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北师大版2024—2025学年八年级下册数学期末复习综合训练
考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟
第I卷
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．解分式方程时，去分母正确的是（　　）
A．2x﹣3＝3x﹣1 B．2x﹣3（x﹣2）＝3x﹣1
C．2x﹣3（x﹣2）＝﹣3x﹣1 D．2x﹣3（x﹣2）＝﹣3x+1
3．分式的值为0，则x的值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．9
4．设x为4．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．若分式中x，y的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（　　）
A．不变 B．扩大为原来的2倍
C．扩大为原来的4倍 D．不能确定
6．为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动．已知某班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同．求甲，乙两组同学平均每小时各包多少个粽子．若设乙组每小时包x个粽子，可列出关于x的方程为（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，点E在AC上，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠DEB的度数是（　　）
A．90° B．180° C．270° D．360°
8．如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若AE＝4，AF＝6，且 ABCD的周长为40，则 ABCD的面积为（　　）
A．24 B．36 C．40 D．48
9．如图，△ABC中，M是BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，若AB＝4，AC＝6，则MD等于（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
10，已知实数x满足x2＝3x+1．则的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（6小题，每题3分，共18分）
11．因式分解：a3﹣9ab2＝　 　 ．
12．如图，已知点A，B的坐标分别为（2，4），（6，0），将△OAB沿x轴向右平移，使点B平移到点E，得到△DCE，若OE＝8，则点C的坐标为 　 　
13．阳春三月，正值放风筝的好时节．某商店以80元的进价购进一款风筝，标价为120元出售，为扩大销量，计划打折出售，但其利润率不能少于20%．请你帮助该商店老板计算，这款风筝最多可以按　 　 折销售．
14．若关于x的不等式（2﹣a）x＜3可化为，则a的取值范围是　 　 ．
15．如图，在△ABC中，分别作AB、AC的垂直平分线，交BC于点D、E，垂足为F、G，若∠BAC＝110°，则∠DAE＝　 　 度．
16．如图，在面积为12的△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AD⊥BC于点D，直线EF垂直平分AB交AB于点E，交BC于点F，P为直线EF上一动点，则△PBD周长的最小值为 　 　 ．
第II卷
北师大版2024—2025学年八年级下册数学期末复习综合训练
姓名：____________ 学号：____________准考证号：___________
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题
11、_______ 12、______13、_______ 14、______15、_______ 16、______
三、解答题解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．（1）解不等式组：；
（2）解方程：．
18．先化简，再求代数式的值，其中．
19．某校为了培养学生良好的阅读习惯，去年购买了一批图书．其中科技书的单价比文学书的单价多4元，用1800元购买的科技书与用1200元购买的文学书数量相等．
（1）求去年购买的文学书和科技书的单价各是多少元？
（2）若今年文学书的单价提高到10元，科技书的单价与去年相同，该校今年计划再购买文学书和科技书共280本，且购买科技书和文学书的总费用不超过3000元，该校今年至少要购买多少本文学书？
20．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，点E、F分别为OA、OC的中点，连接BE、DF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若BD＝2AB，且AB＝20，CF＝12，求DF的长．
21．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E，F分别是BC，AC的中点，延长BA到点D，使，连结DE，DF，DE交AF于点M．
（1）求证：AP＝FP；
（2）若BC＝10，求DF的长．
22．如图，D是等边内一点，将绕点B顺时针旋转得到，连接，且．
(1)求的度数；
(2)若，求证：．
23．【基础巩固】从课本中我们学习了因式分解的常见方法：提取公因式法和公式法
（1）填空：因式分解________
【思考探究】在学习过程中，我们还发现存在某些多项式既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的调整能构成可分解的一组，用分组来分解一个多项式的因式，这种方法叫分组分解法．例如：“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以因式分解，后两项也可因式分解，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式，具体过程为
．
（2）请在上述方法的启发下，分解下列因式：
①；
②．
【应用尝试】
（3）已知实数a，b满足，求的值．
24．已知，关于x的分式方程1．
（1）当a＝2，b＝1时，求分式方程的解；
（2）当a＝1时，求b为何值时分式方程1无解；
（3）若a＝3b，且a、b为正整数，当分式方程1的解为整数时，求b的值．
25．等腰三角形中，，，点，为边上的两动点，且．
(1)若，求的长．
(2)若，求的面积．
