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第十三章 三角形 13.3.1
三角形的内角和
人教版（2024）八年级上册数学课件
01
新课导入
03
课堂练习
02
新课讲解
04
课堂总结
目录
新课导入
第一部分
PART 01
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1.理解并掌握三角形的内角和定理；
2.能应用三角形内角和定理进行角度的计算；
重点
重难点
3.了解直角三角形两个锐角的关系；
4.掌握直角三角形的判定方法.
重点
学习目标
在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结.可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了……”“为什么？” 老二很纳闷.你知道其中的道理吗？
内角三兄弟之争
新课导入
在这个家里，我是永远的老大.
老大的度数为90°，老二若是比老大的度数大，
那么老二的度数要大于90°，而三角形的内角和为180°，
相互矛盾，因而是不可能的.
新课导入
将三角形的任意两个内角剪下，试着拼拼看.
你有什么发现？
新课导入
如图所示，∠B 和∠C 分别拼在∠A的左右，三个角合起来形成一个平角，出现了一条过点 A 的直线 l，直线 l 与边BC有什么位置关系？
B
B
C
C
A
l
直线 l 与边 BC 平行
你能由这个图发现证明“三角形内角和等于180°”的方法吗？
新课导入
启发：过△ABC的顶点A作直线l平行于△ABC的边BC，由平行线的性质与平角的定义就能证明“三角形的内角和等于180°”这个结论.
B
B
C
C
A
l
新课导入
已知：△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°.
证法：过点A作l∥BC，
∵ l ∥BC ，
∴∠2 = ∠4，∠3 = ∠5
（两直线平行，内错角相等） ．
∵∠1 + ∠4 + ∠5 = 180°（平角定义），
∴∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°（等量代换）．
A
B
C
2
4
1
5
3
　 l
即∠A+∠B+∠C=180°.
新课导入
新课讲解
第二部分
PART 02
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三角形内角和定理：　
三角形的内角和等于180° .
符号表示：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°
A
B
C
新课讲解
如图，在△ABC中，∠BAC = 40°，∠B = 75°，AD是△ABC 的角平分线，求∠ADB 的度数
C
B
D
A
解：∵∠BAC = 40°，AD是△ABC的角平分线，
在△ABD中，
∠ADB=180°- ∠B - ∠BAD
=180°-75°-20°= 85°
∴∠BAD = ∠BAC =20°
新课讲解
如图是A、B、C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向.从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？
北
北
C
A
B
D
E
分析：∠ACB是△ABC的一个内角，
求∠ACB需先求 ∠CAB 、∠ABC.
新课讲解
如下图所示是我们常用的三角板，两锐角的度数之和为多少度
30°+60°=90°
45°+45°=90°
直角三角形的两个锐角互余
知识点 1
问题1：
学生活动一
新课讲解
如图，在直角三角形ABC中， ∠C=90°，两锐角的和等于多少呢？
在直角三角形ABC中，因为 ∠C=90°，由三角形内角和定理，得 ∠A +∠B+∠C=180°，
即 ∠A +∠B=90°.
由此，你可以得到直角三角形有什么性质呢？
问题2：
新课讲解
A
B
C
直角三角形的两个锐角互余．(直角三角形的性质定理）　　
应用格式：
在Rt△ABC 中，
∵　∠C =90°，
∴　∠A +∠B =90°．　
直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC 可以写成Rt△ABC ．
新课讲解
例1（1）如图 ，∠B=∠C=90°，AD交BC于点O，∠A与∠D有什么关系？
图
利用直角三角形的性质证明角相等或求角的度数
素养考点 1
新课讲解
方法一（利用平行的判定和性质）：
∵∠B=∠C=90°，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠D.
方法二（利用直角三角形的性质）：
∵∠B=∠C=90°，
∴∠A+∠AOB=90°，∠D+∠COD=90°.
∵∠AOB=∠COD，
∴∠A=∠D.
图
新课讲解
解：∠A=∠C.
理由如下：
∵∠B=∠D=90°，
∴∠A+∠AOB=90°，∠C+∠COD=90°.
∵∠AOB=∠COD，
∴∠A=∠C.
（2）如图 ，∠B=∠D=90°，AD交BC于点O，∠A与∠C有什么关系？请说明理由.
