资源简介

2025 宝安区初中数学学情自测卷 2
说明：
1．全卷共 6 页，答题卡共 2 页。考试时间 90 分钟，满分 100 分。
2．请在答题卡上写上学校、班级、姓名并填涂考生号，不得在其它地方作任何标记。
3．本卷选择题 1～8，每小题选出答案后，用 2B 铅笔将答题卷选择题答题区内对应题目的答案标号涂黑；
非选择题的答案（含作辅助线）必须用规定的笔，写在答题卷指定的答题区内，写在本卷或其他地方
无．效．。
第一部分 选择题
一、选择题（本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．如图是 AI 生成的 3D 图形，其主视图是（ ）
A B C D
2．下列各数中，绝对值最大的是（ ）
A．-2 B．﹣3 C． 3 D．
3．下列运算正确的是（ ）
2 2
A．3a3 3a = 6a4 B． (a +b) = a2 +b2 C. ( 2a) = 4a2 D． (10a2b 6ab) 2ab = 5a 3
4．小明得知深圳有优必选、智平方、逐际动力、众擎这四大通用型机器人公司可供参观，他打算从
中选两个，则众擎公司被选中的概率为（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
2 4 8 16
5．如图，AB∥EF，∠A＝128°，DC＝DE．则∠CED 的度数为（ ）
A．26° B．38° C．52° D．64°
6．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点 A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交
1
AC，AB 于点 M，N，分别以 M，N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧交于点 P，作射线
2
AP 交 BC 于点 D，再用尺规作图作出 DE⊥AB 于点 E，则 CD 的长为（ ）
3 5
A． B． 3 C． D．5
2 2
第 5题 第 6题
7．我校九年级全体学生乘坐校车去一中参加体育中考。若每 50 人乘一辆车，最终剩余 3 辆车；若每
40 人乘一辆车，最终剩余 12 人无车可乘。问共有多少学生？多少辆校车？如果设有 x 人，y 辆车，
则可列方程组为（ ）
1
50y x =150 x +50y =150 x = 50(y 3) x = 50(y + 3)
A． B． C． D．
40y x =12 x 40y =12 x = 40y +12 x = 40y 12
8．如图，已知在平面直角坐标系中，对于函数 y1图象上任何一点 A(m, n)，称B (m,m n)为点 A“关
4
于函数 y1的平衡点”，已知函数 y = ，点 A在函数 y1上，其“平衡点”B 满足 AB = 2，且 B在 A1
x
下方，若直线 AB垂直于 x 轴， 则 AOB 的面积为（ ）
A．1 或 2 B．2 或 4 C．4 或 6 D．6 或 8
第二部分 非选择题
第 8 题
二、填空题（本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）
9. 8 的平方根是__________。
10．关于 x 的一元二次方程 x2 3x + 2 = 0的一个解是 x=1，则另一个根是 ．
11．如图，AB 是半圆 O 的直径，D 是 的中点，E 是 的中点，连接 OD，OE，若OA = 2 5 ，
则图中两个阴影部分的周长和为 ．
12．如图，我校小钥将镜子放在距离篮球架底部 D 若干米的点 C 处，小怡站在点 A 处，低头恰好看
到篮球架顶端 E 在镜子中的像与镜子上的标记重合，随后小怡抬头测得篮球架顶端的仰角为 30°，
若小怡的眼睛离地面的高度 AB=1.6 m，AC=1.6m，则篮球架 DE 的高度约为___________（结果精
确到 1m，参考数据： 3 1.732）
13. 如图，菱形 ABCD 边长为 4，∠ABC=120°，点 E 在线段 BC 上，射线 AE 绕点 A 逆时针旋转 30°
与射线 BC 于点 F，与线段 CD 交于点 G，且 DG：GC=3:1，则线段 EF=___________。
第 11 题 第 12 题 第 13 题
三、解答题（本题共 7 小题，其中第 14 题 5 分，第 15 题 7 分，第 16 题 8 分，第 17 题 10 分，第 18
