资源简介

深圳市 2025年初中学业水平考试模拟卷（一）
数学试卷
说明：1. 答题前，请将姓名、考生号、考点、考场号和座位号用黑色字迹的钢笔或签
字笔写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴好。
2.全卷共 8 页。考试时间 90 分钟，满分 100 分。
3. 作答单项选择题时，选出每题答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目答案标
号的信息点框涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。作答非选择
题，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案写在答题卡指定区域内。写在本试卷或草
稿纸上，其答案一律无效。
4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
出题人：一路颗粒 审题人：一路颗粒 编题日期：2025.4.6 审题日期：2025.4.7
一、选择题：本题共 8小题，每小题 3分，共 24分。在每小题给出的选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1 1.在 ，| 2|，( 1)32 ，0，5中，负数的个数有( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
2.下列运算正确的是
A.(a+b) =（a+b）（a-b） B. ( )5 ÷ ( )2 = 3 3
C. 5 + 5 = 10 D. ( 3)3 = 6
3. 在 对 一 组 样 本 数 据 进 行 分 析 时 ， 小 华 列 出 了 方 差 的 计 算 公 式 ： 2 =
(2 )2+(3 )2+(3 )2+(4 )2
，由公式提供的信息，则下列说法错误的是( )
A. 样本的平均数是 3.5 B.样本的众数是 3
C. 样本的中位数是 3 D. 样本的容量是 4
4.如图，已知∠1 = 28°，∠ = 90°，点 、 、 在同一条直线上，
则∠2的度数为( )
A. 102° B. 118° C. 122° D. 62°
5.如图，在 中 平分∠ ，按以下步骤作图：第一步分别以点 、 为圆心，以大于
1 的长为半径在 2 两侧作弧，交于两点 、 ；第二步，连接 分别交 、 于点 、 ；
第三步，连接 、 ，若 = 6， = 3， = 2，则 的长是( )
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A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 5.5
6.如图，在矩形 中， > ， = 5 ， ， 交于点 ，∠ = 2∠ = 120 ，
则 = ( )
A. 5 B. 5 2 C. 5 3 D. 5 5
7.某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图 1所示，点 是栏杆转动的支点，点 是栏
杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆 最多只能升起到如图 2所示的位置，其示意图如
图 3所示(栏杆宽度忽略不计)，其中 ⊥ ， // ，∠ = 143 ， = = 1.2米，
那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为( )(参考数据：sin37 ≈ 0.60，cos37 ≈ 0.80，
tan37 ≈ 0.75)
A. B. C. D.
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8.如图 1， 为矩形 边 上一点，点 从点 沿折线 运动到点 时停止，
点 从点 沿 运动到点 时停止，它们运动的速度都是 1 / .若 , 同时开始运动，设运
动时间为 ( )， 的面积为 ( 2).已知 与 的函数图象如图 2，则下列结论错误的是
A. = 8 B. 当 = 12 时， 是等腰三角形
C. 当 10 ≤ ≤ 12 3 3时， = 210 + 6 D. sin∠ = 5
二、填空题：本题共 5小题，每小题 3分，共 15分。
9.定义运算“ ”，规定 = 2 + ，其中 、 为常数，且 1 2 = 5，2 1 = 6，
则 3 8 =____．
10.如图，是一个 3 × 3的正方形网格，则∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 =______．
11.如图，等边三角形 是由 9 个大小相等的等边三角形构成，随机地往
