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2024-2025学年安徽省七年级下学期阶段性质量监测卷
数学(沪科版)
注意事项:
1.数学试卷满分为150分,考试时间为120分钟。
2.本试卷包括“试题卷”和“答题卷"两部分
3.请务必在“答题卷”上答题,在“试题卷”上答题是无效的。
4.考试结束后,请将“试题卷”和“答题卷”一并交回。
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分,每小题都给出A,B,C,D四个选项，其中只有一个选项是正确的)
1．实数 ， ，0，﹣π， ， ，0.1010010001…（相连两个1之间依次多一个0），其中无理数有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．若关于x的不等式组 的整数解共有4个，则m的取值范围是（　　）
A．6＜m＜7 B．6≤m＜7 C．6≤m≤7 D．6＜m≤7
3．小明把一副三角板摆放在桌面上，如图所示，其中边，在同一条直线上，现将三角板绕点顺时针旋转，当第一次与平行时，的度数是（　　）
A． B． C． D．
4．小王叔叔改建一个边长为a米的正方形养鸡场，计划纵向扩大2米，横向缩短2米，则改建后养鸡场面积的变化情况是（　　）
A．面积减少4m2 B．面积增加4m2 C．面积增加2m2 D．面积不变
5．不等式组的解集在数轴上表示为 （　　）．
A． B．
C． D．
6．运行程序如图所示，从“输入整数x”到“结果是否＞18”为一次程序操作，若输入整数x后程序操作仅进行了两次就停止，则x的最小值是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．在计算( ) ( )时，最佳的方法是（　　）
A．运用多项式乘多项式法则 B．运用平方差公式
C．运用单项式乘多项式法则 D．运用完全平方公式
8．64的平方根为（　　）
A．8 B．±8 C．－8 D．±4
9．如图，直线k∥l， .其中 ， ，则 的最大整数值是（　　）
A．108° B．110° C．114° D．115°
10．如图，AB∥CD∥EF，则下列各式中正确的是（　　）
A．∠1=180°﹣∠3 B．∠1=∠3﹣∠2
C．∠2+∠3=180°﹣∠1 D．∠2+∠3=180°+∠1
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．设为正整数，且，则的值为　 　 ．
12．某品牌衬衫进价为元，标价为元，商家规定可以打折销售，但其利润率不能低于，则这种品牌衬衫最多可以打　 　折.
13．小颖在解分式方程时，△处被污染看不清，但正确答案是：此方程无解．请你帮小颖猜测一下△处的数应是　 　．
14．如图，将含角的直角三角形的直角顶点放在直尺的一边上，已知，则的度数为　 　
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．计算：
16．解方程：.
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．某文具店准备从批发市场购买若干排球和书包（每个排球的价格相同，每个书包的价格相同），若购买4个排球和8个书包共需920元；若购买9个排球和6个书包共需1170元．
（1）每个排球和书包各需多少元？
（2）根据需要，文具店一次性购买排球和书包共60个，实际购买中得知：在此批发市场购买排球和书包的总数量超过50时，书包打八折出售（排球仍按原价出售）如果此次用于购买排球的费用不超过购买书包的费用，那么最多可以购买多少个排球？
18．甲、乙两人共同计算一道整式：，由于甲抄错了a的符号，得到的结果是，乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是．
（1）求的值；
（2）若整式中的a的符号不抄错，且，请计算这道题的符合题意结果．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．阅读下面的文字，解答问题∶大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，得到的差就是小数部分，因为的整数部分是1，于是用来表示的小数部分．又例如：
∵，即，
∴的整数部分是2，小数部分为．
根据上述材料，回答下列问题：
（1）的整数部分是　 　，小数部分是　 　．
（2）也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，求的值；
（3）若的整数部分为x，小数部分为y，求的平方根．
20．杨梅是我市特产水果之一，素有“初疑一颗值千金”之美誉！某杨梅园的杨梅除了直接销售到市区外，还可以让市民去园区采摘．已知杨梅在市区和园区的销售价格分别是15元/千克和10元/千克，该杨梅园今年六月第一周一共销售了1000千克，销售收入12000元．
（1）该杨梅园今年六月第一周市区和园区分别销售了多少千克杨梅？
（2）为了促销，该杨梅园决定六月第二周将市区和园区销售价格均以相同折扣进行销售，小方发现用3240元购买市区的重量比用2430元购买园区的重量少30千克，求本次活动对市区和园区进行几折销售？