题 8 分，第 19 题 11 分，第 20 题 12 分，共 61 分）
14．（本题 5 分）计算： 12025 + 12 3 + 2cos30 + (2025 )0 ．
2
a +1 1 3
15．（本题 7 分）以下是某同学化简分式： 的部分运算过程：
a2 4 a + 2 a 2
a +1 1 a 2 解：
解：原式＝ ①
(a + 2)(a 2) a + 2 3
a +1 a 2 a 2
＝ ②
(a + 2)(a 2) (a + 2)(a 2) 3
a +1 a 2 a 2
＝ ③
(a + 2)(a 2) 3
（1）上面的运算过程中第 步出现了错误；
（2）请你写出完整的解答过程，并在“-2，0，2”中选择一个合适的数代入求值．
16．（本题 8 分）根据以下调查报告解决问题：
调查主题 本校九年级学生运动健康情况调查
背景介绍 某学习小组为了解本校九年级学生的运动健康状况，随机选取了该年级部分学
生进行每周运动时长数据收集。
调查结果
调查学生的每周运动时长频数分布表
每周运动时长 频数
0≤x＜1 6
1≤x＜2 12
2≤x＜3 17
3≤x＜4 26
4≤x＜5 24
5≤x＜6 10
x≥6 5
合计 100
建议：…
（说明：以上仅展示部分报告内容）
(1) 本次调查活动采用的调查方式是________（填写“普查”或“抽样调查”），如果想要直观展示不同
运动时长区间的学生人数占调查总人数的百分比，选择制作______________最合适（填写“条形统
计图”、“扇形统计图”或“折线统计图”）；
(2) 若每周运动时长 4 -5 小时被认为是运动较为合理的区间，该区间的数据为：4.2、4.5、4.0、4.3、
3
4.5、4.8、4.7、4.6、4.4、4.1，这组数据的众数是_____,中位数是____；
(3) 若每周运动时长小于 3 小时被认为运动不足，该年级共有学生 500 人，估计该年级运动不足的学
生人数；
(4) 请结合上述数据，分析该年级学生的运动情况，并为提高学生运动水平，促进学生健康发展提出
一条合理的建议。
17．（本题 10 分）根据以上素材，思考并完成任务：
文字说明 图示说明
素材 1 如图，某校原有矩形停车场，含垂直和平行停车位，每
个车位形状大小相同，停车场宽 9 米，停车场可容纳 9
辆小型客车。
素材 2 学校计划新建一个矩形无围墙停车场（如图），
该矩形停车场一边 AB 长 33 米，行车通道宽为 3.5 米，
现在向师生征集设计方案。
素材 3 九（5）班数学学习小组拟定新方案，采用垂直和斜列停
车位相结合的设计方案，方案的部分图示如图。 ......
方案说明：①四边形 ACDE 为矩形，图中每个矩形停车
位完全一致，且形状大小与原停车位相同；②四边形 行车通道
FGHI 为平行四边形，∠GFI=60°，图中每个平行四边形停 ......
车位完全一致；③AC=FG，CD=GH.
任务 1 请你计算出原停车场上的每个停车位的长和宽。
任务 2 请你根据拟定的设计方案，分别计算出一排垂直停车位的数量和斜列停车位的数量。
任务 3 据调查发现，每天进出停车场车辆至少 62 辆，学校要求斜列停车位排数比垂直停车位少
一排，且每排间留行车通道，求该矩形停车场另一边至少多长才满足车辆停放？（结果
保留一位小数，参考数据： 2 1.414 , 3 1.732）
4
18．（本题 8 分）如图，在四边形 ABCD 中∠D=90°，连接对角线 AC，⊙O 是△ABC 的外接圆，BC
是⊙O 的直径，点 E 是 AB 的中点，连接 OE，∠AOE=∠CAD．
（1）求证：CD 为⊙O 的切线；
（2）若⊙O 的直径为 10，OE＝3，求 CD 的长．
19.（本题 11 分）我校九年级学生去游乐园进行春游，在过山车项目排队时，小明发现过山车的轨道
可近似看出多个函数图象的组合。活动结束后，数学老师给同学们提出如下问题：如图是水上过山车
的示意图，
图 1 图 2
如图 1，AB 段为直滑道，BC 段、EF 段为平行滑道，C、F 分别为冲刺顶点，CDE 段为抛物线
y = ax2
18
+bx + 227的一部分，Ｄ为抛物线顶点，FG 段为双曲线 y = 的一部分，其中冲刺顶点 C
x 20
离地距离 27m，冲刺顶点Ｆ离地距离 18m，水面高度为 1m，G 为抛物线和水面的接触点, B (8, 27)，
D (15, 2)， E (m,18) , BC = EF = 2m ，
（1）求抛物线 CDE 解析式和点 E 坐标.
