；
C. ，该选项不符合题意；
D. ，分子、分母中没有公因式，是最简分式；
故答案为：D
【分析】根据题意，由最简分式的含义，判断得到答案即可。
2．【答案】D
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：由题意得，
∴，
故答案为：D
【分析】先根据比例得到，进而代入即可求解。
3．【答案】A
【知识点】偶次方的非负性；绝对值的非负性；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵实数a，b满足，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
故选：A．
【分析】根据绝对值，偶次方的非负性可得a，b值，再代入代数式即可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】函数的概念
【解析】【解答】解：①，y是x的函数；
②，y不是x的函数；
③，y是x的函数；
④，当x取一个值时，有两个y值与之对应，故y不是x的函数；
⑤．y是x的函数；
所以其中y是x的函数的个数是3，
故选：B
【分析】根据函数的定义逐项进行判断即可求出答案.
5．【答案】A
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：∵直线与交于点，
∴关于的二元一次方程组的解为，
故选：A．
【分析】直接根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解即可求出答案.
6．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图：
∵四边形为平行四边形，
∴.
∵，
∴，
∴.
故选D．
【分析】根据平行四边形性质即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解 ：连接和，
∵四边形ABCD是菱形，
∴，，
∴
∵点分别是边的中点，
∴EF是△ADC的中位线，
∴，，
∴，
∵点分别是边的中点，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】先根据菱形的性质求得，再根据三角形的中位线定理，可得，，从而求得，再利用求解．
8．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：四边形是矩形，且，
，
，
是等边三角形，，
故答案为：B．
【分析】先利用矩形的性质可得，再证出是等边三角形，最后利用等边三角形的性质可得.
9．【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：这组数据中19出现4次，次数最多，
众数为19岁，
中位数是第6、7个数据的平均数，
中位数为岁，
故选：B．
【分析】根据众数，中位数的定义即可求出答案.
10．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解；∵绕点A顺时针旋转得到，
，
，，
三点共线，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
设，
，
， 则，
，
，
，
解得：，
的长为2．
故选：B．
【分析】根据旋转性质可得，则，，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，设，则， 则，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
11．【答案】7.6×10﹣8
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.000000076=7.6×10﹣8．
故答案为：7.6×10﹣8．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
12．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式的值为零
∴
∴．
故答案为：．
【分析】根据分式值为0，有意义的条件即可求出答案.
13．【答案】或或
【知识点】平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：由于数据1，2，4，6，x的中位数和平均数相等，
当x≥6时，该组数据的中位数是4，
∴，
解得：x=7；
当4≤x＜6时，该组数据的中位数是4，
∴，
解得：x=7，∵4≤x＜6舍去；
当2≤x＜4时，该组数据的中位数是x，
∴，
解得：x=；
当1≤x<2时，该组数据的中位数是2，
∴，
解得：x=-3；
当x<1时，该组数据的中位数是2，
∴，
解得：x=-3，∵x<1舍去；
故答案为：-3或7或.
【分析】据平均数与中位数的定义分五种情况x≥6，4≤x＜6，2≤x＜4，1≤x<2，x<1时，分别列出方程，进行计算即可求出答案.
14．【答案】48
【知识点】平行四边形的性质；面积及等积变换
【解析】【解答】解：∵平行四边形的周长为40，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为；48．
【分析】根据平行四边形周长可得，再根据平行四边形面积可得，建立方程，解方程可得CD，再根据面积即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图像可得两函数图象的交点坐标为，
所以关于x的不等式的解集是．
故答案为：．
【分析】当函数图象在函数图象下方时，有，结合函数图象即可求出答案.
16．【答案】24
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，
四边形是菱形，
，，，，
，
∴BD=8，
，
故答案：．
【分析】先利用菱形的性质求出，，，，再利用勾股定理求出OB的长，再求出BD=8，最后利用菱形的面积等于对角线乘积的一半列出算式求解即可.
