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四川省宜宾市2023-2024学年高一下学期期末学业质量监测数学试题
1．（2024高一下·宜宾期末）已知复数，则的虚部是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：，虚部为.
故答案为：B.
【分析】利用复数代数形式的乘除运算法则结合虚部的定义求解即可.
2．（2024高一下·宜宾期末）下列各组向量中，可以作为基底的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：A、因为，所以∥不可以作为基底，故A错误；
B、易知，则∥不可以作为基底，故B错误；
C、易知，则∥不可以作为基底，故C错误；
D、若∥，则存在实数使得，
则，方程组无解，即不共线可以作为基底，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据基底向量的定义结合向量共线的判定定理逐项判断即可.
3．（2024高一下·宜宾期末）某超市在两周内的蓝莓每日促销量如图所示，根据此折线图，下面结论错误的是（　　）
A．这14天日促销量的众数是214
B．这14天日促销量的中位数是196.5
C．这14天日促销量的极差为195
D．这14天日促销量的第80百分位数是243
【答案】D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：A、蓝莓每日促销量数据从小到大排列为：
，
则这14天蓝莓每日促销量的众数是214，故A正确；
B、这14天蓝莓每日促销量的中位数是第7和8个平均值，即，故B正确；
C、这14天蓝莓每日促销量的极差是，故C正确；
D、14天蓝莓每日促销量的第80百分位数，，则取第12个，即260，故D错误.
故答案为：D．
【分析】将数据从小到大排序，根据众数，中位数，极差，百分位数概念求解即可.
4．（2024高一下·宜宾期末）已知向量，，若，则与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：向量，，
若，则，
即，解得，
设与的夹角为，则，即与的夹角为.
故答案为：A.
【分析】由，可得，求得，再由平面向量的夹角公式求解即可.
5．（2024高一下·宜宾期末）如图所示，四等分切割圆柱，再将其重新组合成一个新的几何体，若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了100（单位：），则原圆柱的侧面积是（　　）（单位：）
A． B． C．100 D．200
【答案】A
【知识点】圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用
【解析】【解答】解：设圆柱的底面半径为，高为，由题意可得：，
则圆柱的侧面积.
故答案为：A.
【分析】设圆柱的底面半径为，高为，由题意可得，再根据圆柱得侧面积公式计算即可.
6．（2024高一下·宜宾期末）在中，，，的角平分线交AC于点D，，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形中的几何计算
【解析】【解答】解： 在中， 设，
，
即，解得，
则
故答案为：D.
【分析】利用角平分线表示面积求出边长t，再根据三角形面积公式计算即可.
7．（2024高一下·宜宾期末）钟鼓楼是宜宾市老城区中山街的一座标志性建筑，某同学为测量钟鼓楼的高度MN，在钟鼓楼的正东方向找到一座建筑物AB，高约为15m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，钟鼓楼顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得钟鼓楼顶部M的仰角为15°，则钟鼓楼的高度约为（　　）
A．21m B．26m C．30m D．45m
【答案】C
【知识点】解三角形；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由题意，在中，，，
在中，，，，
由正弦定理得，可得，
在等腰直角三角形中，.
故答案为：C.
【分析】在中，求出，在中，利用三角形内角和求和，利用正弦定理求得，再在等腰直角三角形中求即可.
8．（2024高一下·宜宾期末）已知菱形沿对角线向上折起，得到三棱锥，分别是棱的中点，，为棱上的一点，且平面，则的值为（　　）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【知识点】直线与平面平行的性质
【解析】【解答】解：连接，交于点，连接，如图所示：
因为平面，平面，平面平面，所以，
又因为，分别为，的中点，所以点为的重心，所以，
在中，，根据三角形一边的平行线性质定理可得：.
故答案为：B.
【分析】连接，交于点，连接，再利用线面平行的性质、三角形重心的性质以及三角形一边的平行线性质定理求解即可.
9．（2024高一下·宜宾期末）已知直线a，b和平面，，下列说法正确的是（　　）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，，则
【答案】B,D
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：A、如图所示：
若，，但，故A错误；
B、若，，则都可为面的法向量，显然成立，故B正确；
C、如图所示：，，但，故C错误；
D、若，，，直接根据线面平行的性质：线面平行，则线与过交线的面与另外一个面的交线平行，得到，故D正确．
故答案为：BD．
【分析】根据线面平行，垂直的判断和性质定理，结合长方体模型举反例判断即可.