（2）出于安全需求，游乐园在抛物线轨道和双曲线轨道离地高 12 米处添加纵向加固杆进行加固，请
求出每条加固杆离出发点的水平距离（ 10 3.16，结果保留一位小数）。
5
（3）过山车冲入水面时，水花会向四周飞溅，为确保游客安全，游乐园计划将冲刺顶点 FC 向下调
3
整至 F '，使仰角 HGF '降低至 37°， EFF '= 90 。如图 2 所示，请求出∠FEF'的正切值（sin 37 = ，
5
4 3
cos37 = ， tan 37 = ）
5 4
20.（本题 12 分）综合与探究
【定义】三角形一边上的点（中点除外）将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边
所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“中项点”。如图 1，△ABC 中，点 D 是 BC 边上一
点，连接 AD，若 AD2＝BD CD，则称点 D 是△ABC 中 BC 边上的“中项点”．
【概念理解】
（1）①在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于点 D，判断 D_____（填“是”或“否”）为△ABC 中 AB
边上的“中项点”。
图 1 图 2
②如图 2，在矩形 ABCD 中，点 E 为 BC 边上的动点，连接 DE 交对角线 AC 于点 F，已知矩形的边
AD 为 a，DC 为 b，设 BE 长为 x，问：当矩形 ABCD 的 AD 边与 DC 边之比满足什么条件时，F 同时
为△ADC 和△DCE 的边上“中项点”，并求出此时 x 的值。
【性质应用】
（2）如图 3，在菱形 ABCD 中，点 E 为 BC 边上的一点，连接 DE 交对角线 AC 于点 F，点 F 恰好是
△ACD 中 AC 边上的“中项点”，求证：点 F 也是△CDE 中 DE 边上的“中项点”；
图 3 备用图
备用图
【性质拓展】
若把（2）中的条件“点 E 为 BC 边上的一点”改为“点 E 为直线 BC 上的一点”，若菱形的边长为 5，
4
BE=3，tan B= ，求 DF 的长度。
3
62025 宝安区初中数学学情自测卷 2
参考答案和评分标准
一、选择题（本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分，每小题有四个选项，其中
只有一个是正确的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D D A A A C B
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）
74
9. 2 2 10. x = 2 11. 5 12. 6m 13.
15
三、解答题（本题共 7小题，其中第 14 题 5分，第 15 题 7 分，第 16 题 7 分，
第 17题 10分，第 18题 8分，第 19题 11分，第 20题 12分，共 61 分）
14. 原式 = 12025 + 12 3 + 2cos30 + (2025 )0
3
= 1+（2 3 3）+ 2 +1 .......4分2
= 2 3 + 3 3
= 3 3 3 .......5分
15.（1）上面的运算过程中第 ③ 步出现了错误； ...1分
（2） a +1 1 3方 法 1： 2
a 4 a + 2 a 2
a +1 a 2 1 a 2
解：原式 = ........2 分
（a + 2)(a 2) 3 a + 2 3
a +1 a 2= .......3 分
3(a + 2) 3(a + 2)
3 1
= = .......4 分
3(a + 2) a + 2
a + 2 0 ，a 2 0
a 2 , a 2 ......5 分
将a = 0带入原式
1 1
得：原式 = = ......7 分
a + 2 2
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a +1 1 3
方法2： 2
a 4 a + 2 a 2
a +1 a 2 3解：原式 = .....2分
（a + 2)(a 2) (a + 2)(a 2)

a 2
3 3
= ......3分
(a + 2)(a 2) a 2
3 a 2 1
= = .......4分
(a + 2)(a 2) 3 a + 2
a + 2 0 ，a 2 0
a 2 , a 2 ......5分
将a = 0带入原式
1 1
得：原式 = = ......7分
a + 2 2
16. （1） 抽样调查 扇形统计图 .............2分
（2） 4.5 , 4.45 ...............4分
6+12+17
（3） 500 =175 （人） .............5分
100
答：该年级运动不足的学生人数约 175人。.......6分
（4） 从这些数据可以看出，大部分学生都有一定的运动量，但也有相当一
部分学生每周运动时长不足 2小时。建议针对那些运动时长较少的学生，鼓励他
们尝试新的运动项目，找到自己喜欢的运动形式，从而增加他们的运动时间和频
率。（答案不唯一，言之有理即可）......................8 分
17. 任务 1：设原停车位的长为 x米，宽为 y米，由题意可知
x + y = 9
.........................2分
x = 2y
解得
x = 6
.........................3分
y = 3
答：原停车位的长为 6米，宽为 3米. ....................4 分
任务 2：
①垂直停车位个数：33÷3=11个； .....................5 分
②由（1）知，FG=AC=6米，∠IFG=∠FGJ=60°，
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在Rt FJG中， GFI = 60 ，
JG
= cos 60 ,
FG
JG = 3米.