17．【答案】或或
【知识点】勾股定理；菱形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：在中，，
为等腰直角三角形，
，
，
当点在上，，
当点在上，过点作于点，如图1，
四边形是菱形，
，，
为等腰直角三角形，
，，
，
在 中，，
，
解得，
．
当点在上，过点于点，连接，如图2，
，，
，
，
，
综上所述，的长为或或．
故答案为：或或．
【分析】根据等腰直角三角形性质可得DE，则，分情况讨论：当点在上，，当点在上，过点作于点，根据菱形性质可得，，再根据等腰直角三角形判定定理可得为等腰直角三角形，则，，再根据边之间的关系可得DH，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案；当点在上，过点于点，连接，根据等腰直角三角形性质可得，根据边之间的关系可得CH，再根据勾股定理即可求出答案.
18．【答案】（45，7）
【知识点】点的坐标；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：观察图形可知，到每一横坐标结束，经过整数点的点的总个数等于最后点的横坐标的平方，并且横坐标是奇数时最后以横坐标为该数，纵坐标为0结束，当横坐标是偶数时，以横坐标为1，纵坐标为横坐标减1的点结束，
横坐标为1的点结束，共有1个，1=12，横坐标为2的点结束，共有2个，4=22，横坐标为3的点结束，共有9个，9=32，横坐标为4的点结束，共有16个，16=42，…横坐标为n的点结束，共有n2个．
∵452=2025，
∴第2025个点是（45，0）
∴第2018个点是（45，7）
【分析】根据图形，求出与2018最接近的完全平方数，再根据这个完全平方数个点的位置确定出与第2018个点关系，然后求解即可．
19．【答案】解：
【知识点】零指数幂；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】先化简算术平方根、立方根、零次幂，再运算加减法，即可求出答案.
20．【答案】解：原式
当时，原式．
【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合完全平方公式化简，再将a值代入即可求出答案.
21．【答案】证明：如图所示，连接与交于O，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】连接与交于O，利用平行四边形的性质可得，利用线段的和差及等量代换可得，从而可证出四边形是平行四边形．
22．【答案】（1）86；89
（2）解：八年级的学生掌握科普知识较好．
理由：七年级和八年级抽取的学生成绩的平均数相同，但八年级的中位数比七年级的中位数大，
所以八年级的学生掌握科普知识较好．
（3）解：（人．
两个年级成绩达到90分及以上的学生一共约有315人．
【知识点】扇形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由七年级20名学生的成绩可知，出现次数最多的为86，
．
八年级20名学生的成绩在组中的人数为（人，
将八年级20名学生的成绩按照从小到大的顺序排列，排在第10和11位的为89，89，
．
故答案为：86；89．
【分析】（1）根据中位数、众数的定义可得答案．
（2）根据平均数、中位数的意义可得结论．
（3）根据用样本估计总体，用400乘以七年级成绩达到90分及以上的百分比加上500乘以八年级成绩达到90分及以上的百分比即可得出答案．
（1）由七年级20名学生的成绩可知，出现次数最多的为86，
．
八年级20名学生的成绩在组中的人数为（人，
将八年级20名学生的成绩按照从小到大的顺序排列，排在第10和11位的为89，89，
．
故答案为：86；89．
（2）八年级的学生掌握科普知识较好．
理由：七年级和八年级抽取的学生成绩的平均数相同，但八年级的中位数比七年级的中位数大，
所以八年级的学生掌握科普知识较好．
（3）（人．
两个年级成绩达到90分及以上的学生一共约有315人．
23．【答案】（1）证明：∵，点是边的中点，
∴，，
∴，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形；
（2）证明：∵，，
∴，即，
由（）知四边形是矩形，
∴四边形是正方形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形性质可得，，再根据平行四边形判定定理可得四边形为平行四边形，则，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（2）根据直线平行性质可得，即，再根据正方形判定定理即可求出答案.