（3）在（2）的促销条件下，杨梅园想第二周市区和园区杨梅的平均售价和第一周的市区和园区平均售价相等．若第二周杨梅在市区的销量为a千克，园区的销量为b千克，请直接写出a与b的数量关系．
六、（本题满分12分）
21．列方程组或不等式解应用题：
某夜宵店计划制作膏蟹、小青龙虾两种美味若干份，已知两种美味的成本价和销售价如表：
类别 膏蟹 小青龙虾
成本价（元/份） 120 100
销售价（元/份） 180 150
（1）“五一”当天，夜宵店用6800元制作了膏蟹、小青龙虾两种美味共60份，求两种美味各制作了多少份？
（2）由于昨晚膏蟹热卖，所以隔天夜宵店在制作时，决定制作的膏蟹数量不得超过小青龙虾数量的两倍．夜宵店计划制作这两种美食共100份，设制作小青龙虾m份，求m的最小值；
（3）在（2）的条件下，当制作小青龙虾　 　份时，夜宵店获得最大利润，最大利润是　 　元．
七、（本题满分12分）
22．用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式例如：计算图的面积，把图看作一个大正方形它的面积是；如果把图看作是由个长方形和个小正方形组成的，它的面积为，由此得到．
（1）如图，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为的正方形，从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为　 　．
（2）利用(1)中的结论解决以下问题：
已知，，求的值；
（3）如图，正方形边长为，正方形边长为，点，，在同一直线上，连接、，若，，求图中阴影部分的面积．
八、（本题满分14分）
23．如图1所示，直线 EF//GH ，直线分别交直线于点，平分，平分，与交于点．“三人行”数学兴趣小组的三位组员分别探究了三个问题：
（1）小明探究的度数，为此他将测量得到的一些数据记录如下表：
第1次
第2次
第3次
… … … …
小明利用测量角的度数的方法从量上直观验证了，但是测量具有局限性，请你用几何推理的方法证明；
（2）小颖在图1中过点画直线分别交直线于点，如图2．小颖根据点都在线段的右侧时的不同位置，分别测量出不同位置时线段的长度，经过若干组数据的收集分析，整理得出一定有．请问小颖得出的结论是否正确？若正确，请证明；若不正确，请说明理由；
（3）小京在小颖研究的基础上继续探究，他发现当点在线段的异侧时，小颖得出的结论就不成立了，此时线段三者之间又有新的数量关系．请你直接写出这个新的数量关系．/ 让教学更有效
2024-2025学年安徽省七年级下学期阶段性质量监测卷
数学(沪科版)
注意事项:
1.数学试卷满分为150分,考试时间为120分钟。
2.本试卷包括“试题卷”和“答题卷"两部分
3.请务必在“答题卷”上答题,在“试题卷”上答题是无效的。
4.考试结束后,请将“试题卷”和“答题卷”一并交回。
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分,每小题都给出A,B,C,D四个选项，其中只有一个选项是正确的)
1．实数 ， ，0，﹣π， ， ，0.1010010001…（相连两个1之间依次多一个0），其中无理数有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】【解答】解：无理数有： ，﹣π，0.1010010001…（相连两个1之间依次多一个0），共3个．
故答案为：C．
【分析】是有理数，=4是有理数，是分数.
2．若关于x的不等式组 的整数解共有4个，则m的取值范围是（　　）
A．6＜m＜7 B．6≤m＜7 C．6≤m≤7 D．6＜m≤7
【答案】D
【解析】【解答】解：
由（1）得，x＜m，
由（2）得，x≥3，
故原不等式组的解集为：3≤x＜m，
∵不等式组的正整数解有4个，
∴其整数解应为：3、4、5、6，
∴m的取值范围是6＜m≤7．
故答案为：D．
【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含m的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于m的不等式，从而求出m的范围．
3．小明把一副三角板摆放在桌面上，如图所示，其中边，在同一条直线上，现将三角板绕点顺时针旋转，当第一次与平行时，的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，过点作直线，
由题意得，，，，
，
∴，
∴，，
∴，
∴
故答案为：B．
【分析】过点作直线，由平行线的传递性可得AB∥DM∥EF，由平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可求得的度数，由角的和差∠BDE=∠BDM+∠EDM求出∠BDE的度数，然后由角的和差即可求解．
4．小王叔叔改建一个边长为a米的正方形养鸡场，计划纵向扩大2米，横向缩短2米，则改建后养鸡场面积的变化情况是（　　）
A．面积减少4m2 B．面积增加4m2 C．面积增加2m2 D．面积不变
【答案】A
【解析】【解答】解：∵原来正方形的边长为am，
∴则改建后的养鸡场长为：（a+2）m，宽为（a-2）m，
∴原来面积为a2，改建后的面积为（a+2）（a-2）=a2-4，
而a2-（a2-4）=4，
∴ 改建后养鸡场面积减少4m2.