△ 内投一粒米，这粒米落在阴影区域的概率为 ．
12.如图，在 △ 中，∠ = 90°，∠ = 60°， = 2，点 是 边上的
中点，以点 为圆心， 的长为半径作弧 .则图中阴影部分的面积为
__________．
13 .如图，正方形 的边长为 2，点 与原点 重合，与反比例函数 = ( ≠ 0)的图象交
于 9、 两点，若△ 的面积为8，则 的值______．
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三、解答题：本题共 6小题，共 48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.（7 分）嘉淇同学用配方法推导一元二次方程 2 + + = 0( ≠ 0)的求根公式时，对
于 2 4 > 0的情况，她是这样做的：
(1)嘉淇的解法从第______步开始出现错误；事实上，当 2 4 > 0时，方程 2 + + =
0( ≠ 0)的求根公式是______．
(2)用配方法解方程： 2 2 24 = 0．
15.(本小题 5分)
某大学举行了百科知识竞赛，为了解此次竞赛成绩的情况，随机抽取部分参赛学生的成绩，
整理并制作出如下不完整的统计表和统计图，请根据图表信息解答以下问题：
组别 成绩 /分 频数
组 90 ≤ < 100
组 80 ≤ < 90 12
组 70 ≤ < 80 8
组 60 ≤ < 70 6
(1)表中 =_____；
(2)补全频数分布直方图；
(3)计算扇形统计图中“ ”对应的圆心角度数；
(4)该大学共有 240人参加竞赛，若成绩在 70分以上(包括 70分)的为“优”等，根据抽样结果，
估计该校参赛学生成绩达到“优”等的人数？
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16.(本小题 7分)
临近六一，某商店分别用 300元，800元购进一批数量相同的水弹玩具枪和软蛋玩具枪，每
个水弹玩具枪的进价比每个软蛋玩具枪的进价高 5元．
(1)求水弹玩具枪和软蛋玩具枪的进价分别是多少元？
(2)这批水弹玩具枪和软蛋玩具枪很快被一抢而空，该商店计划再购进一批水弹玩具枪和软
蛋玩具枪，此时每张水弹玩具枪的进价上涨了 元，购进水弹玩具枪字的数量在第一次的基
础上减少了 8 张；软蛋玩具枪的进价不变，购进水弹玩具枪的数量在第一次的基础上减少
15
了 2 副，总花费 1100元，求 的值．
17.(本小题 8分)
如图，已知反比例函数 = 11 与一次函数 2 = 2 + 的图象交于点 (1,8)、 ( 4, )．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求△ 的面积；
(3)若 1 < 2，直接写出 的取值范围．
18. (本小题 8分)
如图，在△ 中，∠ = ∠ ，以 为直径的⊙ 交 于点 ，点 在 的延长线上，
且∠ = 2∠ ．
(1)求证：直线 是⊙ 3的切线；(2)若 = 12， = 4，求⊙
的半径长及 tan∠ 的值．
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19.(本小题 8分)
【知识生成】我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个
数学等式，例如由图 1可以得到( + )( + ) = 2 + 2 + 2，请解答下列问题：
(1)写出图 2中所表示的数学等式______；
(2)利用(1)中所得到的结论，解决下面的问题：
已知 + + = 11， + + = 38，求 2 + 2 + 2的值；
(3)小明同学用图 3中 张边长为 的正方形， 张边长为 的正方形， 张宽、长分别为 、
的长方形纸片拼出一个面积为(2 + )( + 2 )长方形，则 + + =______；
【知识迁移】(4)事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图 4表示
的是一个边长为 的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图 4中图
形的变化关系，写出一个数学等式：______．
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20.(本小题 8分)
综合与实践
【新知定义】在平面内，两个面积相等的三角形，若有公共顶点，且公共顶点所在的角相等，
则称这两个三角形关于这个顶点成“友谊三角形”.例如：如图 1，在△ 和△ 中，若
∠ = ∠ ， △ = △ ，则△ 和△ 关于点 成“友谊三角形”．
【特例初探】(1)数学社团的小智同学发现：如图 2，∠ = ∠ = 90°， △ = △ ，