10．（2024高一下·宜宾期末）先后两次掷一枚质地均匀的骰子，事件“两次掷出的点数之和是”，事件“第一次掷出的点数是奇数”，事件“两次掷出的点数相同”，则下列结论正确的是（　　）
A．与互斥 B．
C． D．与相互独立
【答案】B,C,D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：由题意可知：先后两次掷一枚质地均匀的骰子的样本空间为，，
，，
，，
，，
A、，即事件与事件能同时发生，则事件与事件不互斥，故A错误；
B、，故B正确；
C、，故C正确；
D、，，，
，，则，
即事件与事件相互独立，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据互斥事件的定义即可判断A；根据古典概型的概率计算公式计算与即可判断BC；根据相互独立事件的定义即可判断D.
11．（2024高一下·宜宾期末）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，下列说法正确的是（　　）
A．若，，，则有两解
B．若，则△ABC为等腰三角形
C．若为锐角三角形，则
D．若的外接圆的圆心为O，且，，则向量在向量上的投影向量为
【答案】A,C,D
【知识点】二倍角的正弦公式；正弦定理的应用；利用三角函数的单调性比较大小；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：A、若，，，
由正弦定理，可得，
因为，所以或，则有两解， 故A正确；
B、若，由正弦定理，
可得，即，
因为，所以或，
则或，即为等腰三角形或直角三角形，故B错误；
C、若为锐角三角形，则，即，
因为在上单调递减，所以，故C正确；
D、若的外接圆的圆心为，且，
则是的中点，为圆的直径，
易知，因为，所以为等边三角形，
，，，，
则向量在向量上的投影向量为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用正弦定理解三角形判断解的个数即可判断A；已知条件结合正弦定理化简得，判断三角形形状即可判断B；若为锐角三角形，有，可得即可判断C；由已知判断的形状，利用投影向量的定义计算即可判断D.
12．（2024高一下·宜宾期末）已知正方体的棱长为2，点P为平面上一动点，则下列结论正确的是（　　）
A．当点P为的中点时，直线CP与所成角的余弦值为
B．当点P在棱上时，的最小值为
C．当点P在正方形内时，若与平面所成的角为45°，则点P的轨迹长度为
D．该正方体被过，，中点的平面分割成两个空间几何体和，某球能被整体放入或内，则该球的表面积的最大值为
【答案】A,C,D
【知识点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题；异面直线所成的角；球内接多面体
【解析】【解答】解：A、为中点，连接，如图所示：
在正方体中，因为，，
所以四边形为平行四边形，，
又因为P为中点，为中点，所以，，
直线CP与所成角为或其补角，
，，
，
则直线CP与所成角的余弦值为，故A正确；
B、当点P在棱上时，将平面和平面展成同一平面，如图所示：
则的最小值为展开图中的，
，故B错误；
C、连接，如图所示：
因为当点P在正方形内，平面，所以即为与平面所成的角，若与平面所成的角为45°，则，
所以，即点P的轨迹是以为圆心、以2为半径的圆，
则点P的轨迹长度为，故C正确；
D、分别为所在棱的中点，如图所示：
该正方体被过，，中点的平面分割成两个空间几何体和，
平面在正方体上的截面为正六边形，
某球能被整体放入或内，该球的表面积最大时，
是以为顶点，底面为正六边形的正六棱锥的内切球，
正六边形的边长为，面积为，
正六棱锥中，侧棱长为，每个侧面面积为，棱锥的高为，
设内切球半径为，由体积法可得，
解得，则该球的表面积为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】求异面直线所成角的余弦值即可判断A；将平面和平面展成同一平面，求距离和的最小值即可判断B；由已知线面角，求点P的轨迹，求长度即可判断C；结合图形分析截面形状，体积法计算内切球半径和表面积即可判断D.
13．（2024高一下·宜宾期末）已知在复平面内，向量对应的复数是，对应的复数是，则向量对应的复数为　 　．
【答案】
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】解：由题意可知：，，
由，则向量，对应的复数为.
故答案为：.
【分析】根据复数的几何意义结合向量的线性运算求解即可.
14．（2024高一下·宜宾期末）已知事件与事件相互独立，且，，则　 　．
【答案】0.6
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；并（和）事件与交（积）事件
【解析】【解答】解：事件与事件相互独立，，，，
则.