故答案为：A.
【分析】由题意可知：原来正方形的边长为am，分别表示出改建后的养鸡场长和宽，求出面积差.
5．不等式组的解集在数轴上表示为 （　　）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：
解不等式①得，，
解不等式②得，，
综上，∴不等式组的解集为：．
故答案为：A．
【分析】本题求解不等式组的解集，可以分别对两个不等式分别求解，然后综合求出不等式组的解集，最后看选项中，A表示的是；B表示的是x＜1；C表示的是1＜x≤2；D表示的是1≤x＜2，因此选出正确答案即可。
6．运行程序如图所示，从“输入整数x”到“结果是否＞18”为一次程序操作，若输入整数x后程序操作仅进行了两次就停止，则x的最小值是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意得 ，
解不等式①得 ，
解不等式②得 ．
则 的取值范围是 ，
是整数，
的最小值是5．
故答案为： ．
【分析】根据程序图可得，先求出不等式的解集，再求出其最小整数值即可.
7．在计算( ) ( )时，最佳的方法是（　　）
A．运用多项式乘多项式法则 B．运用平方差公式
C．运用单项式乘多项式法则 D．运用完全平方公式
【答案】B
【解析】【解答】解：（x+2y）（-2y+x）
=x2-（2y）2
=x2-4y2，
即运用了平方差公式，
故答案为：B．
【分析】根据平方差公式的特点得出即可．
8．64的平方根为（　　）
A．8 B．±8 C．－8 D．±4
【答案】B
【解析】【解答】∵（±8）2=64，
∴64的平方根是±8，
故答案为：D．
【分析】根据平方根的概念求解．
9．如图，直线k∥l， .其中 ， ，则 的最大整数值是（　　）
A．108° B．110° C．114° D．115°
【答案】C
【解析】【解答】解：过点D，E作DF∥k，GE∥k，如图，
∵k∥l，
∴DF∥GE∥k∥l，
∴
∴
∵
∴
∵
∴ ，
，
∵ ，
∴
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
故 的最大整数值为114°.
故答案为：C.
【分析】过点D，E作DF∥k，GE∥k，根据平行公理得出DF∥GE∥k∥l，根据平行线的性质分别列出等式，结合已知条件，推出 ，则可得出 ，根据∠3<90°，求出d的范围，再推出，从而求出∠4的范围，然后解不等式，在其范围内取最大整数即可.
10．如图，AB∥CD∥EF，则下列各式中正确的是（　　）
A．∠1=180°﹣∠3 B．∠1=∠3﹣∠2
C．∠2+∠3=180°﹣∠1 D．∠2+∠3=180°+∠1
【答案】D
【解析】【解答】如图，
∵AB∥CD，
∴∠2+∠BDC=180°，即∠BDC=180°﹣∠2，
∵EF∥CD，
∴∠BDC+∠1=∠3，即∠BDC=∠3﹣∠1，
∴180°﹣∠2=∠3﹣∠1，即∠2+∠3=180°+∠1，
故答案为：D．
【分析】A.由EF∥CD可知∠3+∠EDG=180°，即∠EDG=180°-∠3，而∠1与∠EDG不等，故A不符合题意；B.∵EF∥CD，∴∠BDC+∠1=∠3，即∠BDC=∠3﹣∠1，而∠BDC与∠2不等，故B不符合题意；C.∠2+∠3=∠2+∠BDC+∠1=180°+∠1，故C不符合题意；
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．设为正整数，且，则的值为　 　 ．
【答案】3
【解析】【解答】解：根据题意，在相邻的2个正整数n和n+1之间
即
故答案为：3
【分析】掌握无理数比较大小的方法，会用相邻的两个整数确定无理数的所在范围。
12．某品牌衬衫进价为元，标价为元，商家规定可以打折销售，但其利润率不能低于，则这种品牌衬衫最多可以打　 　折.