连接 、 ，可得到△ ∽△ .理由如下：
∵ ∠ = ∠ ∵ △ = △
∴ ∠ ∠ = ∠ ∠ 1 1
∴ 2 = 2
即：①__________
∴ =
∵ ∠ = ∠ = 90°
∴ ②__________
1
∴ △ = 2 又∵ ∠ = ∠
1
△ = 2
∴△ ∽△ ．
根据小智的思路，请完成填空：① ，② ；
【变式归纳】(2)小慧思考：如果∠ = ∠ ≠ 90°，△ ∽△ 是否还成立？于是
她作了进一步探究：如图 3，在△ 中， = = 5， = 6， ⊥ ，△ 和△
关于点 成“友谊三角形”，连接 ，请你完成以下问题：
① = ；
②试判断 与 的位置关系，并说明理由；
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【迁移应用】(3)如图 4，在△ 中，∠ = 90°，点 是 边上一点，请你借助以上结论或
方法，用无刻度直尺和圆规在图 4中作△ ，使△ 和△ 关于点 成“友谊三角形”，
且 = 12 ；【综合提升】
(4)如图 5，在平面直角坐标系中，已知 (0,3)、 (2,0). 是 轴上的一动点，以 为一边在
的右侧构造矩形 ，且矩形的面积始终是 6，连接 、 . 是线段 上一点，且满足
∠ + ∠ = ∠ + 90°，连接 ，则 · 的最小值为 ．
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数学试卷参考答案
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】25
10.【答案】180°
11. 5【答案】9
12. 4 【答案】 3 3
13.【答案】1
14. ±
2 4
【答案】(1)四 = 2
(2) ∵ 2 2 = 24，
∴ 2 2 + 1 = 24 + 1，即( 1)2 = 25，
则 1 =± 5，
∴ 1 = 6， 2 = 4．
15.【答案】解：(1)12 ÷ 30% 12 8 6 = 14 人，
故答案为：14．
(2)补全频数分布直方图如图所示：
第 1页，共 8页
(3)360° × 840 = 72°，
答：扇形统计图中“ ”对应的圆心角度数为 72°；
(4)240 × 12+14+840 = 204 人，
答：该校 240 人参加竞赛成绩达到“优”等的人数为 204 人．
16.【答案】解：(1)设一个水弹玩具枪进价为 元，一个软蛋玩具枪的进价为( + 5)元，
300 = 800 +5，
解得 = 3，
经检验 = 3 是方程的解且符合题意，
∴ + 5 = 8，
所以一个水弹玩具枪进价为 5 元，一个软蛋玩具枪的进价为 8 元，
答：一个水弹玩具枪进价为 5 元，一个软蛋玩具枪的进价为 8 元；
(2)第一次购进水弹玩具枪 300 ÷ 3 = 100(张)，
第一次购进软蛋玩具枪 800 ÷ 8 = 100(副)，
根据题意可得，(3 + )(100 8 ) + 8(100 152 ) = 1100，
解得 = 2，
答： 的值为 2．
17.【答案】解：(1)点 (1,8) 在反比例函数 = 11 上，
∴ 1 = 1 × 8 = 8，
∴ 81 = ．
∵点 ( 4, ) 8在反比例函数 1 = 上，
∴ 4 = 8，
∴ = 2，
∴ ( 4, 2)．
∵点 (1,8)、 ( 4, 2)在一次函数 2 = 2 + 的图象上，
∴ 2 + = 8 4 2 + = 2
，
2 = 2解得： ，
= 6
∴ 2 = 2 + 6．
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(2)设直线 与 轴交于点 ，如图，
由直线 : 2 = 2 + 6，
令 = 0，则 = 6，
∴ (0,6)．
∴ = 6．
过点 作 ⊥ 轴于点 ，过点 作 ⊥ 轴于点 ，
∵ (1,8)， ( 4, 2)，
∴ = 1， = 4．
∴ = +
1 1
= 2 × + 2 ×
= 12 × 6 × (1 + 4)，
= 15，
答：△ 的面积是 15．
(3)由图象可知，点 右侧的部分和点 与点 之间的部分 1 < 2，
∴当 1 < 2时 的取值范围为： 4 < < 0 或 > 1．
18.【答案】(1)证明：如图，连接 ，
∵ 是⊙ 的直径，
∴ ∠ = 90°，即 ⊥ ，
∵ ∠ = ∠ ，
∴ = ，
∴ 平分∠ ，即∠ = ∠ = 12∠ ，
∵ ∠ = 2∠ ，
第 3页，共 8页
∴ ∠ = ∠ ，
∵ ∠ + ∠ = 90°，
∴ ∠ + ∠ = 90°，
∴ ∠ = 180° 90° = 90°，即 ⊥ ，
∵ 是⊙ 的半径，
∴ 是⊙ 的切线．
(2)解：过点 作 ⊥ ，垂足为 ，
由(1) 1可得 = = 2 = 6，