图
与图 有哪些共同点与不同点？
新课讲解
例2 如图， ∠C=∠D=90 °， AD， BC相交于点E. ∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？
A
B
C
D
E
解：在Rt△ACE中，
∠CAE=90 °– ∠AEC.
在Rt△BDE中，
∠DBE=90 °– ∠BED.
∵ ∠AEC= ∠BED，
∴ ∠CAE= ∠DBE.
新课讲解
如图，在△ABC中，已知∠ACB＝67°，BE是AC上的高，CD是AB上的高，F是BE和CD的交点，∠DCB＝45°.求∠ABE的度数．
新课讲解
解：∵CD是AB上的高，
∴∠DBC＝90°–∠DCB＝90°–45°＝45°.
∵BE是AC上的高，
∴∠EBC＝90°–∠ECB＝90°–67°＝23°.
∴∠ABE＝∠ABC–∠EBC＝45°–23°＝22°.
新课讲解
【思考】通过前面的例题，你能画出这些题型的基本图形吗？
基本图形
∠A=∠C
∠A=∠D
新课讲解
有两个角互余的三角形是直角三角形吗？
如图，在△ABC中， ∠A +∠B=90° ， 那么△ABC是直角三角形吗？
有两个角互余的三角形是直角三角形
知识点 2
A
B
C
学生活动二
新课讲解
在△ABC中，
因为 ∠A +∠B +∠C=180°，
又 ∠A +∠B=90°，
所以∠C=90°.
即△ABC是直角三角形.
A
B
C
新课讲解
A
B
C
应用格式：
在△ABC 中，
∵　∠A +∠B =90°，
∴　△ABC 是直角三角形．
有两个角互余的三角形是直角三角形.　(直角三角形的判定定理）　　
新课讲解
例1 如图，∠C=90 °， ∠1= ∠2，△ADE是直角三
角形吗？为什么？
A
C
B
D
E
(
(
1
2
解：在Rt△ABC中，
∠2+ ∠A=90 °.
∵ ∠1= ∠2，
∴∠1 + ∠A=90 °.
即△ADE是直角三角形.
利用直角三角形的判定定理识别直角三角形
素养考点 2
新课讲解
课堂练习
第三部分
PART 03
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1. 在中， ，，则 等于( )
A
A. B. C. D.
（第2题）
2. ［2025重庆八中月考］如图，已知直
线，直线与直线， 分别交于点
，，交直线于点 .若
，则 的度数为( )
B
A. B. C. D.
课堂练习
3. 将一个含 角的三角尺和直尺如图放置，若 ，
则 的度数是( )
B
（第3题）
A. B. C. D.
课堂练习
（第4题）
4. 如图，点，分别在线段，
上，于点，于点 ，
若，则图中与 互余的角有
( )
D
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
课堂练习
（第5题）
5. 如图，是的高，是 的
角平分线，，相交于点 ，已知
，则 的度数为( )
C
A. B. C. D.
课堂练习
6. 在中， ，
则 的值是______.
2或6
【点拨】设,,的度数分别为,,.当 为直角
时，,解得；当 为直角时，
,解得.故 的值为2或6.
在没有确定三角形最大内角的情况下，应分类讨论
作答，做到不漏解不错解.
. .
课堂练习
7.如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个 ,
,并画出了两锐角的平分线,及其交点 .小明
发现，无论怎样改变的形状和大小， 的度数
是定值.这个定值为______.
课堂练习
【点拨】 , . 平分
,平分,, ,
,
.
课堂练习
8.如图，在中，是边上的高，点
是上一点，连接交于点 ，且
，求证： 是直角三角形.
【证明】是边上的高， .
， ，
， 是直角三角形.
课堂练习
9. ［2025日照月考］已知的三个角分别是， ，
，下列式子中：
； ；
； ；
，
不能判断 是直角三角形的有( )
C
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
课堂练习
课堂总结
第四部分
PART 04
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直角三角形的性质与判定
性质
直角三角形的两个锐角互余
判定
有两个角互余的三角形是直角三角形
课堂小结
第十三章 三角形 13.3.1
三角形的内角和
人教版（2024）八年级上册数学课件

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