【答案】
【解析】【解答】解：设这种品牌衬衫可以打x折，
由题意可得：，
解得：x≥6，
即这种品牌衬衫最多可以打6折，
故答案为：6.
【分析】根据题意找出不等关系，求出，再解不等式即可。
13．小颖在解分式方程时，△处被污染看不清，但正确答案是：此方程无解．请你帮小颖猜测一下△处的数应是　 　．
【答案】1
【解析】【解答】解：根据题意：去分母得：x-2=△+2 (x-3) ，
∵该分式方程无解.
∴可得该方程分母为0，即x-3=0，解得x=3，
然后把x=3代入x-2=△+2 (x-3) 中，解得：△=1.
故答案为：1.
【分析】首先，根据该分式方程无解可得：x=3.然后将其代入x-2=△+2 (x-3)中求出x的值即可.
14．如图，将含角的直角三角形的直角顶点放在直尺的一边上，已知，则的度数为　 　
【答案】50°
【解析】【解答】解：如图，
∵EF//MN，∠1=40°，∴∠3=∠1=40°.∵∠2+∠3=90°，∴∠2+40°=90°，解得∠2=50°.
故答案为：50°.
【分析】利用平行线的性质求出∠3，再根据∠3与∠2互余，求得∠2.
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．计算：
【答案】解：原式
．
【解析】【分析】乘方的运算先于乘除，故；会开立方，注意负数参与的运算要先判断好符号。
16．解方程：.
【答案】解：方程两边同乘以，得
合并同类项，得
经检验，是方程的解，
故方程的解为.
【解析】【分析】解分式方程，找到公因式，两边同乘去分母。所得的结果都须经过检验才能说是方程的解。
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．某文具店准备从批发市场购买若干排球和书包（每个排球的价格相同，每个书包的价格相同），若购买4个排球和8个书包共需920元；若购买9个排球和6个书包共需1170元．
（1）每个排球和书包各需多少元？
（2）根据需要，文具店一次性购买排球和书包共60个，实际购买中得知：在此批发市场购买排球和书包的总数量超过50时，书包打八折出售（排球仍按原价出售）如果此次用于购买排球的费用不超过购买书包的费用，那么最多可以购买多少个排球？
【答案】（1）解：设每个排球x元，每个书包y元，
由题意得：
解得：
每个排球80元，每个书包75元．
（2）解：设购买m个排球，则购买个书包，由题意得：
解得：
为整数，
最大取25，
答：最多可购买25个排球．
【解析】【分析】（1）设每个排球x元，每个书包y元，根据“购买4个排球和8个书包共需920元；若购买9个排球和6个书包共需1170元”即可列出二元一次方程组，进而即可求解；
（2）设购买m个排球，则购买个书包，根据题意即可列出不等式，进而解不等式即可求解。
18．甲、乙两人共同计算一道整式：，由于甲抄错了a的符号，得到的结果是，乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是．
（1）求的值；
（2）若整式中的a的符号不抄错，且，请计算这道题的符合题意结果．
【答案】（1）解：甲抄错了a的符号的计算结果为：，
因为对应的系数相等，故，
乙漏抄了第二个多项式中x的系数，计算结果为：．
因为对应的系数相等，故，，
∴
（2）解：乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果得出：
，
故，
∴b=-1，
把a=3，b=-1代入，
得（x+3）（2x-1）=2x2+5x-3，
故答案为：2x2+5x-3．
【解析】【分析】（1）利用多项式乘多项式的计算方法展开，再利用待定系法可得答案；
（2）先求出b的值，再将a、b的值代入计算即可。
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．阅读下面的文字，解答问题∶大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，得到的差就是小数部分，因为的整数部分是1，于是用来表示的小数部分．又例如：
∵，即，
∴的整数部分是2，小数部分为．
根据上述材料，回答下列问题：
（1）的整数部分是　 　，小数部分是　 　．
（2）也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，求的值；
（3）若的整数部分为x，小数部分为y，求的平方根．
【答案】（1）4；
（2）解：∵，
∴，，
∴．
（3）解：∵
∴
∴，，
∴，
．
【解析】【解答】解：（1）∵4<<5，
∴的整数部分为4，小数部分为-4.
故答案为：4，-4.