∵ tan∠ = 34 = tan∠ =

，
∴ = 8，
∴ = 2 + 2 = 10，即⊙ 的半径为 5．
∵ tan∠ = 3 = 4 ， = 10，
∴ = 403，
∴ = 2 + 2 = 503，
∴ = = 503 12 =
14
3，
∵ / / ，
∵ 12 18 = = 50 = 25，
3
∴ = 485， =
3 14
5 = 5，
∴ tan∠ = = 7 24．
19.【答案】解：(1)( + + )2 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 ；
(2) ∵ + + = 11， + + = 38，
∴ 112 = 2 + 2 + 2 + 2 × 38，
∴ 2 + 2 + 2 = 121 76 = 45，
∴ 2 + 2 + 2的值为 45；
(3)9 ；
(4) 3 = ( 1)( + 1)．
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20. 【答案】解：(1)①∠ = ∠ ；② = ；
∵ ∠ = ∠ ∵ △ = △
∴ ∠ ∠ = ∠ ∠ 1 1
∴ =
即：①∠ = ∠ ； 2 2
∵ ∠ = ∠ = 90° ∴ =

1 ∴② = ，，
∴ △ = 2

又∵ ∠ = ∠
1
△ = 2 ∴△ ∽△ ．
故答案为：①∠ = ∠ ；② =

；
(2)① 254；
过点 作 ⊥ 于 ，过点 作 ⊥ 于 ，如图：
则∠ = ∠ = 90°，
∵ = = 5， = 6， ⊥ ，
∴ = = 12 = 3，∠ = 90°，
∴ = 2 2 = 52 32 = 4 1 1， △ = 2 · = 2 × 6 × 4 = 12，
∵ 1△ = 2 · = 12，
∴ = 12×2 24 = 5，
∵△ 和△ 关于点 成“友谊三角形”，
∴ ∠ = ∠ ， △ = △ = 12，
又∵ ∠ = ∠ = 90°，
∴△ ∽△ ，
24
∴ =
5 5
，即 ，4 =
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∴ = 9625，
∵ 1△ = 2 · = 12，
∴ = 12×2 =
24 25
96 = 4．
25
25
故答案为： 4；
② ⊥ ，理由如下：
∵△ 和△ 关于点 成“友谊三角形”，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ ∠ = ∠ ∠ ，即∠ = ∠ ，
∵ = 5 25， = 4， = 4， = 5，
∴ 5 4 4 = 25 = 5，
4
= 5，
∴ =

，
又∵ ∠ = ∠ ，
∴△ ∽△ ，
∴ ∠ = ∠ ，
∵ ∠ = 90°，
∴ ∠ = 90°，
∴ ⊥ ；
(3)作法：①延长 ，在 的延长线上截取 = ；②以 为圆心，以 的长为半径画弧交 于 ；③
在 的上方作∠ ，使∠ = ∠ ；④作 的垂直平分线交 于 ，⑤在射线 上截取 = =
1
2 ，连接 ，则△ 即为所求作的三角形，如图所示．
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(4)2 10 2；
如图 5：
∵ ∠ 是△ 的外角，
∴ ∠ = ∠ + ∠ ，
∵ ∠ + ∠ = ∠ + 90°，
∴ ∠ + ∠ + ∠ = ∠ + 90°，
∴ ∠ + ∠ = 90°，
又∵ ∠ + ∠ = 90°，
∴ ∠ = ∠ ，
又∵ ∠ = ∠ ，
∴△ ∽△ ，
∴ = ，
∴ · = · = 2 ，
∴当 取最小值时， · 取最小值，
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过点 作 轴的平行线，与矩形 的边 交于点 ，如图：
则∠ = 180° ∠ = 90°，
∵ (0,3)、 (2,0)，
∴ = 3， = 2，
∵矩形的面积始终是 6，
∴ · = 6，
∵ ∠ = ∠ = 90°，∠ = 90° ∠ = ∠ ，
∴△ ∽△ ，
∴ : = : ，
∴ = · 6 = 3 = 2，故 AF 长为定值 2，取其中点为 ，则 (1,3)，连接 、 、 ，
在 △ 中，∠ = 90°， 为斜边 的中点，
∴ = 12 = 1，
∴点 在以 为圆心，1 为半径的圆周上，
∵ ≥ ，
∴当点 运动到线段 上时， 取最小值， 的最小值为 的值，
∵ (1,3)， (2,0)，
∴ = 1 2 2 + 32 = 10，
∴ = 10 1，
∴ 的最小值为 10 1，此时 · = 2 = 2 10 1 = 2 10 2，
∴ · 的最小值为 2 10 2．
故答案为：2 10 2．
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