垂直停车位个数：(33-3)÷3=10个； .......................6 分
任务 3：
在Rt FJG中， GFI = 60 ，
FJ
= sin 60 ,
FG
FJ = 3 3米 5.2米
设垂直停车位有m排，则斜列停车位有 (m 1)排，由题意可知
6m + 5.2(m 1) 62 .....................................................................................7 分
解得m 6 ..............................................................................................8 分
因为m为正整数，所以m最小为 6，则斜列停车位至少有 5 排，.......9 分
6×6+5×5.2+3.5×10=97 米
答：矩形停车场的另一边至少 97 米。 ....................................................10 分
18.（1）证明：点O为BC的中点，点E为AB的中点，
OE∥ AC.
AOE = OAC.
AOE = DAC，
OAC = DAC..............................................1分
又 OA =OC，
OAC = ACO，
ACO = DAC.
AD∥OC.......................................................2分
又 D = 90 ,
BC ⊥CD.........................................................3分
OC为⊙O的半径，
CD为⊙O的切线............................................4分
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（2）解： BC是直径,
BAC = 90 .
由（1）证得，OE为 ABC的中位线,
AC = 2OE = 6........................................................................5分
在Rt ABC中，AB = BC 2 AC 2 = 102 62 = 8.................6分
DAC = ACB， D = BAC,
ABC∽ DCA.......................................................................7分
AB BC 8 10
= 即 =
CD AC CD 6
24
解得CD = ..............................................................................8分
5
19.（1）∵ B (8, 27)，BC = 2，
∴C (10, 27) ........................................................1 分
∵抛物线顶点坐标D (15, 2)
∴设抛物线解析式 y = a(x 15)2 + 2 且过D (15, 2)，
由题意得 27 = a(10 15)2 + 2，解得 a =1
∴ y = (x 15)2 + 2 = x2 30x + 227 .....................................3 分
把 y =18代入 y = x2 30x + 227得 x1 = 19 ， x2 = 11
∵E 在抛物线右侧
∴ E (19, 18) ..........................................................4 分
（2）由题意得，把 y =12代入 y = x2 30x + 227得
x2 30x + 227 =12 ，解得 x =15 10 ，
即 x1 18.2， x2 11.8 ， ................................................6 分
18
把 y =12代入 y = 得 x = 21.5 ...................................7 分
x 20
∴加固杆离出发点的水平距离分别是 18.2m，11.8m，21.5m
18
（3）把 y =1代入 y = 得 x = 38
x 20
∴G (38, 1) ...............................................................8 分
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页
3
∵ tan HGF '= tan 37 =
4
3
∴设 y = x +b且过 G (38, 1)， GF '
4
3 59
由题意得1= 38+ b，解得b =
4 2
3 59
∴ yGF ' = x + ........................................................9 分
4 2
3 59 64
y = x + x2 =
4 2 x1 = 38 联立 3 解得 ，
18 y1 =1 27y = y2 =
x 20 2
64 27
∴F ' , .........................................................10 分
3 2
27
18
2 27
∴ tan∠FEF' = = ............................................11 分
64 14
19
3
20.（1） ① 是 ................................2 分
② 解：∵ABCD为矩形，
ADC = DCE = 90 .
要满足点F同时为两个三角形边上的“中项点”，
则要使得DF ⊥ AC，CF ⊥ DE........................................................................3分
当AB = BC即a = b时，
此时点F为对角线AC与BD的交点，不符合“中项点”定义.
当AB BC即a＜b或a＞b,
当a＜b时存在这样的点F，但此时E点不在BC边上，不合题意。
当a＞b存在这样的点F，且点E在BC边上，
a b
此时 ADC∽ DCE，则有 = .
b CE
b2
CE = .
a
b2
x = BE = a ..............................................................................................4分
a
a
综上所述，当 ＞1时，点F同时为两个三角形边上的“中项点”...............5分
b
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（2）证明： 点F为AC边上的中项点,
DF CF
DF 2 = AF CF即 = ............................................6分
AF DF
四边形ABCD为菱形，
AD∥BC.
ADF∽ CEF.
AF DF
= ........................................................................7分
CF EF
EF DF
= .