【分析】（1）根据估算无理数大小的方法可得的范围，据此解答；
（2）根据估算无理数大小的方法可得的范围，然后求出6+的范围，据此可得a、b的值，然后根据有理数的加法法则进行计算；
（3）根据估算无理数大小的方法可得的范围，据此可得x、y，然后结合平方根的概念进行解答.
20．杨梅是我市特产水果之一，素有“初疑一颗值千金”之美誉！某杨梅园的杨梅除了直接销售到市区外，还可以让市民去园区采摘．已知杨梅在市区和园区的销售价格分别是15元/千克和10元/千克，该杨梅园今年六月第一周一共销售了1000千克，销售收入12000元．
（1）该杨梅园今年六月第一周市区和园区分别销售了多少千克杨梅？
（2）为了促销，该杨梅园决定六月第二周将市区和园区销售价格均以相同折扣进行销售，小方发现用3240元购买市区的重量比用2430元购买园区的重量少30千克，求本次活动对市区和园区进行几折销售？
（3）在（2）的促销条件下，杨梅园想第二周市区和园区杨梅的平均售价和第一周的市区和园区平均售价相等．若第二周杨梅在市区的销量为a千克，园区的销量为b千克，请直接写出a与b的数量关系．
【答案】（1）解：设该杨梅园今年六月第一周市区销售了x千克杨梅，园区销售了y千克杨梅，
根据题意得：，
解得：
答：该杨梅园今年六月第一周市区销售了400千克杨梅，园区销售了600千克杨梅；
（2）解： 设本次活动对市区和园区进行m折销售，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：本次活动对市区和园区进行9折销售；
（3）解： 根据题意得：，
答：a与b的数量关系为
【解析】【分析】（1）设该杨梅园今年六月第一周市区销售了x千克杨梅，园区销售了y千克杨梅，利用题意列关于x，y的二元一次方程组解题即可；
（2）设本次活动对市区和园区进行m折销售，利用数量=总价单价，列关于m的分式方程，求出m值检验解题；
（3）根据题意列关于a，b的二元一次方程，用含b的式子表示a即可．
六、（本题满分12分）
21．列方程组或不等式解应用题：
某夜宵店计划制作膏蟹、小青龙虾两种美味若干份，已知两种美味的成本价和销售价如表：
类别 膏蟹 小青龙虾
成本价（元/份） 120 100
销售价（元/份） 180 150
（1）“五一”当天，夜宵店用6800元制作了膏蟹、小青龙虾两种美味共60份，求两种美味各制作了多少份？
（2）由于昨晚膏蟹热卖，所以隔天夜宵店在制作时，决定制作的膏蟹数量不得超过小青龙虾数量的两倍．夜宵店计划制作这两种美食共100份，设制作小青龙虾m份，求m的最小值；
（3）在（2）的条件下，当制作小青龙虾　 　份时，夜宵店获得最大利润，最大利润是　 　元．
【答案】（1）解：设制作了膏蟹x份，则制作了小青龙虾份，
，
解得，
∴制作了膏蟹40份，则制作了小青龙虾20份．
（2）解：设制作小青龙虾m份，则制作膏蟹，
由题意可得：，
解得：，
∵m为整数，
∴，
∴m的最小值为34份；
（3）34；5660
【解析】【解答】(3)∵制作一份膏蟹的利润为：180-120=60（元），
制作一份小青龙虾的利润为：150-100=50（元），
为了使夜宵店获得最大利润，应该尽可能多地制作膏蟹，即尽量少地制作小青龙虾，
由于，
∴应该制作34份小青龙虾，使夜宵店获得最大利润，
最大利润是：（元）.
故答案为：34；5660.
【分析】（1）设制作了膏蟹x份，则制作了小青龙虾份，根据制作成本为6800元，即可列出方程，求出x以及；
（2）设制作小青龙虾m份，则制作膏蟹，根据制作的膏蟹数量不得超过小青龙虾数量的两倍，即可列出关于m的不等式组，即可求出m的取值范围，进而得出m的最小值；
（3）首先求出制作一份膏蟹和制作一份小青龙虾的利润，可知制作一份膏蟹的利润更大，因此为了获得最大利润，应尽量少地制作小青龙虾，由（2）可知，，因此制作小青龙虾的份数应该为34份，即可求出最大利润.