(3)当点在边的什么位置时，线段，，满足．
参考答案
` ‘rt一、选择题
1—10：ADABB ABDDB
二、填空题
11．【解答】解：a3﹣9ab2＝a（a2﹣9b2）＝a（a﹣3b）（a+3b）．
故答案为：a（a﹣3b）（a+3b）．
12．【解答】解：∵B（6，0），
∴OB＝6，
∵OE＝8，
∴BE＝OE﹣OB＝2，
即△OAB沿x轴正方向平移2个单位长度得到△DCE，
∵A（2，4），
∴点C的坐标为（4，4）．
故答案为：（4，4）．
13．【解答】解：设打x折销售，则售价为120×0.1x元，利润为（120×0.1x﹣80）元，
由题意得：120×0.1x﹣80≥80×20%，
解得x≥8，
∴此种商品可以按最多打8折销售，
故答案是：8．
14．【解答】解：∵不等式（2﹣a）x＜3可化为，
∴2﹣a＜0，
解得：a＞2，
故答案为：a＞2．
15．【解答】解：∵∠BAC＝110°，
∴∠B+∠C＝180°﹣110°＝70°，
∵边AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，
∴DA＝DB，EA＝EC，
∴∠BAD＝∠B，∠EAC＝∠C，
∴∠BAD+∠EAC＝∠B+∠C＝70°，
∴∠DAE＝110°﹣70°＝40°，
故选：40．
16．【解答】解：如图，连接PA，
∵AB＝AC，BC＝6，AD⊥BC，
∴，
∵△ABC的面积为12，
∴，
∴AD＝4，
∵EF垂直平分AB，
∴PB＝PA，
∵P为直线EF上一动点，
∴PB+PD＝PA+PD≥AD，
∴PA+PD≥4，
∴BD+PB+PD＝BD+PA+PD≥BD+AD＝3+4＝7，
∴△PBD周长的最小值为7．
故答案为：7．
三、解答题
17.【解答】解：（1），
解不等式①，得x＜3，
解不等式②，得x≥﹣2，
所以不等式组的解集是﹣2≤x＜3；
（2），
方程两边同乘x（x﹣2），得3（x﹣2）＝5x，
解得x＝﹣3，
检验：当x＝﹣3时，x（x﹣2）≠0，
所以分式方程的解是x＝﹣3．
18.【解答】解：
，
当时，原式．
19.【解答】解：（1）设去年文学书单价为x元，则科技书单价为（x+4）元，根据题意得：
，
解得：x＝8，
经检验x＝8是原方程的解，当x＝8时x+4＝12，
答：去年文学书单价为8元，则科技书单价为12元；
（2）设这所学校今年购买y本文学书，
根据题意得：10×y+12（280﹣y）≤3000，
y≥180，
∴y最小值是180；
答：该校今年至少要购买180本文学书．
20．【解答】（1）证明：∵平行四边形ABCD，
∴AB＝CD，OA＝OC，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
∵点E，F分别为OA，OC的中点，
∴，，
∴AE＝CF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）解：∵BD＝2AB，且AB＝20，CF＝12，
∴BD＝40，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴△DCO为等腰三角形，
∵点F是CO的中点，
∴DF⊥AC，
在Rt△CDF中，CF＝12，CD＝20，
由勾股定理得：．
21．【解答】（1）证明：连接EF，AE．
∵点E，F分别为BC，AC的中点，
∴EF∥AB，EFAB．
又∵ADAB，
∴EF＝AD．
又∵EF∥AD，
∴四边形AEFD是平行四边形．
∴AF与DE互相平分，
∴AP＝FP；
（2）解：在Rt△ABC中，
∵E为BC的中点，BC＝10，
∴AEBC＝5．
又∵四边形AEFD是平行四边形，
∴DF＝AE＝5．
22.【解答】解：（1）解：由旋转的性质得：，
，
是等边三角形，
，
，
，
；
（2）根据题意得：，
，
，
，
∵为等边三角形，
∴，
∴垂直平分，
．
23.【解答】解：（1）
，
故答案为：．
（2）①
．
②
．
（3）
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
24．【解答】解：（1）把a＝2，b＝1代入分式方程 中，得，
方程两边同时乘以（2x+3）（x﹣5），
2（x﹣5）﹣（1﹣x）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5），
2x2+3x﹣13＝2x2﹣7x﹣15，
10x＝﹣2，
x，
检验：把x 代入（2x+3）（x﹣5）≠0，所以原分式方程的解是x．
答：分式方程的解是x．
（2）把a＝1代入分式方程 得，
方程两边同时乘以（2x+3）（x﹣5），
（x﹣5）﹣（b﹣x）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5），
x﹣5+2x2+3x﹣2bx﹣3b＝2x2﹣7x﹣15，
（11﹣2b）x＝3b﹣10，
①当11﹣2b＝0时，即，方程无解；
②当11﹣2b≠0时，，
时，分式方程无解，即，b不存在；
x＝5时，分式方程无解，即，b＝5．
综上所述，或b＝5时，分式方程 无解．
（3）把a＝3b代入分式方程 中，得：
方程两边同时乘以（2x+3）（x﹣5），
3b（x﹣5）+（x﹣b）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5），
整理得：（10+b）x＝18b﹣15，
∴，
∵，且b为正整数，x为整数，
∴10+b必为195的因数，10+b≥11，
∵195＝3×5×13，
∴195的因数有1、3、5、13、15、39、65、195，
但1、3、5 小于11，不合题意，故10+b可以取13、15、39、65、195这五个数．
对应地，方程的解x为3、5、13、15、17，
由于x＝5为分式方程的增根，故应舍去．
对应地，b只可以取3、29、55、185，
所以满足条件的b可取3、29、55、185这四个数．
25.【解答】解：（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
，，
∴，
∴；
（2）解：如图，将绕点顺时针旋转至，使与重合，连接，过点作于点，过点作于点，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
由旋转得，，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
设，
∴，
在中，，
即，
解得：，
∴，
∴；
（3）解：同（2）作法可得，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
同（2）可得，
∴，
∵，
∴，
是等腰直角三角形，
∴，
∴，
即点在距离点处．
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