故答案为：.
【分析】利用任意两个事件的和事件的概率计算公式以及相互独立事件的概率乘法公式求解即可.
15．（2024高一下·宜宾期末）著名数学家欧几里得《原本》中曾谈到：任何一个大于1的整数要么是质数，要么可以写成一系列质数的积，例如．已知，且均为质数，若从中任选2个数，则这两个数之和小于10的概率为　 　．
【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：由题意可得：，
则，
从中任选2个样本空间为：
共10种，
其中两个数之和小于10的基本事件包括，共4种，
则这两个数之和小于10的概率为.
故答案为：.
【分析】由题意可得，利用古典概型概率公式计算即可.
16．（2024高一下·宜宾期末）在等腰梯形ABCD中，已知，，，，点E，F分别在线段BC和CD上，则的最大值为　 　．
【答案】12
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：过作的垂线，垂足分别为，
，则，
以为原点，为轴，建立平面直角坐标系，如图所示：
在等腰梯形ABCD中，，，，，
则，，，，
设，，则，
令，得，，则，
有，当时取到等号.
则的最大值为12.
故答案为：12.
【分析】以为原点，为轴，建立平面直角坐标系，写出的坐标表示，再利用向量数量积运算，求最大值即可.
17．（2024高一下·宜宾期末）已知，，与的夹角为．
（1）求；
（2）当实数为何值时，与垂直？
【答案】（1）解：，，与的夹角为 ，
则，
故；
（2）解：若 与垂直 ，则，
即．
又由（1）知，则解得.
【知识点】平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】（1）根据向量的数量积公式求，再由向量模公式求解即可；
（2）由，则其数量积为，利用数量积的运算法则，结合（1）中的，得到关于的方程求解即可.
（1）根据题意，，
所以．
（2）根据题意，，
即．
又由（1）知，
所以
解得.
18．（2024高一下·宜宾期末）2024年全国城市节约用水宣传主题为“推进城市节水，建设美丽城市”．某市为了鼓励居民节约用水，减少水资源的浪费，计划在全市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准x（单位：吨），月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费，且该市政府希望有的居民月用水量不超过标准x吨．为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得了200户居民某年的月均用水量（单位：吨），并将数据制成了如图所示的频率分布直方图．
（1）求直方图中m的值，并估计月用水量标准x的值；
（2）若从月平均用水量在第一组和第二组的样本居民中按比例分配的分层抽样随机抽取6户，再从这6户中任意选取两户，求这两户来自同一组的概率．
【答案】（1）解：根据频率分布直方图各矩形面积和为1可得：，
解得．
因为，
，
所以（吨）；
（2）解：由题意可得：月平均用水量在第一组居民有户，
月平均用水量在第二组居民有户，
分层抽样随机抽取6户，第一组抽取了2户，第二组抽取了4户
记第一组抽取的两户分别为a，b，第二组抽取的四户分别为A，B，C，D，从这6户中任意选取两户，
样本点有，
共15个，
记两户来自同一组为事件M，事件M包含的样本点为：共7个，
根据古典概型可得：．
【知识点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图各矩形面积和为1列式求出m，再根据百分位数定义求解即可；
（2）利用列举法，结合古典概型概率公式求解即可.
（1）由
解得．
，
（吨）．
（2）根据题意得，月平均用水量在第一组居民有户，
月平均用水量在第二组居民有户，
分层抽样随机抽取6户，第一组抽取了2户，第二组抽取了4户
记第一组抽取的两户分别为a，b，第二组抽取的四户分别为A，B，C，D，从这6户中任意选取两户，
样本点有，
，共15个
记两户来自同一组为事件M，事件M包含的样本点为：
共7个．
根据古典概型可得，．
19．（2024高一下·宜宾期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧棱底面，且，为侧棱的中点．
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离．
【答案】（1）证明：连接交于，连接，如图所示：
则为的中点，
因为为侧棱的中点，所以，
又因为平面，平面；所以平面；
（2）解：因为E为侧棱SC的中点，所以 E到平面ABCD的距离等于S到平面ABCD的距离的一半，
E到平面ABCD的距离，
所以，
因为底面，面，所以，
又因为，，所以，
因为平面，所以平面，
又因为平面，所以，
则，，
，
设点C到平面EDB的距离为，由，得，解得，
即点到平面的距离为．
【知识点】直线与平面平行的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）连接交于，连接，证明，再根据线面平行的判定定理证明即可；
（2）利用等体积法求解即可.