（1）证明：∵，点是边的中点，
∴，，
∴，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形；
（2）证明：∵，，
∴，即，
由（）知四边形是矩形，
∴四边形是正方形．
24．【答案】（1）解：一次函数经过点，
，
解得：，
，
把点代入反比例函数，
得，
解得：，
反比例函数的解析式为，
联立方程组得，
解得：，，
点B的坐标为；
（2）或
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：（2）由图像可知：当时，x的取值范围为或．
【分析】（1）将点A坐标代入一次函数解析式可得，再根据待定系数法将点A坐标代入反比例函数解析式可得反比例函数的解析式为，联立两函数解析式，解方程组即可求出答案.
（2）当一次函数图象在反比例函数图象上方时，有，结合函数图象即可求出答案.
（1）解：一次函数经过点，
，
解得：，
，
把点代入反比例函数，
得，
解得：，
反比例函数的解析式为，
联立方程组得，
解得：，，
点B的坐标为；
（2）由图像可知：当时，x的取值范围为或．
25．【答案】（1）解：依题意得，，
∴y与x之间的函数关系式是；
依题意得，，
解得，，
∴x的取值范围；
（2）解：，
∵，
∴当时，y取最大值，为，
∴商场购进A商品件时，商场获得利润最大，最大利润是元；
（3）解：设A，B商品全部售出后获得利润为w元，则，
∵，
∴，
∴w随x的增大而减小，
∴当时，w取最大值，
∴商场购进A商品件时，可获得最大利润．
【知识点】一元一次不等式组的应用；一次函数的实际应用-销售问题；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据利润=单件利润×总销售量，列式函数关系式，再根据列出关于x的不等式组，解不等式组即可求出答案.
（2）根据一次函数的性质即可求出答案.
（3）设A，B商品全部售出后获得利润为w元，根据题意建立函数关系式，结合一次函数性质即可求出答案.
（1）解：依题意得，，
∴y与x之间的函数关系式是；
依题意得，，
解得，，
∴x的取值范围；
（2）解：，
∵，
∴当时，y取最大值，为，
∴商场购进A商品件时，商场获得利润最大，最大利润是元；
（3）解：设A，B商品全部售出后获得利润为w元，则，
∵，
∴，
∴w随x的增大而减小，
∴当时，w取最大值，
∴商场购进A商品件时，可获得最大利润．
26．【答案】（1）解：直线，当时，，当 时，，
，，
联立方程组，解得，
，
综上所述，，，；
（2）解：设，
的面积为12，
，解得：，
，
设直线的函数表达式是，把，代入得，
解得，
，即直线的函数表达式是；
（3）存在，或或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；三角形的面积；平行四边形的性质；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】（3）解：存在点，分以下三种情况：
①以为对角线时，
，，
点即为点向上平移6个单位，
；
②以为对角线时，
，，
点即为点向下平移6个单位，
；
③以为对角线时，
，，，四边形是平行四边形，
的中点坐标为的中点坐标，
；
综上所述，符合条件的点坐标有或或．
【分析】根据坐标轴上点的坐标特征可得，，再联立两直线解析式，解方程组即可求出点C坐标.
（2）设，根据三角形面积建立方程，解方程可得，设直线的函数表达式是，再根据待定系数法将点C，D坐标代入解析式即可求出答案.
（3）分情况讨论：①以为对角线时，②以为对角线时，③以为对角线时，作出图形，再根据点的平移性质即可求出答案.
（1）解：直线，当时，，当 时，，
，，
联立方程组，解得，
，
综上所述，，，；
（2）解：设，
的面积为12，
，解得：，
，
设直线的函数表达式是，把，代入得，
解得，
，即直线的函数表达式是；
（3）解：存在点，分以下三种情况：
①以为对角线时，
，，
点即为点向上平移6个单位，
；
②以为对角线时，
，，
点即为点向下平移6个单位，
；
③以为对角线时，
，，，四边形是平行四边形，
的中点坐标为的中点坐标，
；
综上所述，符合条件的点坐标有或或．
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