CF AF
EF CF
=
CF DF
CF 2 = EF DF
点F也为 CDE中DE边上的“中项点”.........................................8分
（3）解：分类讨论如下：
①如图1，当点E在BC边上时，过点A作AG ⊥ BC于点G，
4
∵ tan B = , AB = 5,设BG = 3x, AG = 4x,
3
( )2 ( 2 3x + 4x) = 52.
x =1,即BG = 3.
点G与点E重合.
连接AE，即AE ⊥ BC且AE = 4
在Rt ACE中，AC = AE 2 +CE 2 = 2 5....................................9分
由(1)知， ADF∽ CEF，且CE = 5 3 = 2,
AF AD 5
= = .
CF CE 2
5 2
AF = 2 5,CF = 2 5
7 7
由(2)知，DF 2 = AF CF，
200
DF = ......................................................................................10分
49
图 1
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页
②当点E在射线BC上时,此时对角线AC与DE无交点，点F不存在,
不符合题意，舍去.
图 2
③如图3，当点E在射线CB上时，
点F为AC边上的中项点,
DF CF
DF 2 = AF CF即 = .
AF DF
四边形ABCD为菱形，
AD∥BC. 图 3
ADF∽ CEF.
AF DF
= .
CF EF
EF DF
= .
CF AF
EF CF
=
CF DF
CF 2 = EF DF.
点F为 CDE中DE边上的“中项点”.
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过点A作AG ⊥ BC于点G，
4
∵ tan B = , AB = 5,设BG = 3x, AG = 4x,
3
(3x)2 + (4x)2 = 52.
x =1,即BG = 3，AG = 4
CG = 5 3 = 2.
在Rt ACG中，AC = AG2 +CG 2 = 2 5
由AD∥BC可证， ADF∽ CEF，且易得CE = 5+ 3 = 8.
AF AD 5
= = ................................................................................11分
CF CE 8
5 8
AF = 2 5,CF = 2 5
13 13
由(2)知，DF 2 = AF CF，
800
DF = ......................................................................................12分
169
200 800
综上所述，DF的值为 或 .
49 169
第 8、12、13 题详细答案过程附在本评分标准后面：
4
8.∵A在y = 的函数图像上，
x
4
设点A(m, ).
m
∵点B为A点的平衡点，
4
B(m,m ).
m
∵AB = 2，且点B在点A的下方，
4 4
m = 2，m 0,
m m
解得m1 = 4,m2 = 2.
A( 4, 1)或(2,2)
B( 4, 3)或(2,0)
1
如图2，当A(2,2)，B(2,0)时，S AOB = 2 2 = 2；
2
1
当A( 4, 1)，B( 4, 3)时，S AOB = 2 4 = 4.
2
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12.解：过 B 作BF⊥DE于 F，可得四边形ABFD是矩形
∴DF = AB，BF = AD，
∵ AB = AC =1.6
AC
∴ tan ACB = =1
AB
∴ ACB = 45
由反射得 DCE = 45
设DE =CD = x
∴ AD =CD + AC = x +1.5，EF = DE DF = x 1.6
EF x 1.6
在 Rt BEF中， BF = = = 3 (x 1.6)
tan 30 3
3
∵BF = AD，则 3 (x 1.6) = x +1.6
16+8 3
解得 x = 6
5
13.解：过点 E 作 EN⊥AF 于点 N，过点 A 作 AM 垂直射线 EB 于点 M，
∵四边形 ABCD 为菱形，
∴AD∥BC，AB=AD=BC=4。
∴ ADG∽ FCG .
AD DC 3
∴ = = .
CF GC 1
4
∴CF = .
3
∵∠ABC=120°,
AM BM
∴在 Rt ABM 中，∠ABM=60°， = sin 60 ， = cos 60 ，
AB AB
∴ AM = 2 3,BM = 2.
4 22
∴ FM = 2+ 4+ = .
3 3
2
2 22 4 37
∴在 Rt AMF中， AF = AM 2 + FM 2 = (2 3) + = ,
3 3
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2 3 3 3
tan AFM = = .
22 11
3
设EN = x,在 Rt AEN中，∠EAN=30°，
EN
∴ = tan 30 ,
AN
∴EN = 2x.
EN
在 Rt ENF中， = tan AFM ，
FN
11 3
∴ FN = x .
9
11 3 4 37
又∵ AF = 3x + x = ,
9 3
111 111
∴ x = ,即 EN = .
5 5
1 1 1 1 4 37 111
由等面积法， AM EF = AF EN即 2 3 EF = ,
2 2 2 2 3 5
74
∴ EF = .
15
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