（1）连接交于，连接，则为的中点，
∵E为侧棱SC的中点，，
平面EDB，平面EDB；
平面EDB；
（2）∵E为侧棱SC的中点，
E到平面ABCD的距离等于S到平面ABCD的距离的一半，
E到平面ABCD的距离，
，
∵底面，面，
∴，
又，，
，
∵平面，
∴平面，
又平面，，
，，
，
设点C到平面EDB的距离为，
由，得，所以，
即点到平面的距离为．
20．（2024高一下·宜宾期末）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且．
（1）求A；
（2）若．再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求b，c．
条件①：中线AD长为；条件②：△ABC的面积为．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1）解：，由正弦定理可得，
则，
因为，，所以，所以，
又因为，所以，所以，则；
（2）解：若选择条件①：，由余弦定理可得，
由，可得，得，
由，解得：，或，；
若选择条件②；，由余弦定理可得：，
则△ABC的面积，解得，
由，解得，或，．
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；三角形中的几何计算；辅助角公式
【解析】【分析】（1）利用正弦定理，结合两角和的正弦公式化简求A即可；
（2）由选择的条件结合余弦定理，列方程组求b，c即可．
（1）中，已知，
由正弦定理得，
又，
则有，
由，，得，
则有，
由，有，所以，得．
（2）若选择条件①：
由，余弦定理得，
由，有，得，
由，解得：，或，．
若选择条件②；
由，得，
△ABC的面积，得，
由，解得：，或，．
21．（2024高一下·宜宾期末）如图，在三棱柱中，，，，，为的中点，平面．
（1）求证：平面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．
【答案】（1）证明：因为平面，平面，所以，
因为，，所以，平面，
所以平面；
（2）解：取中点，连接，，则
所以四边形是平行四边形，
因为，，，AD，平面，
所以平面，又平面，所以平面平面，
作于E，平面平面，平面，
则平面，
连接CE，如图所示：
则为直线与平面所成的角，
由，，，知，
又由（1）知平面ABC，
所以，，
，
则，
由于，所以，所以，
故直线与平面所成角的正弦值的取值范围为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）根据线面垂直判定定理证明即可；
（2）先根据面面垂直的判定定理的平面平面，从而得到平面，再利用线面夹角的定义找到夹角，计算夹角正弦值的取值范围即可.
（1）因为平面，平面，所以，
因为，，
所以，平面，
所以平面.
（2）取中点，连接，，则
所以四边形是平行四边形．
因为，，，AD，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面．
作于E，平面平面，平面，
则平面，
连接CE，则为直线与平面所成的角，
由，，，知，
又由（1）知平面ABC，
所以，，
．
则，
由于，所以，所以．
故直线与平面所成角的正弦值的取值范围为．
22．（2024高一下·宜宾期末）依据《宜宾市城市总体规划（2018~2035）》规划战略定位，拟将我市建设成“长江生态首城、中华美酒之都、华夏最美竹海”．若将宜宾临港经济开发区某地段（如图所示）中的四边形区域ACEF建成生态园林公园，为主要道路（不考虑宽度）．已知，，．
（1）求道路的长度；
（2）若在道路的另一侧规划一块四边形的商业用地，使，且为等边三角形，求四边形面积的最大值．
【答案】（1）解：连接FC，由余弦定理可得，所以，
由，，所以，
因为，所以，
在中，，则，解得，
即道路的长度为km；
（2）解：设，
在中，由正弦定理，可得，则，
又因为为等边三角形，
所以，
，
因为，所以，所以当，即，，
即四边形面积的最大值为．
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）连接FC，利用余弦定理求得，在中，利用余弦定理求即可；
（2）在中利用正弦定理，设，表示出，进而结合条件表示出四边形面积，求其最大值即可.
（1）解：连接FC，由余弦定理可得，所以，
由，，所以.
因为，所以.
在中，，
所以，解得，
即道路的长度为km．
（2）设，在中，由正弦定理可得，
．
又因为为等边三角形，
所以
.
因为，所以，
所以当，即，.