七、（本题满分12分）
22．用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式例如：计算图的面积，把图看作一个大正方形它的面积是；如果把图看作是由个长方形和个小正方形组成的，它的面积为，由此得到．
（1）如图，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为的正方形，从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为　 　．
（2）利用(1)中的结论解决以下问题：
已知，，求的值；
（3）如图，正方形边长为，正方形边长为，点，，在同一直线上，连接、，若，，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）
（2）解：∵（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
a+b+c=10，ab+ac+bc=37
∴100=a2+b2+c2+37×2，
∴a2+b2+c2=26，
答：a2+b2+c2的值为26；
（3）解：S阴影部分=S△BCD-S梯形CEFD
=a2-（b+a）×b
=（a2-b2-ab）
=[（a+b）（a-b）-ab]
=[5（a+b）-6]
∵a-b=5，ab=6，
∴（a+b）2=（a-b）2+4ab
=25+24
=49，
又∵a＞b＞0，
∴a+b=7，
∴S阴影部分=[5×7-6]=
【解析】【解答】解： （1）∵图2整体是边长为a+b+c的正方形，
∴面积为（a+b+c）2，
又∵图2中9个部分面积和为a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
故答案为：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
【分析】 （1）从“整体”和“部分”两个方面用代数式表示图2的面积；
（2）利用（1）的结论代入计算即可；
（3）根据图形中各个部分面积之间的关系得出S阴影部分=S△BCD-S△BCD-S梯形CEFD，再代入计算即可．
八、（本题满分14分）
23．如图1所示，直线 EF//GH ，直线分别交直线于点，平分，平分，与交于点．“三人行”数学兴趣小组的三位组员分别探究了三个问题：
（1）小明探究的度数，为此他将测量得到的一些数据记录如下表：
第1次
第2次
第3次
… … … …
小明利用测量角的度数的方法从量上直观验证了，但是测量具有局限性，请你用几何推理的方法证明；
（2）小颖在图1中过点画直线分别交直线于点，如图2．小颖根据点都在线段的右侧时的不同位置，分别测量出不同位置时线段的长度，经过若干组数据的收集分析，整理得出一定有．请问小颖得出的结论是否正确？若正确，请证明；若不正确，请说明理由；
（3）小京在小颖研究的基础上继续探究，他发现当点在线段的异侧时，小颖得出的结论就不成立了，此时线段三者之间又有新的数量关系．请你直接写出这个新的数量关系．
【答案】（1）解：，
，
平分，平分，
，
，
；
（2）解：小颖得出的结论正确，理由如下：
在线段AB上截取AG=AD，连接GP，如图所示：
∵AP平分∠DAB，
∴∠DAP=∠BAP，
又∵AD=AG，AP=AP，
∴△DAP≌△GAP（SAS）
∴∠DPA=∠GPA.
由（1）得∠APB=∠GPA+∠GPB=90°，
∴∠DPA+∠CPB=90°，
∴∠CPB=∠GPB，
平分，
∴∠CBP=∠GBP，
又∵BP=BP，
∴△CBP≌△GBP（AAS）
∴BG=BC，
∵AB=AG+BG，
；
（3）或
【解析】【解答】解：（3）延长AP交GH于点K，如图所示：
∵EF//GH，
∴∠FAK=∠AKB.
∵AP平分∠FAB，
∴∠FAK=∠KAB，
∴∠AKB=∠KAB，
∴AB=BK.
由（2）得：∠APB=90°，
∴AK⊥BP，
∴AP=KP.
当点D在点A左侧，点C在点B右侧时，如下图：
EF//GH，
∴∠ADP=∠KCP，∠DAP=∠CKP，
∴△ADP≌△KCP（AAS），
∴AD=KC=BK+BC，
∴AD=AB+BC；
当点D在点A左侧，点C在点B右侧时，如下图：
同理可证明：AD=KC=BC－BK，
∴AD=BC－AB，即BC=AD+AB.
综上所述，或．
故答案为：或．
【分析】（1）利用平行线的性质得出，结合角平分线的定义可证得：，再利用三角形的内角和定理即可得到结论；
（2）在线段AB上截取AG=AD，连接GP，利用SAS证明△DAP≌△GAP，可得∠DPA=∠GPA.再利用AAS证明△CBP≌△GBP，可得BG=BC，相加即可得到结论.
（3）先证明AB=BK，再分两种情况：当点D在点A左侧，点C在点B右侧时或当点D在点A左侧，点C在点B右侧时，利用AAS证明△ADP≌△KCP，可得AD=KC，最后利用线段的和差关系即可得到结论.2024-2025学年下学期期末模拟考试
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