即四边形面积的最大值为．
1 / 1四川省宜宾市2023-2024学年高一下学期期末学业质量监测数学试题
1．（2024高一下·宜宾期末）已知复数，则的虚部是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024高一下·宜宾期末）下列各组向量中，可以作为基底的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024高一下·宜宾期末）某超市在两周内的蓝莓每日促销量如图所示，根据此折线图，下面结论错误的是（　　）
A．这14天日促销量的众数是214
B．这14天日促销量的中位数是196.5
C．这14天日促销量的极差为195
D．这14天日促销量的第80百分位数是243
4．（2024高一下·宜宾期末）已知向量，，若，则与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024高一下·宜宾期末）如图所示，四等分切割圆柱，再将其重新组合成一个新的几何体，若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了100（单位：），则原圆柱的侧面积是（　　）（单位：）
A． B． C．100 D．200
6．（2024高一下·宜宾期末）在中，，，的角平分线交AC于点D，，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
7．（2024高一下·宜宾期末）钟鼓楼是宜宾市老城区中山街的一座标志性建筑，某同学为测量钟鼓楼的高度MN，在钟鼓楼的正东方向找到一座建筑物AB，高约为15m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，钟鼓楼顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得钟鼓楼顶部M的仰角为15°，则钟鼓楼的高度约为（　　）
A．21m B．26m C．30m D．45m
8．（2024高一下·宜宾期末）已知菱形沿对角线向上折起，得到三棱锥，分别是棱的中点，，为棱上的一点，且平面，则的值为（　　）
A． B． C．1 D．2
9．（2024高一下·宜宾期末）已知直线a，b和平面，，下列说法正确的是（　　）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，，则
10．（2024高一下·宜宾期末）先后两次掷一枚质地均匀的骰子，事件“两次掷出的点数之和是”，事件“第一次掷出的点数是奇数”，事件“两次掷出的点数相同”，则下列结论正确的是（　　）
A．与互斥 B．
C． D．与相互独立
11．（2024高一下·宜宾期末）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，下列说法正确的是（　　）
A．若，，，则有两解
B．若，则△ABC为等腰三角形
C．若为锐角三角形，则
D．若的外接圆的圆心为O，且，，则向量在向量上的投影向量为
12．（2024高一下·宜宾期末）已知正方体的棱长为2，点P为平面上一动点，则下列结论正确的是（　　）
A．当点P为的中点时，直线CP与所成角的余弦值为
B．当点P在棱上时，的最小值为
C．当点P在正方形内时，若与平面所成的角为45°，则点P的轨迹长度为
D．该正方体被过，，中点的平面分割成两个空间几何体和，某球能被整体放入或内，则该球的表面积的最大值为
13．（2024高一下·宜宾期末）已知在复平面内，向量对应的复数是，对应的复数是，则向量对应的复数为　 　．
14．（2024高一下·宜宾期末）已知事件与事件相互独立，且，，则　 　．
15．（2024高一下·宜宾期末）著名数学家欧几里得《原本》中曾谈到：任何一个大于1的整数要么是质数，要么可以写成一系列质数的积，例如．已知，且均为质数，若从中任选2个数，则这两个数之和小于10的概率为　 　．
16．（2024高一下·宜宾期末）在等腰梯形ABCD中，已知，，，，点E，F分别在线段BC和CD上，则的最大值为　 　．
17．（2024高一下·宜宾期末）已知，，与的夹角为．
（1）求；
（2）当实数为何值时，与垂直？
18．（2024高一下·宜宾期末）2024年全国城市节约用水宣传主题为“推进城市节水，建设美丽城市”．某市为了鼓励居民节约用水，减少水资源的浪费，计划在全市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准x（单位：吨），月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费，且该市政府希望有的居民月用水量不超过标准x吨．为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得了200户居民某年的月均用水量（单位：吨），并将数据制成了如图所示的频率分布直方图．
（1）求直方图中m的值，并估计月用水量标准x的值；
（2）若从月平均用水量在第一组和第二组的样本居民中按比例分配的分层抽样随机抽取6户，再从这6户中任意选取两户，求这两户来自同一组的概率．
19．（2024高一下·宜宾期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧棱底面，且，为侧棱的中点．
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离．
20．（2024高一下·宜宾期末）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且．
（1）求A；
（2）若．再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求b，c．
条件①：中线AD长为；条件②：△ABC的面积为．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
21．（2024高一下·宜宾期末）如图，在三棱柱中，，，，，为的中点，平面．
（1）求证：平面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．
22．（2024高一下·宜宾期末）依据《宜宾市城市总体规划（2018~2035）》规划战略定位，拟将我市建设成“长江生态首城、中华美酒之都、华夏最美竹海”．若将宜宾临港经济开发区某地段（如图所示）中的四边形区域ACEF建成生态园林公园，为主要道路（不考虑宽度）．已知，，．
（1）求道路的长度；
（2）若在道路的另一侧规划一块四边形的商业用地，使，且为等边三角形，求四边形面积的最大值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：，虚部为.
故答案为：B.
【分析】利用复数代数形式的乘除运算法则结合虚部的定义求解即可.
2．【答案】D
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：A、因为，所以∥不可以作为基底，故A错误；
B、易知，则∥不可以作为基底，故B错误；
C、易知，则∥不可以作为基底，故C错误；
D、若∥，则存在实数使得，
则，方程组无解，即不共线可以作为基底，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据基底向量的定义结合向量共线的判定定理逐项判断即可.
3．【答案】D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：A、蓝莓每日促销量数据从小到大排列为：
，
则这14天蓝莓每日促销量的众数是214，故A正确；
B、这14天蓝莓每日促销量的中位数是第7和8个平均值，即，故B正确；
C、这14天蓝莓每日促销量的极差是，故C正确；
D、14天蓝莓每日促销量的第80百分位数，，则取第12个，即260，故D错误.
故答案为：D．
【分析】将数据从小到大排序，根据众数，中位数，极差，百分位数概念求解即可.
4．【答案】A
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：向量，，
若，则，
即，解得，
设与的夹角为，则，即与的夹角为.
故答案为：A.
【分析】由，可得，求得，再由平面向量的夹角公式求解即可.
5．【答案】A
【知识点】圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用
【解析】【解答】解：设圆柱的底面半径为，高为，由题意可得：，
则圆柱的侧面积.
故答案为：A.
【分析】设圆柱的底面半径为，高为，由题意可得，再根据圆柱得侧面积公式计算即可.
6．【答案】D
【知识点】三角形中的几何计算
【解析】【解答】解： 在中， 设，
，
即，解得，
则
故答案为：D.
【分析】利用角平分线表示面积求出边长t，再根据三角形面积公式计算即可.
7．【答案】C
【知识点】解三角形；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由题意，在中，，，
在中，，，，
由正弦定理得，可得，
在等腰直角三角形中，.
故答案为：C.
【分析】在中，求出，在中，利用三角形内角和求和，利用正弦定理求得，再在等腰直角三角形中求即可.
8．【答案】B
【知识点】直线与平面平行的性质
【解析】【解答】解：连接，交于点，连接，如图所示：
因为平面，平面，平面平面，所以，
又因为，分别为，的中点，所以点为的重心，所以，
在中，，根据三角形一边的平行线性质定理可得：.
故答案为：B.
【分析】连接，交于点，连接，再利用线面平行的性质、三角形重心的性质以及三角形一边的平行线性质定理求解即可.
9．【答案】B,D
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：A、如图所示：
若，，但，故A错误；
B、若，，则都可为面的法向量，显然成立，故B正确；
C、如图所示：，，但，故C错误；
D、若，，，直接根据线面平行的性质：线面平行，则线与过交线的面与另外一个面的交线平行，得到，故D正确．
故答案为：BD．
【分析】根据线面平行，垂直的判断和性质定理，结合长方体模型举反例判断即可.
10．【答案】B,C,D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：由题意可知：先后两次掷一枚质地均匀的骰子的样本空间为，，
，，
，，
，，
A、，即事件与事件能同时发生，则事件与事件不互斥，故A错误；
B、，故B正确；
C、，故C正确；
D、，，，
，，则，
即事件与事件相互独立，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据互斥事件的定义即可判断A；根据古典概型的概率计算公式计算与即可判断BC；根据相互独立事件的定义即可判断D.
11．【答案】A,C,D
【知识点】二倍角的正弦公式；正弦定理的应用；利用三角函数的单调性比较大小；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：A、若，，，
由正弦定理，可得，
因为，所以或，则有两解， 故A正确；
B、若，由正弦定理，
可得，即，
因为，所以或，
则或，即为等腰三角形或直角三角形，故B错误；
C、若为锐角三角形，则，即，
因为在上单调递减，所以，故C正确；
D、若的外接圆的圆心为，且，
则是的中点，为圆的直径，
易知，因为，所以为等边三角形，
，，，，
则向量在向量上的投影向量为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用正弦定理解三角形判断解的个数即可判断A；已知条件结合正弦定理化简得，判断三角形形状即可判断B；若为锐角三角形，有，可得即可判断C；由已知判断的形状，利用投影向量的定义计算即可判断D.
12．【答案】A,C,D
【知识点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题；异面直线所成的角；球内接多面体
【解析】【解答】解：A、为中点，连接，如图所示：
在正方体中，因为，，
所以四边形为平行四边形，，
又因为P为中点，为中点，所以，，
直线CP与所成角为或其补角，
，，
，
则直线CP与所成角的余弦值为，故A正确；
B、当点P在棱上时，将平面和平面展成同一平面，如图所示：
则的最小值为展开图中的，
，故B错误；
C、连接，如图所示：
因为当点P在正方形内，平面，所以即为与平面所成的角，若与平面所成的角为45°，则，
所以，即点P的轨迹是以为圆心、以2为半径的圆，
则点P的轨迹长度为，故C正确；
D、分别为所在棱的中点，如图所示：
该正方体被过，，中点的平面分割成两个空间几何体和，
平面在正方体上的截面为正六边形，
某球能被整体放入或内，该球的表面积最大时，
是以为顶点，底面为正六边形的正六棱锥的内切球，
正六边形的边长为，面积为，
正六棱锥中，侧棱长为，每个侧面面积为，棱锥的高为，
设内切球半径为，由体积法可得，
解得，则该球的表面积为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】求异面直线所成角的余弦值即可判断A；将平面和平面展成同一平面，求距离和的最小值即可判断B；由已知线面角，求点P的轨迹，求长度即可判断C；结合图形分析截面形状，体积法计算内切球半径和表面积即可判断D.
13．【答案】
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】解：由题意可知：，，
由，则向量，对应的复数为.
故答案为：.
【分析】根据复数的几何意义结合向量的线性运算求解即可.
14．【答案】0.6
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；并（和）事件与交（积）事件
【解析】【解答】解：事件与事件相互独立，，，，
则.
故答案为：.
【分析】利用任意两个事件的和事件的概率计算公式以及相互独立事件的概率乘法公式求解即可.
15．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：由题意可得：，
则，
从中任选2个样本空间为：
共10种，
其中两个数之和小于10的基本事件包括，共4种，
则这两个数之和小于10的概率为.
故答案为：.
【分析】由题意可得，利用古典概型概率公式计算即可.
16．【答案】12
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：过作的垂线，垂足分别为，
，则，
以为原点，为轴，建立平面直角坐标系，如图所示：
在等腰梯形ABCD中，，，，，
则，，，，
设，，则，
令，得，，则，
有，当时取到等号.
则的最大值为12.
故答案为：12.
【分析】以为原点，为轴，建立平面直角坐标系，写出的坐标表示，再利用向量数量积运算，求最大值即可.
17．【答案】（1）解：，，与的夹角为 ，
则，
故；
（2）解：若 与垂直 ，则，
即．
又由（1）知，则解得.
【知识点】平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】（1）根据向量的数量积公式求，再由向量模公式求解即可；
（2）由，则其数量积为，利用数量积的运算法则，结合（1）中的，得到关于的方程求解即可.
（1）根据题意，，
所以．
（2）根据题意，，
即．
又由（1）知，
所以
解得.
18．【答案】（1）解：根据频率分布直方图各矩形面积和为1可得：，
解得．
因为，
，
所以（吨）；
（2）解：由题意可得：月平均用水量在第一组居民有户，
月平均用水量在第二组居民有户，
分层抽样随机抽取6户，第一组抽取了2户，第二组抽取了4户
记第一组抽取的两户分别为a，b，第二组抽取的四户分别为A，B，C，D，从这6户中任意选取两户，
样本点有，
共15个，
记两户来自同一组为事件M，事件M包含的样本点为：共7个，
根据古典概型可得：．
【知识点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图各矩形面积和为1列式求出m，再根据百分位数定义求解即可；
（2）利用列举法，结合古典概型概率公式求解即可.
（1）由
解得．
，
（吨）．
（2）根据题意得，月平均用水量在第一组居民有户，
月平均用水量在第二组居民有户，
分层抽样随机抽取6户，第一组抽取了2户，第二组抽取了4户
记第一组抽取的两户分别为a，b，第二组抽取的四户分别为A，B，C，D，从这6户中任意选取两户，
样本点有，
，共15个
记两户来自同一组为事件M，事件M包含的样本点为：
共7个．
根据古典概型可得，．
19．【答案】（1）证明：连接交于，连接，如图所示：
则为的中点，
因为为侧棱的中点，所以，
又因为平面，平面；所以平面；
（2）解：因为E为侧棱SC的中点，所以 E到平面ABCD的距离等于S到平面ABCD的距离的一半，
E到平面ABCD的距离，
所以，
因为底面，面，所以，
又因为，，所以，
因为平面，所以平面，
又因为平面，所以，
则，，
，
设点C到平面EDB的距离为，由，得，解得，
即点到平面的距离为．
【知识点】直线与平面平行的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）连接交于，连接，证明，再根据线面平行的判定定理证明即可；
（2）利用等体积法求解即可.
（1）连接交于，连接，则为的中点，
∵E为侧棱SC的中点，，
平面EDB，平面EDB；
平面EDB；
（2）∵E为侧棱SC的中点，
E到平面ABCD的距离等于S到平面ABCD的距离的一半，
E到平面ABCD的距离，
，
∵底面，面，
∴，
又，，
，
∵平面，
∴平面，
又平面，，
，，
，
设点C到平面EDB的距离为，
由，得，所以，
即点到平面的距离为．
20．【答案】（1）解：，由正弦定理可得，
则，
因为，，所以，所以，
又因为，所以，所以，则；
（2）解：若选择条件①：，由余弦定理可得，
由，可得，得，
由，解得：，或，；
若选择条件②；，由余弦定理可得：，
则△ABC的面积，解得，
由，解得，或，．
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；三角形中的几何计算；辅助角公式
【解析】【分析】（1）利用正弦定理，结合两角和的正弦公式化简求A即可；
（2）由选择的条件结合余弦定理，列方程组求b，c即可．
（1）中，已知，
由正弦定理得，
又，
则有，
由，，得，
则有，
由，有，所以，得．
（2）若选择条件①：
由，余弦定理得，
由，有，得，
由，解得：，或，．
若选择条件②；
由，得，
△ABC的面积，得，
由，解得：，或，．
21．【答案】（1）证明：因为平面，平面，所以，
因为，，所以，平面，
所以平面；
（2）解：取中点，连接，，则
所以四边形是平行四边形，
因为，，，AD，平面，
所以平面，又平面，所以平面平面，
作于E，平面平面，平面，
则平面，
连接CE，如图所示：
则为直线与平面所成的角，
由，，，知，
又由（1）知平面ABC，
所以，，
，
则，
由于，所以，所以，
故直线与平面所成角的正弦值的取值范围为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）根据线面垂直判定定理证明即可；
（2）先根据面面垂直的判定定理的平面平面，从而得到平面，再利用线面夹角的定义找到夹角，计算夹角正弦值的取值范围即可.
（1）因为平面，平面，所以，
因为，，
所以，平面，
所以平面.
（2）取中点，连接，，则
所以四边形是平行四边形．
因为，，，AD，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面．
作于E，平面平面，平面，
则平面，
连接CE，则为直线与平面所成的角，
由，，，知，
又由（1）知平面ABC，
所以，，
．
则，
由于，所以，所以．
故直线与平面所成角的正弦值的取值范围为．
22．【答案】（1）解：连接FC，由余弦定理可得，所以，
由，，所以，
因为，所以，
在中，，则，解得，
即道路的长度为km；
（2）解：设，
在中，由正弦定理，可得，则，
又因为为等边三角形，
所以，
，
因为，所以，所以当，即，，
即四边形面积的最大值为．
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）连接FC，利用余弦定理求得，在中，利用余弦定理求即可；
（2）在中利用正弦定理，设，表示出，进而结合条件表示出四边形面积，求其最大值即可.
（1）解：连接FC，由余弦定理可得，所以，
由，，所以.
因为，所以.
在中，，
所以，解得，
即道路的长度为km．
（2）设，在中，由正弦定理可得，
．
又因为为等边三角形，
所以
.
因为，所以，
所以当，即，.
即四边形面积的最大值为．
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